优化方案高考理科数学北师大一轮复习练习：选修44 坐标系与参数方程 第1讲知能训练轻松闯关 含答案

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝1

2x ，

y ′＝1

3y

后，曲线C ：x 2

＋y 2

＝36变为何种曲

线，并求曲线的焦点坐标．

解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，

则⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.

所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 2

4＝1，

其焦点坐标为(±5，0)．

2．(2015·高考江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin(θ－π

4)－4＝0，求圆C 的半径．

解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .

圆C 的极坐标方程为

ρ2＋22ρ⎝⎛

⎭

⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，

化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.

则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.

3．(2016·扬州质检)求经过极点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫6，π2，B ⎝⎛⎭⎫62，9π

4三点的圆的极坐标方程．

解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)， 故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形， 圆心为(3，3)，半径为32，

圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18， 即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，

将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程， 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，

即ρ＝62cos ⎝

⎛⎭⎪⎫

θ－π4.

4．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．

解：(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，

即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程． 同理，x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程．

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，

x 2＋y 2＋4y ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2.

即⊙O 1，⊙O 2交于点(0，0)和(2，－2)，过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x . 5．(2014·高考天津卷改编)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值．

解：由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ， 即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a ，可得y ＝a .

设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝3

3

a ， 所以B 点的坐标为⎝⎛

⎭

⎫33a ，a . 又因为B 在x 2＋y 2－4y ＝0上， 所以⎝⎛⎭

⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 即4

3a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3. 6．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲

线C 的极坐标方程为ρcos ⎝

⎛⎭⎫θ－π

3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．

(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．

解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

θ－π3＝1，

得ρ⎝⎛⎭

⎫12cos θ＋3

2sin θ＝1，

从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋3

2y ＝1，

即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．

θ＝π

2时，ρ＝23

3，所以N ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

233，π2. (2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝

⎛⎭⎫

0，233.

所以点P 的直角坐标为⎝

⎛⎭⎫1，3

3，

则点P 的极坐标为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫233，π6，

所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π

6

，ρ∈(－∞，＋∞)．

1．(2016·唐山统一考试)已知圆

C ：x 2＋y 2＝4，直线

l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴

为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． (1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；

(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程． 解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ

＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.

(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，

故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．

2．(2016·南宁检测)已知在一个极坐标系中，点C 的极坐标为⎝

⎛⎭⎫2，π

3.

(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程；

(2)以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．

解：(1)设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π

3

－θ，由余弦定理得4＋ρ2－

4ρcos ⎝

⎛⎭⎪⎫

θ－π3＝4，

所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝

⎛⎭⎪⎫

θ－π3.

(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，设圆C 上任意一点P . 法一：P (1＋2cos α，3＋2sin α)，

又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，

所以M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α

2，y ＝2sin α2⇒⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，

所以点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1. 法二：点C 的坐标为(1，3)，圆的半径为2， 则圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 所以x 0＝2x －5，y 0＝2y ＋3，① P (x 0，y 0)在圆(x －1)2＋(y －3)2＝4上，

将①式代入得(x －3)2＋y 2＝1.

3．(2016·东北三校模拟)已知点P 的直角坐标是(x ，y )．以平面直角坐标系的原点为极坐标