4.2单位圆与周期性

在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各 个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数 值、余弦函数值填入下表
0
1 2
2 31
22
310
22
-
1 2
-
3 2
-1 -
3 2
-
1 2
0
1
3 2
2 2
1 2
0
-
1 2
-
3 2
-1 -
3 2
-1 2
0
1 2
31
2
观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的
3
2
31
2
cos( )
4
2
二、拓展例题互动 1、求下列函数的周期
(1) y sin(2x)
(2) y sin( x )
36
三、本节总结
1、理解正弦函数与余弦函数的周期 2、周期函数、周期的深入理解 3、求函数周期
4.2 单Байду номын сангаас圆与周期性
1.进一步巩固任意角的三角函数的定义理解三角函 数的周期变化； 2.掌握周期函数，会求正余弦函数周期(重点)
前面我们学习了周期 现象，三角函数定义，角 的一边可以绕角的顶点旋 转，得到了终边相同的角， 如图所示，今天我们学习 正弦函数、余弦函数的周 期性及性质.
y
P
α
x
M O (1,0)
一个x.
例 求下列三角函数值：
（1）
cos 9
4
（2）
sin( 11 )
6
解：（1）cos 9 cos( 2 ) cos 2
4
4
42
（2） sin( 11 ) sin( 2 ) sin 1
6
6
62
练习 求下列三角函数值
sin 19 3
思考
1.函数f(x)=c(c为常数) , x∈R，问函数f(x)
是不是周期函数，若是，有无最小正周期. 答:是，无最小正周期.
2.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如
果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R
的一个周期？为什么？
答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每
特别提醒： 1.T是非零常数.
2.任意x∈D都有x+T∈D,T≠0，可见函数的定义域无界
是成为周期函数的必要条件.
3.任取x∈D，就是取遍D 中的每一个x，可见周期性是 函数在定义域上的整体性质.理解定义时，要抓住每一个x 都满足f(x+T)=f(x)成立才行. 4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么2T也是周期
变化有什么特点吗？
探究点 周期函数
观察右图，在单位圆中，由任意角 的正弦函数、余弦函数定义不难得到下 列事实：终边相同的角的正弦函数值相
等，即 sin(x 2k) sin x, k Z ；
终边相同的角的余弦函数值相等， 即 cos(x 2k) cos x,k Z .
把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作 周期函数. 正弦函数、余弦函数是周期函数，称 2k(k Z, k 0) 为正弦函数、余弦函数的周期.
例如， 4, 2, 2, 4 等都是它们的周期.其
中 2 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一
个，称为最小正周期.
一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T ， 对定义域内的任意一个x值，都有
f(x+T)=f(x),
我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周 期. 说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最 小正周期.