§4圆轴扭转横截面上的应力
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3
试验现象二
4
扭转平面假设 各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对5转动
6
7
dx
d
a
b
a'
c
c'
b'
d
d'
d
dx
G
d
dx
AdAT
8
dx
d
a
b
a'
c
c'
b'
d
d'
T
Ip
Ip
2dA
A
－极惯性矩
9
T
Ip
max
TR T Ip Ip R
max
T Wp
Wp
Ip R
－抗扭截面系数
公式的适用范围：圆截面轴；max≤p
ABG T1lpI1.5010-2rad
T 2 M C 1N 4 m 0
BCG T2lpI1.1710-2rad
26
AC A BBC 1 1 .- 2 5 1 0 . 1 0 1 7 - 2 0 . 3 1 3 - 2 r 0 ad
2. 刚度校核
d T1
dx 1 GIp
d
提问
• 切应力互等定理 • 薄壁圆筒横截面上切应力公式 • 剪切胡克定律
1
§4 圆轴扭转横截面上的应力
扭转试验与假设 扭转应力分析 极惯性矩与抗扭截面系数 例题
2
扭转试验与假设
从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面 试验现象一
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动 当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变
A
TA
2πR02d1
2πm R02d1l4.46MP [a]
ml
来自百度文库
B
TB
2πR02d2
2πR202d227.9MPa[]
21
§6 圆轴扭转变形与刚度计算
圆轴扭转变形 圆轴扭转刚度条件 例题
22
圆轴扭转变形
扭转变形一般公式
d
dx
T GI
p
d T dx
GI p
T dx
l GI p
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度
AC
T1a GI p
( M A)a GI p
CB
T2b GI p
M Bb GI p
满足刚度条件
27
例 6-2 试求图示轴两端的支座约束力偶矩（静不定问题）
解：1. 问题分析
M x 0 , M A M B M 0 (a)
未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一度静不定 需要建立补充方程，才能求解
28
M x 0 , M A M B M 0 (a)
2. 建立补充方程
A BA CC B 0
dx
2
T2 GIp
因T1 T2
故d d T1
dxmaxdx1 GpI
d d x m (a 8 1 x 9 P 0 1 0N a 1 8 m 5 1 ) 0 0 - 1 ( m 0 4 2 ) 3 1 π 0 . 8 . 4 0 ( ) 0 / 3 m []
注意单位换算！
14
扭转失效与极限应力
扭转失效形式
塑性材料
屈服
断裂
脆性材料
断裂
扭转极限应力 圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力－扭转屈服应力 圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力－扭转强度极限
扭转屈服应力s ，扭转强度极限b －扭转极限应力u
15
圆轴扭转强度条件
为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的 最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力
max[]
T
Ip
max
G[ ]
TmaxGpI[]
25
例题
例 6-1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，
[] = 0.5 ()/m 。AC=? ，校核轴的刚度。
解：1. 变形分析
T 1M A 18 N m 0
16
T πd
3
[
]
16
d
3
16T
π[ ]
31π(61(. 5 511030 60N Pm a))0.503m 5
取 ： d54mm
18
2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
πdo3 14
16
16T [ ]
1π6do3(14)
do3π(11T 64)[]76.3mm di do6.87mm
取 d o ： 7m 6， m d i6m 8 m 3. 重量比较
10
圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面 d D
Ipπ3D2414
WpIDpπ1D63 14
2
11
圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数
实心圆截面 0
I
p
πd 4 32
Wp
πd 3 16
12
例题
例 4-1 已知MC= 2MA= 2MB=200N·m；AB段，d=20mm； BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。
常扭矩等截面圆轴
Tl GI p
23
圆轴扭转刚度条件
ddx GTIp
T GIp
m
a
x
[
]
圆轴扭转刚度条件
[ ]－单位长度的许用扭转角
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1 ()/m
注意单位换算:
1ra/dm1π8(0)/m
24
圆轴扭转刚度条件 利用刚度条件可以进行三类计算：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
π4(do2 di2) πd2
39.5%
4
空心轴远比 实心轴轻
19
例 5-2 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别
为 d1 5 mm，d2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， [] 50 MPa，试校核圆管强度。
解：1. 扭矩分析
20
2. 强度校核 危险截面：截面 A与 B
max[]
变截面或变扭矩圆轴:
max
T Wp
max
等截面圆轴:
max
Tmax Wp
[ ] u n
u－材料的扭转极限应力
n - 安全因数
危险点处于纯剪切状态，又有
塑性材料：[] =（0.5~0.577）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
16
圆轴合理截面
1. 合理截面形状
空心截面比 实心截面好
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
若Ro/d 过大
将产生皱褶
注意减缓 应力集中
17
例题
例 5-1 已知 T=1.5 kN .m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。
解：1. 确定实心圆轴直径
max[]
max
T Wp
T πd3
解：
T1MA
W
p
πd 3 16
1, max
T1 Wp
T2MC
2, max
T2 Wp
d i do
Wpπ1d6o3 14
1,max1π6M d3A 6.3 7MaP 2m , ax πd103(61MC 4) 7.4 9MaP 13
§5 圆轴扭转强度与合理设计
扭转失效与扭转极限应力 圆轴扭转强度条件 圆轴合理强度设计 例题
试验现象二
4
扭转平面假设 各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对5转动
6
7
dx
d
a
b
a'
c
c'
b'
d
d'
d
dx
G
d
dx
AdAT
8
dx
d
a
b
a'
c
c'
b'
d
d'
T
Ip
Ip
2dA
A
－极惯性矩
9
T
Ip
max
TR T Ip Ip R
max
T Wp
Wp
Ip R
－抗扭截面系数
公式的适用范围：圆截面轴；max≤p
ABG T1lpI1.5010-2rad
T 2 M C 1N 4 m 0
BCG T2lpI1.1710-2rad
26
AC A BBC 1 1 .- 2 5 1 0 . 1 0 1 7 - 2 0 . 3 1 3 - 2 r 0 ad
2. 刚度校核
d T1
dx 1 GIp
d
提问
• 切应力互等定理 • 薄壁圆筒横截面上切应力公式 • 剪切胡克定律
1
§4 圆轴扭转横截面上的应力
扭转试验与假设 扭转应力分析 极惯性矩与抗扭截面系数 例题
2
扭转试验与假设
从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面 试验现象一
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动 当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变
A
TA
2πR02d1
2πm R02d1l4.46MP [a]
ml
来自百度文库
B
TB
2πR02d2
2πR202d227.9MPa[]
21
§6 圆轴扭转变形与刚度计算
圆轴扭转变形 圆轴扭转刚度条件 例题
22
圆轴扭转变形
扭转变形一般公式
d
dx
T GI
p
d T dx
GI p
T dx
l GI p
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度
AC
T1a GI p
( M A)a GI p
CB
T2b GI p
M Bb GI p
满足刚度条件
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例 6-2 试求图示轴两端的支座约束力偶矩（静不定问题）
解：1. 问题分析
M x 0 , M A M B M 0 (a)
未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一度静不定 需要建立补充方程，才能求解
28
M x 0 , M A M B M 0 (a)
2. 建立补充方程
A BA CC B 0
dx
2
T2 GIp
因T1 T2
故d d T1
dxmaxdx1 GpI
d d x m (a 8 1 x 9 P 0 1 0N a 1 8 m 5 1 ) 0 0 - 1 ( m 0 4 2 ) 3 1 π 0 . 8 . 4 0 ( ) 0 / 3 m []
注意单位换算！
14
扭转失效与极限应力
扭转失效形式
塑性材料
屈服
断裂
脆性材料
断裂
扭转极限应力 圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力－扭转屈服应力 圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力－扭转强度极限
扭转屈服应力s ，扭转强度极限b －扭转极限应力u
15
圆轴扭转强度条件
为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的 最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力
max[]
T
Ip
max
G[ ]
TmaxGpI[]
25
例题
例 6-1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，
[] = 0.5 ()/m 。AC=? ，校核轴的刚度。
解：1. 变形分析
T 1M A 18 N m 0
16
T πd
3
[
]
16
d
3
16T
π[ ]
31π(61(. 5 511030 60N Pm a))0.503m 5
取 ： d54mm
18
2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
πdo3 14
16
16T [ ]
1π6do3(14)
do3π(11T 64)[]76.3mm di do6.87mm
取 d o ： 7m 6， m d i6m 8 m 3. 重量比较
10
圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面 d D
Ipπ3D2414
WpIDpπ1D63 14
2
11
圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数
实心圆截面 0
I
p
πd 4 32
Wp
πd 3 16
12
例题
例 4-1 已知MC= 2MA= 2MB=200N·m；AB段，d=20mm； BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。
常扭矩等截面圆轴
Tl GI p
23
圆轴扭转刚度条件
ddx GTIp
T GIp
m
a
x
[
]
圆轴扭转刚度条件
[ ]－单位长度的许用扭转角
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1 ()/m
注意单位换算:
1ra/dm1π8(0)/m
24
圆轴扭转刚度条件 利用刚度条件可以进行三类计算：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
π4(do2 di2) πd2
39.5%
4
空心轴远比 实心轴轻
19
例 5-2 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别
为 d1 5 mm，d2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， [] 50 MPa，试校核圆管强度。
解：1. 扭矩分析
20
2. 强度校核 危险截面：截面 A与 B
max[]
变截面或变扭矩圆轴:
max
T Wp
max
等截面圆轴:
max
Tmax Wp
[ ] u n
u－材料的扭转极限应力
n - 安全因数
危险点处于纯剪切状态，又有
塑性材料：[] =（0.5~0.577）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
16
圆轴合理截面
1. 合理截面形状
空心截面比 实心截面好
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
若Ro/d 过大
将产生皱褶
注意减缓 应力集中
17
例题
例 5-1 已知 T=1.5 kN .m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。
解：1. 确定实心圆轴直径
max[]
max
T Wp
T πd3
解：
T1MA
W
p
πd 3 16
1, max
T1 Wp
T2MC
2, max
T2 Wp
d i do
Wpπ1d6o3 14
1,max1π6M d3A 6.3 7MaP 2m , ax πd103(61MC 4) 7.4 9MaP 13
§5 圆轴扭转强度与合理设计
扭转失效与扭转极限应力 圆轴扭转强度条件 圆轴合理强度设计 例题