专题-带电粒子在有界磁场中的运动
2024年高考物理热点磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。
带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。
带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。
2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。
一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。
如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。
带电粒子在有界磁场磁场中的运动
d
αR O
过程模型：匀速圆周运动 规律：牛顿第二定律 + 圆周运动公式 条件：要求时间最短
t
s v
速度 v 不变，欲使穿过磁场时间最短，须使 s 有最 小值，则要求弦最短。
题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形 状如图所示，磁场宽度为 d。在垂直B的平面
内的A点，有一个电量为 －q、质量为 m、速
y B
如粒子带正电，则： 如粒子带负电，则：
60º v
60º
O 120º
x
A. 2mv qB
B. 2mvcosθ qB
C. 2mv(1-sinθ) qB
2mv(1-cosθ)
D. qB
M
D
C
θ θ θθ
P
N
θθ
练、 一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力）
从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的
束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射，
其中入射角 α =30º，且不经碰撞而直接从出射孔射出的
离子的速度v大小是 （
C）
αa
A．4×105 m/s B． 2×105 m/s
r
C． 4×106 m/s D． 2×106 m/s O′
O
解： 作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于 r
P
B v0
O
AQ
例、如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为
d =1.0×10－2m，A板上有一电子源P，Q点在P点正上方B
板上，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～3.2×107m/s范
围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度
B=9.1×10－3T，已知电子质量 m=9.1×10－31kg ，电子电
专题：带电粒子在有界磁场中的运动
专题：带电粒子在有界磁场中的运动三维目标：一、知识与技能（1）掌握求解带电粒子在有界磁场中的圆运动的基本方法：找圆心、求半径、求周期、确定圆心角，熟练运用草图描绘带电粒子运动的轨迹，应用几何知识求解问题；（2）培养学生的分析、解决问题的能力，应用数学知识求解物理问题的能力。
二、过程与方法讲解与学生练习相结合三、情感、态度与价值观进行思维方法教育训练，培养辩证唯物主义观点．【重难点】一．处理有界磁场问题的一般方法：①解答有关运动电荷在有界匀强磁场中的运动问题时，可以将有界磁场视为无界磁场让粒子能够做完整的圆周运动。
②根据边界条件确定粒子运动的路径，进而确定粒子圆周运动的圆心。
③作好辅助线，充分利用圆的有关特性和公式定理、 圆的对称性等几何知识表达出粒子运动的半径与偏转角度。
④根据牛顿第二定律，列出动力学方程从而解出有关的物理量。
二．确定圆心常用的方法：①圆心必在洛仑兹力所在的直线上，两个位置洛仑兹力方向的交点即为圆心位置。
②速度方向的垂线一定经过圆心，则任意两条速度垂线的交点既为圆心。
③弦的垂直平分线与速度垂线的交点。
三．粒子在磁场中运动时间的确定：①利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于2π计算出圆心角α的大小，由公式2t T απ=可求出粒子在磁场中的运动时间． ②利用弧长与线速度的关系确定时间。
【典型例题】一、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动例题1：如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面里，磁场的磁感应强度为B ；一带正电的粒子以速度V0从O 点射入磁场中，入射方向在xy 平面内，与x 轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L 。
求①该粒子的电荷量和质量比②粒子在磁场中的运动时间。
二、带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动例题2：在以坐标原点 O 为圆心、半径为 r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为 B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示． 一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x 轴的交点 A 处以速度 v 沿－x 方向射入磁场，恰好从磁场边界与 y 轴的交点 C 处沿+y 方向飞出．（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m ；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为 B ，该粒子仍从 A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60°角，求磁感应强度 B 多大？此次粒子在磁场中运动所用时间 t是多少？三、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动例3. 如图所示，一带正电的质子从O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d ，板长为d ，O 点是板的正中间，为使粒子能射出两板间，试求磁感应强度B 的大小（质子的带电量为e ，质量为m ）。
带电粒子在有界磁场区域中的运动
1
图611
2
【解析】如图所示，电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R，以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电荷量，则 eU =mv2 ① evB=m ② 又tan = ③ 由以上各式得B=
tan
2
五、正方形磁场
2、速度垂直边界
例2、垂直纸面向外的匀强磁场仅限于宽度为d的条形区域内，磁感应强度为B．一个质量为m、电量为q的粒子以一定的速度垂直于磁场边界方向从a点垂直飞入磁场区，如图所示，当它飞离磁场区时，运动方向偏转θ角．试求粒子的运动速度v以及在磁场中运动的时间t．(双边界)
3、速度倾斜于边界
例1如图所示，宽d的有界匀强磁场的上下边界为MN、PQ，左右足够长，磁感应强度为B．一个质量为m，电荷为q的带电粒子（重力忽略不计），沿着与PQ成45°的速度v0射入该磁场．要使该粒子不能从上边界MN射出磁场，关于粒子入射速度的最大值有以下说法：①若粒子带正电，最大速度为(2-)Bqd/m；②若粒子带负电，最大速度为(2+ )Bqd/m；③无论粒子带正电还是负电，最大速度为Bqd/m；④无论粒子带正电还是负电，最大速度为 Bqd/2m。以上说法中正确的是 A.只有① B.只有③ C.只有④ D.只有①②
V
O
b、一个速度方向的垂直线和一条弦的中垂线的交点 O ②半径的确定 应用几何知识来确定！ ③运动时间： ⑸粒子在磁场中运动的角度关系----对称思想
带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动．分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于对称线上，入射速度、出射速度与PQ线间的夹角(也称为弦切角)相等，并有φ＝α＝2θ＝ω·t，如右图所示．应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷．
带电粒子在磁场中运动的临界值与多解专题课件
例 7 如图所示，宽度为 d 的有界匀强磁 场，磁感应强度为 B，MM′和 NN′是它的 两条边界．现有质量为 m，电荷量为 q 的带电 粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能 从边界 NN′射出，则粒子入射速率 v 的最大 值可能是多少．
【答案】 (2＋ 2)Bmqd(q 为正电荷)或(2－ 2)Bmqd(q 为负电
(四)三角形边界磁场 例 4 如图，直角三角形 abc 内有方向垂直 纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B， ∠a＝30°，ac＝2L，P 为 ac 的中点．在 P 点 有一粒子源可沿平行 cb 方向发出动能不同的 同种正粒子，粒子的电荷量为 q、质量为 m， 且粒子动能最大时，恰好垂直打在 ab 上．不考 虑重力，下列判断正确的是( )
(一)单面边界磁场 例 1 (多选)如图所示，S 处有一电子源， 可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN 垂 直于纸面，在纸面内的长度 L＝9.1 cm，中 点 O 与 S 间的距离 d＝4.55 cm，MN 与 SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧 区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.0×10 －4 T，电子质量 m＝9.1×10－31 kg，电量 e＝－1.6×10－19 C，不 计电子重力，电子源发射速度 v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该 电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则( )
已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到 a 之间，从发射粒 子到粒子全部离开磁场经历的时间，恰好为粒子在磁场中做圆周 运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：
(1)速度的大小； (2)速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦值．
【答案】
(1)(2－ 26)amqB
6－ 6 (2) 10
1.3.2 专题 带电粒子在有界磁场中的运动 课件-2023年高二物理人教版(2019)
③半径关系：r=R/tanθ=Rtanα
④运动时间:t= 2θT/2 π= θT/ π
(2)不沿径向射入时，速度
o’
方向与对应点半径的夹角
相等（等角进出）
o
•
（3）非径向入射的距离和时间推论：
①若r 轨迹<R边界，当轨迹直径恰好是边界圆的一
条弦，此时出射点离入射点最远，且Xmax=2r，
角（弦切角）相等。若出射点到入射点之间距离为d，则
d=2R
1
t T
2
d=2Rsinθ
t
T
d=2Rsinθ
t T
【例1】水平直线MN上方有垂直纸面向里范围足够大的有界匀强磁场,磁感应强度为B,正、负电子同时从MN边界O点以与MN成45°角的相
同速率v射入该磁场区域(电子的质量为m,电荷量为e),正、负电子间的
射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒
子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，
则带电粒子的比荷为(
)
【变式训练】在真空中半径 r =3×10-2m的圆形区域内有一匀强磁场，磁场
的磁感应强度B=0.2 T，方向如图所示，一个带正电的粒子以v0=1×106 m/s
（3）到入射点最远距离：
①和边界相交时，离出射点最远距离是以出射点为端点的直径或半径。
②和边界相切时，离出射点最远的距离是以出射点和切点为端点的弦长。
【例1】(多选)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个
质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着
带电粒子在有界磁场中的运动
简单回顾
一、带电粒子在匀强 磁场中的运动规律
1.带电粒子在匀强磁场中 运动( v B),只受洛伦兹
F v
o
力作用,做 匀速圆周运动 .
2.洛伦兹力提供向心力:
v2 m q v B R
半径:
2R T v
周期:
T
mv R qB 2m
qB
二、 r(1 cos ) cot
mv0 x1 b L a (1 cos ) cot eB eBL （其中 arcsin ） ⑤ mv0
④
P
v0
θ θ
0
图1
x
Q
②当 r<L 时，磁场区域及电子运动轨迹如图 2 所示，
（ 1 ）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大 速度。
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
解析：（ 1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁 场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图所示。
2 2 2 r R ( R r ) 由图中知， 1 1 2 1
解得
r1 0.375m
v v
v v v
v
一．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
Q P B P Q
P
Q
v
S
垂直磁场边界射入
①速度较小时，作半圆 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
v
S
①速度较小时，作圆 周运动通过射入点； ②速度增加为某临界 值时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边界 相切；③速度较大时 粒子作部分圆周运动 后从另一边界飞出
带电粒子在有界匀强磁场中的运动-高考物理复习
√A.3
B.2
C.32
D.23
电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意 画出两电子的运动轨迹，如图所示，电子1垂直边 界射入磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab 即为直径，c点为圆心； 电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中 点c离开磁场， 根据半径 r＝mBqv可知，电子 1 和 2 的半径相等， 根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，
粒子运动轨迹与 y 轴交点的纵坐标为 y＝－2rcos 30° ＝－233d，故 D 错误.
考向4 带电粒子在多边形边界或角形区域磁场中运动
例4 (多选)(2023·河北石家庄市模拟)如图所示，△AOC为直角三角形，∠O
＝90°，∠A＝60°，AO＝L，D为AC的中点.△AOC中存在垂直于纸面向里的匀
√C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量 大小为5q2BL
√D.带电粒子在磁场中运动时间可能为3πqmB
若粒子带正电，粒子与挡板MN碰撞后恰好从 Q点射出，粒子运动轨迹如图甲所示， 设轨迹半径为 r2，由几何知识得 L2＋(r2－0.5L)2 ＝r22，解得 r2＝54L，根据牛顿第二定律得 qv2B＝mvr222，解得 v2＝54qmBL， 根据动量定理得 I＝2mv2＝5q2BL，故 A 错误，C 正确； 若粒子带负电，则粒子的运动轨迹如图乙所示， 粒子做圆周运动的半径为 r1＝12L，由牛顿第二定律得 qv1B＝mvr112，解得 v1＝q2BmL，此时半径最小，速度也最小，故 B 错误；
2.平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3.圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示. (2)不沿径向射入时，如图乙所示. 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的 夹角也为θ.
专题：带电粒子在有界磁场中的运动(103张PPT)
R1 R2 B O s2
2m T= Bq
r R tan
t = θ 2 T mv R= Bq
2
θ2
练、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm
的圆形筒内有B= 1×10－4 T 的匀强磁场，方向平行于轴 线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一 束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射， 其中入射角 α =30º ，且不经碰撞而直接从出射孔射出的 αa 离子的速度v大小是 （ ） C
两类典型问题
1.带电粒子在有界匀强磁场中（只受洛 伦兹力）做圆弧运动； 2.带电粒子在磁场中运动时的临界问题 （或多解问题）的讨论
概述 • 1、本类问题对知识考查全面，涉及到力学、 电学、磁学等高中物理的主干知识，对学生 的空间想象能力、分析综合能力、应用数学 知识解决物理问题能力有较高的要求，是考 查学生多项能力的极好的载体，因此成为历 年高考的热点。 • 2、从试题的难度上看，多属于中等难度或 较难的计算题。原因有二：一是题目较长， 常以科学技术的具体问题为背景，从实际问 题中获取、处理信息，把实际问题转化成物 理问题。二是涉及数学知识较多（特别是几 何知识）。
从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º
的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂 直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强 度B和射出点的坐标。
解析 ：
r
v
y
B
2a
mv 3 Bq
O′ O a
3 mv 得 B 2aq 射出点坐标为（0， 3 a ）
v 60º
x
单边界磁场
练、如图，虚线上方存在磁感应强度为B的磁场， 一带正电的粒子质量m、电量q，若它以速度v沿与 虚线成300、900、1500、1800角分别射入， 1.请作出上述几种情况下粒子的轨迹 2.观察入射速度、出射速度与虚线夹角间的关系 3.求其在磁场中运动的时间。
高三物理 复习 专题20 带电粒子在磁场中的运动- 重要知识点、考点、方法总结 、讲义
一、带电粒子在有界磁场中的运动1．运动电荷所受的洛伦兹力．．．．方向始终与速度方向垂直，所以洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，洛伦兹力对带电粒子不做功．．．．．．．．．．．．。
2．带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入磁场，在匀强磁场中做匀速圆周运动。
3．洛伦兹力提供带电粒子做圆周运动所需的向心力。
由牛顿第二定律得2v qvB m R=，则粒子运动的轨道半径mv R qB =，运动周期2πm T qB =。
4．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，确定圆心和运动半径，画出粒子运动的轨迹。
⑴ 圆心．．的确定：画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的洛伦兹力的方向，两洛伦兹力延长线的交点即为圆心；或利用一根弦的中垂线，结合一点洛伦兹力的延长线作出圆心位置。
⑵ 半径．．的确定和计算：圆心确定以后，利用平面几何关系，求出该圆的半径。
⑶ 在磁场中运动时间．．．．的确定：用几何关系求出运动轨迹所对应的圆心角θ，由公式360t T θ=求出粒子在磁场中运动的时间。
【例1】 如图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t ，若加上磁感应强度为B 、垂直纸面向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出磁场时偏离原方向60︒，利用以上数据可求出下列物理量中的A ．带电粒子的比荷B ．带电粒子在磁场中运动的周期C ．带电粒子的初速度D ．带电粒子在磁场中运动的半径【答案】 A B【例2】 如图所示，圆柱形区域的横截面内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 。
一带电粒子（不计重力）以某一初速度沿截面直径方向射入时，穿过此区域所用的时间为t 。
又知粒子飞出此区域时速度方向偏转了60︒角，根据以上条件可求下列物理量中的A ．带电粒子的比荷B ．带电粒子的初速度C ．带电粒子在磁场中运动的周期D ．带电粒子在磁场中运动的半径【答案】 A C【例3】 在一个边界为等边三角形的区域内，存在着方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在磁场边界上的P 点处有一个粒子源，粒子源发出比荷相同的三个粒子a b c 、、（不计重力）沿同一方向进入磁场，三个粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。
带电粒子在有界磁场中的运动
带电粒子在有界磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动一直是物理界研究的热门话题之一。
当带电粒子在磁场中运动时，它会受到洛伦兹力的影响，这个力的方向垂直于磁场的方向和粒子的速度方向，并且它的大小与粒子电荷的大小、粒子运动速度和磁场强度有关。
在有界磁场中，带电粒子的运动会受到限制，并且会形成某些特定的运动轨迹，这些轨迹的特征与磁场的形状和强度有关。
以下是对有界磁场中带电粒子运动的探讨。
一、磁场的基本概念磁场是指由带电粒子或磁化物质产生的物理现象。
磁场的大小与磁场中带电粒子的数量、粒子的电荷和速度、以及磁场的强度和形状有关。
磁场有两个重要的特征：方向和大小。
磁场的方向是指磁场力线的方向，如果一个带电粒子在磁场中运动，则它会沿着磁场力线运动。
磁场的大小用磁感应强度或磁场强度来描述，这些量的单位是特斯拉（T）或高斯（G）。
二、带电粒子在磁场中的运动当带电粒子进入磁场中时，它会受到洛伦兹力的作用，这个力的大小与带电粒子的电荷和速度有关，方向垂直于磁场的方向和粒子的速度方向。
由于这个力的方向与带电粒子的速度方向垂直，所以带电粒子会在垂直磁场方向上产生一定的偏移，这个偏移的大小与带电粒子的速度和磁场强度有关。
如果带电粒子的速度和磁场方向垂直，则它会产生一个圆周运动。
在圆周运动中，带电粒子的速度保持不变，而其运动方向会随着磁场方向的改变而改变。
圆周运动的半径与带电粒子的速度和磁场强度有关，可以用以下公式来计算：r =mv/qB，其中，m是带电粒子的质量，v是带电粒子的速度，q 是带电粒子的电荷，B是磁场强度。
当速度和磁场方向不垂直时，则带电粒子会既在垂直于磁场的方向上运动，也在磁场方向上运动。
在这种情况下，带电粒子的轨迹可以用螺旋线来描述。
三、有界磁场中带电粒子的运动在有界磁场中，带电粒子的运动会受到磁场的限制。
在一个有限大小的磁场中，带电粒子不可能一直进行圆周运动或螺旋线运动。
带电粒子的轨迹将会在磁场边界处进行反射，在某些情况下，带电粒子的哪些轨迹是允许的，哪些轨迹是禁止的，这与磁场的形状和强度有关。
带电粒子在有界匀强磁场中的运动(学生版)-高中物理
带电粒子在有界匀强磁场中的运动考情探究1.高考真题考点分布题型考点考查考题统计选择题平行边界有界磁场问题2024年广西卷选择题四边形边界有界磁场问题2024年河北卷选择题圆形边界有界磁场问题2024年湖北卷2.命题规律及备考策略【命题规律】高考对带电粒子在有界磁场中的运动的考查较为频繁，以选择题和计算题中出现较多，选择题的难度一般较为简单，计算题的难度相对较大。
【备考策略】1.理解和掌握带电粒子在有界磁场中圆心和半径确定的方法。
2.能够在四种常见有界磁场和四种常见模型中处理带电粒子在磁场中的运动问题。
【命题预测】重点关注和熟练应用各种有界磁场的基本规律。
考点梳理一、洛伦兹力的大小和方向1.定义：运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。
2.大小(1)v∥B时，F=0。
(2)v⊥B时，F=qvB。
(3)v与B的夹角为θ时，F=qvB sinθ。
3.方向(1)判定方法：左手定则掌心--磁感线从掌心垂直进入。
四指--指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。
拇指--指向洛伦兹力的方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v。
即F垂直于B、v决定的平面。
(注意B和v可以有任意夹角)。
4.洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，只改变带电粒子速度的方向，洛伦兹力对带电粒子不做功。
二、带电粒子在匀强磁场中的运动1.若v∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动。
2.若v⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。
3.半径和周期公式(1)由qvB=m v2r，得r=mvqB。
(2)由v=2πrT，得T=2πmqB。
三、带电粒子在有界磁场中圆心、半径和时间的确定方法圆心的确定半径的确定时间的确定基本思路①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心利用平面几何知识求半径利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间①t=θ2πT；②t=Lv 图例说明P、M点速度垂线交点P点速度垂线与弦的垂直平分线交点某点的速度垂线与切点法线的交点常用解三角形法(如图)：R=Lsinθ或由R2=L2+(R-d)2求得R=L2+d22d(1)速度的偏转角φ等于AB所对的圆心角θ(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ=2α；φ>180°时，φ=360°-2α考点精讲考点一四类常见有界磁场考向1直线边界磁场直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)图甲中粒子在磁场中运动的时间t=T2=πmBq图乙中粒子在磁场中运动的时间t=1-θπT=1-θπ2πm Bq=2m(π-θ)Bq图丙中粒子在磁场中运动的时间t=θπT=2θmBq题型训练1.如图，在边界MN 上方足够大的空间内存在垂直纸面向外的匀强磁场。
专题 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），
从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板
Lv
射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则入射速
+q , m
B
度v应满足什么条件？
L 原因3.临界状态不唯一形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
原因1.磁场方向不确定形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
例2. 如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B。质量为
m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)，在xOy平面里经原点O射
入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60º角，
y
试分析计算：
B
带电粒子在磁场中运动时间多长？
60º v
原因2.带电粒子电性不确定形成多解
60º
O 120º
x
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
的原因？
O
例3.如图，长为L的水平不带电极板间有垂直纸
面向内的匀强磁场B，板间距离也为L，现有质
例4.如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反
的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿
∠CAD的平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电
荷量均为＋q，不计粒子重力。则粒子以下列
哪一速度发射时不能通过D点
qBl A. 4m
qBl B. 2m
√3qBl Cபைடு நூலகம் 4m
例1.如图所示，A点的粒子源在纸面内沿垂直OQ方向向上射出一束带负 电荷的粒子，粒子重力忽略不计.为把这束粒子约束在OP之下的区域， 可在∠POQ之间加垂直纸面的匀强磁场.已知OA间的距离为s，粒子比荷 为 q/m ，粒子运动的速率为v，OP与OQ间夹角为30°.则所加磁场的磁感 应强度B满足条件？
第一章专题1带电粒子在有界磁场中的运动
选择性必修二学案第一章安培力与洛伦兹专题1带电粒子在有界磁场中的运动新课标要求1.掌握几种常见有界磁场的特点。
2.会分析直线边界、圆形边界磁场中带电粒子的运动轨迹。
3.能利用几何知识求解圆周运动的半径。
4.会分析有界磁场中的临界问题。
重难点解读一、带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动1．有单平面边界的磁场问题从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。
带电粒子由边界上P点以如图所示方向进入磁场。
(1)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r≤d时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场。
(2)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r>d时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场。
【例1】（2022山东聊城重点高中质检）如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的足够宽<≤）的匀强磁场，磁感应强度为B。
在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0θπ以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。
则下列说法正确的是（）A. 若v 一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O 点越远B. 若v 一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短C. 若θ一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大D. 若θ一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 【答案】B 【解析】正粒子从磁场边界入射做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，有2v qvB m r=从而mv r qB=当θ为锐角时，画出正粒子运动轨迹如图所示由几何关系可知，入射点与出射点2sin 2sin mv Oa r qBθθ==而粒子在磁场的运动时间222()2m t T qBπθπθπ--== 与速度无关；当θ为钝角时，画出正粒子运动轨迹如图所示由几何关系入射点与出射点2sin()2sin mv Oa r qBπθθ-==而粒子在磁场中运动时间222()2m t T qBπθπθπ--== 与第一种情况相同，则若v 一定，θ越大，从时间公式可以看出运动时间越短； 若v 一定，θ为锐角越大时，则Oa 就越大，但θ为钝角越大时，由上式可以看出Oa 不一定越远，故A 错误，B 正确；由2v qvB mr v rω==，可得粒子运动的角速度qB m ω= 显然角速度与速度无关，故C 错误； 运动时间无论是锐角还是钝角，时间均为2()m t qBπθ-=与速度无关，即若θ一定，无论v 大小如何，则粒子在磁场中运动的时间都保持不变，故D 错误。
高中物理：专题1《带电粒子在有界磁场中的运动》
专题1：带电粒子在有界磁场中的运动1.如图甲所示，有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角．已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B1、B2，B1与B2的比值为 ( )A.2cosθB.sinθC.cosθD.tanθ2.(多选)如下图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场．在边长为2R的正方形区域里也有匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相同．两个相同的带电粒子以相同的速率分别从M、N两点射入匀强磁场．在M点射入的带电粒子，其速度方向指向圆心；在N点射入的带电粒子，速度方向与边界垂直，且N点为正方形边长的中点，则下列说法正确的是( )A.带电粒子在磁场中飞行的时间可能相同B.从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场C.从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场D.从N点射入的带电粒子不可能比M点射入的带电粒子先飞出磁场3.（多选）如右图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则( )A.从P射出的粒子速度大B.从Q射出的粒子速度大C.从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长D.两粒子在磁场中运动的时间一样长4.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和2a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一电子以速率v沿半径方向射入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使电子不能进入内部无磁场区域，磁场的磁感应强度B最小为( )A.mvae B.2mv3aeC.mv3aeD.mv2ae5.（多选）如图L1和L2为两平行的虚线，L1上方和L2下方都是垂直纸面向里的磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上．带电粒子从A点以初速v斜向上与L2成30°角射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力影响，下列说法中正确的是（）A.该粒子一定带正电B.带电粒子经过B点时速度一定与在A点时速度相同C.若将带电粒子在A点时初速度变大（方向不变），它仍能经过B点D.若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L2成45°角斜向上，它仍能经过B点6.如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B .一个质量为m 、电荷量为＋q 的带电粒子从b 点沿ba 方向射入磁场，粒子恰好能通过c 点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为（ ） A.qBL m B.2qBL 2m C.2－1qBL m D.2＋1qBL m7.（多选）如图所示，A 点的离子源沿纸面垂直OQ 方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O 、A 两点间的距离为s ，负离子的比荷为q m ，速率为v ，OP 与OQ 间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B 的大小和方向可能是( )A.B >mv 3qs ，垂直纸面向里B.B >mvqs ，垂直纸面向里 C.B >mv qs ，垂直纸面向外 D.B >3mv qs，垂直纸面向外 8.如图所示，边长为L 的等边三角形区域ACD 内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B 、方向分别垂直纸面向里、向外。
专题57 带电粒子在磁场中的运动(解析版)
2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题57 带电粒子在磁场中的运动导练目标 导练内容目标1 洛伦兹力的大小方向 目标2 带电粒子在有界磁场中的运动 目标3带电粒子在磁场中运动的多解问题一、洛伦兹力的大小方向 1.洛伦兹力的大小和周期（1）大小：qvB F =（v B ⊥）；（2）向心力公式：rmv qvB 2=；（3）周期：22r m T v qB ππ== 2.洛伦兹力的特点(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力永不做功。
3.洛伦兹力的方向 (1)判断方法：左手定则(2)方向特点：洛伦兹力的方向一定与粒子速度方向和磁感应强度方向所决定的平面垂直(B 与v 可以有任意夹角)。
注意：由左手定则判断洛伦兹力方向时，四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。
【例1】如图所示，光滑的水平桌面处于匀强磁场中，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B ；在桌面上放有内壁光滑、长为L 的试管，底部有质量为m 、带电量为q 的小球，试管在水平向右的拉力作用下以速度v 向右做匀速直线运动（拉力与试管壁始终垂直），带电小球能从试管口处飞出，关于带电小球及其在离开试管前的运动，下列说法中正确的是（ ）A ．小球带负电，且轨迹为抛物线B ．小球运动到试管中点时，水平拉力的大小应增大至qvBLqBmC ．洛伦兹力对小球做正功D ．对小球在管中运动全过程，拉力对试管做正功，大小为qvBL 【答案】BD【详解】A ．小球能从试管口处飞出，说明小球受到指向试管口的洛伦兹力，根据左手定则判断，小球带正电；小球沿试管方向受到洛伦兹力的分力y F qvB =恒定，小球运动的轨迹是一条抛物线，故A 错误；B ．由于小球相对试管做匀加速直线运动，会受到与试管垂直且向左的洛，则拉力应增大伦兹力的分力x y F qv B =小球运动到中点时沿管速度为22y qvB L v m =⨯qvBL F m=持匀速运动，故B 正确；C ．沿管与垂直于管洛伦兹力的分力合成得到的实际洛伦兹力总是与速度方向垂直，不做功，故C 错误；D ．对试管、小球组成的系统，拉力做功的效果就是增加小球的动能，由功能关系F k W E qvBL =∆=故D 正确；故选BD 。
专题：带电粒子在有界磁场中的运动
mm
qU 1 mv2 2
U 2qB2R2 m
600
r
O2
磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ，为了使电子能从磁场
的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是：
Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ） Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ） Ｃ.v＞ eBd/msinθ Ｄ.v＜ eBd/mcosθ
d r(1 cos )
C
EB
． v θO
B
D
F
qvB m v2 r
思考：求电子在磁场中运动的 最长时间是多长？
专题：带电粒子在有界 磁场的运动
双边界磁场（一定宽度的无限长磁场）
例、一正离子,电量为q ,质量为m， 垂直射入磁感应强度为B、宽度为d
的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向 与其原来入射方向的夹角是30°，
d
v
30°
v
（1）离子的运动半径是多少？
θ
（2）离子射入磁场时速度是多少？ O
（3）穿越磁场的时间又是多少？
2
O’
PB
qB
Bq
⑵ 2 vt vt Bq t
r mv m
S
qB
或 t 2 2m 2m 2 qB qB
qB t
2m
3．如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、 负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m,电荷为e），它们从磁场中射 出时相距多远？射出的时间差是多少？
①速度较小时粒子作部分圆周运动
后从原边界飞出；②速度在某一范
围内从侧面边界飞；③速度较大时
粒子作部分圆周运动从另一侧面边
界飞出。
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
第3课时---专题---带电粒子在磁场中运动问题特例省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
解析：设垂直纸面对里旳磁场方向为正方向
(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝
①
做匀速圆周运动旳周期T0＝
②
联立①②两式得磁感应强度B0＝
.
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0旳方向应如右图所示，两板之间 正离子只运动一种周期即T0时，有R＝ .当两板之间正离子运动n个周期即nT0时， 有R＝ (n＝1,2,3…)．
(3)如图所示，θ＝ (n＝2、3、4、…)
r＝Rtan θ，v0＝
(n＝2、3、4、…)．
答案：(1)
(2)
(3)
(n＝2、3、4、…)
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假若放射源所放出旳是质量为m、电荷量为q旳带正电旳粒子，且全部旳粒子速 率都是v，M与放射源旳出口在同一水平面上，底片MN竖直放置，底片MN长为 L.为了实现上述目旳，我们必须在P旳出口处放置一有界匀强磁场．求： (1)匀强磁场旳方向； (2)画出所需最小有界匀强磁场旳区域，并用阴影表达； (3)匀强磁场旳磁感应强度B旳大小以及最小有界匀强磁场旳面积S.
2.
图11－3－3 如图11－3－3甲中所示，M、N为竖直放置彼此平行旳两块平板，板间距离为 d，两板中央各有一种小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向旳磁 场，磁感应强度随时间旳变化如图11－3－3乙所示．有一束正离子在t＝0时垂 直于M板从小孔O射入磁场．
已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动旳周期与 磁感应强度变化旳周期都为T0，不考虑因为磁场变化而产生旳电场旳影响，不计 离子所受重力．求：
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专题 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 一.思路方法:明确洛仑兹力提供作匀速圆周运动的向心力 关健：画出运动轨迹图（规范画图,
才有可能找准几何关系）。
物理规律方程:向心力由洛伦兹力提供q Ｂ v = m R v 2
T = v
R 2π = qB
m 2π 1、找圆心:（圆心的确定）因f 洛一定指向圆心，f 洛⊥v
①任意两个f 洛的指向交点为圆心；
②任意一弦的中垂线一定过圆心;
③两速度方向夹角的角平分线一定过圆心。
2、求半径：①由物理规律求:q Ｂ v = ｍR v 2 ⇒ R =qB
mv ; ②由图得出的几何关系式求 几何关系：速度的偏向角ϕ=偏转圆弧所对应的圆心角(回旋角）α=2倍的弦切角θ;
相对的弦切角相等,相邻弦切角互补；
３、求粒子的运动时间： T t ⨯=)360(2)(0或回旋角圆心角π
4、圆周运动有关的对称规律：
ａ、从同一边界射入的粒子,又从同一边界射出时,速度与边界的夹角相等。
b 、在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，一定沿径向射出。
５、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题
2ω
=θ=α=ϕ
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（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v 一定时,弧长（或弦长)越长，圆周角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. 三．当堂训练:
1. 如图１所示，一束电子(电量e)以速度0V 垂直射入磁感应强度B,宽度d 的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与电子原来的入射方向夹角为3０°，则电子的质量为_＿______在磁场中的运动时间是_＿__＿___。
ﻩ
图1
2.如图所示，在ｙ<0的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于xOy 平面并指向纸面外,磁感应强度为Ｂ,一带正电的粒子以速度v ０从O 点射入磁场，入射方向在xO ｙ平面内，与x 轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O 点距离为L ,求该粒子的电量和质量之比q ／ｍ.
3.如图所示，在x 轴上方有垂直于ｘy 平面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度为B .在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，场强为E .一质量为m 、电量为-q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出,射出之后,第三次到达x 轴时,它与点O 的距离为L
，求此粒子射出时的速度v 和运动的总路程s （重力不计).
４. 如图所示，一带正电的质子从O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场,已知两板之间距d N M
O
离为d,板长为d，Ｏ点是板的正中间,为使粒子能射出两板间，试求磁感应强度B的大小(质子的带电量为e，质量为m)。
5. 如图8所示，一足够长的矩形区域abｃd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,现从矩形区域ａd边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ａd边夹角为30°、大小为0v的带电粒子。
已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为l，重力影响不计。
(1)试求粒子能从ａb边射出磁场的0v值。
（2)在满足粒子从ab边射出磁场的条件下，粒子在磁场中运动的最长时间是多少?
6．如图所示，在一个圆形区域内,两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A４与A1A3的夹角为6０°.一质量为m、带电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与Ａ1A３成30°角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂直于Ａ2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区,最后再从A4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t,求:
(１)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹;
（2)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨道半径R1和R２的比值;
(3)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力）．
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