专题强化练5 圆的方程及其应用
第六章专题强化水平面内的圆周运动的临界问题
专题强化水平面内的圆周运动的临界问题[学习目标] 1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件(重点)。
2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
1．水平面内的圆周运动常见的临界问题：(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。
(4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
2．解题关键：(1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
(2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
例1如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。
当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()A．A的向心加速度最大B．B和C所受摩擦力大小相等C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动答案C解析A、B、C三物体角速度相同，a n＝ω2r，则物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，F fB＝mω2R，F fC＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，，故滑动的临界角速度与质量无关，选项B错误；物体恰好滑动时，kmg＝mω2r，ω＝kgrr越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，A、B同时滑动，选项C正确，D错误。
例2如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(重力加速度为g)(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；(2)当角速度为3μg2r时，绳子对物体拉力的大小。
圆系方程及其应用2012.10.11
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦AB 的垂直平分线上；（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22D aE b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222D aE b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆心都在直线CA 上．3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．可知，圆心1212(,)2(1)2(1)D DE E M λλλλ++--++, 121211212111()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)D DE E D E D D E E C M OM OC λλλλλλλλ++--=-=-----=--++++ 22112112[(,)(,)]()1222211D E D E OC OC C C λλλλλλ=-----=-=+++ 因此，点12,,M C C 共线，即圆系的所有圆的圆心M 都在已知两圆的连心线12C C 上．（1）当圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点时，则12AB C C ⊥（即连心线与公共弦垂直），且弦AB 为所有圆的公共弦；（2）当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，则M 在过切点A 的连心线12C C 上，圆系的所有圆都与已知的圆1C 及圆2C 在点A 处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆222222:+0C x y D x E y F +++=；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=（3）特别地，当1λ=-时，上述方程()121212()()()0*D D x E E y F F -+-+-=称为根轴方程． 根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆1C 与圆2C 于,A B 两点时，方程(*)表示公共弦AB 所在直线的方程；②当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，方程(*)表示过（内或外）公切点A 的公切线方程．这时，除点A 外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆22320x y x y ++--=和2233210x y x y ++++=交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：()22223233210x y x y x y x y λ++--+++++= ∵点()0,0在所求的圆上，将0x y ==代入，得20λ-+=，解得2λ=故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
圆的方程及其应用
例1、已知点M与两个定点O（0，0）、A（3，0） 1 的距离比是 ， 2 （1）求M的轨迹方程；
延伸：已知点M与两个定点O（0，0）、A（3，0） 的距离比是（ 0)，求M的轨迹方程
（2）平面上有两个点B（-1，0）、C（1，0）， 在M的轨迹上取一点P， 求使得 BP CP 取得最小值时点P的坐标。
Hale Waihona Puke 2 2练习：（1）等腰三角形的顶点A的坐标是（4，2）， 底边一个端点B的坐标是（3，5），求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形。
（2）已知AB是 o的直径， AB 2a，点M 为 圆上的一动点，做MN AB，垂足为N，在OM 上取点P，使得 OP MN ，求点P的轨迹。
（3） 圆x y 4 x 2 y c 0与y轴交于A、B两点，
2 2
圆心为P，若APB=90，求c的值。
（4）已知x y 4 x 2 y 4 0, 则x y 的最大值_______,
2 2 2 2
最小值________.
作业
• 书Ｐ１３５ Ｂ组Ｔ２ • 作业本Ｂ本Ｐ６９
专题2.12一元一次方程的应用大题专练(培优强化30题)
2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.12一元一次方程的应用大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2022·江苏·七年级单元测试）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？2．（2022·江苏南通·七年级期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，设有x名工人生产螺母，剩下的工人生产螺钉．(1)每天可生产螺母个、螺钉个；（用含x的代数式表示）(2)若1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉与螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？3．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？4．（2022·江苏扬州·七年级期末）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每人每小时生产疫苗500剂，但受某些因素影响，某车间有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，该车间其余工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天能完成预定任务．(1)求该车间当前参加生产的工人有多少人；(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该车间共780万剂的生产任务，问该车间还需要多少天才能完成任务．5．（2022·江苏扬州·二模）为迎接科技活动节，甲、乙两个社团承接制作彩旗的任务．已知甲社团比乙社团每小时少制作12面彩旗，甲社团制作120面彩旗所用的时间与乙社团制作150面彩旗所用的时间相等．(1)甲、乙两个社团每小时各制作多少面彩旗？(2)现在需要制作一批彩旗，已知甲社团单独完成比乙社团单独完成多用1个小时，那么甲、乙两个社团同时合作，______________小时可完成．（直接写答案）6．（2022·江苏·七年级单元测试）某校为承办县初中学校内涵建设，需制作一块活动展板，请来师徒两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天．(1)两个人合作需要多少天完成？(2)现由徒弟先做1天，师徒两人再合作完成这项工作，问：徒弟共做了几天？7．（2020·江苏·滨海县第一初级中学七年级阶段练习）某市要对水利工程进行改造，甲队单独做这项工程需要10天完成，乙队单独需要做这项工程需要15天完成．(1)甲的工作效率是__________，乙的工作效率是__________．(2)如果两队同时施工2天，然后由乙队单独施工，还需几天完成？8．（2022·江苏·七年级专题练习）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？9．（2021·江苏苏州·七年级阶段练习）超市先后两次共进货板栗1000kg，进货价依次为10元/kg和8元/kg，第二次比第一次多付款800元．（利润＝销售总收入﹣进货总成本）(1)该超市这两次购进的板栗分别是多少kg？(2)超市对这1000kg板栗以14元/kg的标价销售了700kg后，把剩下的板栗全部打折售出，合计获得利润不少于4570元，问超市对剩下的板栗至多打几折销售？10．（2022·江苏南京·七年级期末）小明去买纸杯蛋糕，售货员阿姨说：“一个纸杯蛋糕12元，如果你明天来多买一个，可以参加打九折活动，总费用比今天便宜24元．”问：小明今天计划买多少个纸杯蛋糕？若设小明今天计划买x个纸杯蛋糕，请你根据题意把表格补充完整，并列方程解答．单价数量总价今天12x明天11．（2022·江苏·七年级单元测试）进入五月份，樱桃开始上市，某水果商从批发市场用12000元购进了大樱桃和小樱桃各300千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．(1)求大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？(2)若大樱桃售价为每千克40元，要想樱桃全部销完后，该水果商获得的利润为3600元，则小樱桃的售价应为每千克多少元？12．（2021·江苏·东海县驼峰中学七年级阶段练习）某水果店以5元/千克的价格购进一批橙子，很快售罄，该店又再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了2元，两次一共购进600千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的1.2倍．(1)该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？(2)售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价a%进行定价，第二批橙子因为进价便宜，因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有5%的橙子变质不能出售，在第二批橙子中有10%的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利2102元，求a的值．13．（2022·江苏·连云港市新海初级中学七年级期末）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售数量销售时段销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入−进货成本）(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．14．（2023·江苏·七年级专题练习）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下：(1)降价前每件衬衫的利润率为多少？(2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？15．（2022·江苏泰州·七年级期末）某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价）甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？16．（2022·江苏泰州·七年级期末）某服装连锁品牌线下门店对某一服装进行降价销售，______________，求出该服装的进价．（从下面3个信息中选择一个，补充完整题目，并完成解答：①按进价提高50%标价，再以8折出售，获利28元；②标价210元，以8折出售，售价比进价高20%；③标价210元，让利42元销售，利润率为20%）解：你的选择是______________（填序号）17．（2022·江苏南京·七年级期末）某单位计划“双12期间”购进一批手写板，网上某店铺的标价为900元/台，优惠活动如下：销售量单价不超过10台的部分每台立减140元超过10台但不超过20台的部分每台立减220元超过20台的部分每台立减300元(1)①若该单位购买了16台这种手写板，花了元；②若该单位购买了x（x＞20）这种手写板，花了元；（用含x的代数式表示）(2)若该单位购买的这种手写板均价为696元，求他们购买的数量．18．（2022·江苏·七年级期中）春节将至，安州区两大商场均推出优惠活动：①商场一：全场购物每满100元返30元现金（不足100元不返）；②商场二：所有的商品均按8折销售．某同学在两家商场发现：他看中的运动服的单价相同，书包的单价也相同，这两件商品的单价之和为470元，且运动服的单价是书包的单价的8倍少25元．(1)根据以上信息，求运动服和书包的单价．(2)该同学要购买这两件商品，请你帮他设计出最佳的购买方案，并求出他所要付的费用．19．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期中）“双11”天猫商城推出各种优惠活动进行促销．今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条，店铺在活动期间分别给予以下优惠：A店铺：“双11”当天购买可以享受8折优惠；B店铺：商品每满1000元可使用店铺优惠券80元．同时每满500元可使用商城双11购物津贴券50元，同时“双11”当天购买还可立减100元．(例如：购买2条被子需支付1000×2−80×2−50×4−100=1540元)．(1)若张阿姨想在“双11”当天购买4条被子，她选择哪家店铺购买?请说明理由；(2)若张阿姨在“双11”当天购买a条被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺购买的费用；(3)张阿姨在双11当天购买几条被子，两家店铺的费用相同?20．（2023·江苏·七年级专题练习）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购买超过50元后，超过50元的部分按95%收费．设累计购物x元．(1)若x＝80，顾客到______商场购物花费少．（填“甲”或“乙”）(2)当x＞100时．①顾客到甲商场购物，花费______元，到乙商场购物，花费______元．（用含x的式子表示）②顾客到哪家商场购物花费少？21．（2022·江苏·七年级专题练习）某次篮球联赛部分积分如下：比赛场队名胜场负场积分次A1410434B147728C1441022据表格提供的信息解答下列问题：（1）胜一场、负一场各积多少分？（2）某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由．22．（2021·江苏南京·七年级期末）2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”．2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以3−0或者3−1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3−2取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如表所示．（1）中国队11场胜场中只有一场以3−2取胜，请将中国队的总积分填在表格中，（2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见表格，求巴西队胜场的场数．名次球队场次胜场负场总积分1中国11110________2美国11101283俄罗斯1183234巴西112123．（2022·江苏江苏·七年级期中）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+9|+(b−5)2=0．(1)a = ；b = ；(2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．①几秒时，点P与点Q距离2个单位长度?②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n(n>3)个单位长度．记点P与点R之间的距离为PR，点A与点Q之间的距离为AQ，点O与点R之间+AQ的值是定值?的距离为OR．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，7PR−4OR3若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由．24．（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校七年级期中）阅读理解：M、N、P为数轴上三点，若点P到M的距离是点P 到N 的距离的k (k >0)倍，即满足PM =k ⋅PN 时，则称点P 关于M 、N 的“相对关系值”为k ．例如，当点M 、N 、P 表示的数分别为0、2、3时，PM =3PN ，则称点P 关于M 、N 的“相对关系值”为3；PN =12MN ，则称点N 关于P 、M 的“相对关系值”为12．如图，点A 、B 、C 、D 在数轴上，它们所表示的数分别为-1、2、6、-6．(1)原点O 关于A 、B 的“相对关系值”为a ，原点O 关于B 、A 的“相对关系值”为b ，则a =______；b =______．(2)点E 为数轴上一动点，点E 所表示的数为x ，若x 满足|x +3|+|x−2|=5，且点E 关于C 、D 的“相对关系值”为k ，则k 的取值范围是______；(3)点F 从点B 出发，以每秒1个单位的速度向左运动，设运动时间为t (t >0)秒，当经过t 秒时，C 、D 、F 三点中恰有一个点关于另外两点的“相对关系值”为2，求t 的值．25．（2022·江苏·锡中匡村实验学校七年级期中）已知数轴上A ，B 两点表示的有理数分别为a ，b ，且(a−1)2+|b +2|=0．(1)求a ，b 的值；(2)点C 在数轴上表示的数是c ，且与A 、B 两点的距离和为11，求c 值；(3)小蜗牛甲以1个单位长/秒的速度从点B 出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3秒后位于点A 的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D 点相遇，则点D 表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？26．（2022·江苏·七年级专题练习）某粮库原有大米132吨，一周内该粮库大米的进出情况如表：（运进大米记作“+”，运出大米记作“﹣”）．某粮库大米一周进出情况表（单位：吨）星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日﹣32+26﹣23﹣16m +42﹣21(1)若经过这一周，该粮库存有大米88吨，求m 的值，并说明星期五该粮库是运进还是运出大米，运进或运出大米多少吨？(2)若大米进出库的装卸费用为每吨25元，求这一周该粮库需要支付的装卸总费用．27．（2022·江苏盐城·七年级期末）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？【分析】（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程_____________（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程_____________请你从上述两种方法中任选一种继续解决问题．28．（2022·江苏·七年级专题练习）某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，那么(1)如果某户居民在某月用水x立方米，且x≤20，则所交水费为 ；(2)如果某户居民在某月用水x立方米，且x＞20，则所交水费为 元；(3)如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，设这户居民这个月共用了x立方米的水，请写出x的范围，并列出方程．29．（2022·江苏扬州·七年级期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源.某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图．(1)若某户居民1月份用水8 m3，则水费元；(2)若某户居民某月用水x m3，则用含x的代数式表示水费；(3)若某户居民3、4月份共用水15 m3，（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？30．（2021·江苏·常州实验初中七年级期中）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体体收费标准见下表：每户每月用水量水的价格（单位：元/吨）不超过20吨的部分 1.6超过20吨且不超过30吨的部分 2.4超过30吨的部分 3.3例：某用户1月份用水25吨，应缴水费1.6×20+2.4×（25﹣20）＝44（元）．(1)若张红家5月份用水量为10吨，则该月需缴交水费元；(2)若张红家6月份缴交水费62.6元，则该月用水量为吨；(3)若张红家7月份用水量为a吨（a＞30），请计算该月需缴交水费多少元？（用含a的代数式表示）。
高考数学复习知识点专题强化训练47 直线与圆、圆与圆的位置关系
高考数学复习知识点专题强化训练专题(四十七) 直线与圆、圆与圆的位置关系A级——夯基保分练1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能解析：选C 直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．2．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0解析：选B 由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.3．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选D 由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1.4．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )A．3 B．4C．2 3 D．8解析：选B 连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝55，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝25×55＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故选B.5．(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )A. 6B.5C．－ 6 D．－5解析：选BD 因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝±5，故选B 、D.6．(多选)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．10解析：选AD 圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72的圆心C 的坐标为(3,3)，半径r ＝62， 因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为22， 则有d ＝|6－m |1＋1＝22，解得m ＝2或10，故选A 、D.7．(2020·湖南长沙月考)设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，C 为圆心，且△ABC 的面积等于4，则实数m ＝________.解析：设CA ，CB 的夹角为θ，圆的半径为r .所以S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，得θ＝π2.易知圆心C 到直线l 的距离为2，所以|4m －1|m －12＋2m ＋12＝2，解得m＝－12或－72.答案：－12或－728．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是__________________．解析：依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P (0,1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.故圆心为C (1,0)，半径为r ＝2.则易知定点P (0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC ⊥l 时，直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝09．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心坐标为(a,0)(a >0)， 则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2， 解得a ＝3或－1(舍去)， 故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上， 所以3＋0＋m ＝0， 解得m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝010．(一题两空)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，则此时切线l 的方程为____________； (2)满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程为____________． 解析：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ， 当l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0，则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0. 答案：(1)x ＝1或3x ＋4y －15＝0 (2)2x －4y ＋1＝011．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ―→·ON ―→＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点， 所以|2k －3＋1|1＋k 2＜1.解得4－73＜k ＜4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k 2＋8.由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.12．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． 解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ，∴半径r ＝|OC |.∵|OC |2＝t 2＋4t2，∴设圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2.令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t,0)． 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t .∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.B 级——提能综合练13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选AB 圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，则圆心为C (2,0)，半径R ＝2.设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PACB 为正方形，故有PC ＝2R ＝22，∴圆心到直线y ＝k (x ＋1)的距离小于或等于PC ＝22， 即|2k －0＋k |k 2＋1≤22，解得k 2≤8，可得－22≤k ≤22， ∴实数k 的取值可以是1,2.故选A 、B.14．(2020·河南洛阳二模)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD ―→＝5DB ―→，则r ＝________.解析：如图，过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE |＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE |＝|EB |， 不妨令|AD |＝5m (m >0)， 由3AD ―→＝5DB ―→可得 |BD |＝3 m ，|AB |＝8m ， 则|DE |＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2，①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m )2，②联立①②，解得r ＝10.答案：1015．已知圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，174，B ⎝⎛⎭⎪⎫－318，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥OQ .(1)求圆C 的方程； (2)求直线l 的方程．解：(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．因为圆C 经过A ，B 两点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫338－b 2， 即716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－334b ＋b 2，解得b ＝4. 则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－42＝12，所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝12.(2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±22，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不妨设P 点在Q 点的上方，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则OP ―→·OQ ―→＝0，所以OP ⊥OQ ，满足题意．当直线l 的斜率存在时，易知其斜率不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线l 的方程与圆C 1的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， 则Δ＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－1)＝4(k 2－m 2＋1)＞0， 即1＋k 2＞m 2，则x 1＋x 2＝－2km 1＋k 2，x 1x 2＝m 2－11＋k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2m 2－11＋k 2－2k 2m 21＋k2＋m 2＝m 2－k 21＋k 2， 又OP ⊥OQ ，所以OP ―→·OQ ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－11＋k 2＋m 2－k 21＋k 2＝0，故2m 2＝1＋k 2，满足Δ＞0，符合题意．因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆C ：x 2＋(y －4)2＝12相切，所以圆心C (0,4)到直线l 的距离d ＝|m －4|1＋k 2＝22，即m 2－8m ＋16＝1＋k22，故m 2－8m ＋16＝m 2，得m ＝2，故1＋k 2＝8，得k ＝±7.故直线l 的方程为y ＝±7x ＋2.综上，直线l 的方程为x ＝±22或y ＝±7x ＋2. C 级——拔高创新练16．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a ＞－52.则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，则k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，亦即2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
参数方程的概念与圆的参数方程课件
题型二 圆的参数方程及其应用
【例2】 圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝ |BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值． [思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值． 解 以AB所在直线为x轴，以线段 AB的中点为原点建立平面直角坐标 系．
解 (1)由题意可知有1a＋ t2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消 去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和 利用三角恒等式消参法两种．
为参数)
1．曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标 变量x、y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有 相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意 义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定 一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点， 反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的 相应的允许取值．
3．圆的参数方程中参数的理解
在圆的参数方程中，设点 M 绕点 O 转动的角速度为ω(ω
为常数)转动的某一时刻为 t，因此取时刻 t 为参数可
得圆的参数方程为：yx＝＝rrscions
ωt， ωt (t
为参数)，此时参数
t 表示时间．
若以 OM 转过的角度 θ(∠M0OM＝θ)为参数，可得圆的参
二元一次方程组的应用12大类型大题专练-2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍人教版
2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.10二元一次方程组的应用12大类型大题专练（培优强化48道）类型一、和差倍分问题，从乙库运出存粮的40％，那么乙库所余粮食是甲库1．若甲、乙两库共存粮95吨，现从甲库运出存粮的23的2倍，问甲、乙两库原来各有多少吨粮食？2．近年来，妇女权益得到有力保障，参加养老保险（即城镇职工养老保险和城乡居民养老保险）的妇女人数越来越多，2022年某地区参加养老保险的妇女共有165万人，比2010年增加120万人，其中参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别是2010年的1.5倍和8倍，分别求2022年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的妇女人数．3．学校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．求大、小两种垃圾桶的单价．4．疫情防控常态化后，核酸检测进入校园．某校一次核酸检测时，发现操场上恰有100个同学排成甲、乙两队，且甲队人数是乙队的2倍多7人，求甲、乙两队的学生数．类型二、分配问题5．小明在某商店购买商品A，共三次，只有其中一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示：购买商品A的数量/个购买商品B的数量/个购买总费用/元第一次购物651140第二次购物371110第三次购物981062(1)在这三次购物中，第次购物打了折扣；(2)求出商品A、B的标价；6．张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）．(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）7．某工厂车间采用智能数字机床生产纸杯和杯盖，已知一台机床每小时平均可以生产纸杯600个或者生产杯盖800个，车间共有14台机床，应怎样分配机床，才能使每小时生产的杯身和杯盖正好配套？8．某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车．(1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？(2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？类型三、行程问题9．某人从吉林驱车赶往长春共用2小时，吉林至长春全程为120km，全程分为公路和市区道路两部分，在公路上行驶的平均速度为80km/h，在市区道路上行驶的平均速度为40km/h．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下：甲：{x+y=120x80+y40=□乙：{80x+40y==(1)请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组；(2)求这个人在公路上驱车行驶的时间．10．已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A 两地．两车均先以a千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．(1)若b=32a，且甲车行驶的总时间为54小时，求a和b的值；(2)若b−a=30，且乙车行驶的总时间为85小时．①求a和b的值；②求两车相遇时，离A地多少千米．11．A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍．(1)求甲、乙每小时各行多少千米？(2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？12．小红家离学校1400米．其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？类型四、工程问题13．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．(1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为．(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？(3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．14．甲、乙、丙三人完成一项工程，其中甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的13，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的14、已知甲、乙合作完成这项工作需要8天，则甲、丙合作完成这项工作需要多少天？15．某建筑公司有A、B两个工程队，先后接力完成河边道路整治任务，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时25天．(1)若这段河边道路长为300米，根据题意甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：{x+y=15x+=乙：{x+y=x15+y10=根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你在下列选项中选出未知数x，y表示的意义，A．A的工作天数B．B的工作天数C．A的工作量D．B的工作量E．A的工作效率F．B的工作效率甲：x表示______，y表示______；乙：x表示______，y表示______；(2)在（1）的条件下，求A、B两工程队分别整治河道多少米？(3)若A工程队工作一天的费用是0.6万元，B工程队工作一天的费用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，A工程队至少工作多少天？16．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？类型五、销售问题17．列方程组解应用题：为了丰富学生的课外体育活动，八年级2班需要购买排球和跳绳，根据下列对话，求出肖雨所购买的排球和跳绳的单价．18．儿童节来临之际，重庆沁园食品有限公司推出了“纯享七星伴月糕点”礼盒，由一个香草冰淇淋口味的明月月饼和七款明星小饼干组成，明月月饼口味不可选择，但明星小饼干的口味可以自由搭配．(1)现有A、B两种礼盒的“纯享七星伴月糕点”，五月份礼盒上市，经经销商初步定价，买6个A礼盒的钱刚好可以购买5个B礼盒；购买3个A礼盒的花费比购买2个B礼盒多210元．求A、B两种礼盒的售价．(2)在第一问的基础上，六月份，该经销商将两种礼盒的月饼进行促销：A礼盒每盒售价打九折销售，B礼盒，B礼盒全部售卖完，但卖出去的B礼盒的每盒售价直接降价m元，结果六月份售卖结束，A礼盒还剩余了116数量为A礼盒总数量的15，经销商决定将剩余的A礼盒赠送给自己的员工作为福利；已知每盒A礼盒成本价为32250元，每盒B礼盒的成本价为300元，六月份销售结束，该经销商的利润为20%，求m的值．19．五一节前，某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．(1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？20．某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球，第一批购买了这两种品牌篮球各40个，共花费了7200元．全部销售完后，商家打算再购进一批这两种品牌的篮球，最终第二批购进50个A品牌篮球和30个B品牌篮球共花费了7400元．两次购进A、B两种篮球进价保持不变．(1)求A、B两种品牌篮球进价各为多少元一个；(2)第二批次篮球在销售过程中，A品牌篮球每个原售价为140元，售出40个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的A品牌篮球；B品牌篮球每个按进价加价30%销售，很快全部售出．已知第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，求A品牌篮球打几折出售？类型六、方案问题21．面对当前疫情形势，某工厂迅速反应，研发出两种新型口罩和消毒液．已知1平方米甲型布料可以制成20个A型口罩和10个B型口罩．1平方米乙型布料可以制成10个A型口罩和20个B型口罩，现需要制作1500个A型口罩和1800个B型口罩．为了支援某灾区，现有消毒液19吨．计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，一次运完，甲型车一次满载2吨，乙型车一次满载3吨，且恰好每辆车都载满消毒液．根据以上信息，解答下列问题：(1)恰好需要甲，乙布料各多少平方米？(2)在运送消毒液时，请你设计所有可能的租车方案．22．某商场计划拨款9万元购进50台电视机．已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元．(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，问有多少种不同的进货方案？并写出这些方案．(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在第（1）小题的几个方案中，为使销售时获得利润最多，你选择哪种方案？并说明理由．23．请根据图中提供的信息，回答下列问题．(1)KN95型口罩与普通医用口罩的单价分别是多少元？(2)甲、乙两家药店同时出售同样的KN95型口罩与普通医用口罩．5月，两家药店开展促销活动．甲药店规定：这两种口罩都打九折．乙药店规定：买一个KN95型口罩赠送一个普通医用口罩．若某家庭想要买20个KN95型口罩和50个普通医用口罩，请问选择哪家药店购买更合算，并说明理由．24．元旦期间，七（1）班明明等同学随家长一同到某景区游玩，该景区门票价格规定如图：(1)明明他们一共12人，分别按成人和学生购票，共需550元，求他们一共去了几个成人，几个学生？(2)购完票后，明明发现，如果购团体票更省钱，正在此时，七（2）班涛涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来购票，请你为七（2）班设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．类型七、年龄问题25．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．26．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？27．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．28．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？类型八、数字问题29．我们知道：如果mx+n=0，其中m，n为有理数，x为无理数，那么m=0且n=0．(1)如果(a−3)√2+b+2=0，其中a，b为有理数，那么a=_______，b=________．(2)若x，y均为有理数，并且满足x2+2y+√2y=17−4√2，求x−2y的值．30．小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！31．有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数．32．有一个两位数，个位上的数比十位上的数的3倍多2，若把个位数与十位数对调，所得新的两位数比原来的两位数的3倍少2，求原来的两位数．类型九、几何问题33．如图，用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的面积是多少平方厘米？34．小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1mm 的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？35．在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是多少？36．某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成全等的9块小长方形，如图所示，小长方形的长和宽各是多少米？类型十、图表信息问题37．疫情期间，某人要将一批抗疫物资从海口运往东方，准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车、已知过去两次租用这两种货车（均装满货物）的情况如表：甲种货车（辆）乙种资车（辆）总量（吨）第一次4531第二次3630问甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？38．某山区有23名中、小学生因贫困失学需要资助，已知资助一名中学生的学习费用为a元，资助一名小学生的学习费用为b元．某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好资助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：年级捐款数额（元）资助贫困中学生人数（名）资助贫困小学生人数（名）初一年400024级初二年420033级初三年7400级(1)求a、b的值；(2)初三年级学生的捐款恰好解决了其余贫困中小学生的学习费用，求初三年级学生的捐款可资助的贫困中、小学生人数分别为多少．39．在下面3×3的方阵图中每行、每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等．(1)如图1，则m=________，n=________(2)如图2，则a=________（用含b的代数式表示）(3)如图3，则a=________，b=________40．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？类型十一、古代数学问题41．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？42．我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．43．《九章算术》中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛（古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，…”译文：“已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，…”问：1个大桶和1个小桶分别盛酒多少斛？44．我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的2，那么乙也共有钱50，问甲、乙二3人各带了多少钱？(1)求甲、乙两人各带的钱数；(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？类型十二、开放性问题45．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a 阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q （6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为；（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1．点P1的“﹣4阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．46．小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.(1)小红首先用m根小木棍摆出了p个小正方形,请你用等式表示m,p之间的关系：；(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?(3)小红重新用50根小木棍,摆出了s排,共t个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示s,t之间的关系,并写出所有s,t可能的取值.47．青山化工厂与A、B两地有公路、铁路相连这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料经铁路120km 和公路10km运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km和公路20km销售到B地，已知铁路的运价为1.2元/（吨·千米），公路的运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出铁路运124800元，公路运费19500元．（1）设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表（表格内填化简的结果）．原料x吨产品y吨合计（元）铁路运费公路运费根据上表列方程组求原料和产品的重量．（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？48．某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙单独做12天可以完成，需付费用3480元．（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所付费用较少？（3）在（2）的条件下，现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲、乙两组合做．若装修过程中，商店不但要支付装修费用，而且每天因装修损失收入200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）。
[标准曲线回归方程]圆曲线方程
![[标准曲线回归方程]圆曲线方程](https://img.taocdn.com/s3/m/499ba3155e0e7cd184254b35eefdc8d376ee14dc.png)
[标准曲线回归方程]圆曲线方程篇一:[圆曲线方程]圆的方程的测试题《4.1 圆的方程》测试题一、选择题1.(2022辽宁)将圆平分的直线是( ).A. B. C. D.考查目的：考查圆的一般方程和标准方程的互化，以及圆的几何性质.答案：C.解析：将圆的一般方程化为标准方程后可知，圆心坐标为(1，2)，而平分圆的直线必定经过圆心，经验证可知，答案应选C.2.(2022重庆)圆心在轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( ).A. B. C. D.考查目的：考查圆的方程的求法.答案：A.解析:设圆心的坐标为(0，)，∴，解得，∴圆的方程为.本题也可用验证法或圆的性质求解.3.(2022宁夏海南)已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( ).A. B.C. D.考查目的：考查圆的方程的求法，对称的两个圆的有关性质.答案：B.解析:设圆的圆心为(，)，依题意得，解得.又∵对称的两个圆的半径相等，∴圆的方程为.二、填空题4.(2022安徽改编)若直线过圆的圆心，则的值为 .考查目的：考查圆的方程的互化，由圆的标准方程确定圆心的坐标，以及直线上的点与方程的关系.答案：1.解析：∵圆的一般方程可化为，∴圆心的坐标为(-1，2)，代入直线方程得，.5.(2022辽宁文)已知圆C经过点A(5，1)，B(1，3)，圆心在轴上，则圆C 的方程为 .考查目的：考查圆的性质，直接法求圆的方程和待定系数法等.答案：.解析:设圆心C的坐标为，由得，，解得，∴，∴圆C的标准方程为.6.(2022上海文)圆的圆心到直线的距离 .考查目的：考查圆的方程的互化，由圆的标准方程确定圆心的坐标，及点到直线间的距离公式.答案：3.解析：圆的一般方程可化为，∴圆心C的坐标为(1，2)，它到直线的距离为.三、解答题7.(2022湖南理)在平面直角坐标系中，曲线的点均在外，且对上任意一点M，M到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值，求曲线的方程.考查目的：考查点与圆的位置关系及动点轨迹方程的求法.答案：.解析：设点M的坐标为，由已知得.易知圆上的点位于直线的右侧，于是，∴，化简得曲线的方程为.8.已知圆心为的圆经过点(0，)，(1，)，且圆心在直线：上，求圆心为的圆的标准方程.考查目的：考查圆的标准方程的求法.答案：.解析：∵A(0，-6)，B(1，-5)，∴线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率，∴线段AB的垂直平分线的方程是，即.由解得，∴圆心的坐标是(-3，-2)，圆的半径长，即圆心为的圆的标准方程是.篇二:[圆曲线方程]高二数学圆与方程教学计划设计(1)知识目标:1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.(2)能力目标:1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;3.增强学生用数学的意识.(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.2.教学重点.难点(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.3.教学过程(一)创设情境(启迪思维)问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道[引导] 画图建系[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为某轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为某2 y2=16(y≥0)将某=2.7代入,得 .即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。
第四章 第5课时 专题强化：圆周运动的临界问题
√B.当角速度ω>
g ltan
θ
时，b绳中产生弹力
√C.当b绳中产生弹力后，角速度再增大时a绳的弹力不变
D.当b绳突然被剪断时，a绳的弹力一定发生变化
考点一 水平面内圆周运动的临界问题
当 b 绳的弹力为零时，小球受重力和 a 绳的弹
力，合力提供向心力，有tamngθ＝mlω2，解得 ω
＝
g ltan
例1 (2024·安徽省合肥一中模拟)港珠澳大桥总长约55 km，是世界上总体跨度最长、 钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的路海大桥，设计时速100 km/h。如图所示， 该路段是港珠澳大桥的一段半径r＝150 m的圆弧形弯道，总质量m＝1 800 kg的汽 车通过该圆弧形弯道时以速度v＝90 km/h做匀速圆周运动(汽车可视为质点，路面 视为水平且不考虑车道的宽度)。已知路面与汽车轮胎间的径向最大静摩擦力为汽 车所受重力的 3，重力加速度g取10 m/s2，则
考点一 水平面内圆周运动的临界问题
例3 (多选)(2024·黑龙江哈尔滨市第二中学期中)质量为m的小球(视为质
点)由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，当轻杆绕
轴以角速度ω匀速转动时，a绳与水平方向成θ角，b绳在水平方向上且长
为l。重力加速度为g，下列说法正确的是
A.a绳的弹力随角速度的增大而增大
4 A.汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力、牵引力和向心力 B.汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4 000 N C.汽车过该弯道时的向心加速度大小为4 m/s2
√D.汽车能安全通过该弯道的最大速度为15 5 m/s
考点一 水平面内圆周运动的临界问题
汽车过该弯道时受到重力、牵引力、支持力和摩 擦力作用，摩擦力提供做圆周运动的向心力，故A 错误； 汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为 Ff＝mvr2＝7 500 N，故 B 错误； 汽车过该弯道时的向心加速度大小为 a＝vr2＝265 m/s2，故 C 错误； 汽车能安全通过该弯道速度最大时满足34mg＝mvrm2，解得 vm＝15 5 m/s， 故 D 正确。
2023年高考数学微专题练习专练51椭圆含解析理
专练51 椭圆命题范围：椭圆的定义、标准方程与简单的几何性质．[基础强化]一、选择题1．椭圆x 216＋y 26＝1上一点M 到其中一个焦点的距离为3，则点M 到另一个焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长为( )A ．23B ．43C ．6D ．123．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b4．动点P 到两定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 216＋y 29＝1B ．x 225＋y 29＝1C ．x 225＋y 216＝1D ．x 2100＋y 236＝1 5．已知椭圆的长轴长为8，离心率为34，则此椭圆的标准方程是( )A ．x 216＋y 29＝1 B ．x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C ．x 216＋y 225＝1 D ．x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 6．曲线x 225＋y 29＝1与x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等7．[2021·全国乙卷]设B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是( )A ．[22，1) B ．[12，1) C ．(0，22] D ．(0，12] 8．[2022·西宁一中高三测试]设椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2为直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )A ．3B ．3或32C ．32D ．6或3 9．[2022·陕西省高三三模]我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c2＝1(x ＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a ＞b ＞c ＞0).如图所示，设点F 0、F 1、F 2是相应椭圆的焦点，A 1、A 2和B 1、B 2是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1B ．3，1C ．5，3D ．5，4 二、填空题10．[2021·全国甲卷]已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．[能力提升]13．[2022·全国甲卷(理)，10]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( )A.32B.22C.12D.1314．[2022·江西省南昌市高三模拟]已知F 1，F 2，B 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点、右焦点、上顶点，连接BF 2并延长交C 于点P ，若△PF 1B 为等腰三角形，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．33D ．2215．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．16．[2022·安徽省蚌埠质检]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB 的中点为M (1，1)时，直线l 的方程为________． 专练51 椭圆1．D ∵a ＝4，由椭圆的定义知，M 到另一个焦点的距离为2a －3＝2×4－3＝5. 2．B 由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.3．B 由题意得，c a ＝12，∴c 2a 2＝14，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2－b 2a 2＝14，b 2a 2＝34，∴4b 2＝3a 2.故选B.4．B 依题意，动点P 的轨迹是椭圆，且焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由c ＝4，2a ＝10，即a ＝5，得b ＝a 2－c 2＝3，则椭圆方程为x 225＋y 29＝1. 5．B ∵2a ＝8，∴a ＝4，e ＝c a，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 27＝1或y 216＋x 27＝1. 6．D ∵c 2＝25－k －(9－k )＝16，∴c ＝4， ∴两曲线的焦距相等．7．C 解法一 依题意，B (0，b )，设P (a cos θ，b sin θ，θ∈[0，2π)，因为|PB |≤2b ，所以对任意θ∈[0，2π)，(a cos θ)2＋(b sin θ－b )2≤4b 2恒成立，即( a 2－b 2)sin 2θ＋2b 2sin θ＋3b 2－a 2≥0对任意θ∈[0，2π)恒成立．令sin θ＝t ，t ∈[－1，1]，f (t )＝(a2－b 2)t 2＋2b 2t ＋3b 2－a 2，则原问题转化为对任意t ∈[－1，1]，恒有f (t )≥0成立．因为f (－1)＝0，所以只需－2b 22（a 2－b 2）≤－1即可，所以2b 2≥a 2，则离心率e ＝1－b 2a 2≤22，所以选C.解法二 依题意，B (0，b )，设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则|y 0|≤b ，x 20 a 2＋y 2b 2＝1，可得x 2＝a 2－a 2b 2y 20 ，则|PB |2＝x 20 ＋(y 0－b )2＝x 20 ＋y 20 －2by 0＋b 2＝－c 2b2y 20 －2by 0＋a 2＋b 2≤4b 2.因为当y 0＝－b 时，|PB |2＝4b 2，所以－b 3c 2≤－b ，得2c 2≤a 2，所以离心率e ＝c a ≤22，故选C.8．C 由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，若P 为短轴的顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2为等边三角形， ∴∠P 不可能为直角，若∠F 1＝90°，则|PF 1|＝b 2a ＝32，S △PF 1F 2＝12·b 2a ·2c ＝32.同理∠F 2＝90°时，S △PF 1F 2＝32，故选C.9．A 由题意知，a 2－b 2＝(32)2＝34，b 2－c 2＝(12)2＝14，∴a 2－c 2＝1.又a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝1，b ＝1.∴a 2＝74，a ＝72.10．8解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8.11.35解析：由题意知，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b ，整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，解得e ＝35或e ＝－1(舍去).12．3解析：∵PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2＝90°，又S △PF 1F 2＝b 2tan45°＝9，∴b ＝3.13．A 设P (x 1，y 1)，则点Q 的坐标为(－x 1，y 1).由题意，得点A (－a ，0).又直线AP ，AQ 的斜率之积为14，所以y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝14，即y 21 a 2－x 21 ＝14①.又点P 在椭圆C 上，所以x 21 a 2＋y 21 b 2＝1②.由①②，得b 2a 2＝14，所以a 2＝4b 2，所以a 2＝4(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝32.故选A. 14．C 由椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 由椭圆的对称性，得|BF 1|＝|BF 2|＝a ， 设|PF 2|＝m ，则|BP |＝a ＋m ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －m ， 因为△PF 1B 为等腰三角形，所以|BP |＝|PF 1|， 即a ＋m ＝2a －m ，得m ＝a2，所以|PF 2|＝a 2，|BP |＝|PF 1|＝3a2，在△BF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠BF 2F 1＝a 2＋4c 2－a 22a ·2c ＝ca，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠BF 2F 1＝（a 2）2＋4c 2－（3a 2）22·2c ·a 2＝2c 2－a2ac，又∠BF 2F 1＋∠PF 2F 1＝π，所以cos∠BF 2F 1＋cos∠PF 2F 1＝0，即c a ＋2c 2－a 2ac＝0，整理，得3c 2＝a 2， 所以e 2＝13，由e ∈(0，1)，得e ＝33.15．[22，1) 解析：设P 0为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的上顶点，由题意得∠F 1P 0F 2≥90°，∴∠OP 0F 2≥45°，∴c a ≥sin45°，∴e ≥22， 又0<e <1，∴22≤e <1. 16．x ＋2y －3＝0解析：由题可知直线AB 的斜率存在；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于点A ，B 都在椭圆上，所以x 21 a 2＋y 21 b 2＝1 ①，x 22 a 2＋y 22b 2＝1(a ＞b ＞0) ②，①－②，化简得－b 2a 2＝y 21 －y 22 x 21 －x 22；又因为离心率为22，所以1－b 2a 2＝22， 所以b 2a 2＝12，即y 21 －y 22 x 21 －x 22 ＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）（x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝－12； 又线段AB 的中点为M (1，1)，所以（y 1－y 2）（y 1＋y 2）（x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）2（x 1－x 2）（x 1＋x 2）2＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以直线AB 的斜率为－12，故所求直线l 的方程为y ＝－12(x －1)＋1，即x ＋2y －3＝0.。
圆的参数方程及其应用
圆的参数方程及其应用
一、圆的参数方程
(x-a)²+(y-b)²=r²
其中(a，b)为圆心坐标，r为圆的半径。
二、圆的参数方程的应用
1、圆的位置参数确定
2、求解圆的两点距离
通过圆的参数方程可以用来求解圆上两点之间的距离。
以圆心为（a,b），半径为r的圆为例，圆上任意两点（x1，y1）、（x2，y2），他们之间的距离为d，由于圆上的点都满足参数方程，因此他们之间的距离就可以由下面的方程求解：
d=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
3、求解圆上任一点的坐标
通过圆的参数方程可以求解圆上任一点的坐标，具体的做法是，首先假设圆上任一点的极坐标为（r，θ），然后由以下参数方程求解对应的笛卡尔坐标：
x=a+rcosθ
y=b+rsinθ
4、画出圆
5、求解圆交线。
圆的直径式方程及其应用
圆的直径式方程及其应用
宋振苏
【期刊名称】《新高考(高三语数外)》
【年(卷),期】2010(000)003
【摘要】@@ 圆的方程有标准式与一般式两种形式,如果已知圆的直径的两个端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),那么设P(x,y)是该圆上的任意一点,则借助于两个向量(MP)=(x-x1,y-y1),(NP)=(x-x2,y-y2)垂直的等价条件,很容易得圆的方程为(x-
x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,常称此方程为圆的直径式方程.下面举例介绍圆的直径式方程在解题中的妙用.
【总页数】2页(P40,43)
【作者】宋振苏
【作者单位】
【正文语种】中文
【相关文献】
1.圆的直径式方程及其应用 [J], 宋振苏
2.圆的直径式方程的一个应用 [J], 甘志国
3.圆的直径式方程的一个应用 [J], 甘志国
4.圆的直径式方程及其应用 [J], 宋振苏;
5.圆的直径式方程在解题中的妙用 [J], 陈昌燕
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高中物理选择性必修二 第一章专题强化5 带电粒子在叠加场中的运动
一、带电粒子在叠加场中的直线运动
例1 (多选)地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场(未画出)和匀强
磁场，已知磁场方向垂直纸面向里，一个带电油滴沿着一条与竖直方向
成α角的直线MN运动，如图1所示，由此可以判断
√A.油滴一定做匀速运动
B.油滴可以做变速运动
பைடு நூலகம்
C.如果油滴带正电，它是从N点运动到M点
√D.如果油滴带正电，它是从M点运动到N点
电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M
点进入电场和磁场区域，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离
开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴正方
向的夹角为θ.不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)电场强度E的大小和方向；
答案
mg q
竖直向上
123
处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路 1.弄清叠加场的组成. 2.进行受力分析，确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况 的结合. 3.画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律. (1)由于洛伦兹力的大小与速度有关，带电粒子在含有磁场的叠加场中的 直线运动一定为匀速直线运动，根据平衡条件列式求解. (2)当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡， 洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解. (3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解.
设粒子在B、C间运动的偏转距离为y，
由几何知识得R2＝dBC2＋(R－y)2 代入数据得y＝1.0 m(y＝9.0 m舍去)
(3)加上磁场后，粒子由b点到O′点电势能的变化量. 答案 增加了1.0×10－2 J
解析 加上磁场前，粒子在B、C间必做匀速直线运动， 则有：qE2＝mg 加上磁场后，粒子在B、C间运动时电场力做的功有 W＝－qE2y＝－mgy＝－1.0×10－2 J 由功能关系知，粒子由b点到O′点电势能增加了1.0×10－2 J.
专题：圆圆之相交弦定理—冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习卷(含答案)
专题：圆圆之相交弦定理时间：100分钟满分：100分一．选择题（每题3分，共30分）1．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C 为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ的值是（）A．24B．9C．6D．272．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE+3，则CD 的长为（）A．4B．5C．8D．103．如图所示，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP＝6，BP＝2，CP＝4，则PD的长是（）A．6B．5C．4D．34．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝（）A．3B．4C．5D．65．⊙O的两条弦AB与CD相交于点P，P A＝3cm，PB＝4cm，PC＝2cm，则CD＝（）A．12cm B．6cm C．8cm D．7cm6．如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且P A＝4，PB＝6，PD＝2，则⊙O的半径为（）A．9B．8C．7D．67．如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD＝4，则AP•BP的值为（）A．2B．4C．6D．88．如图，P是直径AB上的一点，且P A＝2，PB＝6，CD是过点P的弦，那么下列PC的长度，符合题意的是（）A．PC＝1；PD＝12B．PC＝3；PD＝5C．PC＝7；PD＝D．PC＝；PD＝9．如图，⊙O的两弦A B、CD相交于点M，AB＝8cm，M是AB的中点，CM：MD＝1：4，则CD＝（）A．12cm B．10cm C．8cm D．5cm10．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP＝∠MNQ，下面结论：①∠1＝∠2；②∠P+∠Q ＝180°；③∠Q＝∠PMN；④PM＝QM；⑤MN2＝PN•QN．其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．④⑤D．①②⑤二．填空题（每题3分，共30分）11．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝．12．如图在⊙O中，弦AB、CD交于点P，如果CP＝6，DP＝3，AB＝11，则AP＝．13．如图，在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若AP＝4，PB＝6，CP＝3，则PD的长为．14．如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP•AM+BP •BN的值为．15．如图，在圆O中，若AB与CD相交于点P，且PC＝PD，P A＝4，PB＝1，则PC的长为．16．如图，已知弦AB、CD交于⊙O内一点P，AP＝6，PB＝8，CP：DP＝1：2，则弦CD 的长为．17．如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，PD＝2PB，PC＝2cm，则P A＝cm．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB＝1：4，CD＝8，则AB ＝．19．圆内两条弦AB和CD相交于P点，P为AB中点，AB把CD分成两部分的线段长分别为2和6，那么AP＝．20．如图，⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝2cm，BP＝6cm，CP＝12cm，则DP＝．三．解答题（每题8分，共40分）21．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．22．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示m．23．已知：如图AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，P A交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x2﹣6x+（m2+4m+13）＝0（其中m为实数）的两根．（1）求证：BE＝BD．（2）若GE•EF＝6，求∠A的度数．24．已知，如图，P A切⊙O于点A，割线PD交⊙O于点C、D，∠P＝45°，弦AB⊥PD，垂足为E，且BE＝2CE，DE＝6，CF⊥PC，交DA的延长线于点F．求tan∠CFE的值．25．已知：如图，⊙O的弦AD、BC互相垂直，垂足为E，∠BAD＝∠α，∠CAD＝∠β，且sinα＝，cosβ＝，AC＝2．求（1）EC的长；（2）AD的长．参考答案一．选择题1．解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．∵CD2＝AD•DB，AD＝9，BD＝4，∴CD＝6．在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ＝DE•EM＝CE•EN，设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），解得x＝3．所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．所以PE•EQ＝3×9＝27．故选：D．2．解：设CE＝x，则DE＝3+x．根据相交弦定理，得x（x+3）＝2×2，x＝1或x＝﹣4（不合题意，应舍去）．则CD＝3+1+1＝5．故选：B．3．解：由相交弦定理得AP•PB＝CP•PD，∵AP＝6，BP＝2，CP＝4，∴PD＝AP•PB÷CP＝6×2÷4＝3．故选：D．4．解：由相交弦定理得：P A•PB＝PC•PD，∴DP＝＝＝6．故选：D．5．解：由相交弦定理得：P A•PB＝PC•PD，∴DP＝＝＝6cm，CD＝PC+PD＝2+6＝8cm．故选C．6．解：由相交弦定理得：AP×BP＝CP×DP，∵P A＝4，PB＝6，PD＝2，∴CP＝12，∴DC＝12+2＝14，∵CD是⊙O直径，∴⊙O半径是7．故选：C．7．解：由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP＝DP＝2，再根据相交弦定理，AP•BP＝CP•DP＝2•2＝4．故选：B．8．解：由相交弦定理得：P A•PB＝PC•PD，∵P A•PB＝2×6＝12，∴PC•PD＝12，又AB是直径，且AB＝8，也是圆的最长的弦，即PC+PD＜AB，则只有答案D符合要求．故选：D．9．解：∵CM：DM＝1：4∴DM＝4CM又AB＝8，M是AB的中点∴MA＝MB＝4cm由相交弦定理得：MA•MB＝MC•MD即4×4＝MC•4MC解得MC＝2cm∴CD＝MC+MD＝MC+4MC＝10cm．故选：B．10．解：延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QF ∵∠PNM＝∠QNM，MN⊥AB，∴∠1＝∠2（故①正确），∵∠2与∠ANE是对顶角，∴∠1＝∠ANE，∵AB是直径，∴可得PN＝EN，同理NQ＝NF，∵点N是MW的中点，MN•NW＝MN2＝PN•NF＝EN•NQ＝PN•QN（故⑤正确），∴MN：NQ＝PN：MN，∵∠PNM＝∠QNM，∴△NPM∽△NMQ，∴∠Q＝∠PMN（故③正确）．故选：B．二．填空题（共10小题）11．解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE＝CE•DE，∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．12．解：根据相交弦定理，得：AP•PB＝CP•DP∵AB＝11∴AP（11﹣AP）＝CP•DP∴AP2﹣11AP+18＝0∴AP＝2或9．13．解：由相交弦定理得：P A•PB＝PC•PD，∴DP＝＝＝8．14．解：连接AN、BM，∵AB是直径，∴∠AMB＝90°．∴BP2＝MP2+BM2∵AP•PM＝BP•PN原式＝AP（AP+PM）+BP（BP+PN）＝AP2+AP•PM+BP2+BP•PN＝AP2+BP2+2AP•PM＝AP2+MP2+BM2+2AP•PM＝BM2+（AP+PM）2＝BM2+AM2＝AB2＝36．15．解：由相交弦定理得：P A•PB＝PC•PD，已知PC＝PD，则PC2＝P A•PB＝1×4＝4，故PC＝2．16．解：∵CP：DP＝1：2∴DP＝2CP∵P A•PB＝PC•PD∴6×8＝PC×2PC解得PC＝2（舍去负值）∴CD＝PC+PD＝3PC＝6．17．解：由相交弦定理得P A•PB＝PC•PD，∴P A＝＝＝4cm．18．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝8，∴CP＝4，根据相交弦定理得，16＝AP×4AP，解得AP＝2，∴AB＝10．19．解：∵P为AB中点，∴P A＝PB，依题意得PC＝2，PD＝6，由相交弦定理，得P A×PB＝PC×PD，即P A2＝2×6，解得P A＝＝2．故答案为：2．20．解：由相交弦定理得：P A•PB＝PC•PD，∴PD＝＝＝1．三．解答题（共5小题）21．解：（1）弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等．（写对一个给（1分），写对两个给2分）（2）如图，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P．结论：P A•PB＝PC•PD．证明：连接AD，BC，∵∠APD＝∠BPC，∠D＝∠B∴△APD∽△BPC∴P A•PB＝PC•PD；（3）若点C和点E重合，则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称，（8分）设∠BAC＝x，则∠BAD＝x，∠ABC＝90°﹣x，（9分）又D是的中点，所以2∠CAD＝∠CAD+∠ACD＝180°﹣∠ABC，即2•2x＝180°﹣（90°﹣x），（10分）解得x＝∠BAC＝30°．（11分）（若求得AB＝或AF＝3•FB等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆的十二等分点，然后说明．）22．解：（1）两个三角形全等．∵△AOB、△CBD都是等边三角形，∴OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠OBC＝∠ABD；∵OB＝AB，BC＝BD，△OBC≌△ABD；（2）点E位置不变．∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°；在Rt△EOA中，EO＝OA•tan60°＝，或∠AEO＝30°，得AE＝2，∴OE＝∴点E的坐标为（0，）；（3）∵AC＝m，AF＝n，由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝；又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，AE＝＝2，（）2＝（2﹣）（2+n）即2n2+n﹣2m﹣mn＝0解得m＝．23．（1）证明：∵BE、BD是关于x的方程x2﹣6x+（m2+4m+13）＝0的两根，∴△＝（﹣6）2﹣4（m2+4m+13）＝﹣4（m+2）2≥0，∴m＝﹣2，（2分）原方程为x2﹣6x+9＝0，解之，得x1＝x2＝3，∴BE＝BD＝3；（4分）（2）解：由相交弦定理得AE•BE＝GE•FE＝6∴AE＝2（5分）∵PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径∴∠ABP＝∠ACB＝90°又∵BE＝BD＝3，∴∠1＝∠2∵∠1＝∠A+∠4，∠2＝∠3+∠5又∵∠5＝∠A，∴∠3＝∠4（7分）方法一：易证△PBD∽△P AE，∴△PD C∽△PEB∴（9分）∴（10分）在Rt△ACB中，∴∠A＝60°；（12分）方法二：易证△PBC∽△P AB，∴∵△PBD∽△P AE∴（9分）∴（10分）∴∠A＝60°（12分）24．解：由相交弦定理，得AE•BE＝DE•CE 又∵BE＝2CE∴AE•2CE＝6CE∴AE＝3∵AB⊥PD∴∠AEP＝90°又∵∠P＝45°∴∠EAP＝∠P＝45°∴PE＝AE＝3在Rt△AEP中，由勾股定理，得：P A＝＝＝∵P A切⊙O于点A∴P A2＝PC•PD∴PC＝∴CE＝PE﹣PC＝3﹣2＝1∵FC⊥PD∴∠FCE＝90°又∵∠AED＝90°∴∠AED＝∠FCE∴AE∥FC∴＝∴FC＝＝＝∴tan∠CFE＝＝＝．25．解：（1）在直角三角形ACE中，AE＝AC•cosβ＝再根据勾股定理，得EC＝＝；（2）在直角三角形ABE中，根据sin α＝，求得cos α＝，则AB ＝＝再根据勾股定理，得BE ＝＝根据相交弦定理，得DE ＝＝则AD ＝+．。
圆的参数方程及其应用
/ ") % / "# ， 即
述方程$ 故 （ + $ ’） %" $ （ + , ’） &" , " +% % * 是点 ) 的轨迹方程$ 当 + % ’ 时， &" % % ， （ * ’% 0 ’ ） ， 它表示抛物线的一段$ + %$ ( ’ $ +) 当 +!’ 时， 方程为 + (’ $ +)
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所以 * 0 + 0 ’ 时， 轨迹为椭圆弧； + + ’ 时， 轨迹为双曲线
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原创1：2.4.2 圆的一般方程
解：圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5， 则圆心坐标为(1，－2)， ∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心． ∴2－2＋m＝0得m＝0．故选D.
跟踪练习
2.(1)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,0)
圆的一般方程的说明
对方程 x2 y2 Dx Ey F 0. 的说明：
方程 x2＋y2+Dx+Ey+F=0
条件 D2＋E2-4F<0 D2＋E2-4F=0 D2＋E2-4F>0
图形 没有图形 表示一个点 表示圆
新知探索
圆的一般方程的特征
思考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？ 圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆 的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显． 思考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？ 只要求出一般方程中的D、E、F圆的方程就确定了． 思考3：所有二元二次方程均表示圆吗？ 不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0， B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆.
r 1 5m
规律方法
题型一：圆的一般方程的判断 形如 x2 y2 Dx Ey F 0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可 有如下两种方法： 1．由圆的一般方程的定义令 D2 E2 4F 0，成立则表示圆，否则不 表示圆． 2．将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
典例精析
2
即
y x 1
y x3
1,
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
由于A、B、C不共线，所以y≠0.
专题04 直线和圆的方程-直线方程及其应用
第二章直线和圆的方程专题04：直线和圆的方程——直线方程及其应用一、选择题1.()点(5,-3)到直线x+2=0的距离等于 () 2.()点A(1,√3),B(-1,3√3),那么直线AB 的倾斜角为 () °°°°3.()假设直线l 与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ 的中点坐标为(1,-1),那么直线l 的斜率为 ()A.131332 D.23 4.()一束光线从点A(1,0)处射到y 轴上一点B(0,2)后被y 轴反射,那么反射光线所在直线的方程是 ()A.x+2y-2=0B.2x-y+2=0C.x-2y+2=0D.2x+y-2=0 5.()P 1(a 1,b 1)与P 2(a 2,b 2)是直线y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,那么关于x 和y 的方程组{a 1x +b 1y =1,a 2x +b 2y =1的解的情况是 () A.无论k,P 1,P 2如何,总是无解B.无论k,P 1,P 2如何,总有唯一的一组解C.存在k,P 1,P 2,使之恰有两组解D.存在k,P 1,P 2,使之有无穷多组解6.()在平面直角坐标系中,记d 为点P(cos α,sin α)到直线mx+y-2=0的距离,当α,m 变化时,d 的最大值为 ()7.()函数y=log a (x-1)+2(a>0,且a ≠1)恒过定点A.假设直线mx+ny=2过点A,其中m 、n 是正实数,那么1m +2n 的最小值是 ()A.3+√2B.3+2√2C.92 二、填空题8.()点P(m,n)在直线2x+y+1=0上运动,那么m 2+n 2的最小值为. 9.()A(2,1),B(1,2),假设直线l:y=ax 与线段AB 相交,那么实数a 的取值范围是. 10.()直线l 经过点P(3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A,B 两点,△OAB 的面积为12,那么直线l 的方程为.三、解答题11.()(1)求两条平行直线3x+4y-6=0与ax+8y-4=0间的距离；(2)求两条互相垂直的直线2x+my-8=0和x-2y+1=0的交点坐标.12.()直线l:(a+1)x+y+2-a=0(a ∈R).(1)假设直线l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程；(2)当O(0,0)点到直线l 的距离最大时,求直线l 的方程.13.()如图,射线OA,OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)的直线AB 分别交OA,OB于A,B 两点,当AB 的中点C 恰好落在直线y=12x 上时,求直线AB 的方程.答案全解全析一、选择题由点到直线的距离公式可得d=√12+02=7,应选A. 因为直线AB 的斜率为3√3-√3-1-1=-√3,倾斜角的范围是[0°,180°), 所以倾斜角为120°,应选C.依题意,设点P(a,1),Q(7,b),那么有{a +7=2,b +1=−2,解得{a =−5,b =−3,从而可知直线l 的斜率为-3-17+5=-13. 如下列图,反射光线所在直线与直线AB 的倾斜角互补.∴反射光线所在直线的斜率为k=-k AB =-2−00−1=2.因此所求直线方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0,应选B.易知直线y=kx+1一定不过原点O,因为P 1,P 2是直线y=kx+1上不同的两点,所以OP 1与OP 2不平行,因此a 1b 2-a 2b 1≠0.所以二元一次方程组{a 1x +b 1y =1,a 2x +b 2y =1一定有唯一的一组解. 直线mx+y-2=0过定点A(0,2),因此点P 到直线距离的最大值为|PA|.∵|PA|=√cos 2α+(2−sinα)2=√5−4sinα,∴当sin α=-1时,|PA|max =√9=3,应选C.函数y=log a (x-1)+2(a>0,且a ≠1)过定点(2,2),∴2m+2n=2,即m+n=1,∴1m +2n =(m+n)(1m +2n )=3+n m +2m n ≥3+2√n m ·2m n =3+2√2,当且仅当n m =2m n =√2,即m=√2-1,n=2-√2时取等号,应选B.二、填空题8.答案 15解析 ∵P(m,n)是直线2x+y+1=0上的任意一点,m 2+n 2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方, ∴m 2+n 2的最小值为原点到直线2x+y+1=0的距离的平方,∴所求最小值为(√22+12)2=15. 9.答案 [12,2] 解析 直线l:y=ax 过原点,且斜率为a,如下列图,直线l 绕点O 从OA 按逆时针旋转到OB,又k OA =12,k OB =2,∴直线的斜率a 的取值范围是[12,2].10.答案 2x+3y-12=0解析 解法一:根据题意知直线l 的斜率存在,那么设直线l 的方程为y-2=k(x-3)(k<0). 令y=0,得x=3-2k ,∴A (3−2k ,0).令x=0,得y=-3k+2,∴B(0,-3k+2). ∴S △OAB =12(3−2k )(-3k+2)=12,化简,得(3k+2)2=0,解得k=-23. 故直线l 的方程为y-2=-23(x-3), 即2x+3y-12=0.解法二:由题意得直线l 在两坐标轴的正半轴上均有截距,那么设直线l 的方程为x a +yb =1(a>0,b>0). 那么3a +2b =1,①又12ab=12,∴ab=24.② 由①②解得{a =6,b =4.故直线l 的方程为x 6+y4=1,即2x+3y-12=0.解题模板 过一点的直线可以设点斜式,解题时要注意斜率不存在的情况,考虑到△AOB 的面积与截距有关,还可设截距式,解题时,要注意a>0,b>0的条件.三、解答题 11.解析 (1)由题意可得a 3=84≠-4-6,解得a=6.所以直线方程为6x+8y-4=0,即3x+4y-2=0.所以两平行直线间的距离为√32+42=45. (2)由题意可得2-2m=0,解得m=1.由{2x +y -8=0,x -2y +1=0得{x =3,y =2,所以交点坐标为(3,2).12.解析 (1)依题意得,a+1≠0.令x=0,得y=a-2；令y=0,得x=a -2a+1.∵直线l 在两坐标轴上的截距相等,∴a-2=a -2a+1,化简,得a(a-2)=0,解得a=0或a=2.因此,直线l 的方程为x+y+2=0或3x+y=0.(2)直线l 的方程可化为a(x-1)+x+y+2=0.令{x -1=0,x +y +2=0,解得{x =1,y =−3.因此直线l 过定点A(1,-3). 由题意得,OA ⊥l 时,O 点到直线l 的距离最大.因此,k l =-1k OA =13,∴直线l 的方程为y+3=13(x-1),即x-3y-10=0. 13.解析 由题意可得k OA =tan 45°=1,k OB =tan(180°-30°)=-√33, 所以直线l OA :y=x,l OB :y=-√33x.设A(m,m),B(-√3n,n),所以AB 的中点C (m -√3n 2,m+n 2), 由点C 在直线y=12x 上,且A,P,B 三点共线,得{m+n 2=12·m -√3n 2,m -0m -1=-√3n−1解得m=√3,所以A(√3,√3).又P(1,0),所以k AB =k AP =√3√3-1=3+√32, 所以l AB :y=3+√32(x-1),即直线AB 的方程为(3+√3)x-2y-3-√3=0.。
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专题强化练5 圆的方程及其应用一、选择题1.(2020湖南雅礼中学高二月考,)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 与圆O:x 2+y 2=1外切,且与直线x-2y+5=0相切,则圆C 的面积的最小值为( ) A.45π B.(3-√5)πC.3-√52π D.(6-2√5)π2.(多选)(2020山东省实验中学高三月考,)若实数x,y 满足x 2+y 2+2x=0,则下列关于y x -1的判断正确的是( )A.y x -1的最大值为√3 B.y x -1的最小值为-√3C.y x -1的最大值为√33 D.y x -1的最小值为-√333.(2020浙江杭州高三质检,)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-53或-35 B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-344.(2020安徽安庆一中高二期末,)曲线y=1+√4-x 2与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k 的取值范围是( ) A.k≥34B.-34≤k<-512C.k>512D.512<k≤34二、填空题5.(2020山东临沂高三一模,)已知圆M的圆心在x轴上,且在直线l 1:x=-2的右侧,若圆M截直线l1所得的弦长为2√3,且与直线l2:2x-√5y-4=0相切,则圆M的标准方程为.6.(2019河北唐山高三三模,)已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同的点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是.7.(2020江苏扬州高三月考,)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-2,0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T,与圆(x-a)2+(y-√3)2=3相交于两点R,S,且PT=RS,则正数a的值为.8.(2020湖北八校高三期末联考,)过点(√2,0)作直线l与曲线y=√1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于.三、解答题9.(2020安徽黄山高二期末,)已知点M(3,1),圆O 1:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)若直线ax-y+4=0与圆O1相交于A,B两点,且弦AB的长为2√3,求a的值;(2)求过点M的圆O1的切线方程.10.(2020安徽合肥八中高二期末,)已知圆C经过点A(2,-1),且与直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.(1)求圆C的方程;(2)已知直线l经过点(2,0),并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程. 11.(2020甘肃兰州高二期末,)已知圆C的圆心在x轴上,且与直线4x-3y-2=0相切于点(-25,-65).(1)求圆C的方程;(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点,若直线OA,OB的斜率之和等于8,求直线l的方程.答案全解全析一、选择题1.C 圆心O(0,0)到直线x-2y+5=0的距离为|5|√12+(-2)2=√5.因为圆C 与圆O:x 2+y 2=1外切,且与直线x-2y+5=0相切,所以圆C 的直径的最小值为√圆C 的面积的最小值为π(√5-1)24=3-√52π.2.CD 由x 2+y 2+2x=0得(x+1)2+y 2=1,表示以(-1,0)为圆心、1为半径的圆,y x -1表示圆上的点(x,y)与点(1,0)连线的斜率,易得y x -1的最大值为√33,最小值为-√33.3.D 点(-2,-3)关于y 轴的对称点为(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),因为反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,所以圆心(-3,2)到直线的距离d=|-3k -2-2k -3|√k 2+1=1,化简得12k 2+25k+12=0,解得k=-43或k=-34.4.D y=1+√4-x 2可化为x 2+(y-1)2=4,y≥1,所以曲线为以(0,1)为圆心,2为半径的圆的y≥1的部分. 直线y=k(x-2)+4过定点P(2,4),当直线经过点A(-2,1)时恰与曲线有两个交点,顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个, 直线AP 的斜率为4-12+2=34,由直线与圆相切得|-1+4-2k |√1+k 2=2,解得k=512,所以实数k 的取值范围为512<k≤34. 二、填空题 5.答案 (x+1)2+y 2=4解析 由已知,可设圆M 的圆心坐标为(a,0),a>-2,半径为r,则{(a +2)2+(√3)2=r 2,|2a -4|√4+5=r ,解得满足条件的一组解为{a =-1,r =2,所以圆M 的标准方程为(x+1)2+y 2=4. 6.答案 3+√2解析 依题意得圆x 2+y 2+kx=0的圆心(-k2,0)在直线x-y-1=0上,于是有-k2-1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2√2,直线AB 的方程是x -2+y 2=1,即x-y+2=0,所以圆心(1,0)到直线AB 的距离为|1-0+2|√2=3√22,所以点P 到直线AB 的距离的最大值是3√22+1,所以△PAB 面积的最大值为12×2√2×(3√22+1)=3+√2. 7.答案 4解析 易知PT=√4-1=√3,且直线PT 的方程为y=±√33(x+2),设圆(x-a)2+(y -√3)2=3的圆心(a,√3)到直线PT 的距离为d,则RS=22√3,所以d=32, 因此|√33(a+2)-√3|√1+3=32或|-√33(a+2)-√3|√1+13=32,又a>0,所以a=4.8.答案 -√33解析 令P(√2,0),如图,易知|OA|=|OB|=1,所以S △AOB =12|OA||OB|sin∠AOB=12sin∠AOB≤12,当∠AOB=90°时,△AOB 的面积取得最大值,此时过点O 作OH⊥AB 于点H,则|OH|=√22,于是sin∠OPH=|OH ||OP |=√22√2=12,易知∠OPH为锐角,所以∠OPH=30°,则直线AB 的倾斜角为150°,故直线AB 的斜率为tan 150°=-√33.三、解答题9.解析 (1)易知圆心到直线ax-y+4=0的距离为√22-(√3)2=1,所以√a 2+1=1,解得a=-34.(2)当切线斜率不存在时,所求切线方程为x=3; 当切线斜率存在时,设所求切线方程为y-1=k(x-3), 圆心到该直线的距离为|2k+1|√k 2+1=2,解得k=34,所以切线方程为3x-4y-5=0.综上,过点M 的圆O 1的切线方程为x=3或3x-4y-5=0. 10.解析 (1)设圆心的坐标为C(a,-2a),则√(a -2)2+(-2a +1)2=|a -2a -1|√2,化简,得a 2-2a+1=0,所以a=1, 所以C 点坐标为(1,-2),半径r=|AC|=√(1-2)2+(-2+1)2=√2.故圆C 的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=2,此时直线l 被圆C 截得的弦长为2,满足条件.②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=k(x-2),即 kx-y-2k=0,由题意可得|2-k |√1+k2=1,解得k=34, 则直线l 的方程为y=34(x-2),即3x-4y-6=0. 综上所述,直线l 的方程为x=2或3x-4y-6=0. 11.解析 (1)依题意,设圆心C(a,0), 则有|4a -2|√42+(-3)=√(a +25)2+(65)2,整理得a 2+4a+4=0,所以a=-2,即圆心为(-2,0), 于是半径r=|4×(-2)-2|√42+(-3)2=2,故圆C 的方程为(x+2)2+y 2=4.(2)依题意,直线l 的斜率一定存在,设为k(k≠0),则l 的方程为y=k(x-1), 联立直线l 的方程与圆C 的方程,可得{y =k (x -1),(x +2)2+y 2=4,消去y,整理得(1+k 2)x 2+(4-2k 2)x+k 2=0.因为直线与圆相交,所以Δ=(4-2k 2)2-4(1+k 2)k 2=16-20k 2>0, 解得-2√55<k<2√55,且k≠0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2k 2-41+k ,x 1x 2=k 21+k ,于是k OA +k OB =y 1x 1+y 2x 2=x 2y 1+x 1y 2x 1x 2=k (x 1-1)x 2+k (x 2-1)x 1x 1x 2=2kx 1x 2-k (x 1+x 2)x 1x 2=2k ·k 21+k 2-k ·2k 2-41+k 2k 21+k 2=4k,所以4k=8,得k=12,满足题意,所以直线l 的方程为y=12(x-1),即x-2y-1=0.。