概率论公式总结 都琳

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三、 随机变量的函数及其分布
概率论与数理统计公式
1、一维随机变量函数的分布 Y = f ( X )
∑ （1）离散型： P{Y = yk } = P{ f ( X ) = yk } =
pi
yk = f ( xi )
（2）连续型：
方法一：分布函数法：
∫ FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{ f ( X ) ≤ y}= f (x)≤y pX (x)dx
2、离散型随机变量:
F (x) = P{X ≤ x} = ∑ P{X = xk} (x ∈ R) xk ≤ x
¾ 典型离散型随机变量的分布：
(1) 退化分布(单点分布)： P(X = C) = 1
(2) 两点分布 B(1,p) ： P{X = k} = pk (1− p)1−k (k = 0,1)
(3)
(7)
超几何分布： P{X
= k} =
C C k n−k M N−M CNn
(k = 0,1, 2,
, min{M , n})
∫ 3、连续型随机变量： F (x) =
x
p(t)d t
−∞
¾ 密度函数的性质：
∫ ∫ +∞
(1) p(x) ≥ 0, x ∈ R; (2) p(x)dx = 1; (3)P{a < X ≤ b} = F (b) − F (a) =
（2）差的分布 Z = X − Y
∫ ∫ pZ (z) =
+∞
p(z + y, y)dy =
−∞
+∞ p(x, x − z)dx ；
−∞
∫ ∫ 当 X与Y 独立，pZ (z) =
+∞
−∞ pX (z + y) pY ( y)dy =
+∞
−∞ pX (x) pY (x − z)dx
（3）商的分布 Z = X Y
A ∩ (B ∪ C) = ( A∩ B) ∪ (A ∩ C) 。 4、德摩根律（对偶率）： A ∪ B = A ∩ B ； A ∩ B = A ∪ B ；。 z 常用结论： A A = Φ ； A ∪ A =Ω； A ∪ B = A + B − AB = ( A − B) + (B − A) + AB
f ( xk ) pk , X为离散型
k =1
∫⎪ +∞
pZ
(z)
=
1 π
1 1+ z2
。
第三章 随机变量的数字特征
一、数学期望：
∫ ∑ 1、定义：离散型： E ( X ) =
∞
xk pk ;
连续型： E ( X ) =
+∞ xp ( x) dx.
−∞
k =1
2、随机变量函数的数学期望
(1) 一元函数的数学期望
∑ ⎧
E
(Y
)
=
E
⎡⎣
f
(
X
)⎤⎦
=
⎪ ⎨
∞
3
(1) 离散型随机变量：
概率论与数理统计公式
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ 边缘分布函数 FX (x) = F(x, +∞) =
pij , FY ( y) = F (+∞, y) =
pij .
xi ≤x j =1
y j ≤ y i=1
∞
∞
∑ ∑ 边缘分布律 pi• = pij = P{X = xi}, i = 1, 2, , p• j = pij = P{Y = y j}, j = 1, 2, ,
)
⎡ ⎢ ⎢⎣
(
x
− μ1 σ12
)2
−
2
ρ( x− μ1 )( σ1σ2
y− μ2
)
+
(
y− μ2 σ22
)2
⎤ ⎥ ⎥⎦
2πσ1σ2 1− ρ2
4、边缘分布：
FX (x) = F ( x, +∞) = P{X < x,Y ≤ +∞} = P{X ≤ x} ； FY ( y) = F (+∞, y) = P{X < +∞,Y ≤ y} = P{Y ≤ y}
(2)、连续型 : X 与Y 相互独立 ⇔ p(x, y) = pX (x) pY ( y) 常用结论：
(1)若 X 和 Y相互独立，则 f ( X )与 g( y)也相互独立.
(2)( X ,Y ) ∼ N（u1, u2 ,σ1,σ 2,ρ）， X 与Y相互独立 ⇔ ρ = 0
6、条件分布
（1）离散型：条件分布律
2、二维随机变量函数的分布 Z = f ( X ,Y )
（1）和的分布 Z = X + Y
∫ ∫ pZ (z) =
+∞
p(z − y, y)dy =
−∞
+∞ p(x, z − x)dx ；
−∞
∫ ∫ 当 X与Y 独立，pZ (z) =
+∞
−∞ pX (z − y)pY ( y)dy =
+∞
−∞ pX (x)pY (z − x)dx
=
p(x,
y);
(4)P{( X ,Y ) ∈ G} =
∫∫
G
p(x,
y)
d
xd
y.
¾ 典型二维随机变量的分布：
(1)
均匀分布：
p(x,
y)
=
⎧ ⎪ ⎨
1 S
,
(x, y) ∈ D,
⎪⎩0, 其它.
(2)
二维正态分布
(
X
,Y
)
~
N
( μ1 ,
μ2 , σ12
,
σ
2 2
,
ρ)
：
p(x, y) =
1
e (−∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞), −1 2(1− ρ2
∫ φ(x) =
1
− x2
e 2;
x
Φ(x) =
1
−t2
e 2 d t.
2π
−∞ 2π
∫ 性质：(1)Φ(−x) = 1− Φ(x), Φ(0) = 0.5； (2)
+∞ − x2
e 2 dx =
2π
−∞
(4) 指数分布 X ~ Exp(λ )
p(
x)
=
⎧ ⎨
λe−
λ
x
,
⎩0,
x > 0, ;
x ≤ 0.
∫ ∫ pZ (z) =
+∞
|
−∞
y
|
p(
yz,
y)dy
；当
X 与Y
独立，pZ
(z)
=
+∞
−∞ | y | pX ( yz) pY ( y)dy
（4）极值分布 M = max{X ,Y}, N = min{X ,Y}的分布.
当X，Y 相互独立,FM (z) = FX (z)FY (z) ； FN (z) = 1− [1− FX (z)][1− FY (z)] 当X，Y 相互独立且同分布,FM (z) = F 2 (z) ； FN (z) = 1− [1− F (z)]2
(2) 正态分布 X ~ N ( μ,σ 2 )
(4)P{X = c} = 0.
2
概率论与数理统计公式
p(x) =
1
− ( x− μ )2
e 2σ2 , − ∞ < x < ∞. ;
2 πσ
∫ F (x) =
1
e d t x
− (t−μ)2 2σ2
2π σ −∞
(3) 标准正态分布 X ~ N (0,1)
P{X
=
xi
|Y
=
yj} =
P{X = xi ;Y = y j} = P{Y = y j}
pij p⋅ j
;
P{Y
=
yj
|
X
=
xi} =
P{X = xi ,Y = y j} = P{X = xi}
pij pi⋅
（2）连续型：条件概率密度 p (x y) = p(x, y) ;
XY
pY ( y)
pY|X ( y | x) =
F
(
x)
=
⎧1 ⎨ ⎩ 0,
−
e
−λ
x
,
x
> 0, x ≤ 0.
二、 二维随机变量及分布：
1、联合分布函数： F (x, y) = P{X ≤ x,Y ≤ y}
∑ ∑ 2、二维离散型随机变量的分布： P{X = xi ,Y = y j} = pij , F (x, y) =
pij ,
xi ≤ x y j ≤ y
再对FY ( y)求导得到Y的密度函数. 方法二：公式法：
(−∞ < x < ∞)
pY
(
y)
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
pX
[
f −1( 0,
y)]
[
f
−1 (
y)]′
,α < y 其它.
<
β
,
注意条件
常用结论：
(1) 随 机变量 X的分布函数 F(x) ~ U[0,1]
(2) 若 X ~ N (μ, σ 2 ) ，则 Y = aX + b ~~ N (aμ + b, (aσ)2 ).
p(x,y) pX (x)
∫ ∫ 条件分布函数
x
x
FX|Y (x | y) = −∞ pX|Y (x | y)dx = −∞ p(x,y)/pY (y)dx
∫ ∫ y
y