人教版高中数学高二必修5学案 第三章《不等式》本章回顾

本章回顾识结构点回放1．不等式的基本性质 (1)比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .另外，若b >0，则a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab<1⇔a <b .(2)不等式的性质 ①对称性：a >b ⇔b <a ； ②传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； ③加法法则：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； ④移项法则：a ＋b >c ⇔a >c －b ； ⑤同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；⑥乘法法则：a >b ，c >0⇒ac >bc 或a >b ，c <0⇒ac <bc ； ⑦同向正数不等式可乘性： a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；⑧乘方法则：a >b >0，n ∈N *⇒a n >b n ；⑨开方法则：a >b >0，n ∈N *⇒n a >nb . 2．不等式的解法 (1)一元一次不等式的解法一元一次不等式ax ＋b >0 (a ≠0)的解集为 ①当a >0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a ；②当a <0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－b a . (2)一元二次不等式的一般形式为 ax 2＋bx ＋c >0，或ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)．一元二次不等式、一元二次方程及二次函数间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2 无实根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集 {x |x <x 1，或x >x 2}{x |x ≠－b 2a } R不等式ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅(1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的平面区域(半平面)且不含边界直线；不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax ＋By ＋C 的值的符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax ＋By ＋C >0(或Ax ＋By ＋C <0)，而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax ＋By ＋C <0(或Ax ＋By ＋C >0)．(3)判断不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域，可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax ＋By ＋C 的符号的正负．当C ≠0时，常选用原点(0,0)；当C ＝0时，选用点(1,0)或(0,1)．这种方法概括为“直线定边界，特殊点定区域”．4．基本不等式及常用变形(1)对于任意实数a 、b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)如果a ≥0，b ≥0，那么ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (3)设a ，b 为正实数，则有： min{a ，b }≤21a ＋1b≤ ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22≤max{a ，b }． (4)若ab >0，则a b ＋ba≥2.(5)a ，b ∈R ，都有ab ≤(a ＋b )24≤a 2＋b 22成立．(6)a ，b ，c ∈R ，都有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .想方法一、分类讨论思想在解含参数不等式中的应用 例1 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.分析 先求出相应方程的根，再就两根的大小进行讨论． 解 原不等式可化为(x －1)(ax －1)<0.(1)当a ＝0时，原不等式化为－x ＋1<0，∴x >1， 所以原不等式的解集为{x |x >1}；(2)当a <0时，原不等式化为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 又1a <0，∴x <1a或x >1， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >1；(3)当a >0时，原不等式化为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 对应方程(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a ＝0的两根为1和1a . ①当0<a <1时，1a >1，∴1<x <1a；②当a ＝1时，原不等式可化为(x －1)2<0，无解；③当a >1时，1a <1，∴1a<x <1.综上所述，当a <0时，原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1.二、数形结合思想在线性规划中的应用 例2 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2，(1)若z ＝2x ＋y ，求z 的最大值和最小值； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值和最小值； (3)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值．分析 x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，yx表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．解不等式组⎩⎨⎧x ＋y －3≥0x －y ＋1≥0x ≤2表示的平面区域如图所示．图中阴影部分即为可行域．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， ∴A (1,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1， ∴B (2,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， ∴M (2,3)．(1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点M (2,3)时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 也最大，z max ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点A (1,2)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也最小，z min ＝2×1＋2＝4. 所以z 的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0,0)作直线l 垂直直线x ＋y －3＝0，垂足为N ， 则直线l 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0， 得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝⎛⎭⎫32，32，点N ⎝⎛⎭⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内．此时可行域内点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小． 又OM ＝13，ON ＝ 92， 即92≤x 2＋y 2≤13.∴92≤x 2＋y 2≤13， 所以，z 的最大值为13，最小值为92.(3)∵k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤yx≤2， 所以z 的最大值为2，最小值为12.三、分离参数在恒成立问题中的应用例3 设函数f (x )＝lg 1＋2x ＋3x ＋…＋(n －1)x ＋n x ·an ，其中a ∈R ，n ∈N *且n ≥2，如果当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a 的取值范围．解 由题意知，当x ∈(－∞，1]时，1＋2x ＋3x ＋…＋(n －1)x ＋n x ·a >0恒成立(n ∈N *且n ≥2)．所以a >－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1n x ＋⎝⎛⎭⎫2n x ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n x ，令g (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1n x ＋⎝⎛⎭⎫2n x ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n x ，因为函数y ＝－⎝⎛⎭⎫k n x(1≤k ≤n －1)在(－∞，1]上递增，所以g (x )在(－∞，1]上递增， 所以g (x )≤g (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n ＋…＋n －1n＝－12(n －1)，所以a >－12(n －1)即为所求．例4 若关于x 的方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围．解 令2x ＝t >0，换元后转化为一元二次方程在(0，＋∞)上有实数解．求a 的范围，另外若将参数a 分离出来，则问题转化为求函数值域问题，用基本不等式很容易求解．令2x ＝t >0，原方程化为t 2＋at ＋a ＋1＝0 ∴a ＝－t 2＋11＋t ＝－(t 2－1)＋2t ＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t －1)＋2t ＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1－2≤－22＋2＝2－2 2. ∴a 的取值范围是a ≤－2 2. 四、函数单调性在求最值中的应用例5 已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b 的最小值．解 y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋b a ＋ab＝ab ＋1ab ＋a 2＋b2ab＝ab ＋1ab ＋(a ＋b )2－2abab＝ab ＋2ab－2.令ab ＝t ，∵a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b )24＝14.∴t ∈⎝⎛⎦⎤0，14，∵y ＝ab ＋2ab －2＝t ＋2t －2 在⎝⎛⎦⎤0，14上单调递减，∴y min ＝14＋8－2＝254. 当且仅当t ＝14，ab ＝14，即a ＝b ＝12时取“＝”．例6 (综合应用)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m ，中间两道隔墙建造单价为248元/m ，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．分析 首先把造价表示为某一变量的函数，再利用基本不等式、函数单调性等知识求出最小值．解 设污水处理池的长为x m ，则宽为200x m ，再设总造价为y 元，则有(1)y ＝2x ×400＋200x ×2×400＋248×2×200x ＋80×200＝800x ＋259 200x＋16 000≥2800x ·259 200x＋16 000＝2×800×18＋16 000＝44 800，当且仅当800x ＝259 200x ，即x ＝18 m 时，y 取得最小值．∴当污水池的长为18 m ，宽为1009 m 时总造价最低，为44 800元．(2)∵0<x ≤16,0<200x ≤16，∴12.5≤x ≤16，x ≠18，∴不能用基本不等式，但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间[12.5,16]上是减函数，从而利用单调性求得最小值．由(1)知，y ＝φ(x )＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16 000 (12.5≤x ≤16)． 对任意x 1、x 2∈[12.5,16]，设x 1<x 2，则φ(x 1)－φ(x 2)＝800⎣⎡⎦⎤(x 1－x 2)＋324⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝800(x 1－x 2)(x 1x 2－324)x 1x 2>0.∴φ(x 1)>φ(x 2)，故y ＝φ(x )在[12.5,16]上为减函数． 从而有φ(x )≥φ(16)＝45 000，∴当污水池的长度为16 m ，宽为12.5 m 时有最低总造价，最低总造价为45 000元． 五、放缩法在证明不等式中的应用例7 (竞赛竞技题)已知0<a <1，x 2＋y ＝0，求证： log a (a x ＋a y )≤log a 2＋18.证明 ∵0<a <1，∴左边＝log a (a x ＋a y )≤log a (2a x a y ) ＝log a 2＋log a a x ＋y 2＝log a 2＋12(x ＋y )＝log a 2＋12(x －x 2)＝log a 2＋18－12⎝⎛⎭⎫x －122≤log a 2＋18＝右边∴log a (a x ＋a y )≤log a 2＋18.六、比较法在证明不等式中的应用例8 (竞赛竞技题)如果a 2＋b 2＋c 2＝1，a ，b ，c 是实数，试证：－12≤ab ＋bc ＋ca ≤1.证明 先证：ab ＋bc ＋ca ≤1 ∵1－(ab ＋bc ＋ca )＝(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋a 2－2ca )] ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0 ∴1≥ab ＋bc ＋ca 即ab ＋bc ＋ca ≤1. 再证：ab ＋bc ＋ca ≥－12.∵ab ＋bc ＋ca －⎝⎛⎭⎫－12＝ab ＋bc ＋ca ＋12 ＝ab ＋bc ＋ca ＋a 2＋b 2＋c 22＝12(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝12(a ＋b ＋c )2≥0. ∴ab ＋bc ＋ca ≥－12.即－12≤ab ＋bc ＋ca综上所述，－12≤ab ＋bc ＋ca ≤1.思妙解1．灵活拆项求函数最值 例1 求函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值．解 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋4x 2＋4－3x 2＋4.∵x 2＋4＋4x 2＋4≥24＝4. 当且仅当x 2＋4＝4x 2＋4，即x ＝0时，取到最小值4.因为－3x 2＋4≥－32， 当x ＝0时，－3x 2＋4取到最小值－32.所以，y min ＝4－32＝52.当且仅当x ＝0时取到这一最小值． 2．分数的小性质有着大用途 例2 求证：12·34·56·…·99100<110.证明 由真分数的性质知： 12<23<34<45<56<67<…<99100<100101 设A ＝12·34·56·…·9798·99100B ＝23·45·67·…·9899·100101易知：0<A <B ，∴A 2<AB . 即⎝⎛⎭⎫12·34·56·…·991002 <⎝⎛⎭⎫12·34·56·…·99100·⎝⎛⎭⎫23·45·67·…·100101 ∴⎝⎛⎭⎫12·34·56·…·991002 <12·23·34·45·56·…·9899·99100·100101 即⎝⎛⎭⎫12·34·56·…·991002<1101<1100 ∴12·34·56·…·99100<110. 3．利用一次函数的保号性证明不等式高中数学-打印版例3设|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：ab＋bc＋ca＋1>0.证明设f(x)＝(a＋b)x＋ab＋1当x∈(－1,1)时，f(x)>0恒成立⇔f(－1)>0且f(1)>0∵f(－1)＝ab＋1－a－b＝(a－1)(b－1)>0且f(1)＝a＋b＋ab＋1＝(a＋1)(b＋1)>0∴当x∈(－1,1)时，f(x)＝(a＋b)x＋ab＋1>0恒成立．∵c∈(－1,1)，∴f(c)＝ac＋bc＋ab＋1>0成立．即ab＋bc＋ca＋1>0成立．精心校对。