人教版高中数学高二必修5学案 第三章《不等式》本章回顾
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本章回顾
识结构
点回放
1．不等式的基本性质 (1)比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a 0，则a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a
b
<1⇔a
(2)不等式的性质 ①对称性：a >b ⇔b b ，b >c ⇒a >c ； ③加法法则：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； ④移项法则：a ＋b >c ⇔a >c －b ； ⑤同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；
⑥乘法法则：a >b ，c >0⇒ac >bc 或a >b ，c <0⇒ac
⑧乘方法则：a >b >0，n ∈N *⇒a n >b n ；
⑨开方法则：a >b >0，n ∈N *⇒n a >n
b . 2．不等式的解法 (1)一元一次不等式的解法
一元一次不等式ax ＋b >0 (a ≠0)的解集为 ①当a >0时，⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x |x >－b a ；
②当a <0时，⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x <－b a . (2)一元二次不等式的一般形式为 ax 2＋bx ＋c >0，或ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)．
一元二次不等式、一元二次方程及二次函数间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程
ax 2＋bx ＋c ＝0
有两不等实根x 1，
x 2(x 1 有两相等实根x 1＝x 2 无实根 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象 不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x {x |x ≠ －b 2a } R 不等式ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1 ∅ ∅ (1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的平面区域(半平面)且不含边界直线；不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线． (2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax ＋By ＋C 的值的符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax ＋By ＋C >0(或Ax ＋By ＋C <0)，而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax ＋By ＋C <0(或Ax ＋By ＋C >0)． (3)判断不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域，可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax ＋By ＋C 的符号的正负．当C ≠0时，常选用原点(0,0)；当C ＝0时，选用点(1,0)或(0,1)．这种方法概括为“直线定边界，特殊点定区域”． 4．基本不等式及常用变形 (1)对于任意实数a 、b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)如果a ≥0，b ≥0，那么ab ≤a ＋b 2 ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (3)设a ，b 为正实数，则有： min{a ，b }≤2 1a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋ b 2 2 ≤max{a ，b }． (4)若ab >0，则a b ＋b a ≥2. (5)a ，b ∈R ，都有ab ≤(a ＋b )24≤a 2＋b 2 2成立． (6)a ，b ，c ∈R ，都有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 想方法 一、分类讨论思想在解含参数不等式中的应用 例1 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 分析 先求出相应方程的根，再就两根的大小进行讨论． 解 原不等式可化为(x －1)(ax －1)<0. (1)当a ＝0时，原不等式化为－x ＋1<0，∴x >1， 所以原不等式的解集为{x |x >1}； (2)当a <0时，原不等式化为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1 a >0， 又1a <0，∴x <1 a 或x >1， 所以原不等式的解集为⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x <1a 或x >1； (3)当a >0时，原不等式化为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1 a <0， 对应方程(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a ＝0的两根为1和1 a . ①当01，∴1 a ； ②当a ＝1时，原不等式可化为(x －1)2<0，无解； ③ 当a >1时，1a <1，∴1 a 综上所述，当a <0时，原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ x |x <1a 或x >1；