第二类曲线积分的计算

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第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算(1)转化为定积分的计算公式βα→⎩⎨⎧==:),(),(,),(),,(t t y y t x x L L y x Q y x P 的参数方程为续上连在定向光滑曲线弧设定理dtt y t y t x Q t x t y t x P dy y x Q dx y x P L )}()](),([)()](),([{),(),('+'=+⎰⎰βα则特殊情形.)(:)1(b a x x y y L ，终点为起点为=.)}()](,[)](,[{dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx ba L ⎰⎰'+=+则.)(:)2(d c y y x x L ，终点为起点为=.]}),([)(]),([{dy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx dc L ⎰⎰+'=+则垂直性.0),(⎰=L dx y x p x L 轴的线段时，有是垂直于定向曲线故轴时垂直于因当,0cos ,=αx L ⎰⎰==LL ds y x p dx y x p 0cos ),(),(α.0),(⎰=Ldy y x p y L 轴的线段时，有是垂直于同理，当推广.)()](),(),([)()](),(),([{⎰⎰+'+'=++Γba t y t z t y t x Q t x t z t y t x P Rdz Qdy Pdx dtt z t z t y t x R )}()](),(),(['第二类曲线积分的计算(2).)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算a B x a A a L dx y L-⎰例1)0,(a A )0,(a B -例题解,sin cos :)1(⎩⎨⎧==θθa y a x L ，变到从πθ0⎰π=0原式θθθd a a )sin (sin 22-.343a -=,0:)2(=y L ，变到从a a x -⎰-=aa dx 0原式.0=⎰π=03a )(cos )cos 1(2θθd -.)0,4,3()5,4,3()0,0,2(,的折线段再到到是从点其中，计算曲线积分C B A xdz zdy ydx Γ++⎰Γ例2。

第二类曲线积分学

沿着L的方向移动时，参数 t 减少.
dt < 0
→
→ →r (− e r ′ )
r r′ d r = r (t )d t
故 d r 与 r ′ ( t )方向相反，而与 L的方向一致 .
于是
dr =
→
ds
(2)
综合(1)、 (2)，得
dr = e
其中
→ L
ds
.
→ e L 是与 L同方向的单位切向量
L
= ∫ [ P ( x , y ) cos α + Q ( x , y ) cos β ]ds
曲线 L在 r (t )的终点处切向量，其指向与参数 t 增大
时曲线 L上的点移动的方向一致.
→
一方面 d r = r ′ ( t ) d t = (ϕ ′( t ), ψ ′( t )) d t
= (d x , d y )
∫ P ( x, y ) d x + Q( x , y ) d y =
L
∫ [P ( x , y )
L
2 x − x 2 + Q( x , y )( 1 − x )]ds
三、第二类曲线积分的计算法
定理10.2 设 L 是一条平面有向光滑曲线弧，其参数方程为
⎧ x = φ( t ) ⎨ ⎩ y = ψ (t ) t : a → b,
a
ϕ ′( t ) ⋅ ϕ 2 t + ψ ′2 ⎧ P [ϕ ( t ),ψ ( t )] ⋅ ϕ ′ ( t2) d t , 2 当 a ′< ( b)时； ( t ) d t ϕ ′ (t ) + ψ ′ (t ) ⎪a
→
e
L
= (cos α , cos β )

考研数学第二类曲线积分的计算

2019考研数学：第二类曲线积分的计算来源：文都教育曲线曲面积分的计算是高等数学中非常重要的一部分知识，在考研数学一中每年都会考查。

下面，文都教育的数学老师给2019考研的同学们总结一下一些考研数学经常用到的计算第二类曲线积分的基本方法，希望对同学们有些帮助。

（一）直接法（1）设有光滑曲线L:):(,)()(βα→⎩⎨⎧==t t y y t x x ，其起点和终点分别对应参数βα==t t ,，),(),,(y x Q y x P 在L 上连续，则dtt y t y t x Q t x t y t x P Qdy Pdx L⎰⎰+=+βα)]('))(),(()('))(),(([这里的βα,谁大谁小无关紧要，关键是要和起点和终点分别对应。

（二）格林公式法设闭区域D 是分段光滑的曲线L 围成，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q Qdy Pdx D L ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+，D 其中L 为D 取正向的边界曲线（所谓正向就是当沿曲线正向行走时，区域在左手边）。

但是考研数学中涉及到格林公式时，一般不能直接使用，是因为命题人会故意破坏格林公式的使用条件：L 不是封闭曲线，也就没有有界闭区域；虽然有有界闭区域，但),(),,(y x Q y x P 在D 上没有一阶连续偏导数。

这就要求同学们要学会使用“补线法”，补上一条或多条曲线，使得封闭出满足格林公式使用条件的有界闭区域。

（三）利用线积分与路径无关 1. 理论依据：定理：设函数),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 上有一阶连续偏导数，则以下四条等价：（1） ⎰+L Qdy Pdx 与路径无关；（2）0=+⎰L Qdy Pdx ，其中L 为D 中任一分段光滑闭曲线；（3）yPx Q ∂∂=∂∂ （4）),(),(),(y x dF dy y x Q dx y x P =+ 2. 计算（1）改变积分路径：一般是沿平行于坐标轴的直线积分，⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P 或⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dx y x P dy y x Q dy y x Q dx y x P 。

第二类曲线积分计算公式

第二类曲线积分计算公式曲线积分是高等数学中的重要概念，它是对向量场在曲线上的积分。

在积分过程中，我们需要根据曲线的特性来选择适合的计算公式。

第二类曲线积分计算公式是其中一种常用的公式，它可以帮助我们计算向量场在曲线上的积分。

本文将详细介绍第二类曲线积分计算公式的定义、性质以及应用。

一、第二类曲线积分计算公式的定义在介绍第二类曲线积分计算公式之前，我们需要先了解一下曲线积分的概念。

对于一个二维向量场 $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，我们可以定义其在曲线 $C: y=f(x)$ 上的积分为：$$int_C F(x,y)cdot ds=int_a^bF(x,f(x))cdotsqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中，$ds=sqrt{1+(f'(x))^2}dx$ 表示曲线元素。

这个积分式子就是曲线积分的基本形式。

在这个基础上，我们可以继续分类讨论，分成第一类曲线积分和第二类曲线积分。

第二类曲线积分是指曲线积分中，积分项中的 $F(x,y)$ 为一个梯度场的情况。

具体来说，如果存在一个标量场$varphi(x,y)$，使得 $ablavarphi(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，那么我们就称$F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ 为一个梯度场。

此时，第二类曲线积分的计算公式为：$$int_C F(x,y)cdot ds=varphi(B)-varphi(A)$$其中，$A$ 和 $B$ 分别表示曲线 $C$ 的起点和终点。

也就是说，第二类曲线积分的结果只与曲线的起点和终点有关，与曲线的具体形状无关。

二、第二类曲线积分计算公式的性质第二类曲线积分计算公式有以下几个重要的性质：1. 线性性质对于任意两个梯度场 $F_1(x,y)=(P_1(x,y),Q_1(x,y))$ 和$F_2(x,y)=(P_2(x,y),Q_2(x,y))$，以及任意两个标量场$varphi_1(x,y)$ 和 $varphi_2(x,y)$，有：$$int_C (F_1(x,y)+F_2(x,y))cdot ds=int_C F_1(x,y)cdot ds+int_C F_2(x,y)cdot ds$$$$int_C (kcdot F(x,y))cdot ds=kcdotint_C F(x,y)cdot ds$$$$int_C (varphi_1(x,y)+varphi_2(x,y))cdot ds=int_C varphi_1(x,y)cdot ds+int_C varphi_2(x,y)cdot ds$$$$int_C (kcdotvarphi(x,y))cdot ds=kcdotint_Cvarphi(x,y)cdot ds$$其中，$k$ 是任意常数。

第二类曲线积分的计算方法

第二类曲线积分的计算方法曲线积分是微积分中的一个重要概念，它是对曲线上某个向量场的积分。

曲线积分分为第一类和第二类曲线积分，其中第二类曲线积分是指对曲线上的标量场进行积分。

本文将介绍第二类曲线积分的计算方法。

第二类曲线积分的定义设曲线C是一个光滑曲线，f(x,y,z)是定义在C上的连续函数，则曲线积分的定义为：∫Cf(x,y,z)ds其中，ds表示曲线C上的弧长元素，即ds=√(dx^2+dy^2+dz^2)。

第二类曲线积分的计算方法第二类曲线积分的计算方法有两种，一种是参数化计算法，另一种是向量场计算法。

1. 参数化计算法参数化计算法是指将曲线C表示为参数方程形式，然后将曲线积分转化为对参数t的积分。

具体步骤如下：（1）将曲线C表示为参数方程形式：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，a≤t≤b（2）计算ds：ds=√(dx^2+dy^2+dz^2)=√(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)dt（3）将f(x,y,z)表示为f(x(t),y(t),z(t))，然后将曲线积分转化为对参数t的积分：∫Cf(x,y,z)ds=∫bf(x(t),y(t),z(t))√(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)dt2. 向量场计算法向量场计算法是指将曲线C上的标量场f(x,y,z)转化为向量场F(x,y,z)=(f(x,y,z),0,0)，然后计算向量场F(x,y,z)沿曲线C的线积分。

具体步骤如下：（1）将曲线C表示为参数方程形式：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，a≤t≤b（2）计算曲线C的切向量T(t)：T(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))（3）计算向量场F(x,y,z)在曲线C上的投影：F(x(t),y(t),z(t))·T(t)=f(x(t),y(t),z(t))x'(t)（4）计算向量场F(x,y,z)沿曲线C的线积分：∫CF(x,y,z)·ds=∫bF(x(t),y(t),z(t))·T(t)ds=∫bf(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt两种方法的比较参数化计算法和向量场计算法都可以用来计算第二类曲线积分，但是它们的适用范围不同。

数学分析20.2第二型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章曲线积分 2第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功.在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1，与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n).若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记ii M ML 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为W i ≈F(ξi ,ηi )·ii M ML 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点.因而力F(x,y)沿曲线⌒AB所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1≈∑=∆n i i i i x P 1),(ηξ+∑=∆ni i i i y Q 1),(ηξ.定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上.对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ+∑=→∆ni i i i T y Q 1),(lim ηξ且与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分，记作：⎰L dx y x P ),(+Q(x,y)dy 或⎰AB dx y x P ),(+Q(x,y)dy ，也可简写为⎰LPdx +Qdy 或⎰ABPdx +Qdy ，若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰LPdx +Qdy.若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F . 若L 为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L 的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为：⎰Ldx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 或⎰ABdx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ，也可简写为⎰L Pdx +Qdy+Rdz 或⎰AB Pdx +Qdy+Rdz.当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有向量形式⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F .注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A 到B 改变由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△x i ,△y i 也随之变号，故有⎰AB Pdx +Qdy= -⎰BA Pdx +Qdy.性质：1、若⎰L i dx P +Q i dy 存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1也存在，且 dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛∑=1=()dy Q dx P c iLiki i +⎰∑=1.2、若有向曲线L 是由有向曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL Pdx +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则⎰LPdx +Qdy 也存在，且⎰LPdx +Qdy =∑⎰=ki L iPdx 1+Qdy.二、第二型曲线积分的计算设平面曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且点A 与B 的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L 上的连续函数，则沿L 从A 到B 的第二型曲线积分⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),(([.注：1、对沿封闭曲线L 的第二型曲线积分的计算，可在L 上任取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点.2、设空间有向光滑曲线L 的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t ∈[α,β]，起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则Rdz Qdy Pdx L ++⎰=⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x P t x t z t y t x P )]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([.例1：计算⎰L xydx +(y-x)dy ，其中L 分别沿如图中路线： (1)直线AB ；(2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界).解：(1)方法一：L:⎩⎨⎧+=+=ty tx 211, t ∈[0,1]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+++10]2)21)(1[(dt t t t =625. 方法二：L: y=2x-1, x ∈[1,2]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰-+-21)]1(2)12([dx x x x =625. (2)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+--++-2122)]352)(44()342([dx x x x x x x=⎰-+-2123)12353210(dx x x x =610.(3)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰AD xydx +(y-x)dy+⎰DB xydx +(y-x)dy+⎰BA xydx +(y-x)dy. 又⎰AD xydx +(y-x)dy=⎰21xdx =23;⎰DBxydx +(y-x)dy=⎰-31)2(dy y =0;⎰BAxydx +(y-x)dy=-625；∴⎰L xydx +(y-x)dy=23+0-625=-38.例2：计算ydx xdy L +⎰，这里L(如图) (1)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (2)沿直线段OB ：y=2x ； (3)沿封闭曲线OABO.解：(1)ydx xdy L +⎰=⎰+1022)24(dx x x =2. (2)ydx xdy L +⎰=⎰+10)22(dx x x =2. (3)ydx xdy OA +⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB+⎰=⎰2dy =2;ydx xdy BO+⎰=-2；∴⎰+L ydx xdy =ydx xdy OA +⎰+ydx xdy AB +⎰+ydx xdy BO +⎰=0+2-2=0.例3：计算第二型曲线积分⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(，L 是螺旋线：x=acost, y=asint, z=bt 从t=0到t=π上的一段. 解：⎰+-+L dzx dy y x xydx 2)(=dt t b a t t t a t t a ⎰+-+-π022223]cos )sin (cos cos cos sin [=⎰⎰⎰-++-πππ222223cos sin cos )1(cos sin tdtt a atdt b a tdt t a=⎰+π022cos )1(tdt b a =21a 2(1+b)π.例4：(如图)求在力F(y,-x,x+y+z)作用下， (1)质点由A 沿螺旋线L 1到B 所作的功. 其中L 1: x=acost, y=asint, z=bt, 0≤t ≤2π； (2)质点由A 沿直线L 2到B 所作的功. 解：(1)W=⎰+++-L dzz y x xdy ydx )(=dt bt t a t a b t a t a ⎰+++--π202222)]sin cos (cos sin [=dt t b t ab t ab a ⎰+++-π2022)sin cos (=-2πa 2+2π2b 2=2π(πb 2-a 2).(2)∵L 2: x=a,y=0,z=bt ，0≤t ≤2π；∴W=⎰+++-L dz z y x xdy ydx )(=dt bt a b ⎰+π20)(=2πb(a+πb)三、两类曲线积分的联系设L 为从A 到B 的有向光滑曲线，它以弧长s 为参数，于是L: ⎩⎨⎧==)()(s y y s x x , 0≤s ≤l ，其中l 为曲线L 的全长，且点A,B 的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)). 曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(),()分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦为dsdx=cos(),dsdy=cos().若P(x,y), Q(x,y)为曲线L 上的连续函数，则由⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'lds s y s y s x Q s x s y s x P 0)]())(),(()())(),(([得⎰LPdx +Qdy=⎰ls y s x P 0))(),(([cos()+))(),((s y s x Q cos()]ds=⎰L y x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds.最后得到一个根据第一型曲线积分化为定积分的等式. 即两类曲线积分之间的转换公式.注：当⎰L Pdx +Qdy 的方向改变时，⎰Ly x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds 中的夹角与原夹角相差弧度π，从而cos()和cos()也随之变号.因此，一旦方向确定，两类曲线积分之间的转换公式总是成立.习题1、计算第二型曲线积分：(1)⎰-L ydx xdy , 其中L (如图)(i)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (ii)沿直线段OB ：y=2x ； (iii)沿封闭曲线OABO.(2)⎰+-L dy dx y a )2(, 其中L 为摆线a(t-sint),y=a(1-cost) (0≤t ≤2π)，沿t 增加方向的一段； (3)⎰++-Lyx ydy xdx 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2依逆时针方向； (4)⎰+L xdy ydx sin , 其中L 为y=sinx(0≤x ≤π)与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；(5)⎰++L zdz ydy xdx , 其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 解：(1)(i)ydx xdy L -⎰=⎰-1022)24(dx x x =32. (ii)⎰-L ydx xdy =⎰-10)22(dx x x =0.(iii)ydx xdy OA -⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB -⎰=⎰20dy =2;ydx xdy BO -⎰=-32； ∴⎰-L ydx xdy =ydx xdy OA -⎰+ydx xdy AB -⎰+ydx xdy BO -⎰=0+2-32=34.(2)⎰+-L dy dx y a )2(=⎰+---π20}sin )cos 1)](cos 1(2[{dt t a t t a a a =dt t a dt t a ⎰⎰+-ππ202022sin )cos 1(=πa 2.(3)由圆的参数方程：x=acost, y=asint, (0≤t ≤2π)得⎰++-L y x ydyxdx 22=⎰+π20222)cos sin sin cos (adt t t a t t a =0. (4)记点A(π,0)则⎰+Lxdy ydx sin =⎰⎰⋂+++OAAOxdyydx xdy ydx sin sin=⎰⎰++000)cos sin (sin ππdx dx x x x =-cosx π0=2.(5)L 的参数方程为：x=t, y=2t-1, z=3t-2, (1≤t ≤2)， ∴⎰++L zdz ydy xdx =⎰-+-+21)6924(dt t t t =⎰-21)814(dt t =13.2、设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比. 若由质点与(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功. 解：椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint, 0≤t ≤2π.F=k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+222222,y x y y x x y x =(-kx,-ky), k>0. ∴力所作的功W=⎰L Pdx +Qdy=⎰+-L ydy xdx k )(=-k ⎰+-2022)cos sin sin cos (πdt t t b t t a =2k(a 2-b 2).3、设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比. 若质点沿直线x=at, y=bt, z=ct(c ≠0)从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c)，求力所作的功.解：F=zk , k ≠0. 由力的方向指向原点，故其方向余弦为：cos α=r x -, cos β=r y -, cos γ=r z-, 其中r=222z y x ++F 的三个分力为P=-r x z k , Q=-r y z k , P=-rz z k =-r k, ∴力所作的功为W=-dz r kdy rz ky dx rz kx L ++⎰=-k ⎰++++21222222)(dt tc b a ct t c b a =c c b a k 222++'ln2.4、证明曲线积分的估计公式：⎰+ABQdy Pdx ≤LM, 其中L 为AB 的弧长，M=22),(maxQ P ABy x +∈.利用上述不等式估计积分I R =⎰=+++-222222)(R yx y xy x xdyydx ，并证明+∞→R lim I R =0. 证：(1)∵⎰+AB Qdy Pdx =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+AB ds dy Q dsdx Pds 且 ds dy Q ds dx P +≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222)(ds dy ds dx Q P ≤22Q P +，从而 ⎰+ABQdy Pdx ≤⎰+ABdsdyQ ds dx Pds ≤⎰+AB Q P 22ds ≤⎰AB M ds=LM. (2)42222)(max222y xy x y x R y x +++=+=4222)21(R R R -=34R ; 由(1)知222)(y xy x xdyydx ++-≤2πR·34R =28R π.∵|I R |≤28R π→0 (R →+∞), ∴+∞→R lim I R =0.5、计算沿空间曲线的第二型积分：(1)⎰L xyzdz , 其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8封限；(2)⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zz 平面部分.解：(1)曲线L 的参数方程为：x=cost, y=z=t sin 22, 0≤t ≤2π，当t 从0增加到2π时，点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限，于是⎰Lxyzdz =⎰π20224sin cos 2tdt t =162π.(2)(如图)设I=⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222=⎰1L +⎰2L +⎰3L ,其中L 1: ⎪⎩⎪⎨⎧===0sin cos z y x θθ(0≤θ≤2π); L 2: ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕsin cos 0z y x (0≤φ≤2π); L 3: ⎪⎩⎪⎨⎧===ψψcos 0sin z y x (0≤ψ≤2π); 则⎰-+-+-1)()()(222222L dz y x dy x z dx z y =⎰--2033)cos sin (πθθθd =-32-32=-34.同理⎰2L =⎰3L =-34，∴I=-34-34-34=-4.。

第二类曲线积分计算

第二类曲线积分计算
对于第二类曲线积分，我们通常需要将其转化为一个二元函数对
于曲线参数的积分。

首先，我们需要了解什么是曲线参数。

曲线参数是指对于一条曲线，我们可以通过一个参数方程来表示
出曲线上任意一点的位置，这个参数通常用t表示，也就是我们常见
的“t-表示法”。

比如，对于一条圆的参数方程可以表示为 x =
r*cos(t), y = r*sin(t)，t的范围为0到2π。

接下来，我们需要将二元函数关于曲线参数表示出来，这就需要
用到链式法则。

假设我们要计算的曲线为C，得到C的参数方程后，设
f(x,y)为我们要计算的函数，那么该函数在曲线C上的曲线积分可以
表示为：
∫C f(x,y) ds = ∫a^b f(x(t),y(t)) * sqrt(x'(t)^2 +
y'(t)^2) dt
其中，a和b分别为t的开始和结束参数，x'(t)和y'(t)分别表
示对x(t)和y(t)求导数，而sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2)表示曲线C在
参数t处的切线长度。

现在，我们有了二元函数关于曲线参数的表达式，就可以直接进
行积分计算了。

需要注意的是，在具体计算中，我们要注意二元函数
在曲线C上的方向性，如果曲线参数从起点到终点呈逆时针方向变化，我们需要加入一个负号以表示相反的方向性。

综上，第二类曲线积分的计算需要进行以下步骤：
1.求出曲线C的参数方程
2.将二元函数转化为关于曲线参数的表达式
3.进行积分计算，注意方向性
掌握了这些基本知识，我们就能够在实际问题中运用第二类曲线积分来解决需要求解的难题。

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分得计算定义设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上得函数,对任一分割,它把分成个小弧段;其中=、记各个小弧段弧长为,分割得细度为,又设得分点得坐标为,并记, 、在每个小弧段上任取一点,若极限存在且与分割与点得取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上得第二类曲线积分,记为或也可记作或注:(1) 若记=,则上述记号可写成向量形式:、(2) 倘若为光滑或分段光滑得空间有向连续曲线,,,为定义在上得函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线得第二类曲线积分,并记为按照这一定义, 有力场沿平面曲线从点到点所作得功为、第二类曲线积分得鲜明特征就是曲线得方向性、对二类曲线积分有,定积分就是第二类曲线积分中当曲线为轴上得线段时得特例、可类似地考虑空间力场沿空间曲线所作得功、为空间曲线上得第二类曲线积分、与第一类曲线积分得区别首先要弄清楚两类积分得定义,简单地说,第一类曲线积分就就是第二类曲线积分就就是(1)这两种曲线积分得主要区别就在于,第一型曲线积分得积分中就是乘得,就是一小段弧得弧长,总就是正值;而第二类曲线积分与积分与中就是乘得一段弧得坐标得增量,,与就是可正可负得。

当积分得路径反向时,不变,而与反号,因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号,在这一性质上,第二类曲线积分与定积分就是一样得。

计算曲线积分得基本方法就是利用得参数方程将其转化成定积分,但两类曲线积分有些不同。

设曲线得参数方程为则第一类曲线积分得计算公式为这里要注意,即对t得定积分中,下限比上限小时才有,也就有,这样才有上述计算公式。

这个问题在计算中也要特别注意。

沿曲线上得点由A 变到B,即t得下限对应曲线积分得起点A,她得上限对应曲线积分得起点A,t得上限对应终点B。

历年真题1、设曲线,具有一阶连续偏导数,过第二象限内得点M与第四象限内得点N,为L上从点M到点N得一段弧,则下列小于零得选项就是(A)(B)(C)(D)(2007,数一,4分) 【解析】设点,得坐标分别为,,则有题设可知答案为B。

2014考研数学备考重点解析——第二类曲线积分的计算

2014考研数学备考重点解析一一第二类曲线积分的计算1•计算方法1）直接法；fc Q 田）2）格林公式疔dx+Qdy=JJ ——-—^».D i法€y丿3）补线用格林公式4）利用线积分与路径无关:Q.x（2）计算：a）改换路径；b）利用原函数f Pdx+Qdy = F（x2,y2）-卩（为，％）,其中（x1 y）Pdx Qd^dF（x, y）,求原函数方法：①偏海文钻石卡视频积分：②凑微分.2•两类线积分的联系：：Pdx • Qdy 二「（Pcos= " Qcos ：）ds.C Cf—2 2 2 2【例1】计算I =[ ye y dx (xe y2xy e y )dy.其中C为y=3_x从0(0,0)到A(1,1)的曲线段.Cde 2 2 22 2【解析】由于一(ye y) =—(xe y- 2xy2e y) = e y2y2e y，则本题中的线积分与路径无关.d ye x解法1改换路径，B点为(1,0)点。

2 2 2 2 2 2原式= OB ye y dx (xe y2xy2e y)dy .臥ye y dx (xe y2xy2e y)dy1 2 2=0 0(e y2y2e y )dy= 0 - ；2y2e y2dy 012y2e『dy =3.也可将路径改换为另一折线0C、CA，其中C点为（0,1）点，则原式22 222 2I= 0Cye y dx (xe y2xy 2e y)dyCAye y dx (xe y2xy 2e y)dy = 0°edx=e .解法2利用原函数，由于y 2y 22 y 2y 2y 2y 2ye dx (xe 2xy e )dy 二(ye )dx xd(ye ) = d(xye )2则 F(x,y) =xye •2,则-(e y )dx - (x y 2)dy =C【解析】由格林公式得2 2 2%e ydx +(x + y 2)dy = "(1 -2ye y )d<rD=d ； - SD则其面积S =2二.y 22故 ■- L e y dx (x y )dy 二 2 . 【例3】计算I(e x siny 「b(x y))dx • (e x cosy -ax)dy ,其中a,b 为正常数，C 为从点A(2a,0)沿曲线Cy = ■. 2ax - x 2 到点 O(0,0)的弧.【解析】补线段OA ，则I(e x sin y _b(x y))dx (e x cosy _ax)dyC OA-OA(e x sin y _b(x y))dx (e x cosy _ ax)dy2a= (e x cosy _a -e x cosy b)d ；「_ o (_bx)dx ，D2故 L ye y dx (xe2 2 2 2xy e y )dy 二 xye y(1,1)e .(0,0)2 2【例2】设C 为椭圆4x y -8x 沿逆时针方向其中D 是由4x 2 • y 2 =8x 围成的椭圆域,S 为其面积，海文钻石卡视频该椭圆方程可改写为2(X -1)2」1，4也可将路径改换为另一折线 0C 、CA ，其中C 点为（0,1）点，则2 21【解析】（1）C:x （y -1N ，由格林公式得1ydx -xdyir .(—i —i)d 二（这里用了格林公式）D i-2-:；2=_2二.注：由本题可看出，对线积分ydx-xdy y Q,P ~ 2 2 ,Qx y x 2 y 2—x— 2，除原点（0,0）夕卜，P,Q 有连续一阶偏导数, x y且― ■-Q,(x, (0,0).此时有以下结论: -X 2aI = (b -a)d 匚 b xdx =D(b - a) 2a 2b【例4】计算I”中2 21（DC 为x y -2八二的正向;⑵C 为4x 2 • y 2「8x 二4的正向.ag-x ■（其中D 为曲线C 所围圆域）2 2x -y x 22-y\((x 2y 2)^(x 2y 2)2 )d ；「-0.（2）C ：42yi ,此时不能直接用格林公式，因为在（0,0）点条件不满足.因此，作以（0,0）为中心的圆8L: x 2y 2；2 （；0）且取顺时针方向，在 L 和C 大学考研围成的环形域上用格林公式得2 2x -y ydx - xdy _(_ 訂(/ 2 2、2D(x y )2 2x -y (x 2 y 2)2)d一0，xdx —xdy ■L x 2 y 2 :^^=0. x 2 y 2 [“ ydx-xdyydx -xdy C x 2y 2x 2 y 2其中D 为y =-』2ax -x 2与0A 围成的半圆域，则D1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零 2 ）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等事实上，线积分这个类型.c【例 5 】计算 I = ［「（y ）cosx -二y ］dx ［「（y ）si nx -二］dy ,其中 AMB 弧为连结 A （二,2）与点 B （3二,4）的线段AMB【解析】= 2-(1 3二)2=2專 _2二（1 3二）=「6二AMB 『血3 3一飯『血dy兀x1一dxdy—3二(二1)dx二dx"二(x - y)dx+(x+y)dy (x + y)dx _(x _ y)dy xdy_ydxL x^ ，L ，_ I 2 2x_ y4x y x y AB 的下方的任意分段光滑简单曲线，且该曲线与大学考研线段 AB 所围图形面积为2,解法1补线段BA ，则AMB AMB'BA - BAAMBA-BA'AMBA Pdx Qdy「(3)d —ex cy!!^ - 2■:x直线BA 的方程为：y1，则 JIBAFCOSX -二 xx1(1)]dx [ (1) si nx-二]dxJIJI解法其中L 申(y)co xdx + 申(y)si nxdy =®(y)si nxAM B(3 二4)(二,2) =°顺时针方向。

曲线积分的定义和计算方法

曲线积分的定义和计算方法曲线积分是微积分中的一个概念，用于计算沿曲线的向量场或标量场的总量。

在本文中，我们将详细讨论曲线积分的定义和计算方法。

一、曲线积分的定义曲线积分可以分为两种类型：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

第一类曲线积分是计算向量场沿曲线的总量，而第二类曲线积分则是计算标量场沿曲线的总量。

1. 第一类曲线积分设曲线C的参数方程为R(t)=(x(t),y(t))，向量场F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j在曲线C上连续。

第一类曲线积分的定义如下：∮CF⋅dr=∫CabF⋅Tds其中，C表示曲线C上的点，a和b是参数的起始值和终止值，r表示位矢。

2. 第二类曲线积分设曲线C的参数方程为R(t)=(x(t),y(t))，标量场f(x,y)在曲线C上连续。

第二类曲线积分的定义如下：∮Cf⋅ds=∫Cabf⋅ds其中，C表示曲线C上的点，a和b是参数的起始值和终止值，s表示弧长。

二、曲线积分的计算方法曲线积分的计算可以通过参数方程或者参数化直线两种方法进行。

1. 参数方程计算法使用参数方程计算曲线积分时，首先需要确定曲线的参数方程，并将其代入曲线积分的定义式中。

然后，计算被积函数在参数范围内的取值，并对其进行积分。

2. 参数化直线计算法对于直线段，常用的方法是将其参数化为一个参数为t的函数，然后将其代入曲线积分的定义式中。

通过计算被积函数的取值，并对其进行积分，可以得到曲线积分的结果。

三、曲线积分的应用曲线积分广泛应用于物理学、工程学和应用数学等领域。

以下是曲线积分的一些应用示例：1. 对物体沿闭合路径的力学量的计算曲线积分可以用于计算物体沿闭合路径的力学量，例如质量、动量和角动量等。

通过对力与路径的积分，可以得到物体在闭合路径上的总力学量。

2. 电场的计算曲线积分可以用于计算电场的大小和方向。

通过沿着电场线进行曲线积分，可以确定电场的强度和方向，从而帮助解决与电场相关的问题。

3. 流体流动的计算曲线积分可以用于计算流体流动的特性，例如流速、流量和压力等。

第二类曲线积分的计算

r
其中，「是从点4(200)到B(3,4,5)再
到 C (3,4,0)的折线段.
垂直性定向曲线z是垂直于X轴的线段时，有
J p( x, y y)dx — 0.
L
因当z垂直于X轴时, cos a = 0,故 J p( x, y )dx =J p( x, y )cos adS = 0 L
L
同理，当L是垂直于y轴的线段时，有
J p43; Qdy + Rdz =
解⑴・・・L:
x="皿七e从0变到亦,
y = a sine
冗
原式=Jo a2 sin2 e(—a sine)de
=a3「(1 一 cos2 e)d (cos e) = — —
a3. 0
3
・ (2) x从a变L:到y —= 0a, ,
f 原式= 0dx = 0.
a
例2计算曲线积分J ydx + zdy + xdz,
a
特殊情形
⑴L: y = y(x) x起点，终点为b・则 £Pdx + Qdy =，(P[ x, y( x)] + Q[ x, y( x)] y'( x
^}dx.
(2) L: x = x(y) y起点，终点为d.
则 £Pdx + Qdy = (P[x(y),y]xf(y) + Q[x(y),y]}dy.
r
J(tb){]
Py'[(
Xt)
(+t).,ay
(t),
z
(t)]
x，(
t)
+
Q[
x
(t),
y
(t),
z
R[ x( t), y( t), z( t )]z'( t )}dt

第二类曲线积分计算公式

第二类曲线积分计算公式曲线积分是数学中的一种重要工具，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种类型，其中第二类曲线积分是较为复杂的一种。

本文将介绍第二类曲线积分的计算公式及其应用。

一、第二类曲线积分的定义第二类曲线积分是指沿着给定曲线进行积分，积分函数为一个向量场。

具体来说，设曲线C为一条光滑曲线，向量场F为一个连续可微函数，那么曲线C上的第二类曲线积分可以表示为：∫CF·ds其中，ds表示曲线C上的线元，F·ds表示向量F与ds的点积。

二、第二类曲线积分的计算公式计算第二类曲线积分的方法有很多种，其中最常用的方法是格林公式。

格林公式是一种将曲线积分转化为面积积分的方法，其公式为：∫CF·ds = D(Q/x - P/y)dA其中，D表示曲线C所包围的区域，P和Q为向量场F的两个分量。

格林公式的应用需要满足一定的条件，即向量场F在D内是连续可微的。

如果F在D内不满足这个条件，那么可以通过对D进行分割，将其分成若干个小区域，在每个小区域内应用格林公式，最后将结果相加得到整个区域D上的曲线积分。

三、第二类曲线积分的应用第二类曲线积分在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

例如，在电磁学中，电场的环量可以用第二类曲线积分来表示。

在机械工程中，曲线积分可以用来计算沿着曲线的力的功，以及液体沿着管道流动的工作量。

在计算机科学中，曲线积分可以用来计算图像的边缘。

四、结语第二类曲线积分是数学中的一个重要工具，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

本文介绍了第二类曲线积分的定义、计算公式及其应用。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的计算方法，以获得准确的结果。

第二型曲线积分计算公式

第二型曲线积分计算公式在我们学习高等数学的旅程中，第二型曲线积分计算公式可是一个相当重要的家伙。

它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多难题的大门。

先来说说这第二型曲线积分到底是啥。

想象一下，你在一个弯弯曲曲的小路上跑步，每跑一段，你所感受到的力都不太一样。

而第二型曲线积分就是要计算在这样的曲线路径上，力所做的功。

比如说，有一个力 F = (x, y)，而曲线 C 是由参数方程 x = t^2，y = t^3 给出的，从 t = 0 到 t = 1 。

那这时候，咱们的第二型曲线积分计算公式就派上用场啦！它的公式是这样的：∫_C Pdx + Qdy = ∫(α→β) [P(x(t), y(t))x'(t) +Q(x(t), y(t))y'(t)]dt 。

这里面的 P 和 Q 是力在 x 和 y 方向上的分量，x'(t) 和 y'(t) 则是曲线参数方程的导数。

听起来是不是有点复杂？别担心，咱们来通过一个具体的例子感受感受。

有一次，我在给学生们讲解这个知识点的时候，有个同学就一脸懵地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“假设你是个勤劳的小蚂蚁，要沿着一根弯弯曲曲的树枝搬运食物。

你每前进一小段，都要克服不同方向和大小的阻力。

那你想知道自己总共花费了多少力气吗？这时候就得靠咱们的第二型曲线积分计算公式啦！”然后我们就一起做了一道题。

假设曲线 C 是由 x = cos(t)，y = sin(t) 给出的，从 t = 0 到t = π/2 ，力 F = (y, -x) 。

按照公式，先求出 x'(t) = -sin(t) ，y'(t) = cos(t) ，然后代入公式计算：∫_C Pdx + Qdy = ∫(0→π/2) [sin(t)(-sin(t)) + (-cos(t))cos(t)]dt= ∫(0→π/2) (-sin^2(t) - cos^2(t))dt= -∫(0→π/2) 1 dt= -π/2同学们恍然大悟，原来这个公式能这么清楚地算出小蚂蚁花费的力气呀！再深入想想，第二型曲线积分计算公式在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

10-2第二类曲线积分-40页PPT精选文档

L
L
4°对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
5° 变力沿曲线所作的功
W P(x,y)dxQ (x,y)dy
L
性质 (1) 线性性质：，R1
[αF1
(x,
y)

βF2(x,
y)]d r
L
α

F1(x,
y)d r
β

F2(x,
y)d r
L
L
L2
(2) 可加性： L由 L1和 L2组成
(其中为 n 个小弧段的最大长度)
2. 定义10.2 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条
有向光滑弧, 在L 上定义了一个有界向量函数

F (x,y)(P (x,y),Q (x,y))
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n

λl im 0i1F(ξi,ηi)ri
第二节
第十章
第二类曲线积分
一、第二类曲线积分的概念及性质二、两类曲线积分之间的联系三、第二类曲线积分的计算
一、第二类曲线功.
设一质点受如下变力作用

F (x,y)(P (x,y),Q (x,y))
L: A B, 求移动过程中变力
所作的功W. 解决办法:
eL(cos, cos)
er , 当a b时 er ，当a b时
其中 e r r(t ) |r(t) |
(2( t)( t )2(t), 2( t)( t )2(t))
d r eL d s (co ,cs o)d ss
L
y
B(1,1)
(1) 抛物线 L:yx2,x:0 1; x沿不y同2 的路径

2019考研数学第二类曲线积分的计算

2019考研数学：第二类曲线积分的计算来源：文都教育曲线曲面积分的计算是高等数学中非常重要的一部分知识，在考研数学一中每年都会考查。

下面，文都教育的数学老师给2019考研的同学们总结一下一些考研数学经常用到的计算第二类曲线积分的基本方法，希望对同学们有些帮助。

（一）直接法（1）设有光滑曲线L:):(,)()(βα→⎩⎨⎧==t t y y t x x ，其起点和终点分别对应参数βα==t t ,，),(),,(y x Q y x P 在L 上连续，则dt t y t y t x Q t x t y t x P Qdy Pdx L ⎰⎰+=+βα)]('))(),(()('))(),(([这里的βα,谁大谁小无关紧要，关键是要和起点和终点分别对应。

（二）格林公式法设闭区域D 是分段光滑的曲线L 围成，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q Qdy Pdx D L ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+，D 其中L 为D 取正向的边界曲线（所谓正向就是当沿曲线正向行走时，区域在左手边）。

这就要求同学们要学会使用“补线法”，补上一条或多条曲线，使得封闭出满足格林公式使用条件的有界闭区域。

（三）利用线积分与路径无关1. 理论依据：定理：设函数),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 上有一阶连续偏导数，则以下四条等价：（1） ⎰+L Qdy Pdx 与路径无关；（2）0=+⎰L Qdy Pdx ，其中L 为D 中任一分段光滑闭曲线；（3）y Px Q∂∂=∂∂（4）),(),(),(y x dF dy y x Q dx y x P =+2. 计算（1）改变积分路径：一般是沿平行于坐标轴的直线积分， ⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P 或⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dx y x P dy y x Q dy y x Q dx y x P 。

高等数学微积分课件8.2.2 第二型曲线积分的计算

2 2 0

1 2 2 2 2 k (a b )[sin ]0 2 1 2 2 k (a b ) 2

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College of mathematics November 14, 2015
1 2 2 W k (a b ) 2
W 0, if a b W 0, if a b W 0, if a b
k 2 [(a cos )(a sin ) 0 (b sin )(b cos )]d k (a b ) 2 cos sin d
2 2
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College of mathematics November 14, 2015
L
L

W k (a b ) 2 cos sin d
L
中的 (x, y) 在曲线 L 上变动
(x, y) 必须满足曲线 L 的方程 !
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College of mathematics November 14, 2015
例2.1 解
ydx xdy
L
方法一
L 的直角坐标方程：
2
L : y 2x x
ydx xdy
L
(2) L : y x 2 ( x : 0 1)
xydx ( x y ) dy
L
5 (2 x x )dx 0 12
2 3
[ x x ( x x ) 2 x]dx
2 2 0 1
1
0
1
积分与路径有关 P Q y x 上一页 | 首页 | 下一页
(4) 空间曲线 L 由参数方程给出：

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】第二类曲线积分的计算定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对ABL 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或 ⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有 ⎰⎰-=BAAB,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是第二类曲线积分就是1(,)(,)lim (,)(,)niiiiiili P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的s s ，s s 是一小段弧的弧长，s s 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x ,y坐标的增量s s =s s −s s −1，s s =s s −s s −1，s s 与s s 是可正可负的。

曲线积分曲面积分公式总结

曲线积分曲面积分公式总结曲线积分是在曲线上计算函数的积分，通常用来计算沿曲线的弧长、质量、电流等物理量。

曲线积分的公式为：1.第一类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲线积分的公式为：∫[C] f(x, y, z) ds = ∫[a,b] f(r(t)) ||r'(t)|| dt其中，ds表示弧长元素，||r'(t)||表示曲线的切向量的模。

2.第二类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲线积分的公式为：∫[C] F(x, y, z) · dr = ∫[a,b] F(r(t)) · r'(t) dt其中，·表示向量的点乘，dr表示位移向量，r'(t)表示曲线的切向量。

曲面积分是在曲面上计算函数的积分，通常用来计算流量、电通量等物理量。

曲面积分的公式为：1.第一类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲面积分的公式为：∬[S] f(x, y, z) dS = ∬[D] f(r(u, v)) ||ru × rv|| du dv其中，dS表示面积元素，||ru × rv||表示曲面的法向量的模。

2.第二类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲面积分的公式为：∬[S] F(x, y, z) · dS = ∬[D] F(r(u, v)) · (ru × rv)du dv其中，·表示向量的点乘，dS表示面积元素，ru和rv分别表示曲面参数u和v方向的偏导数。