第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算

作者：钟家伟 指导老师：张伟伟

摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，

参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。

关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分

1 引言

本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。

1.1 第二类曲线积分的概念

介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。

1.2第二类曲线积分的计算方法

介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。

2.1第二类曲线积分的物理学背景

力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功

一质点受变力()y x F ,

的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,

求力()y x F ,

所做功W .

大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F

所做功为 W =AB F ⋅

. 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?

为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点

,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分

成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ∆.则分割

},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n

i S T ∆=≤≤.

设力()y x F ,

在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

与),(y x Q ,那么()y x F ,

=

()

),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P

),(),(+=由于

),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方向

上的投影分别为11---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ∆∆从而力()y x F ,

在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ⋅≈),(i F ηξ

i i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ∆+()i i Q ηξ,i y ∆

其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F ,

沿L 所作的功可近似等于

i W =∑=n i i W 1

i n

i i i i n i i i y s Q x S P ∆+∆≈∑∑==1

1

),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的极限就是所

求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.

2.2 第二型曲线积分的定义

设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i n

i S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为

),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .

在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限

∑=→∆n

i i

i

i

T x

P 1

),(lim

ηξ∑=→∆+n

i i

i

i

T y

Q 1

),(lim

ηξ

存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段

AB L 上的第二类曲线积分,记为

⎰+L

dy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

也可记作

⎰⎰

+L

L

dy y x Q dx y x P ),(),( 或

⎰⎰+AB

AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=

则上述记号可写成向量形

式:⎰⋅L

s d F .

(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,

),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲

线L 的第二类曲线积分,并记为

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L

),,(),,(),,(++⎰

按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰

+=AB

Qdy Pdx W .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分

有

⎰

⎰

-=BA

AB

,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考

虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二型曲线积分

⎰

++AB

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.

2.1 对坐标的第二类曲线积分的概念

设函数在平面P(x ，y)上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点

(,)(0,1,2

)

i i i M X Y i n =将曲线L 从起点A 到B 分为n 个有向小弧的长度

(,)i i i

l ξη∀∈∆，

作和式

1(,)()

n i

i

i

i

i i

P X X

X ξη-∆-∑。记

{}

1max i

i n

l λ≤≤=∆，若极限

1

lim ()n

i i i i P X I

λξη→∞

=-∆=∑存在，且对曲线L 的分点及点 的选取方式无关，则称此极限为函数P(x,y)按从A 到 B 的方向沿曲线L 对坐标x 的曲线积分，记作的曲线积分 记作

1

(,)lim ()n

i

i i

i L

P x y dx P X λ

ξη→∞

==-∆∑⎰，其中P （x ，y ）称为被积函数，L 称为被积路径，对

坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。

类似的，设函数Q （x ，y ）在xy 平面上的一条光滑（或分段光滑）曲线L （AB ）上有定义且有界。若对于L 的任意分法和

(,)

i i ξη的任意取法，极限都存在且唯一，则称此极限值

1

lim ()n

i i i

i Q Y λξη→∞

=-∆∑为函数Q （x ，y ）按从A 到B 的方向沿曲线L 对坐标Y 的曲线积分，

记作(,)L

Q x y dy

⎰

(,)

i i ξη(,)L P x y dx

⎰