讲解函数的凹凸性与拐点讲义教材

∴凹区间（−∞，+∞），无拐点
练习(B) 1.下列结论是否正确
（1）.由f"(x0)=0所确定的点(x0,f(x0))一定是拐点. （2）.若函数f(x)在(a,b)内二次可导,且f'(x)<0,
f"(x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)单调递减 且凹向上.
2.求下列曲线的凹凸区间与拐点
(A)（1）y=43x −4x³+1 (B)（2）y=ln(1+x²)
一.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该
曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间. 若曲线位于其
切线的下方,则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区
间. y
• •
y
•••
•
θ1
ห้องสมุดไป่ตู้oa
θ2 θ3
x1 x2x3b
x
θ3 θ2 θ1
o a x1x2 x3
bx
1.几何特征Ⅱ
凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.
小结:
1.如何来研究函数的凹凸性. 2.凹与凸的定义 , 拐点的定义. 3.凹与凸的判定.
作业:
<教与学>P41 : (A)题1 (1),(3) (B)题2 (1),(3)
注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口 方向相结合。
例2.求下列曲线的凹凸区间与拐点
(B)1.y=x4 −2x³+1
解：（1）定义域为（−∞,+∞） （2）y'=4x³−6x² y"=12x²−12x=12x(x−1)
（3）令y"=0, 得x1 =0,x2=1 （4）列表
x （−∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
1.函数y=f(x)单调性的判定
y
y
y=f(x)
y0
p y=f(x)
y0
p
o
x0
x
K切=f '(x)>0 y单调递增
2.几何特征Ｉ
o
x0
x
K切=f '(x)<0 y单调递减
凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方. 凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方. 连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.
曲线的凹凸与拐点
y″ +
0
−
0
+
y
拐点 ∪ （0，1）
∩
拐点 （1，0）
∪
∴已知曲线的凹区间为（−∞，0）∪（1，+∞）， 凸区间为（0，1）拐点为（0，1）与（1，0）.
(B)2.y=(2x4-1) +1
解：（1）定义域为（−∞，+∞） （2）y'=8(2x-1)³ y"=48(2x-1)² （3）显然x∈ (−∞,+∞), y"≥0
凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.
(A)例1.判定y=ax²+bx+c的凹凸性. (a≠0)
解: 定义域为(−∞,+∞) y'=2ax+b y"=2a 当a>0时，y">0,曲线y=ax²+bx+c在 (−∞,+∞)内是凹的.
当a<0时，y"<0,曲线y=ax²+bx+c在 (−∞,+∞)内是凸的.