轮换对称式最值求法
自招竞赛课程数学讲义：轮换对称式最值求法【讲师版】
自招竞赛数学“轮换对称式最值求法”讲义编号：近几年来，关于多元轮换对称和式s的最值问题，多以证明形式出现在数学竞赛题目中，即证S ≥A (或S≤A)。
因为求法能代替证明(通过数学方法求出s最大值为A，也即证明了S≤A成立)，所以，s的最值求法应是一个更深刻的问题。
反之，因为证明不等式S≤A，是先提供常数A，它可以加入到论证、推理和运算过程之中，而求最值并无此条件，所以，证明不能代替求法。
鉴于此，寻找S的最值求法，远比寻找证明的方法和技巧重要。
1.如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750答案：1.分析：首先将a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170分别展开，即可求得ab+ac=152 ①，bc+ba=162 ②，ca+cb=170 ③，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值．解答：解：∵a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，∴ab+ac=152 ①，bc+ba=162 ②，ca+cb=170 ③，∴①+②+③得：ab+bc+ca=242 ④，④﹣①得：bc=90，④﹣②得：ca=80，④﹣③得：ab=72，∴bc•ca•ab=90×80×72，即（abc）2=7202，∵a，b，c均为正数，∴abc=720．故选C ．知识点：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是将ab ，ca ，bc 看作整体，利用整体思想与方程思想求解．通过几个典型例子的“通法”和“简解”比较，说明对称思想在探求最值问题中的巧妙运用． 例1 （2007年全国高中数学联赛广西赛预赛试题）设122007,,,a a a L 均为正实数，且12200711112222a a a +++=+++L ，则122007..a a a ⋅L 的最小值为点评：通法需要换元转化技巧，并重复使用多元均值不等式，需要深厚功力方能解决，而简解根据对称性从取得最值的条件入手，一矢中的轻松获解。
高中数学竞赛客观题中的全对称与轮换对称
高中数学竞赛客观题中的全对称与轮换对称王华;王延敏【摘要】在高中数学竞赛中，若满足f（a,b，c）=f（b，c，a）=，（c，a，b），则称为轮换对称；若在轮换对称的基础上满足f（a，b，c）=f（b，a，c），则称为全对称．无论是在高中数学联赛还是在国际数学奥林匹克竞赛中，全对称与轮换对称都占据着一定的地位．它在客观题中主要以求最值的形式出现，对学生来说，“全对称与轮换对称”客观题都是难题．下面通过对高中数学竞赛客观题中典型例题的分析，盘点“全对称与轮换对称”客观题的最佳解题策略．【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2013(000)003【总页数】2页(P44-45)【关键词】轮换对称;高中数学;数学竞赛;客观题;国际数学奥林匹克;数学联赛;典型例题;解题策略【作者】王华;王延敏【作者单位】凤鸣高级中学,浙江桐乡314500【正文语种】中文【中图分类】G633.6在高中数学竞赛中，若满足f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)，则称为轮换对称；若在轮换对称的基础上满足f(a,b,c)=f(b,a,c)，则称为全对称．无论是在高中数学联赛还是在国际数学奥林匹克竞赛中，全对称与轮换对称都占据着一定的地位．它在客观题中主要以求最值的形式出现，对学生来说，“全对称与轮换对称”客观题都是难题．下面通过对高中数学竞赛客观题中典型例题的分析，盘点“全对称与轮换对称”客观题的最佳解题策略．例____.解法1 令则从而于是得且当a=b2=c3=时t的最大值为.因此解法2 由题意可知，a,b2,c3是全对称，可知取最值只会在三者相等时取到，令则从而又a>0，得于是点评解法1中利用解不等式求出其最大值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值时a,b2,c3三者相等.例2 设a,b,c为正实数且abc=1，则++的最小值为______.解法1+ +=++≥==≥=.解法2 由题意可知，a,b,c是全对称，可知最小值只会在三者相等时取到，即a=b=c，而abc=1，因此a=b=c=1.此时原式的最小值为点评解法1中2次利用基本不等式求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值时a,b,c三者相等.例3 设n为自然数，对于任意实数x,y,z恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值为______.解法1 令a=x2,b=y2,c=z2，则题设不等式变为一方面，当n=3时不等式成立；另一方面，当a=b=c>0时题设不等式可化为9a2≤3na2，必有n≥3.故n的最小值为3.解法2 由题意可知，x,y,z是全对称，可知最小值只会在三者相等时取到，即x=y=z，故题设中不等式等号成立时，n的最小值为3.点评解法1中利用两边夹原理求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值时x,y,z三者相等.例4函数f(x)=+++在时的最小值为______.A．2 B．4 C．6 D．8解法1 f(x)=当且仅当时等号成立.两式相减得即因为所以从而故选B.解法2 由题意可知，此题是轮换对称，因此当函数在取得最小值时显然因为所以从而故选B.点评解法1中利用基本不等式的性质求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值时sinx与cosx相等.例5 设a,b,c为三角形的3条边长，则的最小值为______.解法1 不妨设a≥b,a≥c，则(1)当a≥b≥c时，从而a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥c2[a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)]≥0.(2)当a>c≥b时，从而 a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0.综合(1)，(2)，可得即a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)的最小值为0.解法2 由题意可知，a,b,c是轮换对称，可知取最小值只会在三者相等时取到，即a=b=c，此时三角形为正三角形，故原式的最小值为0+0+0=0.点评解法1中利用分类讨论的思想求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最小值时必为特殊的三角形(正三角形)，此时a=b=c.。
(完整版)【精排】轮换对称性在中学数学中的应用
轮换对称性在中学数学中的应用【摘要】数学的对称美使我们在解题中更简便,更有效．在解题时，可以根据问题的特点去发掘潜在的对称关系或构造某种对称性,使问题得到巧妙快捷的解决,数学中绚丽多彩的对称美,给我们提供了种种奇妙的解法，同时也给我们带来美的享受．在数学学习中要有意识地利用数学问题的对称性特征，去考察数学对象、思考数学问题,形成数学思维的对称方法和解题策略。
当前，不少同学认为数学就是一堆呆板的公式和复杂的图形，这是没有真正理解数学的精彩、美妙和趣味。
其实数学也是一种美学.“哪里有数学，哪里就有美”.例如数学中的对称性，不仅具有美感，而且具有应用价值.所谓对称美是指某一事物或对象的两个部分的对等性，给人以美的感受。
在数学学习中要有意识地利用数学问题的对称性特征，去考察数学对象、思考数学问题，形成数学思维的对称方法和解题策略.轮换对称的概念在数学中有着广泛而重要的应用，如果在求解问题的过程中注意到轮换对称性，并且恰当地利用轮换对称性,则可以减少一些繁琐的计算，化难为易，提高解题效率，达到事半功倍的效果。
1、轮换对称性的相关定义与性质轮换对称性的相关定义与性质如下：如果把一个代数式中的字母按照某个秩序排列，然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母，……，把最后一个字母换成第一个字母，我们称这种变换字母的方法叫做轮换。
如果把一个代数式中的字母对调，所得的代数式和原来的代数式恒等，那么，就说原来的代数式关于这些字母对称，原来的代数式就是关于这些字母的对称式。
如果一个函数f（x1，x2）=f（x2，x1)，则称该函数是对称函数.如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等，那么，就把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式。
如果轮换对称式中各项的次数相等,那么,就把这样的代数式叫做齐次轮换对称式。
轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式。
齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式。
对称式和轮换对称式的性质及其应用
c3 d3 + = 49 B - 68 . d+ a+ b a+ b+ c
2. 5 解对称方程组
解对称方程组时 , 可以通过对称替换把原 方程组化简 . 例 8 求方程组 数解 .
x + y + z + 2 ( xy + yz + zx ) = 4 .
2 2 2
当 a = b 时 , f = 0 , 由因式定理知 f 有因式
a - b. 又 f 是关于 a 、 b、 c 的轮换对称式 , 由性
质知 , f 还有因式 b - c 和 c - a. 于是 , f 有因式
g = ( a - b) ( b - c) ( c - a ) .
2 2
= x2 y + zx2 + y2 z + xy2 + z2 x + yz2 + 3 xyz. 2. 2 因式分解
如果轮换对称式中各项的次数相等 , 那么 , 就把这样的代数式叫做齐次轮换对称式 .
1. 4 基本性质
由轮换对称式的性质可知 , 当一个轮换对 称式有某个因式时 , 它一定还有关于这个因式 中的变数的轮换对称式 . 根据这个性质 , 再利用 因式定理和待定系数法 , 可以比较简便地把一 个轮换对称式因式分解 . 例2 分解因式 :
2一2一jm全国第六届初等数学研究学术交流会第一轮会议通知l根据中国初等数学研究工作协调组第九次工作会议和全国第五届初等数学研究学术交流会的建l议全国第六届初等数学研究学术交流会将于2oo6年8月在湖北宜昌举行由湖北大学中学数学编辑f
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中 等 数 学
● 数学活动课程讲座 ●
对称式和轮换对称式的性质及其应用
10. 因式分解技巧-轮换式与对称式 -单墫
10 .轮换式与对称式关于x 、y 的多项式)1(,,,*,,223322 xy y x y x y x xy y x ++++在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x 、y 的对称式.类似地，关于x 、y 、z 的多项式,,,,333222z y x zx yz xy z y x z y x ++++++++)2(,,22/2222 xyz y z x z x y z y z x y x +++++在字母x 、y 、z 中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x 、y 、z 的对称式．关于x 、y 、z 的多项式,,,,333222z y x zx yz xy z y x z y x ++++++++)3(,,,222222 xyz zx yz xy x z z y y x ++++在将字母x 、y 、z 轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变，这样的多项式称为x 、y 、z 的轮换式，显然，关于x 、y 、z 的对称式一定是x 、y 、z 的轮换式．但是，关于x 、y.z 的轮换式不一定是对称式．例如，x z z y y x 222++就不是对称式，次数低于3的轮换式同时也是对称式，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）． 轮换式与对称式反映了数学的美．它们的因式分解也是井然有序，可以按照一定的规律去做的．10.1 典 型 方法例1 分解因式：).()()(222y x z x z y z y x -+-+- 解 )()()(222y x z x z y z y x -+-+-是关于x 、y 、z 的轮换式．如果把)()()(222y x z x z y z y x -+-+-看作关于x 的多项式，那么在y x= 时，它的值为 .0)()()(222=-+-+-y y z y z y z y y因此，根据第8单元，y x -是)()()(222y x z x z y z y x -+-+-的因式．由于）（y x z x z y z y x -+-+-222)()(是x 、y 、z 的轮换式，所以可知z y -与x z -也是它的因式，从而它们的积))()((x z z y y x --- (4)是 )()()(222y x z x z y z y x -+-+- (5)的因式．由于(4)、(5)都是x 、y 、z 的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ，即有).)()(()()()(222x z z y y x k y x z x z y z y x ---=-+-+- (6)现在我们来确定常数k 的值．为此，比较(6)的两边y x 2的系数：左边系数为1，右边系数为-k ，因此，于是 )()()(222y x z x z y z y x -+-+-).)()((x z z y y x ----=例2 分解因式：).()()(333b a c a c b c b a -+-+-解 )()()(333b a c a c b c b a -+-+-是关于a 、b 、C 的轮换式．与例1类似，它有三次因式 ).)()((a c c b b a ---由于原式是a 、b 、c 的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是a 、b 、c 的四次齐次式，所以这个一次因式也是a 、b 、c 的一次齐次式，即它的常数项是0（否则，它的常数项与三次式))()((a c c b b a ---相乘得到一个三次式）．这个一次齐次式是a 、b 、c 的轮换式，它的形状应当是k c b k ),(++α是常数．即有)()()(333b a C a c b c b a -+-+-).)()()((a c c b b a c b a k ---++= (7)比较两边b a 3的系数，得k=-1．于是 )()()(333b a c a c b c b a -+-+-).)()()((a c c b b a c b a ---++-=上面求k 的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使0))()()((=/---++a c c b b a c b a的数代替a 、b 、c ，从而定出k ，例如，令,0,1,2===c b a把它代入(7)，得),2(3028-⋅⋅=+-k即 .1-=k以上两种确定系数的方法可以结合起来使用．例3 分解因式.)()()()(3333c b a b a c a c b C b a -+--+--+-++解 在0=a 时，原式的值为,0)()()()(3333=----+-+c b b c c b c b所以a 是原式的因式．由于原式是a 、b 、c 的轮换式，所以b 、c 也是它的因式，从而有,)()()()(3333kabc c b a b a c a c b c b a =-+--+--+-++ (8)其中k 是待定系数．令,1===c b a 得,11133333k =---即 ,24=k所以.24)()()()(3333abc c b a b a c a c b c b a =-+--+--+-++在(3)中列出的各式称为基本的轮换式．每一个轮换式都能由它们组成，例如：一次齐次的轮换式是);(z y x l ++二次齐次的轮换式是);()(222zx yz xy m z y x l +++++三次齐次的轮换式是.)()()(222222333kxyz zx yz xy n x z z y y x m z y x l +++++⋅++++这里，L 、m 、n 、k 都是待定的常数．10.2 齐 次 与 非 齐 次例4 分解因式：.)()()(555y x x z z y -+-+- 解 用上面的方法易知原式有因式).)()((x z z y y x ---因为原式是x 、y 、z 的五次齐次轮换式，所以还有一个因式是二次齐次轮换式，我们设555)()()(y x x z z y -+-+-)].()()[)()((222zx yz xy m z y x l x z z y y x +++++---= （9）令,0,1,2===z y x 得),25(21321m l +-=+-即 .1525=+m l （10）令,1,0,1-===z y x 得),2(21321m l --=+-即 .152=-m l （11）由(10)、(11)这两个方程，解得⎩⎨⎧-==,5,5m l 于是 555)()()(y x x z z y -+-+-)](5)(5)[)()((222zx yz xy z y x x z z y y x ++-++---=).)()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ---++---=在例4中，任给一组x 、y 、z 的值(当然不能使(x- y) (y-z) (z-x)为0)，都可以得到一个形如(10)或(11)的方程，不过为了便于计算，以较小的值代人为好．在例4中，如果注意到,5)(455 +-=-z y y z y那么比较(9)式两边z y 4的系数，可以得 ,5l -=-再结合(10)或(11)中的任一个，可以得出.5-=m 这种做法更简单一些．例5 分解因式：.)(555b a b a ---解 原式在a 、b 互换时变号，它不是a 、b 的轮换式（二元的对称式与轮换式是一致的）．但是，如果改记-b 为c ，那么原式成为,)(555c a c a +-+是a 、c 的轮换式，因而也可以采用前面的方法去处理．不过，应当注意到，更简单的办法是在例4中令,,b C x z a z y -==-=-那么 ,a b y x -=-555)(b a b a ---555)()()(y x x z z y -+-+-=))()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ---++---=2)()()().(5222x z z y y x b a ab -+-+--= 2)().(5222a b b a b a ab -++-= ).)((522ab b a b a ab -+-=由此可以看出，做题的时候应当充分利用已有的结果．例6 分解因式：).1)(()1)(1)((2222yz x z xz xy z y +-+++-).1)(1)(()1(22zy zx y x yx ++-++ 解 这是x 、y 、z 的轮换式，容易知道它有因式),)()((y x x z z y ---但是另一个因式是什么呢？原式并非齐次式，为了便于处理，我们按照次数把它整理一下．由于,1)()1)(1(+++⋅=++z y x x xyz xz xy所以 )1)(1)(()1)(1)((2222yx yz x z xz xy z y ++-+++-)1)(1)((22zy zx y x ++-+ )]()()([222222y x z x z y z y x xyz -+-⋅+-=)]()()[(222222y x x z z y -+-+-+)])(())(())(([222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-++)]()()([222222y x z x x y z y x xyz -+-+-= )].)(())(())(([222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-++于是，例题中的非齐次式化为两个齐次式的和，用前面所说的方法可得齐次式)()()(222222y x z x z y z y x -+-+-),)()((x z z y y x ---=))(())(())((222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-+).)()()((z y x x z z y y x ++---=所以得)1)(1)(()1)(1)((2222yx yz x z xz xy z y ++-+++-)1)(1)((22zy zx y x ++-+).)()()((z y x xyz x z z y y x +++---=10.3 abC C b a 3333-++例7 分解因式：.3333abc c b a -++解 在)(c b a +-=时，有abc C b a 3333-++)(3)(333c b bc C b c b +++++-=2233322333)33(bc c b C b c bc c b b +++++++-=,0=所以c b a ++是abc c b a 3333-++的因式，显然，abc c b a 3333-++是a 、b 、c 的三次齐次轮换式，我们设abc C b a 3333-++)].()()[(222ca bc ab m C b a l c b a +++++++=（12） 比较两边3a 的系数得,1=l 比较abc 的系数得,33m =-即 ,1-=m所以 abc c b a 3333-++ ).)((222ca bc ab c b a c b a ---++++= （13）有的时候也把(13)写成abc c b a 3333-++)13].(2)()())[((2122a c c b b a c b a -+-+-++=(13)与)13(/也可以作为公式来使用．例8 分解因式：-+--++-++-+b a b a c a c b c b a (3)()()(333).)()(b a c a c b c -+-+ 解 由公式),13(/得333)()()(b a c a c b c b a -++-++-+))()((3b a c a c b c b a -+-+-+-)].()()[(21b a c a c b c b a -++-++-+=22)]()[()](){[(b a c a c b a c b c b a -+--++-+--+})]()[(2c b a b a c -+--++ ])(4)(4)(4)[(21222b c a b c a c b a -+-+-++= ])()())[((2222b c a b c a c b a -+-+-++=).)((4222Ca bc ab C b a C b a ---++++=本题的结果表明将abc c b a 3333-++中的a 、b 、c 分别用a+b-c 、b a c a c b -+-+、代替后，所得的式子为原来的4倍，从(13)可以看出，如果,0=++c b a 那么,3333abc c b a =++这也是一个有用的结论．例9 分解因式：.)()()(333y x x z z y -+-+- 解 因为 ,0)()()(=-+-+-y x x z z y所以 333)()()(y x x z z y -+-+- ).)()((3y x x z z y ---=10.4 焉 用 牛 刀例10 分解因式：.2)()()(222333xyz y x z x z y z y x z y x -++++++---解 在z y x +=时，有原式)(2)2()2()()(22333z y yz z y z y z y z y z y z y +-++++++--+-=β)(2)]2([)]2([2323z y yz z y z z y z y y +-++-+++-=y z z y z z y z y y z y 222222)2()2(---++-+=y zz y y x z y 22222222 ⋅--+= ,0=所以，x- y-z 是原式的因式．由于原式为x 、y 、z 的三次轮换式，我们设xyz y x z x z y z y x z y x 2)()()(222333-++++++--- ),)()((y x z x z y z y x k ------=比较3x 的系数，得k=-1，于是 xyz y x z x z y z y x z y x 2)()()(222333-++++++---))()((y x z x z y z y x -------=).)()((z y x y x z x z y -+-+-+=例11 分解因式：.3222222xyz zx yz xy x z z y y x ++++++解 这个三次式如果能分解，那么它必有一次因式，这一次因式是齐次的轮换式，即x+y+z ．事实上，把x 用一(y+z)代入后原式为0.不过，没有必要去验证这一点，因为原式不难直接分解．由 ),(22z y x xy xyz xy y x ++=++),(22z y x yz xyz yz z y ++=++),(22z y x zx xyz zx x z ++=++可得 xyz zx yz xy x z z y y x 3222222++++++ )./)((zx yz xy z y x ++++=杀鸡焉用牛刀！特殊的问题可以用特殊的方法处理，并不是每一道题都非得用一般的方法去对付不可．10.5 整 除 问 题例12 证明：322243222432224)()()(c b a c b a C b a c b a -++-++-+能被222222444222a c c b b a c b a ---++整除．证明 由第4单元例6，可得222222444222a c c b b a c b a ---++),)()()((c b a b a c a c b C b a -+-+-+++-=因此，只要证明 ))()()((c b a b a c a c b c b a -+-+-+++是.)()()(322243222432224C b a c b a c b a C b a -++-++-+ (14)的因式即可，在a=b+c 时，(14)式的值为4222432224])([])([)(b c b C b c b c b c b -++++-++32224])[(c b c b c -+++32432434)22()22()2()(bc b c bc cb bc c b ++++-+= 343334433)(8)(8)(8c b c b c b c b c b c b +++++-=])([)(8333c b c b C b c b +++-+=,0=所以c b a --是(14)的因式．由于在a 变号时，(14)的值不变，所以)(c b a +-=时，(14)的值仍然为0．即c b a ++也是(14)的因式．(14)是a 、b 、c 的轮换式；因而b a c a c b ----、也是它的因式，从而))()()((b a c a c b c b a c b a ------++是(14)的因式，这就是要证明的结论．例13 n 是大于1的自然数，证明n n n n n n n z y x y x x z z y z y x 2222222)()()()(++++-+-+-++ )15(能被4444444)()()()(z y x y x x z z y z y x ++++-+-+-++ （16）整除，证明 在x=0时，(15)的值为,0)()(222222=++--+-+n n n n n n z y y z z y z y因此，x 是(15)的因式．在)(z y x +-=时，(15)的值为,0)()(222222=--++--+-n n n n n n z y z y z y z y因此，z y x ++是(15)的因式．由于(15)是轮换式，所以)(z y x xyz ++ （17）是它的因式．特别地，在n=2时得到(17)是(16)的因式．(16)与(17)都是四次式，因此它们至多相差一个常数．(15)能够被(17)整除，所以(15)也能够被(16)整除，10.6 原 来 是 零例14 分解因式： -----+-+-c c b b a b a a c c b ()()9)()()(22666（----332)()(2)c a b a a .)()(2)()(23333b c a c a b c b ----- )18( 解 易知b a =时(18)为0，从而导出(18)有因式).)()((a c c b b a ---在a=0时，(18)的值为333333222666)(2)(22)(9)(b c c b c b c b c b c b b c c b -------++-)2()(9]22)[()(33662223333c b c b c b c b c b c b c b -++--+---=-+--+--+--=32223332233)(9]2233[)(b c b c b c b C bc c b b c b （23)cbc b c b c b c b c b bc b c c b +-+---+--=2222222333)()(9)]33()[()(（22)c +2222223)[()()](3))([()(c bc b c b b c bc b bc c b c c b ++-+-+++--=])3(2bc -22222224)(3()()4()(c bc b bc c bc b c b b bc c c b +++++-+++--=)3bc -)4()()4()(224224C bc b c b b bc C c b ++-+++--=,0=于是a 是(18)的因式，从而))()((a c c b b a abc ---是(18)的因式．由于(18)的次数为6，所以设222666)()()(9)()()(a c c b b a b a a c c b -----+-+-333333)()(2)()(2)()(2b c a c a b c b c a b a ---------).)()((a c c b b a kabc ---=令,1,2,3===c b a 得3333222666)1(.122122119121-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯-++33)1()2(2-⨯-⨯-,12k -=即 ,012=-k于是 ,0=k从而 222666)()()(9)()()(a c c b b a b a a c c b -----+-+-333333)()(2)()(2)()(2b c a c a b c b c a b a ---------.0=表面上(18)是一个6次式，实质上，它等于0，这是有一点出乎意料的．0无需进行分解，每一个（非零）多项式都是它的因式．例15 分 解 因 式：).2()()2()()2()(333c b a b a b a c a c a c b c b -+-+-+-+-+-解 容易验证在a=0与a=b 时，原式的值为0．因此，a(a-b)是它的因式，由于原式是a 、b 、c 的轮换式，所以))()((a c c b b a abc --- (19)是它的因式．但(19)是6次式，而原式的次数≤4，这说明原式必须为0，即.0)2()()2()()2()(333=-+-+-+-+-+-c b a b a b a c a c ac b c b )20( 例16 证明.0)2)(()2)(()2)((333=-+-+-+-+-+-z y x y x y x z x z x z y z y分析 本题可以按照例15的办法处理．不过，更简单地是在(20)中令,,,y x c x z b z y a -=-=-=便得到)33()2()33()2(33x x y z x y z x y z --++--+)33()2(3x y z x y --++,0=从而导出了要证明的结论．10.7 四 元 多项 式例17 分解因式：.)())(()(44d b a c d a c b d a c b --++----+).)(()())((4d c b a d c b a d b a c ----++--解 原式是a 、b 、c 的轮换式，用前面的方法易知它有因式 ).)()((a c c b b a ---另一方面，把原式看成d 的多项式，在d=a 时，易知它的值为0．因此，原式有因式d -a ．再由轮换性，它也有因式d-b ，d-c 于是))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------是它的因式，因为原式是a 、b 、c 、d 的6次式，我们设 ))(()())(()(44d b a c d b a c d a c b d a c b ----++----+))(()(4d c b a d c b a ----++ ).)()()()()((c d b d a d a c c b b a k ------=令,2,1,0,1=-===d c b a 得.16=k 即原式 ).)()()()()((16c d b d a d a c c b b a ------=例18 分解因式：).)(())()((222222a d d c a d c b d d c c b d c b ------)()(222a d b a k c a -- ).)()(())((222a c c b b a c b a d b b a ------解 原式是a 、b 、c 的轮换式，和上题类似，可得))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------是它的因式，则))()(())()(([222222c a a d d c a d c b d d c c b d c b -------)(222a d b a d -+)])()(())((222a c c b b a c b a d b b a ------))()([(a c c b b a ---÷)])()((c b b d a d ---所得商式是a 、b 、c 、d 的三次齐次式，并且，在a 、b 、c 、d 中，任意两个字母互换时，商式保持都不变（请读者自己观察一下），说明商式是a 、b 、c 、d 的三次齐次对称式．又原式对每一个字母来说，都是四次多项式，----d a c c b b a )()()(())()(c d b d a --对每一个字母来说，都是三次多项式，所以商式对每个字母来说，是一次多项式，因此，商式的形式是).(dab cda bcd abc l +++由待定系数法易知L=l ，于是原式).)()()()()()((dab cda bcd abc c d b d a d a c c b b a +++------=小 结轮换式与对称式的分解通常是：首先，把它看成一个字母的多项式，用第8单元的方法导出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式．非齐次的轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加后分解．特殊的轮换式可能有比较简便的特殊的方法，不一定非用一般的方法去分解．))((3222333ca bc ab C b a C b a abc c b a ---++++=-++可以作为一个公式使用，在0=++c b a 时，.3333abc C b a =++这两个结论都有不少应用．习 题10将以下各式分解因式：1 ).()()(b a ab a c ca c b bc -+-+-2 .2222222abc ab b a ca a c bc c b ++++++3 .2222222abc bc c b ac c a ab b a -++-+-4 ).()()(222222b a c a C b c b a -+-+-5 .)(3333z y x z y x ---++6 .))(())(())((222b a b a a c a c c b c b +-++-++-7 ).())()(())()((b a a c b a c b a c c b a c b a c b -+-++--+-++--)(b a c +-).(b a c -+8 .4)()()(222xyz y x z x z y z y x -+++++9 ).)(()()()(222b a c a c b c b a c b a c b a c b a -+-+--++-++-+).(c b a -+ 10 ).)(()()()(222b a c a c b c b a c b a c b a c b a -+-++-++-++-+).(c b a -+11 ).())(())((a c b c a c b c b a b c b a b a c a -++-+-++-+-+)()(a c b b a c -++-+ ).)((c b a b a c -+-+12 ).)(())(())((5333b c a c c a b c b b c a b a a abc C b a ---------+++ 13 ).()()(333b a ab a c ca C b bc C b a ++++++++14 +--+-++-++-+))((2)2()2()2(22222c a b a c b a c b a c b a c b a ))((222a b c b -- ).)((222b c a C --+15 .1333-++ab b a16 .8)1(1827)1(2332+++-+y x y x 17 .)()()(333333bx ay C az cx b cy bz a -+-+-18 .)()()(333b a c a c b c b a -+-+-19 .))(())(())((333b a b a a c a c c b c b +-++-++-20 )()()()()(222222222c b a c b a abc b a c a c b c b a +++++++++++).(ca bc ab ++ 21 ).()()(444b a c a c b c b a -+-+-22 ).()()(222222b a b a a c a c c b c b -+-+- 23 ).()()(444444b a c a c b c b a -+-+-24 .)(555b a b a --+25 .)(5555z y x z y x ---++26 .)()()()(5555c b a b a C a c b c b a -+--+--+-++ 27 .)()()(323232y x z x z y z y x -+-+-28 .))(())(())((444b a b a a c a c c b c b +-++-++- 29 ).)(())()(())()((222b c a c c a c a b c b b c b c a b a a +++-+++-++).(b a -30 ++++-++-++-+)()()()(222232323C b a abc c b a c b a c b a c b a ab c b a -++222（ ).)()()(c b a b a c a c b ca bc -+-+-+--31 ).()()(224224224b a c a c b c b a -+-+-32 ).()()(555b a c a c b c b a -+-+- 33 .)()()(555b a c a c b c b a -+-+-34 .)2()2()()(4222322b a b a b a b ab a ++--++35 .)(777y x y x +-+36 ).()()(333333b a b a a c a c c b c b -+-+- 37 ).()()(663663663y x z x z y z y x -+-+-38 ).)(())()(())()((333b a a d c c a a d d c b b d d c c b a --+-------3)(d d b --)(b a - ).)((a c c b --习题答案。
对称式与轮换对称式
竞赛专题-------对称式与轮换对称式1．基本概念 【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有那么就称这个代数式为n 元交代式。
例如，()()()x y x y x y y z z x x y-----+，，均是交代式。
【定义4】如果一个n 交代数式12()n f x x x ，，，，如果将字母12n x x x ，，，以2x 代1x ，3x 代2n x x ，，代11n x x -，代n x 后代数式不变，即那么称这个代数式为n 元轮换对称式，简称轮换式。
高等数学中轮换对称的应用李远梅
高等数学中轮换对称的应用李远梅发布时间：2023-05-31T05:16:38.502Z 来源：《中国教师》2023年6期作者：李远梅[导读]武警警官学院四川成都 6100001、轮换对称的定义、性质定义1：在区域D内有定义，若，称函数为区域D内是轮换对称式，即自变量与是轮换对称的。
在空间内有定义，若，称变量与是轮换对称的。
若，称三自变量是轮换对称的。
例如：（1）在区域内，自变量与是轮换对称的。
（2）在区域内，自变量与是轮换对称的。
（3）在区域内，与及z三变量是轮换对称的。
（4）在区域内，与两变量是轮换对称的，与z不是轮换对称。
结论：通过举例发现。
要使函数中的任意两个变量之间是轮换对称的，必须满足以下两个要素：（1）函数中相应两个自变量相互交换位置，函数不改变，即（2）函数所对应的定义域必须需满足对称性，针对二维要满足关于对称；针对三维要满足关于平面对称。
性质：轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式。
2、轮换对称的应用2.1轮换对称在偏导数中的应用例1、求下列函数的偏导数（1）；（2）解（1），由轮换对称性得2.2轮换对称在极值中的应用例2、求函数在适合附加条件下的极大值。
解：由轮换对称，可知极值点必定是的点，又，故极大值2.3轮换对称在重积分的应用例3、计算下列二重积分其中D是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。
解：积分区域D是关于对称，则则例4、求三重积分，其中是由球面所围成的闭区域。
解：由轮换对称得，则2.4轮换对称在曲线积分的应用例5、求弧长积分，其中L为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段。
解：由轮换对称可得2.5轮换对称在曲面积分的应用例6、，其中是锥面被所截得的部分。
解：积分区域关于面对称，被积函数是轮换对称式，则。
结论：在高等数学计算过程中充分利用轮换对称，帮助我们简化计算。
但是在计算第二类曲线积分和曲面积分是不能用轮换对称的。
因为积分区域具有方向性，不满足区域对称。
参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014：68-242[2]西北工业大学高等数学教研室.高等数学专题分类指导[M].上海：同济大学出版社，1999：58-78。
均值不等式的轮转对称解法
例题 2：
显然不是轮换对称式。看看能不能构造成轮换对称式呢？ 思考. . . 令 2y=t,原式变为： x t 2, 求 x t 的最大值
2 搞定：x=t=1,得 xy≥1/2
总结：注意结构的特殊性。对称性是数学中非常重要的性质。
均值定理之轮数式 f (x,y,z)中，如果字母 x, y, z 任意交换两 个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式。 2、在含有多个字母的代数式 f (x,y,z)中，如果字母 x, y, z 循环变换后代数式 的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式。 比如： a2 b2 c2 就是一个轮换对称式。 例题 1：
二次轮换对称问题的最值求法
二次轮换对称问题的最值求法作者：楼文胜来源：《数学教学通讯·中等教育》2013年第05期摘要：二次轮换对称问题的最值必在变量相等时取得，由此可非常快捷地解答一些高考题。
关键词：二次轮换对称问题；最值；高考题《中学数学教学参考》2012第5期刊出陈云烽老师《二次约束条件下的最值求法》，读后深受启发，只有当二次约束条件对应的图形是椭圆时，x，y才能在限定的区间内，px+qy才有最大值和最小值。
文章给出了此类问题形象的几何直观。
如限定二次约束条件为轮换对称式，要求的问题也是轮换对称的，我们把它简称为二次轮换对称问题。
其实这也是对2011浙江文科16题所做的一种一般化研究。
二次轮换对称问题有如下非常简明的结论：定理：设x，y∈R，a（x2+y2）+bxy+c（x+y）+d=0，要求x+y（或xy）的最值（当a=0，要求xy的最值，要求x，y∈R+），其最值必在x=y时取得。
下面给出上面结论的一个证明：由高数知识，轮换对称式可由x+y和xy表示，其实约束条件通过配方后，显然可以用x+y和xy表示，设配方后的式子为e（x+y）2+fxy+g（x+y）+h=0，可不妨设e≥0。
1. 求x+y的最值设t=xy，s=x+y，上述问题变为：设es2+ft+gs+h=0，求s的最值。
2. 求xy的最值设es2+ft+gs+h=0，求t的最值。
若f=0，es2+gs+h=0，此时s为常数，t=xy≤2，t有最大值，当且仅当x=y时取得最大值。
若f≠0，e>0时，t=-s2-s-，t有最值，当s=-时，取得最值，此时亦可看做x=y取得最值。
若f≠0，e=0时，t=-s-，≥，x，y∈R+，≥，通过放缩求最值，如有最值，最值必在等号时取得，即必有x=y。
综上，二次轮换对称问题“设x，y∈R，a（x2+y2）+bxy+c（x+y）+d=0，求x+y（或xy）的最值”（当a=0，求xy的最值，要求x，y∈R+）必在x=y时取得。
江苏省高三一轮复习轮换对称法求最值教案.doc
学习必备欢迎下载轮换对称法求最值学员姓名：年级：高三课时数：1辅导科目：数学学科教师：授课日期及时段知识与技能：掌握利用均值不等式求解最值得常规方法，以及利用轮换对称快速口算最值过程与方法：通过几道题目先猜测得出答案，然后再通过常规方法验证。
探索发现这类题教学目标目的共同特点，总结题型与方法。
情感、态度与价值观：通过猜测与验证科学的探索发现过程，激发学生自我思考探索的快乐，感受快速解题的震撼，让学生爱上数学。
重点：掌握利用轮换对称快速解题的方法教学重难点难点：能够正确快速识别出符合轮换对称的条件教学过程均值不等式求最值作为高总数学8 大 C 级考点之一，经常会出现在填空13,14 压轴题位置，难度较大，灵活度要求较高。
我们平时做题时要学会总结方法，能达到快速准确解题。
通过本节课学习韩老师将带你领略秒杀压轴题的快感。
考场如战场，请各位同学们清点一下自己的弹药包.......一、弹药清点（知识回顾）1.基本不等式：2. 重要不等式： a2＋b2≥2ab(a ，b∈R)注意当且仅当a=b 时，取得“ =”b a3.重要不等式：a＋b≥2(a ， b 同号 )熟练记忆不等式链：二、武器库（题型方法总结）1 、（步枪） ------ 直接运用不等式法2 、（机关枪） ---- 倒数和形式 --- “1”的代换法或乘以“ 1”法3 、（机关枪） ---- ---- 对勾函数模型4 、（大炮） ----- 分式求和型 ---- 分母双换元法我们发现通过以上方法最后取得最值时，必有某两个变量相等以后求最值时是否可以直接让某两个变量相等，直接计算答案呢？嗯，我们需要威力更强大的武器三、武器研发 -----（猜测与探究）1、浙江高考）2.3、2019南京六校）11若均为正实数，且，则的最小值是四、列装利刃 ----（方法总结）第 1 秒------------① 取值范围相同第 2 秒---------②条件整式中互换位置不改变整式结构轮换对称法----战斗机第 3 秒--------③结论中互换位置不改变结论结构或不影响结果五、小试牛刀 ----三秒口算法解压轴题镇江一模） 14. 若实数满足，则当取得最大值时，的值为六、下节预告听说下节课要上终极大招了？嗯，让敌人闻风丧胆，所到之处寸草不生不会是万能判别式法吧？嘘.......七、靶场训练 --- 秒杀压轴题南通二模） 14．设实数 a， b， c 满足 a2＋b2 ≤c≤1，则 a＋b＋c 的最小值为．无锡期末） 14、若第一象限内的动点P（x，y）满足，则以P为圆心 R为半径且面积最小的圆的方程为．C镇江期末）⒕已知，若不等式恒成立，则实数的最大值为盐城三模） 14. 若实数，满足，且，则的最小值是。
轮换对称式
一.定义在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y ， xy ， x3+y3+z3－3xyz,x5+y5+xy, 都是对称式.其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。
如 是一个二元对称式． (x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1 (x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1例题 求方程x+y=xy 的整数解。
分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x 与y 交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。
解： ∵ x+y=xy∴ (x-1)(y-1)=1.解之，得 x-1=1,y-1=1;或 x-1=-1, y-1=-1.∴ x=2 y=2或 x=0 y=0关于x 、y 、z 三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成 y , 把y 换成 z , 把z 换成 x ），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于x 、y 、z 的轮换对称式.简称轮换式.例如：代数式 a2(b －c)+b2(c －a)+c2(a －b),2x2y+2y2z+2z2x, , （xy+yz+zx ） ， . 都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1、含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等. 例如：在含x, y, z 的二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项. 例如：轮换式分解因式：y x 11+222()2a b a ab b +=++abc c b a 1111-++111()x y z ++222222222111b a c a c b c b a -++-++-+a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)＝－ (a －b) (b －c) (c －a)例如：轮换式a3(b －c)+b3(c －a)+c3(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项.４、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.等也都是对称式.又如：也都是轮换式。
积分的轮换对称性
(2)对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可，比如： 如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0， 那 么 在 这 个 曲 面 上 的 积 分 ∫ ∫ f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz, ∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。 (3) 将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足 的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的 x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分 ∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成 y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称 。 第二类和（2）总结相同。 (4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分 域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区 间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。
例 计算
L
x
2
ds，
其中L是球面x2+y2+z2=R2与平
面x+y+z=0的交线。 解 由对称性可知
L
2
x ds
2
L
2
y ds
2
L
z ds
2
L
x ds
2
1 3
L
(x
y
2
z
) ds
1 3
L
R ds
2
1 3
R
2
2
轮换对称式的最值问题
轮换对称式的最值问题学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。
自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。
本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。
1. 不等式对称和轮换对称式的定义在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如①32a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。
如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不变（如②2222220,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。
2. 对称式与轮换对称不等式的性质由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。
关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①中可设a b c ≥≥），而关于12,,...,n a a a 是轮换对称的不等式则不能任意排列其字母的大小顺序，而只能做较弱的排列，如1n a a ≥，2n a a ≥，...，1n n a a -≥，即某一个是其中的最大或最小（如②中可设a c ≥，a b ≥），因为我们总可以通过轮换把某个字母调整到最小或最大的位置。
轮换对称式的值问题(教案版)
轮换对称式的值问题(教案版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：轮换对称式的最值问题学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。
自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。
本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。
知识梳理1. 不等式对称和轮换对称式的定义在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如①32a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。
如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不变（如②2222220,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。
2. 对称式与轮换对称不等式的性质由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。
关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①中可设a b c ≥≥），而关于12,,...,n a a a 是轮换对称的不等式则不能任意排列其字母的大小顺序，而只能做较弱的排列，如1n a a ≥，2n a a ≥，...，1n n a a -≥，即某一个是其中的最大或最小（如②中可设a c ≥，a b ≥），因为我们总可以通过轮换把某个字母调整到最小或最大的位置。
几个超级难题的共性轮换对称式抓住桥梁项和同型项的思想方法
下面有几道题，难度超级大，就不憋题了，提示着做。
一方面要有数学思想，一方面还要反复看题，记住，这几个题我也反复看，看出了共同的思想，这个就是收获，不一定直接自己做出来，那得猴年马月。
下面是从数学思想的角度来总结几个题。
会给孩子反复讲，让孩子反复看。
这几道题的难度，实在太大了。
关于什么是桥梁项，什么是同型项，这是我自己的定义，可以看下面的例子。
最近遇到几个难题，总结其相同的特点是，抓住桥梁项和同型项项的关系，或者用比例，或者用代换来解决。
它的思考要点是，遇到一组桥梁项和同型项，就能想到其它的桥梁项和同型项。
桥梁和同型的例子1：下面例子中，已知条件之一为：ac+bd=0求证之一为：ab+cd=0这里的桥梁，是2abcd, 因为以上两个式子平方，都可以得到2abcd实际上，（ac+bd）^2, (ad+bc)^2都可以出现共同的abcd, 这样通过桥梁，实现转换。
桥梁和同型的例子2：代数学辞典，765题前面常规操作，当出现-c(b-c+a)y+b(a-b+c)z=0的时候，注意到其可能转化为比例式子x/()=z/(), 同样，就可想到，一定还会出现z/()=x/()从而构建出x/()=y/()=z/()=k这个k是桥梁，而x/()，y/()，z/() 是同型项此时可以借助x=()k, y=()k, z=()k实施代入。
这其实还是简单得了，后面有更复杂的，还可用等比定理，平方后相加。
下面这道，更为奇葩，居然用到等比定理平方相加。
因为直接相加为0，所以平方后再相加。
这题得到（y-x）(x+y+z)=a^2-b^2这一步我也能得到，然而，没注意到，其实x+y+z就是个桥梁，上式可变成：X+y+z=(a^2-b^2)/(y-x)这样就一定有同型项，实际可以解出的同型项还有：X+y+z=(a^2-b^2)/(y-x)=(b^2-c^2)/(z-y)=(c^2-a^2)/(x-z)这题，就和第一例子的2xyz，一样的道理。