什么是数学模型

科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工 业竞争的推动力的及其重要性也未被认识到。 、发现真理以外，还有另一个训练全面考虑科学系统的 头脑的开发功能。”
h.g.grassmann曾说过：“数学除了锻炼敏锐的理解力
Education
诺贝尔经济学奖的启示
自1969年诺贝尔经济学奖设立以来，获奖者大多数具有深
建 模 流 程 图
问题分析
建模问题 差别 条件、数据 结论
明确问题

应用题 恰好 明确、唯一
例：某公司应雇用多少推销员
条件及数据

例：洗衣机节水
（
９７B
）
数学模型中假设的内容
根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必 要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
关于是否包含某些因素的假设 关于条件相对强弱及各因素影响相对大小的假设 关于变量间关系的假设 关于模型适用范围的假设

决策（每次过河方案） d k =(uk ,vk ) D={(u,v)|u+v=1,2} 容许决策集
状态变化律
求决策 使
s k+1 =sk +(-1)k dk
d1, d2, ……,dn, s 1 (3,3) sn+1 (0,0)
随从
S1(3,3) 渡
回 Sn(0,0)
商人
答案
诺贝尔经济学奖屡颁数学家
刚刚公布的2003年诺贝尔经济学奖，就是表彰美国经济学
家罗伯特· 恩格尔和英国经济学家克莱夫· 格兰杰分别用“随 着时间变化易变性”和“共同趋势”两种新方法分析经济 时间数列给经济学研究和经济发展带来巨大影响。
数学模型
据统计：近几年全世界所发表的科技论文中，使用频
率最高的关键词即为——
x(t)=x0er t

解为
模型二：阻滞增长模型
Logistic模型 模型假设：增长率ｒ是人口x(t)的线性函数

r(x)=r-sx ，（s、r>0 ）
人口数量）为 xm r(xm)=0
设最大人口容量（自然资源和环境条件所能容纳的最大

有 模型为
r (t ) r (1
x ) xm
假设：
1
四条腿一样长、连线呈正方形、与地面接触在 一点上 地面高度连续变化 至少三条腿同时着地
2 3
中心问题：
用数学语言将椅腿着地的条件 与结论表示出来：
距离
模型求解
令： f(θ)表示A
B C两脚与地面 θ D两脚与地面 C D
A’ A
距离之和
g(θ)表示B
距离之和
由假设得：
A’ A
h (0) = f(0) >0 θ= π/2时？ h (π/2) = -g (π/2) <0 由介值定理，存在θ0 使得

又
h (θ0 ) = 0即f (θ0) =g (θ0)
f(θ) 与g(θ)应至少有一个为0
即：
则：
f (θ0) =g (θ0)=0
椅子一定能够放平
实例二:商人过河
三商三从 河中一船
一起过河 一船容二
商人掌权
过河方案?
从多杀人
建立模型
引进数学工具：向量 记


此岸
彼岸
第 k 次渡河前此岸， 商人数
状态
容许状态集合
xk，随从数 yk
sk=(xk ， yk)
S={(x,y)|x=0,y=0,1,2,3; x=3,y=0,1,2,3;
x=1,y=1;x=2,y=2}
随从 S1(3,3) 随从 S1(3,3)
d9 d10 d11
d8 d7
d1 d2 d6
d5 d4
商人 Sn(0,0) 商人
d3
Sn(0,0)
文字叙述：略
实例三：人口模型
问题提出：人口预测 例如：

1998年末：12.5亿，自然增长率：9.53% 预测2000年末： 12.5×（1+0.00953)2 ≈ 12.7 当时人口钟为：1271322005

Matlab教程
数学
数学的实质：服务性学科

强有力的工具

与现实的紧密联系
David:
被人如此称颂的高技术本质上 就是数学——数学技术
Mathematic
数学教育
一方面：数学以及数学的应用在世界的科学、技术、商
业和日常生活中所起的作用越来越大
另一方面：一般公众甚至科学界（特别是我国）对数学
2003年
A题 B题 C题 D题
SARS的传播 露天矿生产的车辆安排 SARS的传播 抢渡长江
竞赛理念：
创新意识

团队精神 重在参与
公平竞争
一次参赛，终身受益！
再见
SUN

应用领域：人口模型、交通模型· · · · · · 数学方法：几何模型、代数模型· · · · · · 表现特征：静态模型、线性模型、离散模型· · · · · · 建模目的：描述、分析、预报、优化、决策、控制· · · · · · 了解程度：白箱、黑箱、灰箱
模型求解
数学方法 简化、近似
数学模型
运用数学方法去解决实际问题，即要用数学的语言、
方法去近似地刻划实际问题的过程就是数学建模。而 这种数学表述就是一个数学模型。
Mathematic Modeling
数学建模的流程
实际问题 分析
No
建立 数学模型 在实际中 印证
求解 数学模型 解释 数学解
提出报告 或结论
Yes
实例一：椅子放稳模型

1 f(θ) 与g(θ)为连续函数

2 f(θ) 与g(θ)应至少有一个为0
当θ=0时，不妨设g(θ)=0，
于是问题变为：

存在θ0点，使 f (θ0) =g (θ0)=0
B θ C D
A’ A
百度文库
模型 设：h (θ) = f(θ) - g(θ) 求解
则：

θ=0时
B θ C D
厚的数学功底。娴熟的数学技巧加上出众的思想，是他们 摘获诺奖桂冠的超凡之道
他们中的大多数人的大学本科专业都是数学、物理等理科
背景，有些干脆就是数学家转而研究经济学的。
数学被广泛应用于经济学研究，这也许是经济学被视为科
学并设有经济学诺贝尔奖的原因之一吧。
--—邹恒甫（武汉大学高级研究中心主任、北京大学光华 管理学院一级教授、北京大学董辅经济学讲座教授）

取△t→0，
有 x’ (t)=r x(t), 即 x(t)=x0er t
x ' (t ) rx (t ) x ( 0 ) x0
解为 离散化
er ≈1+r (r<<1) 则有 x(t) ≈ x0 (1 +r)t
指数增长模型

模型
x ' (t ) rx (t ) x ( 0 ) x0
解为
x (t )
xm xm 1 ( 1)e rt x0
图示
指数 阻滞
阻滞
指数
著名的数学模型
自然数 欧几里德的几何学 微积分 F=ma 经济模型 ………………
建模方法和步骤
运用数学方法去
解决实际问题， 即要用数学的语 言、方法去近似 地刻划实际问题 的过程就是数学 建模。而这种数 学表述就是一个 数学模型。
Mathematical Modeling and Mathematical Experiment
数学建模与数学实验教程课件 主讲人：孙云龙
数学建模与数学实验
第一讲 什么是数学模型
SUN
课程介绍
名称：数学模型、数学实验
性质：全校选修课 参考教材：


姜启源，数学模型，高等教育出版社
叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（一、二 、三、四），湖南教育出版社

设
基年人口数为 x0，k 年后为 xk，年增长率为r xk=x0 (1 +r)k
则 人口增长模型为
模型一：指数增长模型
Malthus （ 1766-1834）人口模型
基本假设：人口的自然增长率是一个常数，或说单位时
间内人口增长量与当时人口数成正比。
设
t 时刻人口数为x(t) ， t=0时 人口增长率为r，则 x (t ) r x (t ) t


多
例：ex ≈1+x
线性化
课题、猜想
计算机

例：天气预报
其他
模型分析 模型检验
模型应用
论文写作
问题
假设
模型
求解
检验
应用
改进
全国大学生数学建模竞赛

1986年美国大学生数学建模竞赛 1992年开始由中国工业与应用数学学会举办

1994年起由教育部高教司与中国工业与应用数学学 会共同举办

解得
x )x x ' (t ) r (1 xm x ( 0 ) x0 xm x (t ) x 1 ( m 1)e rt x0
阻滞增长模型
Logistic模型
模型
x )x x ' (t ) r (1 xm x (0) x0
参赛队年均增长率20%

参赛方式
参赛队员 赛题 时间 地点 规则
赛题

92 A施肥效果分析 B实验数据分解 93 A非线性交调的频率设计 B足球队排名次 94 A逢山开路 B锁具装箱 95 A一个飞行管理问题 B天车与冶炼炉的作业调度 96 A最优捕鱼策略 B节水洗衣机 97 A零件的参数设计 B截断切割 98 A投资的收益和风险 B灾情巡视路线 99 A自动化车床管理 B钻井布局 C煤矸石堆积 00 ADNA序列分类 B钢管订购和运输 C飞越北极 D空洞探测 01 A血管的三维重建 B公交车调度C基金使用计划 02 A车灯线光源的优化设计 B彩票中的数学 C车灯线光源的计算 D赛程安排
建立数学模型
机理 分析法 测试 分析法 内部机理 现实 对象
规律
方
法
统计分析 拟合等 ×公式 经济、社会 股市技术分析 黑箱
模 数据 型
明确的物理 或现实意义
例：逢山开道（９４A）
建立数学模型
特点

逼真性和可行性
渐进性


强健性
非预制性 技艺性
可转移性
条理性 局限性
分类