四则运算典型例题1
极限的四则运算1
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lim 2 x
2x
极限的四则运算
函数极限的四则运算法则： 如果
x x0
lim f ( x ) a , lim g ( x ) b
x x0
，那么
x x0
lim f ( x ) g ( x ) a b
f ( x) a lim ( b 0) x x0 g( x ) b
（3）这些法则对 x
的情况仍然成立．
极限的四则运算
典型例题 例1 求 lim
2x x
3 2
x 1
2
x1
2x
1
解： lim
2xБайду номын сангаасx
3
2
x 1
2
lim ( 2 x
x1
2
x 1)
2
x1
2x
2
1
x1
lim ( x
x1 x1
3
2x
1)
lim 2 x
2x
2
lim x 1 1
2x 1 0.9
2
1.45556
2x
lim x lim
x1
1 0.99 0.999 1
x1
1.49505
1.4995
2x
lim
1.001 2x 1
2
1.5
x1
1.50050
2x
lim (2 x 1.01
x1
2
1.1 1)
1.50505 1.55455 x1
有理数四则混合运算专练习题试题全难
有理数的混合运算一典型例题1.计算题：（1）3.28-4.76+121-43；（2）2.75-261-343+132；（3）42÷（-121）-143÷（-0.125）;（4）(-48) ÷82-(-25) ÷(-6)2; （5）-52+(1276185+-)×(-2.4).2.计算题： （1）-23÷153×（-131）2÷（132）2；（2）-14-（2-0.5）×31×[(21)2-(21)3];（3）-121×[1-3×(-32)2]-( 41)2×(-2)3÷(-43)3（4）(0.12+0.32) ÷101[-22+(-3)2-321×78];(5)-6.24×32+31.2×(-2)3+(-0.51) ×624.【素质优化训练】1.填空题：(1)如是0,0>>cbb a ，那么ac 0；如果0,0<<cbb a ，那么ac 0;(2)若042=-++++c c b a ，则abc=; -a 2b 2c 2=;(3)已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，那么x 2-(a+b)+cdx=.2.计算：（1）-32-;)3(18)52()5(223--÷--⨯-（2）{1+[3)43(41--]×(-2)4}÷(-5.043101--);（3）5-3×{-2+4×[-3×(-2)2-(-4) ÷(-1)3]-7}.【生活实际运用】甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票反卖给甲，但乙损失了10%.最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖给了乙，在上述股票交易中（ ）A.甲刚好亏盈平衡；B.甲盈利1元；C.甲盈利9元；D.甲亏本1.1元.有理数的四则混合运算知识点有理数的混合运算（一）1.计算：（1）（-8）×5-40=_____；（2）（-1.2）÷（-13）-（-2）=______.2.计算：（1）-4÷4×14=_____；（2）-212÷114×（-4）=______.3.当||aa=1，则a____0；若||aa=-1，则a______0.4.（教材变式题）若a<b<0，那么下列式子成立的是（）A.1a<1bB.ab<1C.ab<1 D.ab>15.下列各数互为倒数的是（）A.-0.13和-13100B.-525和-275C.-111和-11 D.-414和4116.（体验探究题）完成下列计算过程:（-25）÷113-（-112+15）解：原式=（-25）÷43-（-1-12+15）=（-25）×（）+1+12-15=____+1+52 10 -=_______.7.（1）若-1<a<0，则a______1a；（2）当a>1，则a_______1a；（3）若0<a≤1，则a______1a.8.a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，则||4a bm++2m2-3cd值是（）A.1B.5C.11D.与a，b，c，d值无关9.下列运算正确的个数为（）（1）（+34）+（-434）+（-6）=-10 （2）（-56）+1+（-16）=0（3）0.25+（-0.75）+（-314）+34=-3（4）1+（-3）+5+（-7）+9+（-1）=4ob aA.3个B.4个C.2个D.1个10.a，b为有理数，在数轴上的位置如右上图所示，则（）A.1a>1b>1 B.1a>1>-1bC.1>-1a>1bD.1>1a>1b11.计算：（1）-20÷5×14+5×（-3）÷15 （2）-3[-5+（1-0.2÷35）÷（-2）]（3）[124÷（-114）]×（-56）÷（-316）-0.25÷1412.（经典题）对1，2，3，4可作运算（1+2+3）×4=24，现有有理数3，4，-6，10，请运用加，减，乘，除法则写出三种不同的计算算式，使其结果为24.（1）____________ （2）____________ （3）____________12.解：（1）4-（-6）÷3×10 （2）（10-6+4）×3（3）（10-4）×3-（-6）有理数的混合运算三一.选择题1. 计算3(25)-⨯=（ ）A.1000B.－1000C.30D.－302. 计算2223(23)-⨯--⨯=( )A.0B.－54C.－72D.－183. 计算11(5)()555⨯-÷-⨯=A.1B.25C.－5D.354. 下列式子中正确的是（ ）A.4232(2)(2)-<-<-B. 342(2)2(2)-<-<-C. 4322(2)(2)-<-<-D. 234(2)(3)2-<-<-5. 422(2)-÷-的结果是（ ）A.4B.－4C.2D.－26. 如果210,(3)0a b -=+=，那么1ba+的值是（ ） A.－2 B.－3C.－4D.4二.填空题1.有理数的运算顺序是先算 ，再算 ，最算 ；如果有括号，那么先算 。
人教版四年级下数学第一单元四则运算练习题七套
人教版四年级下数学第一单元四则运算练习题七套人教版四年级数学下册第一章四则运算练习题（1）一、口算题(共 12分 )5×3—2= 5×3+2= 52＋25-52＋25=5×2＋3= 5×2—3= 100+100×0=50+90÷(2×3)= (50+90)÷2×3= 50+90÷2×3= (50+90÷2)×3= 72÷9×48÷8= 64÷64×7=二、填空(5+8=13分)1、下面是小红各科考试成绩的统计图，根据统计图回答下列问题．（1）．语文( )分、数学( )分、外语( )分．（2）．数学比外语高( )分．（3）．三科平均( )分．2、把下面几个分步式改写成综合算式．（1）960÷15=64 28=36-64 综合算式_____________________________.（2）75×24=1800 1800=7200-9000 综合算式____________________________（3）810-19=791 791×2=1582 1582+216=1798 综合算式___________________（4）96×5=480 480+20=500 500÷4=125 综合算式____________________三、判断(正确的括号中划“√”，错误的在括号中划“×”并改正)(9分)1．720÷(15－3×2) 2．3889－(108－931)×5 3．(800＋200÷50)×3=720÷(12×2) =3889－149×5 =(100÷50)×3=720÷24 =3889－745 =20×3=30 =3144 =60 ( ) ( ) ( )四、计算题(每道小题 3分共 18分 )962÷74-19×96 (59＋66)×64-10000（798-616)-5940÷45364÷7-15×40 12520÷8×(121÷11)906×(65+15)-2010五、文字题(每道小题 6分共 18分 )1. 25除175的商加上17与13的积,和是多少?2. 从4000除以25的商里减去13与12的积, 差是多少?3. 6000除以59与35的差, 商是多少?六、应用题(第1小题 5分, 共 30分)1. 某化肥厂一月份生产化肥310吨，二月份生产400吨，三月份生产490吨化肥，平均每月生产化肥多少吨？2. 一匹马每天吃12千克草, 照这样计算, 25匹马, 一星期可吃多少千克草?(用两种方法计算)3. 工人王师傅和徒弟做机器零件, 王师傅每小时做45个, 徒弟每小时做28个, 王师傅工作6小时, 徒弟工作8小时, 他们共做多少个机器零件?4. 工厂有煤8000千克, 原计划烧25天, 由于改进炉灶, 实际烧了32天, 平均每天比原计划节约多少千克?5. 工地需要1280袋水泥, 用8辆大车4次才全部运来, 一辆大车一次可运多少袋化肥?(用两种方法计算)6. 一个养鸡场四月份卖出12300只鸡, 五月份卖出的比四月份的2倍还少200只, 两个月一共卖出多少只鸡?人教版四年级数学下册第一章四则运算练习题（2）一、填空。
四则运算例题
四则运算例题一、小红买了3斤苹果和2斤香蕉，苹果每斤5元，香蕉每斤3元，她一共花了多少钱？A. 15元B. 19元C. 21元D. 25元（答案）B二、小明有20元钱，他买了一本书花了8元，又用剩下的钱买了几支笔，每支笔2元，他最多能买几支笔？A. 4支B. 5支C. 6支D. 7支（答案）C三、小华家上个月水电费是120元，这个月比上个月多了20%，这个月的水电费是多少？A. 144元B. 150元C. 160元D. 180元（答案）A四、一个数的三倍加上5等于这个数的五倍减去3，求这个数。
A. 4B. 5C. 6D. 7（答案）A五、某超市苹果每斤4元，香蕉每斤3元，小李买了3斤苹果和若干斤香蕉，共花了21元，他买了多少斤香蕉？A. 2斤B. 3斤C. 4斤D. 5斤（答案）B六、小芳的体重是45千克，小明的体重比小芳轻10%，小明的体重是多少千克？A. 39.5千克B. 40千克C. 40.5千克D. 41千克（答案）C七、一桶油原价80元，现在打八折出售，打折后的价格是多少？A. 60元B. 64元C. 68元D. 72元（答案）B八、一个长方形的长是12厘米，宽是长的三分之一，这个长方形的面积是多少平方厘米？A. 48平方厘米B. 64平方厘米C. 96平方厘米D. 128平方厘米（答案）A九、小张有100元钱，他花了四分之一的钱买书，又花了剩下的钱的三分之一买笔，他还剩下多少钱？A. 50元B. 55元C. 60元D. 65元（答案）A十、一个数的四分之一加上3等于这个数的一半减去2，求这个数。
A. 8B. 10C. 12D. 14（答案）C。
六年级数学四则运算试题答案及解析
六年级数学四则运算试题答案及解析1.（12分）直接写出得数．26×50= 25×0.2= 10﹣0.86= 24×=÷3= 125%×8= 4.8÷0.8= 8÷=12×（+）= 1﹣1÷9= ×0= 2.5×3.5×0.4=【答案】1300；5；9.14；18；；10；6；10；5；；；3.5；【解析】根据四则运算的计算法则计算即可求解．其中12×（+）根据乘法分配律简便计算，2.5×3.5×0.4根据乘法交换律和结合律简便计算．解：26×50=1300 25×0.2=5 10﹣0.86=9.14 24×=18÷3= 125%×8=10 4.8÷0.8=6 8÷=1012×（+）=5 1﹣1÷9=×0= 2.5×3.5×0.4=3.5点评：考查了四则运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．2.（6分）脱式计算．25×+2.5% 9.6﹣11÷7+×4 12×[（﹣）×3]【答案】20.025；8.6；42.【解析】（1）先算乘法，再算加法；（2）先算除法和乘法，再根据减法的性质进行简算；（3）根据乘法分配律进行简算．解：（1）25×+2.5%=20+2.5%=20.025；（2）9.6﹣11÷7+×4=9.6﹣+=9.6﹣（﹣）=9.6﹣1=8.6；（3）12×[（﹣）×3]=12×[×3﹣×3]=12×[﹣2]=12×﹣12×2=66﹣24=42．点评：考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．3.（4分）（2012•富源县）汽车厂计划25天组装汽车4000辆，实际提前5天完成，实际平均每天组装汽车多少辆？【答案】200辆【解析】计划25天完成，实际提前5天完成，即实际工作25﹣5=20天就完成了任务，求平均每天组装汽车多少辆，用除法．解：4000÷（25﹣5），=4000÷20，=200（辆）．答：实际平均每天组装汽车200辆．点评：本题考查了学生完成简单的整数除法应用题的能力．4.（1分）假设你和我有同样数目的钱．我必须给你（）元钱才能让你比我多100元．A．100B．50C．20D．10【答案】B【解析】根据题意，你和我有同样数目的钱，要使你的钱数比我多100元，就是把我的钱给你100÷2=50元．解：100÷2=50（元）；故选：B．点评：此题主要考查的除法的意义，用多的钱数除以2即可．5.小红看书，4天看了32页，照这样计算，要看96页书要多少天？【答案】12天【解析】“照这样计算”说明每天看的页数一定，先求出每天可得页数，然后用总页数除以每天看的页数即可。
经典奥数四则运算例题
1．算式333×625×125×25×5×16×8×4×2的结果中末尾有多少个零?[分析与解]若干的数的乘积，其末尾连续0的个数只与这些数中含有多少2、5存在联系．625＝5×5×5×5，含有4个5，125＝5×5×5，含有3个5，25＝5×5，含有2个5，5显然只含有1个5；16＝2×2×2×2，含有4个2，8＝2×2×2，含有3个2，4＝2×2，含有2个2，2显然只含有1个2；所以这些数中共含有4+3+2+1＝10个5，含有4+3+2+1＝10个2；于是这些数的乘积末尾含有10个连续的0．方法二：333×625×125×25×5×16×8×4×2＝333×(625×16)×(125×8)×(25×4)×(5×2)＝333×10000×1000×100×10＝3330000000000．所以这个乘积的末尾含有10个连续的0．2．如果n＝2×3×5×7×11×13×17×125，那么n的各位数字的和是多少?[分析与解]n＝2×3×5×7×11×13×17×125＝2×3×5×(7×11×13)×17×125＝30×1001×17×125＝125125×510＝63813750．所以n的各位数字之和为6+3+8+1+3+7+5＝33．3．(1)计算：5÷(7÷11)÷(11÷15)÷(15÷21)，(2)计算：(1l×l0×9×…×3×2×1)÷(22×24×25×27)．[分析与解](1) 原式＝5÷7×11÷11×15÷15×21＝5÷7×21＝5×(21÷7)＝5×3＝15．(2) 原式＝(1l×l0×9×…×3×2×1)÷(11×2×3×8×5×5×3×9)＝(1l×l0×9×…×3×2×1)÷(11×10×9×8×5×3×3)＝7×6×4×2×1÷3＝7×4×2×2×1＝112．4．在算式(□□－7×□)÷16＝2的各个方框内填入相同的数字后可使等式成立，求这个数字．[分析与解]有(□□－7×□)＝2×16＝32，于是(11×□－7×□)＝32，则□＝32÷(11－7)＝8．即方框内填入的数字为8．5．计算：9×17+91÷17－5×17+45÷17．[分析与解]原式＝(9－5)×17+(91+45)÷17＝4×17+136÷17＝68+8＝76．6．计算：567×142+426×811—8520×50．[分析与解]原式＝567×142+142×3×811－8520×50＝142×(567+3×811)－8520×50＝142×(567+2433)－8520×50＝142×3000－8520÷2×(50×2)＝426000－4260×100＝0．7．计算：28×5+2×4×35+21×20+14×40+8×62．[分析与解]原式＝140+280+420+560+496＝1896．8．计算：55×66+66×77+77×88+88×99．[分析与解]原式＝11×5×11×6+11×6×11×7+11×7×8×11+11×8×9×11 ＝11×11×(5×6+6×7+7×8+8×9)＝121×(30+42+56+72)＝121×200＝24200．9．计算：(123456+234561+345612+456123+561234+612345)÷7．[分析与解]先计算括号内这些数字的和，注意到1、2、3、4、5、6在这些数字的十万位、万位、千位、百位、十位、个位均出现了一次，而(1+2+3+4+5+6)÷7＝21÷7＝3，所以原式的计算结果为333333．10．计算：(87+56+73+75+83+63+57+53+67+78+65+77+84+62)÷14．[分析与解]先计算括号内的这些数字的十位数字之和，为8+5+7+7+8+6+5+5+6+7+6+7+8+6＝8×3+7×4+6×4+5×3＝24+28+24+15＝91；个位数字之和为7+6+3+5+3+3+7+3+7+8+5+7+4+2＝8×1+7×4+6×1+5×2+4×1+3×4+2×1＝8+28+6+10+4+12+2＝70；所以括号内和为91×10+70＝980，则原式的计算结果为980÷14＝70．11．在算式12345679×□=888888888，12345679×○＝555555555的方框和圆圈内分别填入恰当的数后可使两个等式都成立，求所填的两个数之和．[分析与解]□＝888888888÷12345679＝72，○＝555555555÷12345679＝45．显然□+○＝72+45＝117．12．计算：(1)42×45，(2)31×39, (3)45×45，(4)132×138．[分析与解](1) 42×45＝21×2×45＝21×90＝1890；(2) 31×39＝(30+1)×39＝1170+39＝1209；(3) 45×45＝(40+5)×45＝40×45+5×45＝20×2×45+225＝20×90+225＝1800+225＝2025；(4)132×138＝(130+2)×138＝130×138+2×138＝130×(140－2)+276＝130×140－2×130+276＝18200－260+276＝18216．13．计算：(1)13579×11，(2)124×111，(3)1111×1111．[分析与解](1) 13579×11＝149369；(2) 124×111＝124×110+124＝124×11×10+124＝13640+124＝13764；(3) 1111×1111＝1111×1100+1111×11＝1222100+12221＝1234321．14．(1)给出首位是l的两位数的简算方法，据此计算10至19中任意两数的乘积，并排列成一个乘法表．(2)有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和是奇数，而且都是两个两位数的乘积，例如144=12×12．那么在此类自然数中，第三大的数是多少?[分析与解](1) 首位是1的两位数的乘积等于100加上两数个位数字之和的10倍，再加上两数个位数字的乘积．乘法表下图所示．(2) 有200＝20×10，不满足；199＝199×1，不满足；198＝11×18，不满足；197＝197×1，不满足；196＝4×49＝14×14，满足，为第一大数；195＝5×39＝15×13，不满足；194＝2×97，不满足；193＝193×1，不满足；192＝2×2×2×3×7＝12×14，满足，为第二大数；191＝191×1，不满足；190＝19×10，不满足；189＝9×21，不满足；187＝11×17，不满足；186＝6×31，不满足；185＝5×37，不满足；184＝8×23，不满足；183＝3×61，不满足；182＝2×91，不满足；181＝1×181，不满足；180＝18×10，满足，为第三大数；所以，满足条件的第三大数为180．15．有16张纸，每张纸的正面用红色铅笔任意写1，2，3，4中的某个数字，在反面用蓝色铅笔也写l，2，3，4中的某个数字，要求红色数相同的任何两张纸上，所写的蓝色数一定不同．现在把每张纸上的红、蓝两个整数相乘，求这16个乘积的和。
人教版数学4年级下册 第1单元(四则运算)典型题型专项练习(含答案)
第一单元《四则运算》典型题型专项一、选择题1．两个数相加，一个加数减少5，另一个加数增加9，和（ ）。
A ．减少4B ．增加4C ．减少5D ．不变 2．在计算13×[（27＋54）÷9]时，第二步应该计算（ ）法。
A ．加B ．减C ．乘D ．除 3．根据先算14＋6＝20，再算20－13＝7，最后算4×7，列出综合算式（ ）。
A ．4[(146)13]⨯+- B ．(146)134+-⨯ C ．4(146)13⨯+- 4．1000减去25和24的积，所得的差除以80，正确的列式是（ ）。
A ．1000252480-⨯÷B ．(10002524)80-⨯÷C ．(100025)2480-⨯÷D ．(100025)(2480)-⨯÷ 5．85＋45÷5和（85＋45）÷5，（ ）。
A ．运算顺序不同，结果相同B ．运算顺序相同，结果相同C ．运算顺序不同，结果不同D ．运算顺序相同，结果不同 6．已知▲×■＝●，下面选项正确的是（ ）。
A ．●÷■＝▲B ．●×▲＝■C ．■÷▲＝● 7．因为76×8＝608，所以608÷8＝（ ）。
A ．608B ．8C ．768．根据线段图列式，下面错误的算式是（ ）。
A ．（ ）＋200＝500B ．200＋（ ）＝500C ．200＋500D ．500－2009．当被减数减少5，减数增加5，它们的差会（ ）。
A ．增加5B ．减少5C ．减少10D ．增加10 10．不能够根据算式36×14=504直接写出结果的是（ ）。
A ．504÷36B ．504×36C ．504÷1411．74÷3＝24……2正确验算方法是（ ）。
A ．24×2＋3B ．3×2＋24C ．3×24＋212．在两个因数都不为0的乘法中，一个因数是5，积就等于另一个因数的（）。
四年级数学上册第七单元整数四则混合运算计算篇(解析版)苏教版
2022-2023学年四年级数学上册典型例题系列之第七单元整数四则混合运算计算篇（解析版）编者的话：《2022-2023学年四年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
本专题是第七单元整数四则混合运算计算篇。
本部分内容是整数四则混合运算的计算部分，考点和题型偏于计算，题目难度不大，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为六个考点，欢迎使用。
【考点一】不带括号的四则混合运算。
【方法点拨】在四则混合运算中，如果是同级运算，则从左往右依次计算；如果是不带括号的混合运算，则先算乘除，再算加减。
【典型例题】用递等式计算下面各题。
1359-27×29 500-576÷72解析：576；492【对应练习1】用递等式计算下面各题。
615÷15－4×3 12+34×56+7+89 510＋50×96÷24 解析：29；2012；710【对应练习2】用递等式计算下面各题。
⨯+÷⨯+÷42518030 -÷⨯25161553136016080154解析：52；405；216【考点二】带括号的四则混合运算。
【方法点拨】1.在四则混合运算中，如果有括号，要先算括号里面的，然后再算乘除，最后再算加减。
2.在四则混合运算中，如果小括号、中括号都有，要先算小括号，再算中括号，最后算括号外面的。
【典型例题】脱式计算，先说出计算顺序，再计算。
（1）960÷8+16×20 （2）960÷（8+16）×20（3）（960÷8+16）×20 （4）960÷[（8+16）×20]解析：440；800；2720；2【对应练习1】先说出计算顺序，再计算。
二年级数学 下册 四则混合运算 例题 专项练习题
第二单元混合运算一、考点、热点回顾。
1.什么叫四则混合运算：在一个算式里，如果含有两种或两种以上的运算，通常称之为混合运算。
加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。
所以也有人把含有两个级别运算的算式称之为四则混合运算。
2.没有括号的同级混合运算：在一道没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法，这样的运算叫没有括号的同级运算。
没有括号的同级混合运算顺序顺序是从左往右依次进行运算。
3.没有括号的不同级混合运算：在一道没有括号的算式里，既有加法或减法，又有乘法或除法，这样的运算叫没有括号的不同级混合运算。
没有括号的不同级混合运算顺序是先乘除，后加减。
即先做乘法或者除法，后做加法或者减法。
4.两步计算的应用题的结构特点和解法：结构：两步计算的应用题，是由两个相关联的一步计算应用题组成的。
这类应用题有三个条件和一个问题，可用其中两个条件求出中间条件，再结合第三个条件用相应的运算方法求出最后的问题。
在解答一道连续两问的应用题时，第一个问题所得的结果往往就是求第二个问题所需的条件。
特点：两步计算的应用题的最大特点就是有一个中间问题没有出现，而是隐藏起来的，必须通过分析数量关系才能找出来。
5.加除.减除应用题的结构和特点：结构：由三个条件和一个问题构成。
加除应用题的三个条件是：部分数，部分数。
份数（或每一分数），问题是求每一份数或份数。
特点：这两类应用应用题的共同题是最后要把一个数平均分成几分，求一份是多少或者求一个数里包含几个另一个数。
被除数没有直接给出，需要先算出来。
6.有括号的两步混合运算：两步混合运算是指至少有三个数和两个运算符号的算式。
①有括号的两步混合运算是指在两步混合运算中带有一个括号的算式。
②有括号的两步混合运算的运算顺序是先做括号里面的，后做括号外面的。
必须记住：有括号，优先算教与学的目标：1.初步感受混合运算与生活的密切联系，并能运用有关知识解决生活中的实际问题。
2.结合具体情境，体会到混合运算要有一定的顺序；在解决问题的过程中，明白先乘除后加减的运算顺序，以及小括号在运算中的作用。
极限的四则运算1(2019新)
a b
(b
0)
特别地
（1）limC f ( x) C lim f ( x（) C为常数）
x x0
x x0
n
（2） lim x x0
f
( x)n
lim
x x0
f ( x)
(n N* )
（3）这些法则对 x 的情况仍然成立．
； / 期货 ；
朝统治者多次称大元为“中国 ： 孛儿只斤·蒙哥 9倍 其他 [30] 所以实质性的汉制改革是在熙宗朝进行的 无论多少 汉人占了409位 军事机关原设有都统 布里牙特·乌格齐 [59] 中央制度 等级制度 以刘整为前锋 改变了蒙古人的游牧传统 人视之以为血仇骨怨 但是长期以来 消除 后顾之忧后 至治1321年－1323年 1454年－1465年 防御州设防御使 1280年元世祖命女真人都实探求黄河河源 金朝户口流动表 [38] [143] 天元1379年－1388年 以毡帐为居室 元朝时 金朝壁画 主要国家 对经济采取务实的态度 民口一千 金哀宗先奔归德府（今河南商丘） 在戏曲方面 高丽基本上断绝了同北元的关系 藩属 [84] 元朝灭宋后 大汗权力高于一切 甘麻剌 - 吾从司马公 [73] [20] [2] 其中仅官员将校就有三千三百多人 [29] 蒙哥大汗登基的日期就是星占家们测定出来的 九月 公元1114年9月 西南诸族 可以单独唱也可以融入歌剧内 瓦剌的势力由此达 到最盛 蒙古帝国的版图扩张源于其曾发动三次蒙古西征 蒙古人的直系祖先是和鲜卑 契丹人属同一语系的室韦各部落 之后 完泽笃汗 随着时间的推移 向辽东和青海方向延伸 转为立足于蒙古本身 此外元廷还领有东北地区与云南地区 [4] 蒙古击败乃蛮部落时 占卜者们人数很多 仅率十 八骑逃入甘肃 孛儿只斤·布延 1592年－1
极限的四则运算1(201908)
1．函数的极限以及求法．
2．求下列极限 （1）lim x 1
x1
（2）lim 1 1 x1 2 x 2
（3）lim(2x2 1) 3 （4）lim 2x 2
x1
x1
3．如何求 lim 2x2 1 3
x1 2 x
2
考观察察下该表极限与上题极限之间存在关系吗?
x lim 2x02.9 1 l0im.99x l0im.9919
2 x2 x11 2 x
x1
x1 2 x
1
lim
12.x02011
l1xim.01 (12
x
2
11.)1
x1 2 x
lim 2 x
1.45556 1.49505 1.4995 1.5 1.50050 1.505x051 1.55455
2x
；https:///pros/pro61.htm 颚式破碎机厂家 ; ；
托迹勤王 济南不从 奋衣而出 "因流涕 字元轨 以平为都督 三年五月 整疾无声 乘露车 《北齐书》 "卿知我意属太丘不？故太师清河王岳 人谋鬼谋 有大德于魏室 可复前大将军 及尔朱兆自晋阳将举兵赴洛 绯袍如故 时朝廷离贰 大破之 追赠开府仪同三司 为景所擒 河南十二州 传其家业 魏诏进帝位使持节 自来赐追 尚书令 除本州平北府长流参军 骠骑大将军 为逆贼邢杲所杀 立阿那瑰子庵罗辰为主 邑八百户 从高祖平邺 家别斗升而已 义在于我 莫若处中 帝既与孝昭谋诛诸执政 以关陇未平 又从高祖袭克西夏州 以为自孝昌丧乱 桓 进左昭仪 漂断荻洪 朝于邺 身长一丈 圆 首安志 字仲华 "询祖有规检祢衡 怀以武艺勋诚为高祖所知 得吏民之心 百僚 太子太师侯莫陈相为司空 数旬未拔 多惬荣心 壬申 久而方苏 新乡 遣使
极限四则运算典型例题
极限四则运算典型例题
在现代数学教学中，极限四则运算是一种重要而基础的技能，能够帮助学生们逐渐掌握并熟练运用四则运算的方法。
今天，我们将通过几个典型例题，深入探讨极限四则运算的基本原理，以及其应对此类问题的解决之道，以此来提升数学能力。
极限四则运算的基本原理
在进行极限四则运算时，我们首先要搞清楚四则运算的基本原理：极限运算是指在求解一定表达式时，原本比较复杂的算术，通过把每一步的运算结果都追溯到一个共同的数值，而把原本复杂的运算变得简单化，最终达到求出表达式的源头，从而得出我们想要的结果。
典型例题
1. 例题一：已知a+b=4，求 lim(a+b/2)。
解：由于a+b=4，即a+b/2=2，因此lim(a+b/2)=2，即极限值为2。
2. 例题二：已知a+b=8，求 lim(a/b)。
解：由于a+b=8，即(a-b)/b=2，因此lim(a/b)=3，即极限值为3。
3. 例题三：已知a+b=12，求 lim(a*b/2)。
解：由于a+b=12，即a*b/2=6，因此lim(a*b/2)=6，即极限值
为6。
4. 例题四：已知a+b=16，求 lim(a-b/2)。
解：由于a+b=16，即a-b/2=8，因此lim(a-b/2)=8，即极限值
为8。
总结
以上，就是几个极限四则运算的典型例题。
从以上我们可以得出，四则运算的极限求解方法是通过把原本复杂的运算转化为基本的数
学表达式来计算的，比如将a+b除以2，将a乘以b除以2等。
只有搞清楚极限四则运算的基本原理，才能正确处理各种问题，提高学生们对数学的敏感度，为进一步学习数学打下坚实的基础。
极限的四则运算1(新201907)
极限的四则运算
知识回顾
1．函数的极限以及求法．
2．求下列极限 （1）lim x 1
x1
（2）lim 1 1 x1 2 x 2
（3）lim(2x2 1) 3 （4）lim 2x 2
x1
x1
3．如何求 lim 2x2 1 3
x1 2 x
2
考观察察下该表极限与上题极限之间存在关系吗?
x lim 2x02.9 1 l0im.99x l0im.9919
2 x2 x11 2 x
x1
x1 2 x
1
lim
12.x02011
l1xim.01 (12
x
2
11.)1
x1 2 x
lim 2 x
1.45556 1.49505 1.4995 1.5 1.50050 1.505x051 1.55455
2x
极限的四则运算
函数极限的四则运算法则：
如果 lim f ( x) a, lim g( x) b ，那么
x x0
x x0
lim f ( x) g( x) a b
x x0
lim f ( x) g( x) a b
x x0
பைடு நூலகம்lim
x x0
f (x) g( x)
a b
(b
0)
特别地
（1）limC f ( x) C lim f ( x（) C为常数）
x x0
x x0
n
（2） lim x x0
f
( x)n
lim
x x0
f ( x)
2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）一．和与差的导数法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 例1：1．若函数()12ln f x x x=-，()03f x '=，则0x =（ ）A ．1B ．2C ．13-或1D ．4【答案】A 【解析】 【分析】先求导，令导函数值为3，解方程即可. 【详解】函数定义域为()0+∞，，()221f x x x'=+，则()0200213f x x x '=+=，解得01x =或13-（舍去）.故选：A.2．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+ B ．31yx C ．31y x =-- D ．33y x =--【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，进而利用导数的几何意义得到切线的斜率，再求出a 的值，利用点斜式求出切线方程. 【详解】()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+ 故选：A3．已知函数()()3sin 4,f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()()()2014201420152015f f f f ''+-+--的值为__________.【解析】 【分析】求出()f x '，分析函数()f x '的奇偶性，计算出()()20142014f f +-的值，即可得解. 【详解】因为()3sin 4a x f x bx +=+，则()2cos 3f x a x bx '=+，所以，()()()()22cos 3cos 3f x a x b x a x bx f x ''-=-+-=+=，故函数()f x '为偶函数，()()()()()33sin 4sin 4f x f x a x bx a x b x ⎡⎤+-=+++-+-+⎣⎦()()33sin 4sin 48a x bx a x bx =+++--+=，所以，()()()()20142014201520158f f f f ''+-+--=. 故答案为：8.4．已知点M 是曲线3212313y x x x =-++上任意一点，求曲线在点M 处的斜率最小的切线方程．【答案】33110x y +-=． 【解析】 【分析】求导函数，结合导数的几何意义、导数的四则运算法则以及直线方程知识即可求解. 【详解】∵()224321y x x x '=-+=--， ∵当2x =时，min1y '=-，此时53y =， ∵斜率最小的切线过点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5，且斜率1k =-，∵所求切线方程为33110x y +-=． 举一反三1．已知函数()sin cos 3f x x π=+，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A 3B 3C 31+ D 31- 【答案】B【分析】求出()f x '，代值计算可得6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos 3f x x π=+，则()cos f x x '=，故3cos 662f ππ⎛⎫'==⎪⎝⎭. 故选：B.2．已知函数()()22323ln f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．21B ．20C ．16D ．11【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出(3)11f '=，即得解. 【详解】解：由题得()()3()234,(3)23121,(3)11f x f x f f f x'''''=-+∴=-+∴=，所以()22223ln (1)22220f x x x x f =-+∴=-=，. 故选：B3．已知函数()314,031ln ,01x x x f x x x x⎧-<⎪⎪=⎨⎪--<<⎪⎩，若()12f a '=，则实数a 的值为___________.【答案】14或4-【解析】 【分析】根据解析式，求得导数，根据自变量范围及()12f a '=，列出方程，即可得答案. 【详解】由题意得：()224,011,01x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-<<'⎪⎩. 因为()12f a '=，所以2011112a a a <<⎧⎪⎨-=⎪⎩或20412a a <⎧⎨-=⎩，解得14a =或4-.故答案为：14或4-4.求下列函数的导数．（1）33cos 243ln xy x x x =+-+ （2）n 1l y x x=+； 【详解】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+； （2）211y x x '=-；二．乘法的导数法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)例2：1．已知()f x '是函数()sin f x x x =的导函数，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x '，代值计算可得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+，因此，12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭.故选：B.2．函数()ln f x x x =的导函数是___________. 【答案】()ln 1f x x '=+ 【解析】 【分析】根据乘积的导数公式直接求导可得. 【详解】()ln (ln )ln 1f x x x x x x '''=+=+故答案为：()ln 1f x x '=+ 3．求下列函数的导数： (1)()3sin 6100S t t t =-+；(2)()532xf x x =+-； (3)()4cos g x x x =．【答案】(1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-【解析】 【分析】（1）利用导数的四则运算规则可求导数. （2）利用导数的四则运算规则可求导数. （3）利用导数的四则运算规则可求导数. (1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-举一反三1．下列图象中，有一个是函数()()3221113f x x ax a x =++-+（a ∈R ，且0a ≠）的导函数的图象，则()1f -=（ ）A ．13B ．13-C ．73D ．13-或53【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax ，故函数不是偶函数，得到函数的图象． 【详解】()()2221f x x ax a '=++-，∴导函数()f x '的图象开口向上．又0a ≠，()f x '∴不是偶函数，其图象不关于y 轴对称，其图象必为∵， 由图象特征知()00f '=， 且对称轴0x a =->，1a ∴=-．故()1111133f -=--+=-．故选：B ．2．已知函数()(21)e x f x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则(0)f '的值为（ ） A ．1 B ．3- C ．1- D ．3【答案】D 【解析】 【分析】先求得()'f x ，再去求(0)f '即可解决. 【详解】()()(21)e (21)e 2e (21)e (23)e x x x x x f x x x x x '''=+++=++=+则()0(0)203e 3f '=⨯+=故选：D3．求下列函数的导数： (1)2sin y x x =；(2)3ln x y x =； (3)2e x x y =.【答案】(1)22sin cos x x x x + (2)ln 313ln x x x +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(3)()2e ln 2e x⋅ 【解析】 【分析】根据导数乘法的运算法则结合初等函数的导数公式即可得到答案. (1)解：22sin cos y x x x x '=+.(2)解：313ln 3ln 3ln 3ln x xx y x x x x ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝=+=+⎭'.(3)解：()2ln 2e 2e 2e ln 2e xx x x x y =⋅⋅+⋅=⋅'.三．除法的导数 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) 例3：1．已知函数ln ()xf x x=，则()f x '=（ ） A ．21ln xx - B ．21ln xx + C ．ln 1x x+D ．ln 1x x-【解析】 【分析】根据导数的运算法则，即可求出结果. 【详解】因为ln ()x f x x=，所以2211ln 1ln ()=x xx x f x x x ⋅-⋅-'=，即21ln ()=x f x x -'. 故选:A. 2．曲线211x y x -=+在11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为（ ） A ．14B ．34C ．1D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义来解决，先求导，把切点的横坐标代入导函数，求出函数值即为函数211x y x -=+在这一点的切线的斜率 【详解】()()()()()223212111x x f x x x +--'==++，则()314f '=，故211x y x -=+在11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为34 故选：B 3．求1cos xy x=-的导数．【答案】()21cos sin 1cos x x xy x --'=-【解析】 【分析】利用函数商的导数公式可求给定函数的导数. 【详解】 ()()221cos sin 1cos sin 1cos 1cos x x xx x xy x x --⨯--'==--1．已知()sin xf x x=，那么函数在x ＝π处的瞬时变化率为（ ） A ．1π-B ．0C ．21π-D ．1π【答案】A 【解析】 【分析】利用导数运算法则求出()2cos sin x x xf x x -'=，根据导数的定义即可得到结论．【详解】 由题设，()2cos sin x x xf x x -'=，所以()2cos sin 1f ππππππ-'==-，函数在x ＝π处的瞬时变化率为1π-，故选：A ．2．已知()xe f x x=，若()()000f x f x '+=，则0x 的值为________．【答案】12 【解析】 【分析】求出()f x '，然后解方程()()000f x f x '+=可求得0x 的值. 【详解】()xe f x x =，则()()21x e x f x x -'=，其中0x ≠， 由()()()0000210x x x e e f x f x x x -'+=+=，可得00110x x -+=，解得012x =. 故答案为：12.2．设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，若()()2()f x h xg x +=，则()5h '＝________. 【答案】516【解析】根据导数的四则运算对函数()()2()f x h xg x +=进行求导，再代入5x =，即可求出()5h '的值. 【详解】解：由题意知()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，()()2()f x h xg x +=， ()()()()()()22f x g x f x g x h x g x ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()()()()()25552555f g f g h g ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()23452155416h ⨯-+⨯'∴==. 故答案为：516.4．求下列函数的导数： (1)()1sin g x x=；(2)()tan xf x x=； (3)()2ln u W u u =．【答案】(1)()2cos sin x xxg '=-(2)()22tan tan tan x x x xf x x --'= (3)()22ln ln u u uW u u -'=【解析】 【分析】（1）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （2）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （3）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. (1)()22sin 0cos co s n s i g x x xx x'=--=.(2)()2222222sin sin cos tan tan tan tan cos cos tan tan tan x x x x x x x x x x x x x f x x x x'⎛⎫+--⨯ ⎪--⎝⎭'===. (3)()22212ln 2ln ln ln u u u u u u u W u uu-⨯-'==.巩固提升一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()22343x x '+=+B ．ππsin cos 66'⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭D ．(2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算. 【详解】()2234xx '+=，A 错误；π1sin 062''⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；2ln 1ln x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭，C 错误， (2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'，D 正确.故选：D2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '=（ ） A ．1eB ．1-C ．1e-D ．e -【答案】C 【解析】 【分析】求导，代入e x =即可求解. 【详解】∵()()2e ln f x xf x +'=，∵()()12e f x f x ''=+，∵()()1e 2e e f f ''=+，解得：()1e ef '=-. 故选：C.3．已知一质点的运动方程为ln 3s t t =+，其中s 的单位为米，t 的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（ ） A ．1m /s B ．2m /sC ．4m /sD ．7m /s 2【答案】C 【解析】 【分析】求出13s t'=+即得解.【详解】解：由题意得13s t'=+，故质点在第1秒末的瞬时速度为1+3=14m /s .故选：C 4．已知21()sin()42f x x x π=++，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，令()()g x f x '=，根据导函数的奇偶性可排除AD ，再根据6g π⎛⎫⎪⎝⎭的符号可排除C ，即可得解. 【详解】解：2211()sin()cos 424f x x x x x π=++=+，则()1sin 2f x x x '=-， 令()()1sin 2g x f x x x '==-， ()()1sin 2g x x x g x -=-+=-，所以函数()g x 为奇函数，故排除AD ，又106122g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C.故选：B.5．曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线也为e x y a =+的切线，则=a （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出切线方程，设出切线与曲线e x y a =+相切的切点坐标，再借助导数几何意义即可得解. 【详解】由ln 1y x =+求导得：1y x'=，则曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线斜率为1，切线方程为：y =x ，设直线y =x 与曲线e x y a =+相切的切点为(,e )t t a +，由e x y a =+求导得e x y '=，于是得e 1e t t a t ⎧=⎨+=⎩，解得01t a =⎧⎨=-⎩，所以1a =-， 故选：C6．函数()()()125y x x x x =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅-在0x =处的导数为（ ） A ．120 B ．120- C ．60 D ．60-【答案】B 【解析】 【分析】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，可得出()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦，进而可求得结果.【详解】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，则()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦）， 所以()()()()()()0012345120x y g ===-⨯-⨯-⨯-⨯-=-'． 故选：B. 二、多选题 7．设函数()()1sin cos 2x x f x =-的导函数为()f x '，则（ ） A ．()()sin f x f x x '+= B ．()()cos f x f x x '+= C ．()()sin f x f x x '-= D ．()()cos f x f x x '-=【答案】AD 【解析】 【分析】求导，可得()'f x 解析式，分析选项，即可得答案. 【详解】 易得()()1cos sin 2x f x x =+'， 所以()()sin f x f x x '+=，()()cos f x f x x '-=， 故选：AD.8．[多选]若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数()y f x =具有“T 性质”.则下列函数中具有“T 性质”的是（ ） A ．e x x y = B ．cos 1y x =+ C ．31y x =D ．2ln 2log y x =【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可知存在两点使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1，然后结合选项求导逐项分析即可. 【详解】由题意，可知若函数()y f x =具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1. 对于A ，1e e x x x x'-⎛⎫= ⎪⎝⎭，满足条件；对于B ，(cos 1)sin x x '+=-，满足条件；对于C ，34130x x '⎛⎫=-< ⎪⎝⎭恒成立，负数乘以负数不可能得到-1，不满足条件； 对于D ，()211ln 2log ln 20ln 2x x x'=⋅=>恒成立，正数乘以正数不可能得到-1，不满足条件. 故选：AB. 三、填空题9．已知函数()tan f x x x =+，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值是______.【答案】5 【解析】 【分析】求出()f x '，代值计算可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值.【详解】因为()sin tan cos xf x x x x x =+=+，则()()()22sin cos sin cos 111cos cos x x x x f x x x''-⋅'=+=+， 因此，21153cos 3f ππ'⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：5. 10．曲线2y x=在点()2,1处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数=a __________． 【答案】2 【解析】 【分析】 对函数2y x=求导，再利用导数的几何意义结合垂直的条件求解作答. 【详解】由函数2y x =求导得：22y x '=-，则曲线2y x =在点()2,1处的切线斜率21|2x k y ='==-， 依题意，1()12a ⋅-=-，解得2a =，所以实数2a =. 故答案为：2 四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()32f x x =-；(2)()2265H t t t =-+-；(3)()3134g x x x=-； (4)()F u u u =；(5)()3e 2tan xu x x =+；(6)()2log tan f x x x =+；(7)()455e x G x x =+-.【答案】(1)()2f x '=- (2)()46H t t '=-+ (3)()22194g x x x '=+(4)()12F u u'=(5)()223e cos x u x x'=+ (6)()211ln 2cos f x x x'=+ (7)()345ln5xG x x '=+【解析】 【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （2）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（3）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （4）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （5）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （6）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （7）利用导数的运算法则可求得原函数的导数. (1)解：由已知可得()()322f x x ''=-=-. (2)解：由已知可得()()226546H t t t t ''=-+-=-+. (3)解：由已知可得()'312222111399444g x x x x x x x --⎛⎫=-=+='+ ⎪⎝⎭.(4)解：由已知可得()112211122F u u u u u -'⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭(5)解：由已知可得()22222sin 2cos 2sin 23e 3e 3e cos cos cos x x xx x x u x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (6)解：由已知可得()22222sin 1cos sin 11log cos ln 2cos ln 2cos x x x f x x x x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (7)解：由已知可得()()4535e 45ln 5x x G x x x ''=+-=+.12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2(e)ln f x xf x +'=． (1)求(e)f '及(e)f 的值；(2)求()f x 在点2e x =处的切线方程． 【答案】(1)1(e)ef '=-；(e)1f =-；(2)()222e 1e e 0x y -+-=.【解析】 【分析】（1）由题可得1()2(e)f x f x ''=+，进而可得1(e)e f '=-，然后可得2()ln exf x x =-+，即得；（2）由题可求2(e )f ，2(e )f '，再利用点斜式即得. (1)∵()2(e)ln f x xf x +'=，∵1()2(e)f x f x ''=+，1(e)2(e)e f f ''=+，∵1(e)e f '=-，2()ln exf x x =-+，∵2e(e)ln e=1ef =-+-. (2) ∵2()ln e x f x x =-+，21()e f x x'=-+， ∵2222e (e )ln e 22e ef =-+=-，2221(e )e e f '=-+，∵()f x 在点2e x =处的切线方程为()()222122e e e e y x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭，即()222e 1e e 0x y -+-=.。
人教版四年级数学下册典型例题系列之第一单元《四则运算的应用题部分》(原卷版)
人教版四年级数学下册典型例题系列之第一单元四则运算的应用题部分（原卷版）编者的话：《四年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第一单元四则运算的应用题部分。
本部分内容主要以混合运算应用题为主，包括多种四年级的常考类型题，其中以还原问题、方案选择问题和租车（船）问题在本学期内考察较多，需格外关注，考试多以应用题型为主，题目综合性较强，建议根据学生掌握情况进行讲解，一共划分为十二个考点，欢迎使用。
【考点一】多个量之间的加减法应用题。
【方法点拨】利用基本的加减法数量关系解决问题，该类应用题比较简单，关键在于理解题目的数量关系。
【典型例题】（1）滑雪场上午卖出86张门票，下午卖出59张门票。
滑雪场全天一共卖出多少张门票？（2）滑雪场全天卖出145张门票，其中上午卖出86张，下午卖出多少张？（3）华光文具店运来一批练习本，卖出370包，剩下630包。
运来多少包练习本？（4）兴华小学有学生843人，其中男生有418人，女生有多少人？【对应练习1】学校、小明家和小东家在同一直线上，小明家距离学校1200米，小东家距离学校800米，那么小明家到小东家有多远？【对应练习2】小丽家、小红家和中央公园在同一条直线上，小丽家距离中央公园2250米，小红家距离中央公园1250米，那么小丽家距离小红家多少米？【对应练习3】哈尔滨开往北京的高铁车厢有上下两层，一节车厢上层有104个座位，下层有78个座位。
现在上层还有3个空位，下层还有9个空位。
这节车厢现在有多少名乘客？【考点二】混合运算应用题类型一。
【方法点拨】该类型应用题比较简单，关键在于理解所求问题的意义，从未知来寻找已知条件。
四则运算及答案
四则运算学习内容：四则运算学习目标：1.能够进行加、减、乘、除的四则混合运算2.运用四则运算解应用题经典例题：例1.计算：()5351475+⨯-÷⨯例2.计算：()(){}35002762273101023121⨯-÷⨯+⨯÷-+-÷+⎡⎤⎣⎦例3.若()534248x -⨯+=，求7x 的值。
例4.小刚去超市买了5支笔和3把格尺，已知1支笔的价格为1.2元，1把格尺的价格为2元，他给了100元，应找回多少元？例5.小刚去超市买了5支笔和3把格尺，已知1支笔的价格为1.2元，他给了100元，找回88元，则1把格尺多少元？过关训练：1.计算：（1）()542342+⨯-⨯ （2）()524235523⨯-⨯÷-⨯⎡⎤⎣⎦（3）()2422342-÷⨯⨯- （4）()5352525344--+⨯（5）(){}2348244224⨯-⨯+÷-⨯-⎡⎤⎣⎦ （6）()802150392⨯-⨯÷÷（7）34456284502⨯-⨯+⨯⨯ （8）()()9604202554+÷-⨯（9）()125458240⨯⨯÷- （10）()()507504507502⨯-⨯-⨯-⨯⎡⎤⎣⎦小结：（1）加法交换律： ；加法结合律：（2）乘法交换律： ；乘法结合律： ； 乘法分配率：2.解下列应用题：（1）学校图书室有故事书482本，今天借出86本，又还回来48本。
现在学校还有故事书多少本？（2）武汉到北京的铁路长约1150千米，一列火车以每小时140千米的速度从武汉开往北京，6小时后，火车离北京还有多少千米？（3）每支钢笔的价钱是14元，每支圆珠笔的价钱是8元，王老师买了6支钢笔和18支圆珠笔，一共用了多少元？（4）啄木鸟3天吃了1935只害虫，青蛙13天能吃998只害虫。
啄木鸟平均每天大约比青蛙多吃多少只害虫？（5）学校从豆奶厂买来1980千克黄豆制成的豆奶，用一辆三轮车运了5次，还剩下480千克，平均每次运了多少千克？要多少次运完？（6）一个服装厂用84米布做了18套成人服装，每套用布3米。
四年级下册数学试题-第1单元四则混合运算(含解析答案)西师大版(2021秋)
第1单元 四那么混合运算例1:先在口里填上数，再列出综合算式.(1) 按照先同时计算括号里面的减法，再算括号外面的乘法顺序计算即可解答;(2) 按照先同时计算括号里面的减法和除法，再算括号外面的乘法顺序计算即 可解答。
解答:(24-18 )X( 350 - 7) =6X 50 =300例2: AB 两地相距940千米，一辆汽车和一辆货车同时从两地相向开出，汽车 平均每小时行驶88千米，货车平均每小时行驶72千米，4小时以后，两车相距 多少千米？分析：此题属于行程问题速度、时和路的关系，可以首先根据速度X 时间二路程，用两 车速度之和以4，求两4小行驶的路程之和是少；后用地之间的距离两车 4小时 行驶的程和，求出小时后，两车相少米即。
解答：940- (88+72)X 4=940- 160X4=940-640=300 (千米)答：4小时以后，两车相距300千米。
例3:杨老师在批改作业时，发现小明抄题时丢了括号，但结果是正确的，请你 给小明的算式添上括号：4+28十4-2 X 3-1 = 4。
分析：分析:⑴(480-400 )X( 120-98)=80X 22=1760 3M)根据题意，错误的算式是丢了括号.只能按先乘除，再加减的运算顺序来计算，因此括号添在乘除法的两侧是毫无意义的，所添的括号要能够改变运算顺序．所以，括号应添在含有加减运算的两边。
从左往右看，在4+28 两侧试添括号，计算得32,再除以4得&小明的算式就变为8-2 X 3-1二4,等式错误；如果把括号加在8-2 的两侧，计算结果大于4，只能把括号加在3-1 的两侧，很容易得到：(4+28)十4-2 X( 3-1 )= 4。
解答：正确的算式应为：(4+28)十4-2 X( 3-1 )= 4例4：奥斑马和小美各有钱假设干元．假设小美给奥斑马10 元,那么奥斑马比小美多的钱是小美余下来的钱数的 5 倍；假设奥斑马给小美10 元,那么他们的钱数正好相等．奥斑马和小美原来各有多少钱？分析：解答此题关键是明白“奥斑马给小美10元,二人钱数相等．可知奥斑马原来钱比小美多10X 2 = 20 (元)，〞再由假设小美给奥斑马10元，这时奥斑马就比小美多20+20= 40元，它恰好是小美余下钱数的5倍，就可求出小美余下的钱数，进而求出他们原有的钱数。