结构力学-静定结构位移计算
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结构力学4静定结构的位移计算
4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
第7章静定结构的位移计算
P
A
ql2/2
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI Pl/4
MP
q B
l/2
l/2
MP
A
l
m=1
l 3l/4
M
P=1
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl 2 B l EI 2 4 2 16EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 35 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
§3—3计算结构位移的虚力原理
3. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应 的虚拟力状态。
例如:
求△
A
实际状态
AH
求
A
A
1
A
虚拟状态
1
虚拟状态
求△
A
AB
1
B
求
A
AB
B
1
广义力与 广义位移
25
1
虚拟状态
虚拟状态
1
4、静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP， 此时没有支座位移，故式（7—15）为
3. 计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。
（2）结构制造和施工的需要。
（3）为分析超静定结构打下基础。 另外，结构的稳定和动力计算也以位移为基础。
起拱高度
△
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。
结构力学 静定结构的位移计算
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
能力拓展 如图 2 – 61a 所示屋架，通过对比左右两图，运用结构位移的相关知识 ，可以解释制作时为何通常将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度
要短些，这样可以使屋架拼装后，结点 C 位于 C′的位置（图 2 – 61b）
， 工程上将这种做法称为建筑起拱。那么预先应知道哪些位移量？
情景二 虚功原理及单位荷载法
项目表述
静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形 体虚功原理是结构力学中的重要理论。通过本项目学习，同学们重点理 解变形体的虚功原理、单位荷载法及位移计算一般公式。对变形体的虚 功原理的推导过程的理解是本项目的难点内容。
情景二 虚功原理及单位荷载法 学习进程
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
2．引起位移的原因 众所周知，引起位移的原因主要是荷载作用。除此之外，温度改变使材料膨胀 或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中产生误差、基础的沉陷或结构支座产生 移动等因素，均会引起结构的位移。如图 2 – 56a、图 2 – 57a 所示，由荷载作 用产生的位移。如图 2 – 57b 所示，因温度改变或材料胀缩产生的位移。如图 2 – 57c 所示，因制造误差或支座移动产生的位移。
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
1．结构位移的概念 建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面 位置会发生改变，这称为结构的位移。如图 2 – 56a 所示的刚架，在荷载作用 下，结构产生变形如图中虚线所示，使截面的形心 A 点沿某一方向移到 A′点， 线段 AA′称为 A 点的线位移，一般用符号 ΔA 表示。 它也可用竖向线位移 ΔAy 和水平线位移 ΔAx 两个位移分量来表示，如图 2 – 56b 所示。
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
结构力学5-6静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
F
N
图
⑵作单位荷载作用下的轴力图和弯矩图。 ⑶求D点竖向位移。
yD
10
2
2
20
2a 10
1 2 a a 2
1 2
a
20 0 .1 5 a
0 .1 5 a
1 2
a
2
M 图
2 5 a ( )
Kt
t0 A
F
N
பைடு நூலகம்
t
§5-6 静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
5-6-1 由于温度变化、制造误差等引起的位移
中 性 轴 处 温 度 变 化 ： t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
截 面 对 称 于 中 性 轴 时 ： t0
t1 t 2 2
杆 件 上 下 侧 温 度 变 化 之 差 ： t t 2 t1
F P i ii
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
1
ij
1
ji
5-7-3 反力互等定理
r ji r ij
rii 0 r ji 1 rij 1 r jj 0
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
5-7-3 反力互等定理 5-7-4 反力与位移互等定理
r ji r ij r ji ij
r ji 1 1 ij 0
N
图
⑵作单位荷载作用下的轴力图和弯矩图。 ⑶求D点竖向位移。
yD
10
2
2
20
2a 10
1 2 a a 2
1 2
a
20 0 .1 5 a
0 .1 5 a
1 2
a
2
M 图
2 5 a ( )
Kt
t0 A
F
N
பைடு நூலகம்
t
§5-6 静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
5-6-1 由于温度变化、制造误差等引起的位移
中 性 轴 处 温 度 变 化 ： t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
截 面 对 称 于 中 性 轴 时 ： t0
t1 t 2 2
杆 件 上 下 侧 温 度 变 化 之 差 ： t t 2 t1
F P i ii
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
1
ij
1
ji
5-7-3 反力互等定理
r ji r ij
rii 0 r ji 1 rij 1 r jj 0
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
5-7-3 反力互等定理 5-7-4 反力与位移互等定理
r ji r ij r ji ij
r ji 1 1 ij 0
《结构力学》静定结构的位移计算
A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理
结构力学——静定结构位移计算
结构力学——静定结构位移计算在工程和建筑领域中，结构力学作为一门重要的学科，主要研究了结构的受力、变形、破坏机理等问题。
其中，静定结构位移计算是结构力学中的一个重要内容。
静定结构所谓静定结构，是指能够通过静力学方程求解出所有节点的受力、反力和变形的结构。
这种结构是不需要知道材料的物理性质和荷载的实际情况的。
在静定结构中，结构的支座固定方式和荷载情况是已知的，因此能够通过解决一组静力学方程，求解出结构中节点的受力和变形。
静定结构位移计算静定结构位移计算是静定结构的重要计算方法之一。
在结构分析中，位移是一种常见的形变量，它反映了物体在载荷作用下发生的形变情况。
在静定结构中，位移是结构的重要参数之一。
它可以通过求解一组线性方程组得到。
具体来说，就是通过应变—位移—节点力关系，将结构各节点位移用系数矩阵和加载节点力表示出来，再通过求解一个线性方程组，就可以得到各节点的位移值。
静定结构位移计算的步骤静定结构位移计算中的步骤包括：1.列出节点位移方程节点位移与内力之间有一定的关系，可以通过位移方程和内力方程来表示。
这些方程可以根据物理实际条件进行建立。
2.确定支座反力支座反力是从位移计算中得到的结果之一。
支座反力是指结构上所有支点所承受的力，在位移计算时是必须考虑的。
3.形成节点位移方程组形成节点位移方程组时，需要考虑杆件的个数、受力条件、材料特性、支座情况等因素。
4.解出节点位移通过解一个线性方程组，我们可以根据已知的节点力和位移方程，求出每个节点的位移值。
静定结构位移计算的应用静定结构位移计算在现代工程设计中具有广泛的应用。
它能够在保证结构稳定的前提下，可以对结构进行优化设计，提高结构的安全性、稳定性、经济性等方面的性能。
除此之外，静定结构位移计算还可以应用于建筑设计、桥梁设计、机械设计、工业生产等领域中。
它可以提供结构设计的数据支持，为结构工程的实施提供参考。
静定结构位移计算是结构力学中的一个重要方向，其计算方法基于静力学方程进行，其特点是简单、可靠和实用。
结构力学 静定结构的位移
仅发生支座移动
FR i ci
N
无支座移动
M d F
d FQ d
虚功原理求位移的关键：
虚设相应的力系
1. C点竖向线位移
2. D点水平线位移
3.铰C左右截面的相对角位移
D
C
l
A b
l 2 l 2
B
a
B
P
C
l
A D
1.求D点的水平、竖向 位移
C
0
A
0 l
D
0
A
0 l
D 1/l
0
l
-1/l
l
CD
P EA
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
D
l
A C B
l
l
已知：每根杆的抗拉刚度均为EA， 1.求D点的水平、竖向位移 0.207 P 2.求BD杆的角位移 EA
梁和刚架在荷载下的位移计算
M MP ds EI
E
Pl
l
求：1. B点的水平位移和角位移
2. D点的水平位移
ql ql
2
q
B
C
EI=常数
D
l
A
l l
求：１.
２.
ql2
C、D两点的相对水平位移
A、D两点的相对角位移
B
C
EI
q
l
A
l
D
q ql
2
已知：EI=常数．求： 1．C点的竖向位移和
l
D
C
E
铰C左右截面的相对角位移
２．D点的水平位移和角位移
已知：
C 梁式杆的EI=常数，
FR i ci
N
无支座移动
M d F
d FQ d
虚功原理求位移的关键：
虚设相应的力系
1. C点竖向线位移
2. D点水平线位移
3.铰C左右截面的相对角位移
D
C
l
A b
l 2 l 2
B
a
B
P
C
l
A D
1.求D点的水平、竖向 位移
C
0
A
0 l
D
0
A
0 l
D 1/l
0
l
-1/l
l
CD
P EA
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
D
l
A C B
l
l
已知：每根杆的抗拉刚度均为EA， 1.求D点的水平、竖向位移 0.207 P 2.求BD杆的角位移 EA
梁和刚架在荷载下的位移计算
M MP ds EI
E
Pl
l
求：1. B点的水平位移和角位移
2. D点的水平位移
ql ql
2
q
B
C
EI=常数
D
l
A
l l
求：１.
２.
ql2
C、D两点的相对水平位移
A、D两点的相对角位移
B
C
EI
q
l
A
l
D
q ql
2
已知：EI=常数．求： 1．C点的竖向位移和
l
D
C
E
铰C左右截面的相对角位移
２．D点的水平位移和角位移
已知：
C 梁式杆的EI=常数，
(结构力学)静定结构温度变化时的位移计算
温度位移公式图示结构设外侧温度升高内侧温度升高求k点的竖向位移设温度沿杆件截面厚度为线性分布杆轴温度与上下边缘的温差另外温度变化时杆件不引起剪应变微段轴向伸长和截面转角为
5 . 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，
微段轴向伸长和截面转角为：
线
dut t0ds
d t
tds
h
膨
胀 系
数
FP=1
FN
变形，其乘积为正。
几种情况：
温度引起的轴向 变形影响不能少。
对梁和刚架：
t
t0 N
t
h
M
对 桁 架： t t0FNl
问题：当桁架有制造误差li 时,如何求位移？
l FNili
例： 刚架施工时温度为20 0C ，试求冬季 外侧温度为 -10 0C ，内侧温度为 0 0C 时A
点的竖向位移 Ay 。已知 l=4 m, 105 ,
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
5 . 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，
微段轴向伸长和截面转角为：
线
dut t0ds
d t
tds
h
膨
胀 系
数
FP=1
FN
变形，其乘积为正。
几种情况：
温度引起的轴向 变形影响不能少。
对梁和刚架：
t
t0 N
t
h
M
对 桁 架： t t0FNl
问题：当桁架有制造误差li 时,如何求位移？
l FNili
例： 刚架施工时温度为20 0C ，试求冬季 外侧温度为 -10 0C ，内侧温度为 0 0C 时A
点的竖向位移 Ay 。已知 l=4 m, 105 ,
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
结构力学 第4章 静定结构的位计算
例如，图1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求 梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成 两个三角形，分别图乘后再叠加。
图1
对于图2所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以 把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简
支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。
四、几种常见图形的面积和形心的位置
零。
P
2Δ
PP2P30
22
2
YA P/2
YB P/2
2.变形体系的虚功原理 We Wi
体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的
位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体
系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。
说明： （1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态
PR3 PRk PR
4EI 4EA 4GA
M N Q
P θ
P=1
钢筋混凝土结构G≈0.4E 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
Q M
kGEAI2R14Rh2
N M
I AR2
1 h2 12R
如 h 1 ， 则Q 1 ， N 1
1
EA 2(1 2)Pa()
1 2
1
EA
2
1
例3.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。
解：1）虚拟单位荷载
2）实际荷载
虚拟荷载
ds
M P PR sin
M R sin
QP P cos
Q cos
dθ
N P P sin
N sin
d d ds d
d dd sd sN Pds
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (1)
§4 静定结构的位移计算
§4.1 结构位移和虚功的概念
一、结构的位移
杆件结构在荷载等因素作用下会产生变形和位移。
变形：结构原有形状的变化。
位移：结构上各点的移动和杆件截面的转动。
将结构上各点产生的移动称为线位移，杆件截面的 转角称为角位移。
位移
线位移 角位移
A
P
v
A A
u
线位移 位移
转角位移
A A点线位移 u A点水平位移
W（外力虚功）＝V（虚应变能）
对于平面杆件结构，虚功原理可用下式表示：
1
W PK Km
i
s
FNK
mds
i
s
FQK
mds
i
s M K m ds
证明：
静力状态k
位移状态m
ds
4) 等量反向共面二力偶的虚功
K MK
MK K
静力状态k
K
' Km
K
'' Km
位移状态m
二力偶所作的虚功：W
M
K
(
' Km
'' Km
)
M K Km
广义力为等量共面二力偶时，对应广义力作虚功的 广义位移是二力偶作用截面沿二力偶作用方向的相 对角位移。
5) 平衡力系在刚体位移上的虚功
XA 0 A
功的定义：一个力所作的功等于力的大小乘以力 的作用点沿力方向上的位移。
功包括力和位移两个要素，这两个要素之间存在两 种不同情况：
（1）实功：位移是由作功的力所引起的。此时， 力作的功称为实功。
P1
A △1
W
1 Pd
0
1 0
§4.1 结构位移和虚功的概念
一、结构的位移
杆件结构在荷载等因素作用下会产生变形和位移。
变形：结构原有形状的变化。
位移：结构上各点的移动和杆件截面的转动。
将结构上各点产生的移动称为线位移，杆件截面的 转角称为角位移。
位移
线位移 角位移
A
P
v
A A
u
线位移 位移
转角位移
A A点线位移 u A点水平位移
W（外力虚功）＝V（虚应变能）
对于平面杆件结构，虚功原理可用下式表示：
1
W PK Km
i
s
FNK
mds
i
s
FQK
mds
i
s M K m ds
证明：
静力状态k
位移状态m
ds
4) 等量反向共面二力偶的虚功
K MK
MK K
静力状态k
K
' Km
K
'' Km
位移状态m
二力偶所作的虚功：W
M
K
(
' Km
'' Km
)
M K Km
广义力为等量共面二力偶时，对应广义力作虚功的 广义位移是二力偶作用截面沿二力偶作用方向的相 对角位移。
5) 平衡力系在刚体位移上的虚功
XA 0 A
功的定义：一个力所作的功等于力的大小乘以力 的作用点沿力方向上的位移。
功包括力和位移两个要素，这两个要素之间存在两 种不同情况：
（1）实功：位移是由作功的力所引起的。此时， 力作的功称为实功。
P1
A △1
W
1 Pd
0
1 0
结构力学第五章位移计算
解得：
bc/a
这就是著名的单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。
解：去掉A端约束并代以反力 X，构相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
实由际受外力力状虚态功的总平衡和方为程零，即： MX BX 0FP C 0
(将2)虚位X 移/ 与C实际a /力b状代态入无得关:,故可设X bFxP / a 1
(通3)常求解取时关键一步是1找出虚位移状态的位移关系。
2.广义力 (Generalized force) 广义位移(Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=Σ[FP× ]
FP---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力
2)作虚功的力系为一个集中力偶
FP
W FP
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
K
1
K KC
K
c2
FR1
FR 3
c1
c3
FR 2
由刚体虚功原理:
We Fi i 1 kc FR1C1 FR2C2 FR3C3 0
第五章 静定结构位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§5-1结构位移计算概述
线位移
A
位移
结构力学静定结构位移计算
R iCi
Ri的正向与Ci的正向一致
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method
截面转角
相对线位移
相对转角
Δ
P=1
1/2
1/2
（三）计算步骤:
➢ 根据拟求位移作单位力状态 ➢ 求单位力作用下的支反力 ➢ 利用公式求位移
R iCi
2)作虚功的力系为一个集中力偶
M
T M
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
M
M
A
B
T M A M B M ( A B ) M AB
（二）实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
图（a）中P1所作的功为：T11
1 2
P111
实功
△11
图（b）中P2所作的功为：T22
变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是： 对于任意给定的虚位移，外力虚功等于内力虚功
即 T12＝W12
说明：
（1）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。 （2）第一状态要求平衡（内力并不一定是真实的）
第二状态要求虚位移条件 （3）变形体虚功原理是变形体力学的普遍原理。 （4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。
1 2
P2 22
图（c）中先作用P1，此时P1所作的功为： 第一个下标表示位移的地点和方向
1 T11 2 P111 再作用P2，此时P2所作的功为：T22
1 2
第二个下标表示产生位移的原因
△22
P2 22
P1 在加P2过程中也做功，此时P1继续作功为：
P2
T12 P112
虚功
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
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↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
80
32
3m
求图示刚架C铰左右两截面的 相对转动。EI=5×104kN.m
1
m=1
5/8
5m
MP
16
16
M
4m
4m
H
=
M0 C
= 1682
=16kN
f 88
1/8
1/8
H
=
M0 C
=
1m
f8
D
C
=
2 5104
580 2
2 3
5 8
+
580 2
2 3
5 8
+
1 3
-
2532 3
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1
X1
X3
X1
X2
X3
X3
X2
X1
X2
X3
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（3）内外多余约束都要撤除。 （4）不要把原结构撤成几何
可变或几何瞬变体系
4
3
5 1
外部一次，内部六次 共七次超静定
1
2
不撤能除作支为杆1多后余体系约成束为的瞬变是杆1、2、 5
§9.2 力法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方
面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件——变形协调条件。
ql 2 8
5 8
l 4
2
+
l－x
1/2
1 yq(lx) = 2 2k =
M
l-x 6EI
P
(2Pl(l (l - x)2
P=1
x
- x)+ Px(l (x + 2l )
-
x
))
= 5ql 4 + ql
6EI
385EI 4k
求ΔDV
3m
P
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
B
C
5P
－3P
A
8P
3P
－8P
D
4m×3=12m
－1
0 5/3
－4/3
0
00 0
P=1
0 0 00
0
D DV
=
1 EA
3P13+5P
5 5+ 4P 3
34 4
=
72P EA
第九章 力 法
§9.1 超静定结构的组成和超静定次数
超静定结构：内力超静定，约束有多余，是超静定结构 区别于静定结构的基本特点。
超静定次数确定
超静定次数=多余约束的个数
把原结构变成静定结构 时所需撤除的约束个数
2、多次超静定结构的计算
9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应
的广义单位荷载。
A
P=1
m=1
B
求A点的 水平位移
求A截面 的转角
P=1 m=1 m=1
求AB两截面
P=1
求AB两点
的相对转角
的相对位移
l 1/l
1/l 求AB两点
连线的转角
6、 图乘法
D
=
åò
MM EI
P
dx
=
å w y0
EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。 ②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
=
多余未知力的个数 =未知力的个数—平衡方程的个数
撤 （1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰
除 约
支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。
束 （2）撤除一个铰支座、 撤除一个单铰或撤除一个滑动支
的 方
座，等于撤除两个约束。
式：（3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。
撤除约束时需要注意的几个问题：
至少有一个是直线。 ③竖标y0 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号。 ⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
1 2
5 8
+
1 2
= 0.005867rad
求图示简支梁中点的挠度。EI=常数，弹簧的刚度系数为k。
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
ql2/8
试用单位荷载法求出
B
梁的挠曲线。
MP
l
ql/2 Pl
Px
P
P=1
A
B
MP l
ò D
C
= =
M
l/4
MM P dx + NNP
EI
k
1 EI
2 3
l 2
3） 公式右边各项分别表示轴向变形、剪切变形、弯曲 变形对位移的影响。
4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的
5）桁架
6）桁梁混合结构 Δ=
用于桁架杆
用于梁式杆
7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在 扁平拱中计算水平位移或压力线与拱轴线比较接近时 才考虑轴向变形对位移的影响，即
8）该公式既用于静定结构和超静定结构。但必须是弹性体系
第八章 静定结构位移计算
1、计算结构位移主要目的 a）验算结构的刚度； b）为超静定结构的内力分析打基础。
2、产生位移的原因主要有三种
a）荷载作用； b）温度改变和材料胀缩；
c）支座沉降和制造误差
3、变形体系的虚功原理:
状态1是满足平衡条件的力状态，状态2是满足变形连续 条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位移上作的外 虚功等于状态1的各微段的内力在状态2各微段的形上作 的内虚功之和
⑦非标准图形乘直线形：
a）直线形乘直线形
a
òMiM k dx
= l (2ac+2bd +ad +bc)
6
c
b)非标准抛物线成直线形
l b
d
a h
c l
b= a
+
b h
d
S
=
l
6 (2ac + 2bd
+ ad
+ bc )+
2hl 3
c+d 2
7 静定结构由于温度改变而产生的位移计算
å å Δit=
乘积取正。
5、弹性体系荷载作用下的位移计算
åò åò åò D = kp
NNPds+ EA
kQQP ds+ GA
MMP ds （8–15）
EI
1）EI、EA、GA分别是杆件截面的抗弯、抗拉、抗剪刚度；
k是一个与截面形状有关的系数，对于矩形截面、圆形 截面，k分别等于1.2和10/9。
2） NP、QP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因； 虚设单位荷载引起的内力是 N ,Q , M
4、结构位移计算的一般公式
åò ( ) å D =
N
e 2
+
Q
g
2
+
M
k 2
ds-
Rici (8–10)
注：1) 既适用于静定结构，也适用于超静定结构;
2) 既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料;
3) 产生位移的原因可以是各种因素;
4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变形和轴向变形对
位移的影响；
5) (8–10)右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，
at0wN ±
aDt w
hM
1） 该公式仅适用于静定结构。并假定温度改变沿 截面高度按线性变化。
2）正负规定：
8 静定结构由于支座移动而产生的位移计算
1）该公式仅适用于静定结构。 2）正负规定：
9 互等定理
•适用条件：弹性体系（小变形，σ=Eε）
•内容
W12= W21
d12=d 21
r12=r21
16kN/m
80
32
3m
求图示刚架C铰左右两截面的 相对转动。EI=5×104kN.m
1
m=1
5/8
5m
MP
16
16
M
4m
4m
H
=
M0 C
= 1682
=16kN
f 88
1/8
1/8
H
=
M0 C
=
1m
f8
D
C
=
2 5104
580 2
2 3
5 8
+
580 2
2 3
5 8
+
1 3
-
2532 3
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1
X1
X3
X1
X2
X3
X3
X2
X1
X2
X3
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（3）内外多余约束都要撤除。 （4）不要把原结构撤成几何
可变或几何瞬变体系
4
3
5 1
外部一次，内部六次 共七次超静定
1
2
不撤能除作支为杆1多后余体系约成束为的瞬变是杆1、2、 5
§9.2 力法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方
面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件——变形协调条件。
ql 2 8
5 8
l 4
2
+
l－x
1/2
1 yq(lx) = 2 2k =
M
l-x 6EI
P
(2Pl(l (l - x)2
P=1
x
- x)+ Px(l (x + 2l )
-
x
))
= 5ql 4 + ql
6EI
385EI 4k
求ΔDV
3m
P
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
B
C
5P
－3P
A
8P
3P
－8P
D
4m×3=12m
－1
0 5/3
－4/3
0
00 0
P=1
0 0 00
0
D DV
=
1 EA
3P13+5P
5 5+ 4P 3
34 4
=
72P EA
第九章 力 法
§9.1 超静定结构的组成和超静定次数
超静定结构：内力超静定，约束有多余，是超静定结构 区别于静定结构的基本特点。
超静定次数确定
超静定次数=多余约束的个数
把原结构变成静定结构 时所需撤除的约束个数
2、多次超静定结构的计算
9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应
的广义单位荷载。
A
P=1
m=1
B
求A点的 水平位移
求A截面 的转角
P=1 m=1 m=1
求AB两截面
P=1
求AB两点
的相对转角
的相对位移
l 1/l
1/l 求AB两点
连线的转角
6、 图乘法
D
=
åò
MM EI
P
dx
=
å w y0
EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。 ②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
=
多余未知力的个数 =未知力的个数—平衡方程的个数
撤 （1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰
除 约
支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。
束 （2）撤除一个铰支座、 撤除一个单铰或撤除一个滑动支
的 方
座，等于撤除两个约束。
式：（3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。
撤除约束时需要注意的几个问题：
至少有一个是直线。 ③竖标y0 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号。 ⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
1 2
5 8
+
1 2
= 0.005867rad
求图示简支梁中点的挠度。EI=常数，弹簧的刚度系数为k。
q
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A
ql2/8
试用单位荷载法求出
B
梁的挠曲线。
MP
l
ql/2 Pl
Px
P
P=1
A
B
MP l
ò D
C
= =
M
l/4
MM P dx + NNP
EI
k
1 EI
2 3
l 2
3） 公式右边各项分别表示轴向变形、剪切变形、弯曲 变形对位移的影响。
4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的
5）桁架
6）桁梁混合结构 Δ=
用于桁架杆
用于梁式杆
7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在 扁平拱中计算水平位移或压力线与拱轴线比较接近时 才考虑轴向变形对位移的影响，即
8）该公式既用于静定结构和超静定结构。但必须是弹性体系
第八章 静定结构位移计算
1、计算结构位移主要目的 a）验算结构的刚度； b）为超静定结构的内力分析打基础。
2、产生位移的原因主要有三种
a）荷载作用； b）温度改变和材料胀缩；
c）支座沉降和制造误差
3、变形体系的虚功原理:
状态1是满足平衡条件的力状态，状态2是满足变形连续 条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位移上作的外 虚功等于状态1的各微段的内力在状态2各微段的形上作 的内虚功之和
⑦非标准图形乘直线形：
a）直线形乘直线形
a
òMiM k dx
= l (2ac+2bd +ad +bc)
6
c
b)非标准抛物线成直线形
l b
d
a h
c l
b= a
+
b h
d
S
=
l
6 (2ac + 2bd
+ ad
+ bc )+
2hl 3
c+d 2
7 静定结构由于温度改变而产生的位移计算
å å Δit=
乘积取正。
5、弹性体系荷载作用下的位移计算
åò åò åò D = kp
NNPds+ EA
kQQP ds+ GA
MMP ds （8–15）
EI
1）EI、EA、GA分别是杆件截面的抗弯、抗拉、抗剪刚度；
k是一个与截面形状有关的系数，对于矩形截面、圆形 截面，k分别等于1.2和10/9。
2） NP、QP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因； 虚设单位荷载引起的内力是 N ,Q , M
4、结构位移计算的一般公式
åò ( ) å D =
N
e 2
+
Q
g
2
+
M
k 2
ds-
Rici (8–10)
注：1) 既适用于静定结构，也适用于超静定结构;
2) 既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料;
3) 产生位移的原因可以是各种因素;
4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变形和轴向变形对
位移的影响；
5) (8–10)右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，
at0wN ±
aDt w
hM
1） 该公式仅适用于静定结构。并假定温度改变沿 截面高度按线性变化。
2）正负规定：
8 静定结构由于支座移动而产生的位移计算
1）该公式仅适用于静定结构。 2）正负规定：
9 互等定理
•适用条件：弹性体系（小变形，σ=Eε）
•内容
W12= W21
d12=d 21
r12=r21
16kN/m