探求方阵的幂的计算方法
方阵的m次幂的计算方法
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方阵的m次幂的计算方法
作者：屠瑶瑶杨如军
来源：《魅力中国》2018年第06期
摘要：矩阵是从实际问题中抽象出来的概念，是线性代数重要组成部分；方阵m次幂的
计算是矩阵运算的特殊情况，很多学者对矩阵高次幂的求法进行了研究；本文对方阵m次幂
的算法进行归纳和总结。
关键词：矩阵；运算；幂；算法
三、结束语
上述介绍的几种求解方阵m次幂的方法，虽然简化了求解方阵m次幂的过程，但在具体求解中，还应该具体问题具体对待，有的可以按定义直接求，有的要利用简便方法。
并且上述的方法也不是完全独立的，有时相互配合使用，效果更佳。
总之，在方阵m次幂的求解中要
先观察的特征，再寻求最佳解决方法。
参考文獻：
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方阵高次幂计算的几种典型方法
利用矩 阵乘法结合律 ：
Ａ ｎ ＝ （ ） （ ） …（ ） （ ） ＝ ｒ （ ｒ ） …（ 口 ＝ ・ ３ …３ ・ ＝
３
成立 ， 即有 Ａ ｎ ： （ ｈ Ｅ ＋ Ｈ ： （ Ａ Ｅ） ＋ 凡 （ Ａ Ｅ） ， ， Ｈ＋ 旦 ＝ （ Ａ Ｅ） 唧 。
２ ０ １ ４年 ６月 ８日
＝ 展示 课题
Ａ Ｏ ０ ｎ Ｏ ０
０ ０
方 阵 高 次 幂 计 篡 的 几 种 其 型方 法
文／ 王 丹
＋ ０ ０ ０
摘
要： 方阵 的幂运算是矩阵乘法的特殊情形 ， 在 图论 中有着极为广 泛的应用。在总结归纳方 阵高次幂 常见 六种 计算方 法的基础
了外 出负重 ， 同时 电为移 动学 习提供 ｒ 时效性 ， 我们想 看某本书 ，
移 动 学 习 的 同时 ， 也减 少 了学 习 活动 破 坏 环 境 的压 力 。
桑新 民， 谢 阳斌 ２ １ 世 纪学习向何处去 ： 绿 色学习研 究论纲［ Ｊ ］ ． 基 金项 目： ２ ０ １ ３校级教 改项 目《 数字化 中国传 统文化资源在
例 ． 设 Ａ ＝ （ 二 Ｌ ） ， 求 Ａ ， Ａ ， Ａ ， … ， Ａ 。
求这两个矩 阵满 足（ １ ） 矩阵 Ｂ， ｃ可交换 ； （ ２ ） 其 中一个矩 阵的较低 次 幂的结果为特殊矩阵 ， 如： 零矩 阵 ， 数量矩 阵。故此方法具有很
强 的技 巧 性 ， 适 用范 围有 限 。
上， 着重分析 了第 六种算法 ： 特征 多项 式法。用此方法计算 ｍ 阶方 阵Ａ 的 ｎ次幂 时， 至 多只需计算 的 ｒ ａｉ ｎ ｛ ｍ一 １ ， ｎ｝ 次幂 ， 相对 于前 五
种算法， 此算 法 应 用 范 围最 广 。
关于方阵A的任意次幂求法
.
四，数学归纳法. 已知 A，算出 A2，A3，…，寻找规律，并用数学归纳法加以证明. 1 1 例 求 An，其中A = . 0 1 解：经过计算得， 1 2 A2 = ， 0 1 1 3 A3 = ， 0 1 …… 由此猜想， 1 n An = . 0 1 下面对此给予证明： ①当 n=1 时，显然成立. ②假设当 n=k 时命题成立，则当 n=k+1 时，有 1 k 1 1 1 k+1 Ak+1 = Ak A = = ， 0 1 0 1 0 1 从而结论成立，证毕. 五，利用 Hamilton-Caylay 定理. 利用 Hamilton-Caylay 定理求 An 有两种方法. 1.设 A 的特征多项式为������ ������ = ������������ − ������ ，特征值为������1 ，������2 ， … ，������s ，由带余
n Am = C01 + C11 n + ⋯ + Cr 1 1 nr 1 λ1 + C02 + C12 n + ⋯ + Cr 2 2 nr 2 λn 2 +⋯
+ C0s + C1s n + ⋯ + Cr s s nr s λn s.
n 特别地，s=m 时，An = C1 λ1 + ⋯ + Cm λn m ，分别令 n=1,2,…,m，可求出方阵
P −1 JP = A，J =
J1
λi ⋱ Js ，J =
1 λi
⋱ ⋱ 1 λi
ri
，
ri 为λi 的重数，取 B=J，则 B 必然存在.由 A 与 B 相似，从而存在可逆矩阵 Q，使 得 A=Q-1BQ，从而 An=Q-1BnQ，若 Bn 可以求出，则 An 也可以求出. 例 求 An，其中 2 1 A= −1 0 1 1 解：因为存在矩阵B = ，使得 0 1 2 1 2 1 = −1 0 1 1 而 1 1 0 1 所以 2 1 −1 0
探求方阵的幂的计算方法
摘 要方阵是一类最特殊的矩阵，是高等数学中的重要部分，其应用也是多方面的，不在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用. 比如数字图像处理、计算机图形学、计算几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。
在 《 线性代数》中， 常涉及阶方阵的幂的计算问题， 用定义计算方阵的幂十分繁杂，在分析一般矩阵乘法运算对计算方阵高次幂运算局限性基础上，结合实例介绍了数学归纳法，二项式展开法，矩阵分解法，对角矩阵相似法，Hamiltoncayley 定理法等几种方阵的幂的求解方法。
而且的方阵的高次幂求解方法也进行了探索。
关键词：线性代数；方阵的幂；矩阵；高次幂；方法方阵的幂的一般计算方法数学归纳法数学归纳法是数学中的一种重要的证明方法，常用来证明自然数n 有关的命题，求M A 时,首先计算A 的低次方幂，把结 论猜想出来，然后用归纳法证明猜想成立。
例 1 已知1111A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=，求M A 解：2A =1111⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 1111⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3A =2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 1111⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭猜想MA =11112222m m m m ----⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，事实上，当m=1，2， 时，结论成立。
设当m=k-1时结论成立，即1k A -=22222222k k k k ----⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭k A =1k A -A =22222222k k k k ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=11112222k k k k ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭故由归纳法可知，对任意指数m 有M A =11112222m m m m ----⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭。
二项式展开法当方阵A 的主对角线上的元素相同时，A 可以写成一数量阵I λ和另一矩阵B 之和，如果B 的高次幂易计算，则M A =()M I B λ+可按二项试定理展开计算。
例 2 设A =110011101⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求m A （m 为自然数）解：A =100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+010001000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭记作I+B ，由于I 与B 可交换，mA =()mI B +=mI +m 1m I -B+2(1)2!m m m I --2B +(1)(2)3!m m m --3m I-3B ++mB 而mI =1m I -= =I，B =010001000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，2B =001000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3B =000000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故KB =3k m ≤≤，所以m A =m I +m 1m I -B +2(1)2!m m m I --2B=100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+0000000m m ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭+(1)002000000m m ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=(1)1201001m m m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭-利用与对角矩阵相似求解对于n 阶主阵A ，若存在逆阵P ，使得1P -AP =diag （1λ，2λ m λ），则m A =P diag （1m λ，2m λ m n λ）1P -，其中1λ，2λ， n λ为A 的n 个特征根。
方阵的n次幂公式
方阵的n次幂公式方阵是线性代数中一个非常重要的概念，而方阵的 n 次幂公式更是解决许多问题的有力工具。
咱们先来说说啥是方阵。
简单来说，方阵就是行数和列数相等的矩阵。
比如说一个 3×3 的矩阵，那就是一个方阵。
方阵的 n 次幂公式呢，就像是一把神奇的钥匙，可以帮助我们解开很多复杂的数学谜题。
给您举个例子啊，就说有个学校组织运动会，每个班级要排成方阵入场。
咱假设一个班级有 36 个同学，要排成 6×6 的方阵。
这时候体育老师就开始琢磨了，如果让这个方阵进行多次变换，比如转几个角度啥的，那这其中的规律该咋算呢？这其实就涉及到方阵的 n 次幂了。
咱们先来看方阵的幂运算规则。
对于一个 n 阶方阵 A，如果要计算它的 2 次幂 A²，那就是 A 乘以 A；3 次幂 A³呢，就是 A 乘以 A 乘以A，以此类推。
方阵的 n 次幂公式有个特点，就是当方阵具有某些特殊性质时，计算会变得相对简单。
比如说，如果方阵 A 是对角矩阵，那它的 n 次幂就特别好算，对角线上的元素分别进行 n 次幂运算就行。
再比如，如果方阵 A 可以相似对角化，那通过一系列的变换，也能比较轻松地算出它的 n 次幂。
咱回到刚才说的运动会方阵的例子。
假如体育老师想知道经过多次变换后，方阵的排列情况，就可以用方阵的 n 次幂公式来计算。
比如每次变换相当于一个特定的方阵操作 B，经过 n 次变换，那最终的方阵就是 B 的 n 次幂乘以最初的方阵。
在实际的数学应用中，方阵的 n 次幂公式在图像处理、密码学、物理学等领域都大有用处。
比如说在图像处理里，对图像进行某种变换，就可以用方阵来表示，然后通过计算方阵的 n 次幂，来预测多次变换后的效果。
在密码学中，加密和解密的过程有时候也会涉及到方阵的幂运算，通过复杂的方阵变换来保证信息的安全。
物理学中，研究物体的振动、波动等现象时，方阵的 n 次幂公式也能帮忙分析系统的长期行为。
【数学与应用数学专业】【毕业论文 文献综述 开题报告】方阵高次幂的计算方法 (2)
方阵高次幂的计算方法引言方阵高次幂的计算方法是数学与应用数学专业中一个重要的研究方向。
在许多领域中，如图像处理、机器学习和密码学等，需要对方阵进行高次幂的计算。
本文将对方阵高次幂的计算方法进行文献综述和开题报告。
文献综述直接幂乘法直接幂乘法是最简单直观的方阵高次幂计算方法。
假设我们要计算方阵A的n次幂，其中A是一个n×n的方阵。
直接幂乘法的思想是将A连乘n次，即A^n =A × A × A × … × A。
该方法的时间复杂度是O(n^3)。
但是，当n较大时，直接幂乘法的计算效率较低。
因此，研究者提出了其他更高效的方阵高次幂计算方法。
分治法分治法是一种将问题分解成更小规模子问题求解的方法。
对于方阵高次幂计算，分治法的基本思想是将A的n次幂拆分成A的两个n/2次幂的乘积，即A^n =(A^(n/2)) × (A^(n/2))。
通过递归地应用以上公式，可以将方阵高次幂的计算复杂度降低到O(n^log₂2) = O(n^log₂n)。
分治法在实际应用中表现出了较好的效果，被广泛应用于方阵高次幂的计算。
矩阵快速幂算法矩阵快速幂算法是一种基于二进制思想的高效方阵高次幂计算方法。
该方法的关键思想是，将幂指数n的二进制展开，然后通过不断平方和相乘的方式计算方阵的高次幂。
具体步骤如下：1. 将幂指数n用二进制表示。
2. 将方阵A初始化为单位矩阵，记为E。
3. 从幂指数n的二进制表示中读取下一位。
4. 如果该位是0，则将方阵A平方，即A = A × A。
5. 如果该位是1，则将方阵A平方后乘以原方阵A，即A = A × A × A。
6. 重复步骤3-5，直到读取完幂指数n的所有位。
7. 最终，方阵A即为所求方阵的高次幂。
矩阵快速幂算法的时间复杂度为O(log₂n)，效率较高。
开题报告研究目的本研究旨在研究方阵高次幂的计算方法，重点关注矩阵快速幂算法在实际应用中的效果。
考研数学之方阵幂的计算方法
考研数学之方阵幂的计算方法
考研数学中线*代数部分的分数占了整体的百分之二十二，是整个考研数学不可缺少的部分，其章节内容与高等数学和概率统计没有太多联系，其知识点具有细致*和整体*，前后章节联系比较密切。
线*代数中的矩阵部分是整个线代非常重要的部分，也是要求我们同学要掌握透彻的一个部分，而其中关于方阵幂的问题是跨考教育老师上课时所重点强调的，方阵幂的计算是要求我们要掌握的。
在授课过程中，每位教授这门课的老师都会跟同学们来总结有关方阵幂的计算，也都分了情况给大家展示了其各种类型的计算方法。
首先对于矩阵行或者列均成比例的矩阵，这种类型的矩阵可以写成一列乘以一行的形式，列是矩阵各列的最简公约数，行也是此矩阵各行的最简公约数。
其n次幂的求法，我们也总结过，也给大家推到过。
其次是特殊的上（下）三角n次幂的运算问题，我们也总结了，把其分解成单位矩阵和特殊上（下）三角来处理的，并且运用了二项式展开的知识。
然后就是利用相似对角化的知识来求n次幂的运算问题，像刚刚过去的2016年考研中数一、数二、数三都出现了一道关于幂运算的题，要我们求矩阵a的99次幂等于多少。
这种题目主要是先求出矩阵的特征值再求出其对应的特征向量，利用相似对角化来求这一题。
当然这种题目要求我们同学一定要仔细，不要出现计算上到错误。
最后还有关于带有两个零的拉普拉斯问题，这种分块矩阵，有时也会有相关题目出现。
方阵幂的计算问题希望同学们在接下来的学习过程中认真对待，对于这种类型的题目要融会贯通，不同类型的幂的计算问题对应于相应的方法来解决。
整个考研数学中线*代数部分算是相对较简单的一个科目，因此，对于线*代数这一部分的希望同学们尽量不要失分。
几类简单方阵的幂的计算
］ 儿 ［ 。 儿 ６ ］ ［ 三 ＿ ｊ ＿ １ ＝ ］ ｊ Ｌ ＝ ６ ［ 三 Ｉ ３ ｌ ］ ｊ
２ ２
例 １ 设 Ａ ： Ｉ ｌ １ ２－ ３ ｝ ， 求 Ａ ． 』
４ ｓ． 通过 计算Ａ ２ 。 Ａ 。 找出规 律。 进而 计算出Ａ ｎ 。
Ｏ
：
●
其中 Ａ＝ 昭｛ ＾ ， ， …， ｝ Ｉ （ ｌ ， ２ ， …， ） 为 Ａ特征值， 则
：
●
Ｏ Ｏ
．
．
．
０
由此得到 Ａ ” ＝Ｐ Ａ Ｐ
具甲 Ｐ ｉ ， Ｑ ｊ 为初寺矩阵， 则
厂 ３ — １ ］
：
…
『 ｌ 。 … 。 ］ 『 ］ 例 ３ 已 知 ｌ 一 ９ ３ ｌ ， 计 算 。 ｆ ？ ？ … ？ ｝ … Ｑ 『 ＝ … 巧 ｆ ｌ ｏ … ｏ ｌ ｏ ； … 解 首 先 求 出 Ａ 的 特 征 值 为 ０ 和 ６ ， 对 应 特 征 向 量 分 别 为
６ Ｌ
令 ＝ … ’ ｊ Ｊ ： ｎ ； ｌ ’ ｃ ｌ 。 … ｏ 】 … ｌ Ａ Ｐ ＝ Ａ ， 其 中 ＝ Ｊ ６ ｕ ］ Ｉ ， 因 此
个 行 矩 阵， 即Ａ 可 写 成 一 个列 矩阵 和 一 个 行 矩 阵 的 乘 积 ， 得 证 。
疵： ３ ２ ： ３ ２ ： １ 设
Ｃ ￣ Ａ ＇ － ｚ ］ ［ ２
¨ …卜 ㈠ 坩 ’ ：
……，则 ｎ ＝
］
ｆ ｉ １ ｃ — ｓ ， ｔ ２ — ３ ＝ 一 ８ － ｔ ．
ｌ
。 。 ＿ 。 。 五 。 。 丑 ¨
（ Ｐ 尸 ） ” ＝（ 尸 Ａ Ｐ ） （ Ｐ — Ａ Ｐ ） － ・ ・ （ ｜ Ｐ Ｐ＝Ａ“ ，
矩阵幂次方计算
矩阵幂次方计算矩阵幂次方计算是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、计算方法等方面进行介绍。
一、定义矩阵幂次方是指将一个矩阵连乘多次的结果，其中幂次方为正整数。
设矩阵A为n阶方阵，则A的k次幂为A的k-1次幂与A的乘积，即A^k=A^(k-1)×A，其中A^0为单位矩阵。
二、性质1. 矩阵幂次方具有结合律，即(A^k)^m=A^(k×m)。
2. 矩阵幂次方不满足交换律，即A^k×A^m≠A^m×A^k。
3. 矩阵幂次方具有分配律，即(A+B)^k=Σ(C(k,i)×A^i×B^(k-i))，其中C(k,i)为组合数。
4. 矩阵幂次方具有幂等性，即A^k×A^k=A^(2k)。
三、计算方法1. 直接计算法直接计算法是指按照定义进行计算，即将矩阵连乘k次。
这种方法的时间复杂度为O(n^3×k)，效率较低，适用于矩阵较小的情况。
2. 分治法分治法是指将矩阵分成若干个子矩阵，然后对子矩阵进行幂次方计算，最后将子矩阵的结果合并得到原矩阵的幂次方。
这种方法的时间复杂度为O(n^3×logk)，效率较高，适用于矩阵较大的情况。
3. 矩阵快速幂法矩阵快速幂法是指将幂次方k转化为二进制形式，然后按照二进制位进行计算。
具体地，设矩阵A为n阶方阵，k的二进制表示为b1b2...bm，则A^k=A^(b1×2^0+b2×2^1+...+bm×2^(m-1))=A^(2^0×b1)×A^(2^1×b2)×...×A^(2^(m-1)×bm)。
这种方法的时间复杂度为O(n^3×logk)，效率最高，适用于矩阵较大的情况。
四、应用矩阵幂次方计算在许多领域中都有广泛的应用，如图像处理、信号处理、机器学习等。
方阵的幂知识点总结
方阵的幂知识点总结一、方阵的幂的定义方阵的幂是指将一个方阵自乘若干次得到的结果。
给定一个n阶方阵A，其m次幂定义为Am=A⋅A⋅A⋅⋅⋅A(m个A相乘)，其中m为正整数。
特别地，当m=0时，我们定义A^0=I （单位矩阵），当m=1时，我们有A^1=A。
二、方阵的幂的性质1. 方阵的幂与矩阵乘法交换律：对于任意两个n阶方阵A和B，有A^m⋅B^m=(A⋅B)^m。
证明：设A和B是n阶方阵，不妨设m=2，即(A⋅B)^2=A⋅B⋅A⋅B，而A^2⋅B^2=A⋅A⋅B⋅B，显然它们相等。
通过归纳法可以证明对于任意正整数m都成立。
2. 方阵的幂与矩阵的转置和逆矩阵：如果A是一个可逆矩阵，则(A^-1)^m=(A^m)^-1，(A^T)^m=(A^m)^T。
证明：对于(A^-1)^m=(A^m)^-1，我们有(A^-1)^m⋅A^m=I，所以(A^m)^-1=A^-m。
同理，对于(A^T)^m=(A^m)^T，我们可以利用矩阵转置的性质进行证明。
3. 方阵的幂的幂等性：对于方阵A的m次幂的幂等性，有(A^m)^n=A^(m⋅n)。
证明：根据矩阵乘法的结合律，有(A^m)^n=A⋅A⋅⋅⋅A⋅A⋅A=...=A^(m⋅n)。
4. 方阵的幂的加法：对于方阵A的m次幂和n次幂的加法，有A^m+A^n≠A^(m+n)。
证明：举个简单的例子，取A为单位矩阵，m=2，n=3，我们有A^2=I，A^3=I，A^2+A^3=2I，而A^(2+3)=A^5=A，显然它们不相等。
因此，方阵的幂的加法并不满足方阵乘法的加法性质。
5. 方阵的幂的数乘：对于方阵A的m次幂的数乘，有k⋅A^m=(k⋅A)^m。
证明：设k为一个实数或复数，那么k⋅A^m=k⋅(A⋅A⋅⋅⋅A)=k⋅A⋅A⋅⋅⋅A=(k⋅A)^m，根据矩阵乘法的结合律和分配律可以得到这个结论。
以上是方阵的幂的一些基本性质，这些性质对于我们理解和使用方阵的幂都至关重要。
幂的运算方法归纳总结
幂的运算方法总结作为整式乘除的前奏，幂的运算看似非常简单，实际运用起来却灵活多变。
不过，只要熟悉运算的一些基本方法原则，问题就迎刃而解了。
而且通过这些方法原则的学习，不但能使我们熟悉幂的运算，还可得到全面的思维训练，现在对此做一探索。
幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：①am×an=am+n ②(am)n=amn③(ab)m=ambm ④am÷an=am-n只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。
问题1已知a7am=a3a10，求m的值。
思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。
方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。
方法原则：可用公式套一套。
但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。
问题2已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。
思路探索：(x2y)3n中没有xn和yn，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有xn和yn的运算。
因此可简解为，(x2y)3n=x6ny3n=(xn)6(yn)3=26×33=1728方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。
方法原则：整体不同靠一靠。
然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？问题3已知a3=2,am=3,an=5，求am+2n+6的值。
思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。
简解：am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3×25×4=300方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。
方法原则：逆用公式倒一倒。
当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？问题4已知22x+3－22x+1=48，求x的值。
思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。
方阵高次幂计算的几种典型方法
方阵高次幂计算的几种典型方法作者：王丹来源：《新课程学习·上》2014年第06期摘要：方阵的幂运算是矩阵乘法的特殊情形，在图论中有着极为广泛的应用。
在总结归纳方阵高次幂常见六种计算方法的基础上，着重分析了第六种算法：特征多项式法。
用此方法计算m阶方阵A的n次幂时，至多只需计算A的min｛m-1，n｝次幂，相对于前五种算法，此算法应用范围最广。
关键词：方阵高次幂；解题基本思路；六种解法一、数学归纳法例1．设A=1 0?姿 1，求A2，A3，A4，…，An。
解题基本思路：依次计算A2，A3，A4，根据A2，A3，A4的结果，猜想An，然后用数学归纳法证明即可。
说明：运用此方法一般都是先计算A2，A3，A4，并根据A2，A3，A4的计算结果进行猜想，而后对猜想用数学归纳法加以证明。
但并不是所有矩阵的幂的元素跟幂指数都有较明显的关系，故此方法有一定的局限性。
二、利用二项展开公式例2.设A=?姿 1 00 ?姿 10 0 ?姿，求An。
解：A=?姿 0 00 ?姿 00 0 ?姿+0 1 00 0 10 0 0=?姿E+H，其中H=0 1 00 0 10 0 0。
注意到H2=0 1 00 0 00 0 0，H3=0，且（?姿E）H=H（?姿E），故二项展开公式成立，即有An=（?姿E+H）n=（?姿E）n+n（?姿E）n-1H+■（?姿E）n-2H2。
=?姿n 0 00 ?姿n 00 0 ?姿n+0 n?姿n-1 00 0 n?姿n-10 00+0 0 ■?姿n-20 000 00=?姿n n?姿n-1 ■?姿n-20 ?姿n n?姿n-10 0?姿n 。
说明：该方法首先要把矩阵A写成两个矩阵B、C的和，并要求这两个矩阵满足（1）矩阵B，C可交换；（2）其中一个矩阵的较低次幂的结果为特殊矩阵，如：零矩阵，数量矩阵。
故此方法具有很强的技巧性，适用范围有限。
三、利用矩阵乘法结合律例3．设A=1■■2 1 ■3 ■ 1，求An。
方阵幂的求法归纳
方阵幂的求法归纳
矩阵的幂是指对矩阵连续乘方的运算。
若把n阶矩阵A分解成A = U×D×U-1 ，其中U为初等变换矩阵，D为对角矩阵，U-1为U的逆矩阵，则A的n次幂可求为A^n = U^n×D^n×(U^(-1))^n 。
矩阵的幂求法可分为非对称和对称的，非对称就是对角矩阵
D的每个对角元都不相等的情况，其中对角元要取到n次负幂，可以采用“反向连乘”的方法求解。
它是将矩阵A的n次幂分解成多个A的若干次幂的积。
有一个M的量，它的第一次幂A^1乘上最后一次幂A^m：M = A^1A^2……A^m ，它相当于矩阵A的n 次幂，这时A的n次幂可以按照包括M在内的若干次幂累乘方式求解。
矩阵的对称法是指对角矩阵D的每个对角元都是相同的情况，也就是D=A。
这种情况下，A^n可以由Split-Matrix-Multiplication 方法来求解，它将分解M矩阵成a，b，c，d四个矩阵之和，M = a + b + c + d，当 n=2 时下面的公式得到：M^2=(a+b) (c+d) 以及：M^2 = a2 + bd + ac + bc。
这里的a，b，c，d四个矩阵可分别称之为四个子式，每个子式都是较小的矩阵，可叠加地乘起来得到M^2。
从上面的公式可以看出，M的n次幂实际上是由M的2次、4次、8次……以及最后一次2^k次幂积得来的。
矩阵的幂求法不仅可以应用于计算，还可以用于解决各种实际问题。
其应用领域有常微分方程求解、随机投掷问题、Markov
Chain 模型以及数据挖掘等。
矩阵的幂求解可以使用快速矩阵幂求法，利用矩阵的特点进行加速，从而提高计算效率。
数学 学年论文 毕业论文 方阵n次幂的计算方法
数学学年论文毕业论文方阵n次幂的计算方法方阵n次幂可以用多种方法计算，以下介绍两种常见的方法。
方法一：矩阵乘法的递归实现设A为n阶矩阵，则A的n次幂可以表示为：A^n = A^(n/2) * A^(n/2) (n为偶数)A^n = A^(n-1) * A (n为奇数)可以发现，n次幂的计算可以通过n/2次幂的计算实现。
因此，可以采用递归实现。
具体做法如下：1. 如果n=1，直接返回矩阵A；2. 如果n为偶数，计算A^(n/2)，并将其乘以自身；3. 如果n为奇数，计算A^(n-1)，并将其乘以A。
代码实现如下（使用Python语言）：def matrix_power(A, n):if n == 1:return Aelif n % 2 == 0:B = matrix_power(A, n/2)return B.dot(B)else:B = matrix_power(A, n-1)return A.dot(B)方法二：矩阵的特征值分解任何一个n阶方阵都可以表示为特征向量和特征值的线性组合，即：A = PDP^-1其中，P为n阶方阵，其列向量为特征向量；D为特征值矩阵，其对角线上的元素即为A的特征值。
根据矩阵乘法的性质，有：A^n = PD^nP^-1因此，可以通过矩阵的特征值分解来计算A的n次幂。
代码实现如下（使用Python语言）：import numpy as npdef matrix_power(A, n):eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)d = np.diag(eigenvalues ** n)pdn = eigenvectors.dot(d).dot(np.linalg.inv(eigenvectors))return pdn需要注意的是，矩阵A必须是可对角化的。
对于不可对角化的矩阵，可以采用相似矩阵对角化。
演示文稿5_2方阵的幂与方阵多项式
22/32
设 f (x)=
an xn
+
an−1 xn−1
++
a1 x
+
a0 为一元多项式,
其中
a0, a1, …, an 为多项式的系数. 设 A 为方阵, 则称
f ( A=) an An + an−1 An−1 + + a1 A + a0 E 为方阵 A 的多项式.
23/32
计算
3 0
1 n 3
1 2 3
=A B= C 2[1 2 = 3] 2 4 6 ,
3
3 6 9
1
而 CB = [1 2 3] 2 = 1×1+ 2× 2 + 3× 3 = 14,
3
因此 A2019 = (BC )(BC ) (BC )(BC ) =设矩阵 A = BC, 其= 中 B = 2 ,C [1 2 ]3 , 求 A2019.
3
1
1 2 3
=A B= C 2[1 2 = 3] 2 4 6 ,
3
3 6 9
1
而 CB = [1 2 3] 2 = 1×1+ 2× 2 + 3× 3 = 14,
3
因此 A2019 = (BC )(BC ) (BC )(BC ) = (CB)2018 (BC ) = 142018 A.
27/32
λ 1 0
A
=
0
λ
1
,
Ak .
0 0 λ
2.在例2.1中某航空公司在 A, B, C, D 四城间航班直达情 况可用矩阵 M 表示,求 M2,它有何实际意义？ Mk 呢？
0 1 1 0 M = 1 0 1 0
方阵的幂运算公式
方阵的幂运算公式方阵是线性代数中的重要概念，它是一个具有相同行数和列数的矩阵。
方阵的幂运算公式是指将一个方阵自乘多次的计算方式。
在本文中，我们将探讨方阵的幂运算公式及其应用。
一、方阵的定义和性质方阵是一个n阶矩阵，即它的行数和列数都是n。
方阵的特殊性质在于它可以进行幂运算，即自乘。
考虑一个n阶方阵A，我们可以将其自乘k次，表示为A^k。
方阵的幂运算具有以下性质：1. A^k = A * A * A * ... * A (共k个A相乘)2. A^0 = I (单位矩阵)3. A^1 = A方阵的幂运算公式可以通过矩阵乘法的定义来推导。
矩阵乘法的定义是将矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列进行乘法运算，然后将结果相加。
根据这个定义，我们可以将方阵的幂运算表示为多次矩阵乘法的结果。
二、方阵的幂运算的应用方阵的幂运算在线性代数和其他领域中有广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用。
1. 线性方程组的求解线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中A是一个方阵，x和b是列向量。
如果我们已知A和b，想要求解x，可以使用方阵的幂运算公式。
我们可以将方程组重写为x=A^-1 * b，其中A^-1表示A 的逆矩阵。
然后，我们可以通过求解方阵的幂运算来计算x。
2. 特征值和特征向量的计算方阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量。
方阵的特征值和特征向量可以通过方阵的幂运算公式来计算。
具体的计算方法是，对于一个方阵A，我们可以通过求解方程A * x = λ * x来计算特征值和特征向量。
3. 矩阵的对角化对角化是将一个方阵表示为对角矩阵的过程。
对角矩阵是一个只有对角线上有非零元素的矩阵。
方阵的对角化可以通过方阵的幂运算公式来实现。
具体的方法是，我们可以将方阵A写成A = P * D * P^-1的形式，其中P是一个可逆矩阵，D是一个对角矩阵。
然后，我们可以通过方阵的幂运算公式来计算P * D * P^-1的幂。
矩阵的幂次方
矩阵的幂次方矩阵的幂次方是指将一个矩阵连续乘以自身。
假设矩阵A为n ×n的方阵，A 的k次幂（其中k是一个非负整数）可以表示为A^k。
矩阵的幂次方可以通过连续乘法来计算，即A^k = A ×A ×A × ... ×A。
例如，对于一个2 ×2的矩阵A和k = 3，A的3次幂可以计算为：A^3 = A ×A ×A幂次方的计算可以通过循环来实现，循环次数为k。
首先，设置一个单位矩阵identity，该矩阵与任何矩阵相乘都等于矩阵本身。
然后，用循环将矩阵A连续乘k次，每次乘法结果都与identity相乘，最后得到A的k次幂。
具体实现如下：def matrix_power(A, k):n = len(A) # 矩阵的维度identity = [[1 if i == j else 0 for j in range(n)] for i in range(n)] # 单位矩阵result = identity # 初始结果为单位矩阵for _ in range(k): # 连续乘k次Aresult = matrix_multiply(result, A) # 矩阵相乘return resultdef matrix_multiply(A, B):n = len(A)m = len(A[0])p = len(B[0])result = [[0 for _ in range(p)] for _ in range(n)]for i in range(n):for j in range(p):for k in range(m):result[i][j] += A[i][k] * B[k][j]return result这样，就可以通过matrix_power函数计算矩阵A的任意幂次方了。
第三节 方阵的几种运算
第三节 方阵的几种运算一、方阵的幂k 个n 阶方阵连乘，称为方阵A 的k 次幂，记为A k .k n n n n k A A A A =⋅⋅⋅个规定1230,,1,,2,,3,,n n n n n n n n n n n k A E k A A k A A A k A A A A ======⋅==⋅⋅由于矩阵乘法适合结合律，所以方阵的运算满足下列运算规律：1(,2(3),()k l k lk lklk k kA A A k l A A AB A B +⋅==≠⋅（）均为正整数）（）（）一般地例9 2231()1,()11f x x x A A f A ⎡⎤=++=⎢⎥-⎣⎦设，求及 解：23131102111120A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦21023110()2011011031210812100(1)112f A A A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-+-+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+--+⎣⎦⎣⎦二、方阵的行列式定义6 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式称为方阵A 的行列式, 记作|A |或det A .例10 3341201||113A A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦已知，求。
解：341012120||2013413131111332023145221A ----=--=-+=+-=⨯-⨯--=（）注意：n 阶方阵是个数表，n 阶行列式是个数值。
方阵的行列式满足以下规律： (1)|A T |=|A |; (2)|λA |=λn |A |;(3)|AB |=|A ||B |，同样地， |BA |=|B ||A |由（3）可知，对于n 阶行列式A ，B ，一般来说AB ≠BA ，但|BA|=|AB|。
例112320||1214A AB -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦设矩阵，B=，求解： 2320712121408AB --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦712||5608AB -==-还可以解为2320||7||81214||||||78A B AB A B -====---==⨯-，，（）=-56定义7 由n 阶方阵A 的行列式|A |的各个元素的代数余子式A ij 所构成的n 阶方阵的转置矩阵，称为矩阵A 的伴随矩阵, 简称伴随阵.记为*A 。
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摘 要
方阵是一类最特殊的矩阵，是高等数学中的重要部分，其应用也是多方面的，不在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用. 比如数字图像处理、计算机图形学、计算几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。
在 《 线性代数》中， 常涉及阶方阵的幂的计算问题， 用定义计算方阵的幂十分繁杂，在分析一般矩阵乘法运算对计算方阵高次幂运算局限性基础上，结合实例介绍了数学归纳法，二项式展开法，矩阵分解法，对角矩阵相似法，Hamiltoncayley 定理法等几种方阵的幂的求解方法。
而且的方阵的高次幂求解方法也进行了探索。
关键词：线性代数；方阵的幂；矩阵；高次幂；方法
方阵的幂的一般计算方法
数学归纳法
数学归纳法是数学中的一种重要的证明方法，常用来证明自然数n 有关的命题，求M A 时,首先计算A 的低次方幂，把结 论猜想出来，然后用归纳法证明猜想成立。
例 1 已知1
111A ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
=，求M A 解：2
A =1111⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭ 1111⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3A =2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 1111⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
猜想M
A =1
1112222m m m m ----⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
，事实上，当m=1，2， 时，结论成立。
设当m=k-1时结论成立，即1k A -=2
22
22222k k k k ----⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
k A =1
k A -A =222
22222k k k k ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=11112222k k k k ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
故由归纳法可知，对任意指数m 有M A =1
1112222m m m m ----⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭。
二项式展开法
当方阵A 的主对角线上的元素相同时，A 可以写成一数量阵I λ和另一矩阵B 之和，如果B 的高次幂易计算，则M A =()M I B λ+可按二项试定理展开计算。
例 2 设A =1100
11101⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，求m A （m 为自然数）
解：A =1000
10001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭+010001000⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
记作
I+B ，由于I 与B 可交换，
m
A =
()m
I B +=
m
I +
m 1m I -B
+
2(1)2!
m m m I --2
B +
(1)(2)3!
m m m --3m I
-3
B ++
m
B 而
m
I =
1
m I -= =
I
，
B =010001000⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭，2B =001000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3B =000000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
故
K
B =
3k m ≤≤，所以
m A =m I +m 1m I -B +2(1)2!
m m m I --2B
=1
00010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭+0000
000m m ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭+(1)00
20
00000m m ⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭-=(1)1201001m m m m ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝
⎭
-
利用与对角矩阵相似求解
对于n 阶主阵A ，若存在逆阵P ，使得1P -AP =diag （1λ，2λ m λ），则m A =P diag （1m λ，2m λ m n λ）1P -，其中1λ，2λ， n λ为A 的n 个特征根。
例 3 已知A =4603
50361⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
----，求m A
解：A 的特征多项式I A λ-=（λ+2）2(1)λ-，所以A 的特征为1λ=-2，2λ=3λ=1
当1λ=-2时，解齐次线性方程组（-2I-A ）x =0,得其基础解系为
1X =(1,1,1)T -。
当2λ=3λ=1时，解齐次线性方程组（I-A ）x =0。
得其基础解
系为2X =(2,1,0)T -，3X =(0,0,1)T 。
令P=（1X ，2X ，3X ）=1
201
10101⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
--，则1P -AP =diag （-2，
1，1），于是m A = P diag ((2),1,1)m -1P -，又1P -=120110121⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
----
所以m
A =111(2)2(2)2
(2)1(2)(2)1(2)20101m m m m m m +++⎛⎫-+-+ ⎪
⎪----
⎪ ⎪
----⎝
⎭
-为所求。
结论
方阵的幂的计算方法多种多样，上面所介绍的方法不一定就是最简单的方法。
而在解决具体问题时，要根据方阵的特点，选择最合适，最简单的方法求解。
然而能熟练选择出最简单的计算方法需要在实践中逐步提高。
各种求解方法也不是独立存在的，很多时候需要多种方法配合使用，因此了解更多的方法对求解方阵的幂是有帮助的。
在解决实际问题时候，不要拘泥与任何固定的方法，需要运用矩阵的特性以简化计算。
方法是固定的，人的思维是活动的，只有建立在固定的方法的基础上运用活动的思维去思考问题才有质的突破。
参 考 文 献
[1] 徐仲等.线性代数分析集[M].西安：北工业大学出版社，2000
[2] 陈文灯.线性代数[M].北京：国财政经济出版社，2001
[3] 张远达.线性代数原理[M].上海：海教育出版社.1997
[4] 柳柏濂.组合矩阵论[M].北京:科学出版社，1996：192-214
[5] 李修清，王敏.一类本原无限布尔方阵的本原指数集的刻划[J].数学的实践与
认识，2007，37（1）：100-103。