探求方阵的幂的计算方法

摘 要

方阵是一类最特殊的矩阵，是高等数学中的重要部分，其应用也是多方面的，不在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用. 比如数字图像处理、计算机图形学、计算几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。在 《 线性代数》中， 常涉及阶方阵的幂的计算问题， 用定义计算方阵的幂十分繁杂，在分析一般矩阵乘法运算对计算方阵高次幂运算局限性基础上，结合实例介绍了数学归纳法，二项式展开法，矩阵分解法，对角矩阵相似法，Hamiltoncayley 定理法等几种方阵的幂的求解方法。而且的方阵的高次幂求解方法也进行了探索。

关键词：线性代数；方阵的幂；矩阵；高次幂；方法

方阵的幂的一般计算方法

数学归纳法

数学归纳法是数学中的一种重要的证明方法，常用来证明自然数n 有关的命题，求M A 时,首先计算A 的低次方幂，把结 论猜想出来，然后用归纳法证明猜想成立。

例 1 已知1

111A ⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

=，求M A 解：2

A =1111⎛⎫

⎪ ⎪⎝

⎭ 1111⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3A =2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 1111⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

猜想M

A =1

1112222m m m m ----⎛⎫

⎪ ⎪⎝

⎭

，事实上，当m=1，2， 时，结论成立。设当m=k-1时结论成立，即1k A -=2

22

22222k k k k ----⎛⎫

⎪ ⎪⎝

⎭

k A =1

k A -A =222

22222k k k k ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=11112222k k k k ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

故由归纳法可知，对任意指数m 有M A =1

1112222m m m m ----⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

。 二项式展开法

当方阵A 的主对角线上的元素相同时，A 可以写成一数量阵I λ和另一矩阵B 之和，如果B 的高次幂易计算，则M A =()M I B λ+可按二项试定理展开计算。

例 2 设A =1100

11101⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，求m A （m 为自然数）

解：A =1000

10001⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭+010001000⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

记作

I+B ，由于I 与B 可交换，

m

A =

()m

I B +=

m

I +

m 1m I -B

+

2(1)2!

m m m I --2

B +

(1)(2)3!

m m m --3m I

-3

B ++

m

B 而

m

I =

1

m I -= =

I

，

B =010001000⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝

⎭，2B =001000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3B =000000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

故

K

B =

3k m ≤≤，所以

m A =m I +m 1m I -B +2(1)2!

m m m I --2B

=1

00010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭+0000

000m m ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭+(1)00

20

00000m m ⎛

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭-=(1)1201001m m m m ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪

⎪⎝

⎭

-

利用与对角矩阵相似求解

对于n 阶主阵A ，若存在逆阵P ，使得1P -AP =diag （1λ，2λ m λ），则m A =P diag （1m λ，2m λ m n λ）1P -，其中1λ，2λ， n λ为A 的n 个特征根。

例 3 已知A =4603

50361⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

----，求m A

解：A 的特征多项式I A λ-=（λ+2）2(1)λ-，所以A 的特征为1λ=-2，2λ=3λ=1

当1λ=-2时，解齐次线性方程组（-2I-A ）x =0,得其基础解系为

1X =(1,1,1)T -。

当2λ=3λ=1时，解齐次线性方程组（I-A ）x =0。得其基础解

系为2X =(2,1,0)T -，3X =(0,0,1)T 。

令P=（1X ，2X ，3X ）=1

201

10101⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

--，则1P -AP =diag （-2，

1，1），于是m A = P diag ((2),1,1)m -1P -，又1P -=120110121⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

----

所以m

A =111(2)2(2)2

(2)1(2)(2)1(2)20101m m m m m m +++⎛⎫-+-+ ⎪

⎪----

⎪ ⎪

----⎝

⎭

-为所求。

结论

方阵的幂的计算方法多种多样，上面所介绍的方法不一定就是最简单的方法。而在解决具体问题时，要根据方阵的特点，选择最合适，最简单的方法求解。然而能熟练选择出最简单的计算方法需要在实践中逐步提高。各种求解方法也不是独立存在的，很多时候需要多种方法配合使用，因此了解更多的方法对求解方阵的幂是有帮助的。在解决实际问题时候，不要拘泥与任何固定的方法，需要运用矩阵的特性以简化计算。方法是固定的，人的思维是活动的，只有建立在固定的方法的基础上运用活动的思维去思考问题才有质的突破。 参 考 文 献

[1] 徐仲等.线性代数分析集[M].西安：北工业大学出版社，2000