高考复数复习讲义(第二讲)

第2讲 复 数
知识梳理
一．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中实部是 ，虚部是 ，表示方式 ，当b =0时，则a ＋b i 为 ，若b ≠0，则a ＋b i 为 ，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为 ．
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔则 ． (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：Z=a ＋b i 则它的共轭复数是 ．
(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，
即|z |＝ ．
(5)复数的周期性：i = , i 2= , i 3= , i 4=
i 4n+1= , i 4n+2= , i 4n+3= , i 4n =
二、复数的几何意义
1．
复数z a bi =+←−−−
→一一对应
复平面内的点()Z a b ， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．
点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立
了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
x 轴叫做 实轴 ，y 轴叫做 虚轴 实轴上的点都表示 实数
三、复数的四则运算
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则
(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝ ． (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝ ． (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝ ．
(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ ．(c ＋d i ≠0)．（基本必考）
3、常用结论： (1±i)2＝±2i ，
1＋i 1－i ＝i ， 1－i
1＋i
＝－i. 四、知识应用：
考点一 虚数单位i 的性质
【例1】(2017·新课标全国)已知i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i +++
+= ．（用
i a b +的形式表示，a b ∈R ，）
练习1(2018·辽宁)1i ＋1i 3＋1i 5＋1
i 7＝…………………………………………( )． A 、0 B ．2i C ．－2i D ．4i
考点二 复数的有关概念： 【例2】（2016全国模拟）复数
1＋a i
2－i
为纯虚数，则实数a 为( )． A ．2 B ．－2 C ．－12 D.1
2 练习1复数 i 2(1＋i)的实部是________．
练习2（2016，聊城质检）复数－i
1＋2i (i 是虚数单位)的共轭复数是________．
练习3 已知复数1＋i
i
，它的模是 _______
考点三 复数的几何意义：
【例3】（2016）在复平面内，复数Z=6＋5i ，Z1=－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是.( )．
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i
练习1 复数1＋i
1－i
对应的点位于复平面内的第________象限．
考点四 复数的运算
练习4.1复数1－3i 1－i ＝…………………………………………………………..( )．
A 、2－i
B ．2＋i
C ．－1－2i
D ．－1＋2i
练习4.2(2015·新课标全国)复数
5i
1－2i
＝……………………………………( )． A ．2－i B ．1－2i C 、－2＋i D ．－1＋2i
练习4.3(2013·新课标全国)
2
1i
=+……………………………………………..（ ） A.22 B.2 C 、2 D.1
能力提升练习
1．(2017·新课标全国卷Ⅱ，1)3＋i
1＋i
＝( )
A ．1＋2i
B ．1－2i
C ．2＋i
D ．2－i
2．(2018·河北衡水中学第三次调研)复数2＋i
1－2i
的共轭复数的虚部是( )
A ．－35 B.35 C ．－1 D ．1
3．(2017·北京卷，2)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
4.(2014·新课标全国)131i
i
+=-……………………………………………（ ）
A.12i + B 、12i -+ C.1-2i D .1-2i -
5.(2018·新课标全国)已知复数1z i =-，则2
1
z z =-……………………（ ） A.、2 B. －2 C. 2i D. －2i
6．若复数a
1－i
(a ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x ＋y ＝0上，则
a 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 7．(2018·宁夏银川一中月考)设i 为虚数单位，复数(2－i)z ＝1＋i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8.已知复数z1，满足(z1－2)(1＋i)＝1－i ，z1= ____。