2001-2012中国西部数学奥林匹克CWMO试题与解答

4. 设 x 、y 、z 为 正 实 数 , 且 x + y + z ≥xyz. 求
x2
+
y2 xyz
+
z2 的最小值.
(冯志刚)
第二天
1. 求所有的实数 x ,使得 [ x3 ] = 4 x + 3. 这里 [ y ]
表示不超过实数 y 的最大整数.
(杨文鹏)
2. P 为 ⊙O 外一点 ,过 P 作 ⊙O 的两条切线 ,切
n- 1
∏ A2 =
( x2 i + 1) .
i= m
注意到对 i ≠j , ( x2i + 1 , x2j + 1) = 1 , 2 | x , 2 , 2 x.
情形 1 2| x ,可知 Π m ≤i ≤n - 1 ,数 x2i + 1 都 是完全平方数 ,于是 ,只能是 x = 0 ;
情形 2 2
(1) A1 ∪A2 ∪…∪An = A ; (2) Ai ∩Aj ≠ ,1 ≤i < j ≤n. 求最小正整数 m ,使得对 A = {1 ,2 , …, m}的任意一个 14 分划 A1 , A2 , …, A14 ,一定存在某个集合 Ai (1 ≤i ≤
14)
,在
Ai
中有两个元素
a 、b 满足
综上 , ①满足条件的正整数解的组数为 C332 + C319 ·C29 + C36 ·C216 = 42 244.
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
点分别为 A 、B . 设 Q 为 PO 与 AB 的交点 ,过 Q 作 ⊙O
的任意一条弦 CD. 证明 : △PAB 与 △PCD 有相同的
内心.
(刘康宁)
3. 求所有的实数
x
∈
0
π ,2
,使得
π (2 - sin 2 x) sin x + 4 = 1 ,
并证明你的结论 .
(李胜宏)
4. 我们称 A1 , A2 , …, An 为集合 A 的一个 n 分划 , 如果
5 4
或
-
1.
2. 如图 1 ,记 R 为
线段 OP 与 ⊙O 的 交
点 , E 为 PD 与 ⊙O 的
交点 (不同于 D) .
∵CQ·QD
= AQ·QB = AQ2 ,
PQ·QO = AQ2 ,
图1
∴CQ·QD = PQ·QO.
于是 , P、C、O 、D 四点共圆.
故 ∠OPC = ∠ODC = ∠OCD = ∠OPD ,即 PO 为
3. 考虑复平面上的正方形 ,它的 4 个顶点所对 应的复数恰好是某个整系数一元四次方程 x4 + px3 + qx2 + rx + s = 0 的 4 个根. 求这种正方形面积的最 小值.
4. 设 n 为正整数 ,集合 A1 , A2 , …, An +1 是集合 {1 ,2 , …, n} 的 n + 1 个非空子集. 证明 : 存在{1 ,2 , …, n + 1}的两个不交的非空子集{ i1 , i2 , …, ik } 和 { j1 , j2 , …, jm } ,使得
(1) a1 + a2 + …+ an ≥n2 ; (2) a21 + a22 + …+ a2n ≤n3 + 1. 7. 设 α、β为方程 x2 - x - 1 = 0 的两个根 ,令 an = ααn--ββn, n = 1 ,2 , …. (1) 证明 :对任意正整数 n ,有 an + 2 = an + 1 + an ; (2) 求所有正整数 a 、b , a < b ,满足对任意正整 数 n ,有 b 整除 an - 2 nan . 8. 设 S = ( a1 , a2 , …, an ) 是一个由 0 ,1 组成的 满足下述条件的最长的数列 :数列 S 中任意两个连 续的 5 项不同 ,即对任意 1 ≤i < j ≤n - 4 , ai , ai + 1 , ai + 2 , ai + 3 , ai + 4 与 aj , aj + 1 , aj + 2 , aj + 3 , aj + 4 不相同. 证 明 :数列 S 最前面的 4 项与最后面的 4 项相同.
1
.
故对一切 n ∈N , ①都成立.
从而
,
x2
001
≤2
001 2
<
1
001.
2. (1) 由于 S △APB =
1 2
S矩形ABCD = 1 ,
从而得到 ②满足条件的三组正整数解
m = 33 , m = 20 , m = 7 ,
n=3;
n = 10 ; n = 17.
1) 在 m = 33 , n = 3 时 ,显然 x5 = x6 = x7 = 13 仅
PA·PB 的值随着长方形ABCD及点 P 的变化而变化 ,
当 PA·PB 取最小值时 ,
(1) 证明 : AB ≥2 BC ;
(2) 求 AQ·BQ 的值.
(罗增儒)
3. 设 n 、m 是具有不同奇偶性的正整数 ,且 n >
m. 求所有的整数
x
,使得
x2 n x2m
-
1 是一个完全平方数 . 1
(潘承彪)
中等数学
2002 年西部数学奥林匹克
第一天
1. 求所有的正整数 n ,使得 n4 - 4 n3 + 22 n2 36 n + 18 是一个完全平方数.
2. 设 O 为锐角 △ABC 的外心 , P 为 △AOB 内部 一点 , P 在 △ABC 的三边 BC、CA 、AB 上的射影分别 为 D 、E、F. 求证 :以 FE、FD 为邻边的平行四边形位 于 △ABC 内.
由于
0
≤x
≤π 2
,所以
,
2 2
≤t
≤1.
于是 ,2 t2 + 2 t -
1
≥2
×
1 2
+
2
×2 2
-
1 > 1.
从而 ,方程 ①有惟一解 t = 1.
故原方程有惟一解
x
=
π 4.
4. (i) 若 m < 56 , 令 Ai = { a | a ≡i ( mod 14) ,
a ∈A} ,则 Π b < a ∈Ai ( i = 1 ,2 , …,14) ,均有 56 > a >
2002 年第 6 期
23
2001 中国西部数学奥林匹克
第一天
1. 设数列{ xn}满足
x1 =
1 2
, xn+1 =
xn +
x2n n2
.
证
明 : x2 001 < 1 001.
(李伟固)
2. 设 ABCD 是面积为 2 的长方形 , P 为边 CD 上
的一点 , Q 为 △PAB 的内切圆与 边 AB 的切点. 乘积
b<
a
≤
4 3
b.
(冷岗松)
参考答案
第一天
1. 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 对 任 意 n ∈N, 均 有
xn
≤n 2
.
①
当 n = 1 时 ,由条件知 ①成立.
设
n
=
k
时
①成立
,即
xk
≤k 2
.当
n
=
k
+1
时
,有
xk +1
=
xk
+
x2k k2
≤k 2
+
1 k2
k2 2
=
k 2
+
1 4
<
k
+ 2
π x+ 4
= t ,即 sin x + cos x = 2 t. 于
是 ,1 + sin 2 x = 2 t2 ,即 sin 2 x = 2 t2 - 1. 从而有
t (3 - 2 t2) = 1 ,
即 2 t3 - 3 t + 1 = 0.
①
注意到 t = 1 是上述方程的解 ,故
( t - 1) (2 t2 + 2 t - 1) = 0.
∠CPD 的平分线.
又由 P、C、O 、D 四点共圆 ,得 ∠COR = ∠CDE.
而 ∠COE = 2 ∠CDE , 故 ∠COR = ∠ROE , 即 有 CR =
RE. 从而 , ∠CDR = ∠EDR. 故 R 为 △PCD 的内心.
又显然 R 为 △PAB 的内心 ,所以命题成立.
3. 令 sin
有一种可能 ;
设 xi = 7 yi ( i = 1 ,2 ,3 ,4) ,于是 ,由不定方程 y1
+
y2
+
y3
+
y4
= 33 有
C4 - 1 33 - 1
= C332
=4
960 组正整数
解. 可知此时 ①有满足条件的 C332 = 4 960 组正整数
解.
2) 在 m = 20 , n = 10 时 ,设 xi = 7 yi ( i = 1 ,2 ,3 ,
有两个数都小于 0 ,或都大于 0 ,即
- 7 ≤k ≤- 1 或 k ≥9. 又当 k ≥10 时 ,f ( k) ≥10 ×2 ×18 > 256 ,矛盾. 故 k ∈{ - 7 , - 6 , …, - 1 ,9}. 分别计算 ,可知满足 ①的 k 只有两个 ,即
k = - 4 , - 5.
从而 , x = -
x2
+ y2 + xyz
z2
=
3.
下面证明 x2
+ y2 + xyz
z2 的最小值为
3.
事实上 ,有
x2
+
y2
+
z2
≥1 3
(x+
y+
z) 2
≥
1 3
( xyz) 2
≥ 3 xyz ,如果
xyz ≥3
3,
3 3 ( xyz) 2 ≥ 3 xyz ,如果 xyz < 3 3 .
故 x2
+ y2 + xyz
4) , xj = 13 yj ( j = 5 ,6 ,7) . 由 y1 + y2 + y3 + y4 = 20 有 C319 组正整数解 ,以及 y5 + y6 + y7 = 10 有 C29 组正整 数解 ,可知此时 ①有满足条件的 C319 ·C29 = 34 884 组 正整数解.
3) 在 m = 7 , n = 17 时 ,仍设 xi = 7 yi ( i = 1 ,2 ,3 , 4) , xj = 13 yj ( j = 5 ,6 ,7) . 由 y1 + y2 + y3 + y4 = 7 与 y5 + y6 + y7 = 17 分别有 C36 与 C216 组正整数解 ,可知 此时 ①有满足条件的 C36 ·C216 = 2 400 组正整数解.
z2 的最小值为
3.
第二天
1. 设
x 为满足条件的实数,则可设
x=
k 4
( k ∈Z) ,且
k3 64
=
k
+ 3. 于是
,3
≤k3 64
-
k < 4 ,即
192 ≤k ( k - 8) ( k + 8) < 256.
①
记 f ( k) = k ( k - 8) ( k + 8) ,则 k 、k - 8 、k + 8 中恰
们满足
b
≤a
≤
4 3
b.
综上所述 ,所求 m 的最小正整数值为 56.
(刘康宁 提供)
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
38
Ai1 ∪Ai2 ∪…∪Aik = Aj1 ∪Aj2 ∪…∪Ajm .
第二天
5. 在给定的梯形 ABCD 中 , AD ∥BC , E 是边 AB 上的动点 , O1 、O2 分别是 △A ED 、△B EC 的外心. 求 证 : O1 O2 的长为一定值.
6. 设 n ( n ≥2) 是给定的正整数 ,求所有整数组 ( a1 , a2 , …, an ) 满足条件 :
∏ n - 1
x ,则 2 n - m
i= m
x2i + 1 2
.
而
x2 i + 2
1
,
x2j + 2
1
= 1 ,故必须 2| ( n - m) ,矛盾.
综上可知 ,所求的整数 x 只有一个 ,即 x = 0.
4. 注意到 ,当 x = y = z = 3时 , x + y + z = xyz ,而
参考答案
1. 设 m ∈N+ ,使得 n4 - 4 n3 + 22 n2 - 36 n + 18 =
PA·PB = ( r + AQ) ( r + BQ)
= r ( r + AQ + BQ) + AQ·BQ.
而 PA·PB = 2 S △APB , r ( r + AQ + BQ) = S △APB ,
于是 , AQ·BQ = S △APB = 1.
3. 记
x2 n x2m
-
1 1
=
A2
,这里
A
∈N ,则
b ,且 a - b ≥14. 故 b ≤a - 14 < 42.
于是
,
a b
=1+
ab
b
≥1
+
14 b
>
1
+
14 42
=
4 3
.
故正整数 m ≥56.
(ii) 若 m = 56 , 则 对 A 的 任 意 划 分 A1 , A2 , …,
A14 ,数 42 ,43 , …,56 中 ,必有两个数属于同一个 Ai ,它
24
中等数学
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
从而
,
1 2
PA·PB sin
∠A PB = 1 ,
即 PA·PB
= sin
2 ∠A PB
≥2.
等号仅当 ∠A PB = 90°时成立. 这表明点 P 在以 AB 为
直径的圆上 ,该圆应与 CD 有公共点.
于是
,
PA·PB
取最小值时
,应有
BC
≤AB 2
,即
AB ≥2 BC.
(2) 设 △A PB 的内切圆半径为 r ,则