第4章 二次型 练习题
二次型的矩阵表示[达标训练题]
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第五章 二次型§1 二次型的矩阵表示[达标训练题]A 组一、填空题1．下列各式中 等于22212154x x x x ++.（A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21215221),(x x x x ；（B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21215311),(x x x x ；（C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21215481),(x x x x ；（D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21215221),(x x x x . 2．上题中 是二次型22212154x x x x ++的矩阵. 3．二次型222121462x x x x ++的矩阵是 .4．二次型23323121432122),,,(x x x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 .5 二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21214221),(x x x x 的矩阵是 . 6．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4331对应的二次型是 . 7．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2131对应的二次型是 . 8．二次型经线性替换化为 . 二、判断题1．二次型AX X f '=经线性替换化为二次型BY Y g '=，B A ,是对称矩阵，则 ①B A ,等价；②B A ,合同.2．二次型AX X f '=经非退化线性替换化为二次型BY Y g '=，B A ,是对称矩阵，则①B A ,等价；②B A ,合同.3．若二次型BX X AX X f '='=，则B A =. 4．B A ,合同，则B A ,等价. 5．B A ,等价，则B A ,合同. 三、解答题1．若21,A A 合同，21,B B 合同，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A 合同. 2．证明：如果A 是n 级对称矩阵，且对任意n 维向量X ，有0='A X X ，则0=A .B 组1．（选择）实方阵A 与单位矩阵E 合同，则必有 成立. （A ）0<A ；（B ）0=A ；（C ）0>A ；（D ）不能确定. 2．证明：E E -,在复数域上合同，但在实数域上不合同. 3． 举例说明，B A ,合同，存在可逆矩阵,C 使AC C B '=，这里的C 不是唯一的.§1 二次型的矩阵表示[达标训练题解答]A 组一、填空题1．（A ）（B ）（C ）（D ）； 2.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； 3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4332；4.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000001121010102110；5.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4001； 6， 22212146x x x x ++； 7.22212122x x x x ++; 8.二次型. 二、判断题 1.F ； 2.T ； 3.F ；4.T ； 5.F. 三、解答题1．证明 根据条件存在可逆的21,C C ，使2222111,B BC C A C A C ='='，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100C C C ，则C 可逆，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'2211B A C B A C .故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛22B A 合同.2．证明：如果取Ti X )0,0,1,0,0()( =利用已知条件可以得出),2,1(0n i a ii ==，在取T j i X )0,0,1,0()()( =，利用已知条件容易得出)(0j i a ij ≠=.证毕.B 组1．（C ）2. 证明：在复数域上取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i i C ，即得E EC C -='.而在实数域上对任意的可逆矩阵C ，EC C '的主对角线上元素是C 的行向量元素的平方和，不可能是-1.故E EC C -='不成立.3．例如，取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2001B A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121C ，则B AE E AC C ='='.§2 标准形[达标训练题]A 组1． 分别用配方法和合同变换法将下列二次型化为标准形，并求所用的线性替换：（1）32312122216223x x x x x x x x -+--；（2）323121224x x x x x x --.2． 求证⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ii λλλ21合同.其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列.3． 用合同变换将下列对称矩阵为对角矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022,542452322B A4． 证明：秩为r 的对称矩阵可以表示成r 个秩为1的对称矩阵之和.B 组1． 化下列二次型为标准形，并写出所用的非退化的线性替换：（1）323121232221844532x x x x x x x x x --+++；（2）112221+-+++n n n n x x x x x x .2． 证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A AA A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211112221100A A A A A 合同，其中11A 为可逆的对称矩阵.§2 标准形[达标训练题解答]A 组1．解（1）用配方法：23223212332223231213322213231212221)21(4)()41(4)222(6223x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=++--+-++=-+--⎪⎩⎪⎨⎧==+=+-33232132121z x z x x z x x x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=3332232112123z x z z x z z z x ， 则22213231212221416223z z x x x x x x x x -=-+--.(2)用合同变换法二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，对A 施行合同变换： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----10021102311000040001100010111020040001100010001031331111，所以令CY X =，则2221323121222146223y y x x x x x x x x -=-+--.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10021102311C .（2）配方法 令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211xy x x y x x y ，则23222123222312322233121322221323121242)21(42)41(4444224z z z y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x --=---=--+-=--=--其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=332231141yz y z y y z .对两个线性替换合成得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=33323118583z x z x z z x .合同变换法：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=011102120A ，对A 施行合同变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1001032115121151000500041004121141211412102150004100011001011142124100010001011102120，所以令CY X =，2322213231215154224y y y x x x x x x --=--，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10010321151211C . 2.证明：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21对应的二次型是2222211)(n n x x x X f λλλ+++= .作非退化的线性线性替换：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===in n i i x y x y x y 2121，则二次型化为2222121)(n i i i y y y X f n λλλ+++= ，而2222121)(n i i i y y y X f n λλλ+++= 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i i λλλ 21.故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ii λλλ21合同.其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列.3． 解：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321031113500030002100010111320230002100010001542452222E A ，取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10032103111C ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='3532AC C . （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210211000010002100010011020210002100010001020212022E B .， 取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210211C ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='012BC C . 4． 证明：设A 为秩为r 的矩阵，则存在可逆矩阵C ，使Cd d C A r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=001，令rr r DD D d d d d++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111000000，则C D C C D C C D C A r '++'+'= 21，其中),,2,1(r I C D C i ='为秩为1 的矩阵.B 组1． 解（1）323121232221844532x x x x x x x x x --+++23232232113)4()(2x x x x x x --++-= 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y C x x x ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100410311C . （2）112221+-+++n n n n x x x x x x ，令2211n y y x +=,2,1++=n n n y y x211++-=n n n y y x yy y x nn 2,,212-= ，则2221224232221112221n n n n n n y y y y y y x x x x x x -++-+-=+++-+- .所用的非退化的线性替换为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==2121212121212121, C CY X 2 . 证明：因为=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎭⎫⎝⎛--212111122211211212111100E A A E A A A A E A A E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211112221100A A A A A ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A A A A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211112221100A A A A A 合同.§3 唯一性[达标训练题]A 组一、填空题1．秩为r 的复二次型的规范形 ，秩为r 的复对称矩阵合同于对角矩阵 .2．复n 对称矩阵B A ,合同的充要条件是 ，B A ,等价的充要条件是 ，二次型Y B Y AX X '',经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .3． n 级实对称矩阵B A ,合同的充要条件是 ，B A ,等价的充要条件是 ，二次型Y B Y AX X '',经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .4． n 级复对称矩阵按合同分类共有 类. 5．n 级实对称矩阵按合同分类共有 类. 二、解答题1． 写出下列复二次型的规范形(1)22212)1()(ix x x i x f +--=; (2) 4321432122),,,(x x x x x x x x f +=. 2.将实二次型323121321622),,(x x x x x x x x x f -+=化为标准形，并求其秩、正负惯性指标和符号差.2． 实二次型的秩为r ，正负惯性指标分别为q p ,，证明r 与q p -有相同的奇偶性，且r q p r ≤-≤-. 4．nn KS S ⨯∈='，证明；存在nn KA ⨯∈，使A A S '=.B 组1． 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=906010604,233354345B A ，证明；B A ,在实数域上合同，并且求一实可逆矩阵P 使B AP P ='.2． 证明：任何一个n 级可逆复对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一..12,1000000;2,00+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛v n E E v n E E v v v v3． 证明：一个n 级实可逆矩阵必合同于下列形式的矩阵之一,000000,00000022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--v n v vv n v v E E E E E E4． 设n 元实二次型f f -,可以经过非退化的线性替换互化，问f 的符号差应满足什么条件.§3 唯一性[达标训练题解答]A 组一、填空题 1.221r y y ++ ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 ； 2.有相同的秩，秩相同；3.秩与惯性指标形同，秩与惯性指标相同；4.1+n ；5.)1(21+n n .二、 解答题1．解（1）22212)1()(ix x x i x f +--=矩阵的秩为 2 ，所以它的规范型是2221y y + .(2) 4321432122),,,(x x x x x x x x f +=的秩为 4 ，所以它的规范型是24232221y y y y +++.2．解 利用配方法或合同变换法容易求出它的规范型为：232221y y y -+，故其秩是3，正惯性指标2，负惯性指标为1，符号差1.3．证明：因为,2p r q p -=-所以r 与q p -有相同的奇偶性.又因为r q r p ≤≤≤≤0,0，所以r q p r ≤-≤-.4．证明：设矩阵的秩为r ，则BC C S '=，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011 B ，显然B B =2，因此BC A A A BC BC BBC C BC C S ='='='='=,)()(.B 组1．解 容易利用合同变换把⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=906010604,233354345B A 化成与它们合同的标准型.然后求出可逆矩阵 P 使B AP P ='.2．证明：法一）由复对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩，于是对可逆的复对称矩阵如果是偶数级的合同于00v vE E ⎛⎫⎪⎝⎭，如果是奇数级的则合同于0000.001vv E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭法二）对于2n v =11221100022v v v v v v v v v v v v v v v v v E E E E E E E E E E E E E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭v v v v v v v v v v v v v v v v v E E E E E E E E E E E E E E E E E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 在复数域上v v v v v v v v E E E E iE E iE E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用传递性，2n v =得证.21n v =+，只需考察000001v v E E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭即可.3．证明：由111110*********222⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭设实对称矩阵A 的正、负惯性指标分别是,p q当2np q v===，A 与矩阵vv E E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭合同，于是A 与矩阵v v E E ⎛⎫⎪⎝⎭合同；p q n p v >=-=时 2q n qq E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭与2q qn q E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，A 与矩阵200v v n v E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭合同；v p q n p =<=-00vn v E E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭与2v vn v E E E -⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎝⎭合同A 与20000v v n v E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭合同.4．显然秩相同，符号差相反.§4 正定二次型[达标训练题]A 组一、填空题1． 二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组 的 n c c c ,,,21 都有),,,(21n c c c f ，f 的规范形是 .2． 二次型),,,(21n x x x f 称为半正定的如果对任意一组 n c c c ,,,21 都有),,,(21n c c c f ，其规范形为 .3．负定二次型的规范形是 .4．设B A ,是n 级正定矩阵，下列矩阵 是正定的.)0,(),0(,,,,,,,,1*>+≠'±''-l k lB kA C AC C B A AB A A kA A A A A n . 二、解答题1. 用三种方法证明二次型323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=是正定的.2． t 取何值时，二次型32312123222132122232),,(x tx x x x x x x x x x x f +-+++=是正定的.3．若A 是可逆方阵，证明A A A A '',正定.B 组1． 判断下列二次型是否正定（1）∑≠=ji ji n x x x x x f ),,,(21 ；（2）∑∑≠=+=j i ni ji in x x x x x x f 1221),,,( .2． 假设二次型),,,(21n x x x f 对任意的一组全不为0的实数n c c c ,,,21 ，都有0),,,(21>n c c c f ，问),,,(21n x x x f 是否为正定.3． 证明n 级实对称矩阵A 正定的充分必要条件是它的任意主子式全大于零.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.4． 证明n 级实对称矩阵A 半正定的充分必要条件是它的任意主子式非负.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.5． 设)(ij a A =是一个n 级正定矩阵，证明nn a a a A 2211≤，等号成立的充要条件是A 为对角形矩阵.§4 正定二次型[达标训练题解答]A 组一、填空题1．非零的，0>，22221n y y y +++ ；2.实，非零的，0≥，)(22221n r y y y r ≤+++ ； 3.22221n y y y ---- ；4.)0,(),0(,,,,1*>+≠''-l k lB kA C AC C A A A A n . 二、解答题1．解：（1）配方法=--+++=323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f 2221(2x x +)22232312123x x x x x x x --++2323322235)9434((3x x x x x ++-+=2321)(2x x x --+2323235)32(3x x x +-=232221y y y ++. 所以正定.（2）合同变换法对二次型矩阵进行合同变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1530152310151312110001000110032103111350030002100010111320230002100010001542452222，即二次型矩阵 是正定的，从而二次型正定.（3）求二次型矩阵的特征值，容易得出二次型矩阵的特征多项式为)9)(2)(1(---x x x .矩阵的特征值都是大于0的，从而二次型正定.2．解：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121111t t A ，12,1,1221++-==∆=∆t t A显然当2121012.,02+<<-⇔<-->t t t e i A 时二次型正定. 3． 证明：利用若实对称矩阵与单位矩阵合同则正定得出结论显然成立.B 组1．解（1）二次型矩阵的k 级主子式为0)21(021212102121210)(≠-==∆k k k k.因此二次型不是正定、半正定的，也不是负定半负定的.（2）二次型矩阵的k 级主子式为0)211()21(121212112121211)(>-+==∆k k k k，所以二次型正定.2．解：正定二次型指二次型),,,(21n x x x f 对任意的一组不全为0的实数n c c c ,,,21 ，都有0),,,(21>n c c c f .因此该题给出的条件不能说明),,,(21n x x x f 是否为正定.同时容易举出反例.3．证明n 级对称矩阵正定，而)0(212112*********n i i i a a a a a a a a a A k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k ≤<<<≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 为A 的任意主子式所对应的一个k 级矩阵，二次型),,,(21n x x x f ，为正定，则对于任意不全为0 的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ，从而对于任意不全为零的实数n i i i c c c ,,,21 都有)0.,0,,0,,0,,0,,0(1> k i i c c f 但对于文字为ni i i x x x ,,,21 而矩阵为k A 的二次型)0,,0,,0,0,0,,0(),,,(121 k n i i i i i x x f x x x g =，显然是正定的，故k A 的行列式大于0.4．证明 必要性 令n k n i i i k ,,2,1,021 =≤<<<≤且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n nn n a a a a a a a a a A 21222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k a a a a a a a a a A 2112221212111.设它们对应的二次型分别是),,,,(21n x x x f ),,(11k i i x x f . 若A 是半正定，即f 半正定，从而1f 半正定.于是存在实可逆矩阵k C ，使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='k ii k k kC A C λλ 1)0(≥j i λ，从而02≥='k k k k kA C C A C ，故得0≥k A .充分性 设A 的主子式全大于或等于0， 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m m a a a a B 1111，则mm m m mmm m m mm m p p p a a a a a a a a a B E ++++=+++=+--λλλλλλλ111212222111211.其中i p 是m B 的一切i 级主子式之和. 故0≥i p ，从而当0>λ时0>+m m bB E λ.即对一切正实数λ，A E +λ正定.如果A 不是半正定，则存在不为0 的实向量Tn c c c X ),,,(210 =有00<-='a AX X ，于是取01200>='=∑=ni icaX X aλ，0)(00=+'X A E X λ，这与对一切正实数λ，A E +λ正定矛盾.故A 是半正定的.5．证明：设)(ij a A =是一个n 级正定矩阵，首先我们证明二次型0),,(1111111nnnnn n n y y y a a y a a y y f=负定.事实上⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--Y A Y Y O AY A E Y Y A 11100，从而Y A Y A f 1-'-=，所以f 负定.其次我们证明1-≤n nn A a A ，其中1-n A 是1-n 级顺序主子式.由于11,11,11,11,1111,1,11,11,111,111000------------+=+=n nn nnn n n n n n n n n n n n n n n n n A a D a a a a a a a a a a a a a a a A其中),,(1,1,11,11,111,111,11-------==n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a f D.由于A 正定，从而1-n A 正定.因此由上面证明可知0≤D .即1-≤n nn A a A .显然当A 的第一行第一列除11a 外全为0 时等号成立.最后利用数学归纳法，就可以证明本题的结论.即nn a a a A 2211≤，且等号成立的充要条件是A 为对角形矩阵第五章 测试题A 卷一、填空题1．二次型⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121213821),(),(x x x x x x f 的矩阵是 ，当 时，线性替换CY X =是非退化的.2．21222132166),,(x x x x x x x f ++=的矩阵是 ，矩阵表示式是 .3．若B A ,是n 级正定矩阵，则AB B A B A ,,,1-'-中 不是正定的.4．两个实二次型经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .5．实二次型),,,(21n x x x f 是不定的，其规范形是 （q r ,分别是f 的秩与正惯性指标）.二、解答题1．用非退化的线性替换化下列二次型为标准形： （1）（配方法）4332214321),,,(x x x x x x x x x x f ++=；（2）（合同变换法）433221242322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++++++=. 2．t 取何值时，3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=正定. 3．设A 是实反对称矩阵，证明2A E -正定.4．证明：22,(0)a b ac bc c bc c A B c b c bc c c ⎛⎫+++⎛⎫==≠⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭合同.5．令R a a a n ∈,,,21 ，证明：212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=--正定的充要条件是0)1(1211≠-++n n a a a . B 卷一、选择填空1．A 是n 级反对称矩阵，对任意的n 维向量X 都有AX X '. （A ）0>；（B ）0<；（C ）等于0；（D ）不确定.2．实二次型可以分解为两个不成比例的实系数多项式，则它必有 .（A ） 秩为2；（B ）秩为0；（C ）秩为2符号差为0；（D ）秩为1.3．二次型f 经非退化的线性替换化为g ，则它们的矩阵B A ,满足 .（A ）等价； （B ）合同； （C ）存在P ， 使AP P B 1-=；（D ）存在Q P ,，使Q P PAQ B ,(=可逆）.二、 解答题1． 设A 为实对称方阵，证明，当ε充分小时，A E ε+是正定的. 2． 设S 是n 级复对称矩阵，证明存在复矩阵A ，使A A S '=.3． 设A 是n 级实对称矩阵，证明，存在实数c ，使对任一n 维向量X ，都有X cX AX X '≤'第五章 测试题解答一、 填空题1.0,3521≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；2.XX ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6331,6331；3.B A -；4.有相同的秩与正惯性指标； 5.rp p y y y y ---+++ 11. 二、解答题1．解：用配方法4332214321),,,(x x x x x x x x x x f ++=令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=+=43433212211y y x y x y y x y y x ，则2423222124243232231242443232332222331214323323122214332214141)21()21()21(41)41()41()41(z z z z y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x -+-=--+---=-+-+++-+-=-+---=++其中⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=44433322311212121y z y y z y y z y y z .对两个线性替换合成得到⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432432111002121000211102111x x x x z z z z .2．解：用合同变换法：433221242322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++++++=的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100112002110011，下面对矩阵作合同变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001311023210232114000031000030000110000311003210032111100131000030000110001100010001111001120023000011000010000100011110011100100000110000100001000011100111001110011故作线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1000110210211,313232C CY X ，二次型化为242322214313y y y y +-+.2.解：二次型3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----t 11112125，显然其一级、二级顺序主子式大于零，其行列式为2-t 故当2>t 时二次型3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=正定. 3． 证明： A 是实反对称矩阵， 容易证明2A E - 是实对称矩阵，对任意的n 维向量0≠x 有，0)()()()(2>'+'='+'=-'Ax Ax x x x A A E x x A E x .故 2A E -正定.4． 证明:对矩阵a b A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭作合同变换 222a b ac bc ac bc c bc c A Bb c bc c bc c c ⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭)0(22,2≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c c c bc c bc c bc ac B c b b a A5． 证明：充分性：令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=n n n x x a y x a x y x a x y 132222111 ，则二次型212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=-- 化为221n y y ++ ，容易计算线性替换的矩阵行列式等于0)1(1211≠-++n n a a a ，所以所给的线性替换是非退化的，因此二次型是正定的.必要性 若0)1(1211=-++n n a a a ,则线性替换不是非退化的,因此存在不全为0 的12,,,n x x x ,使1122231110,0,0,0n n n n n x a x x a x x a x x a x --+=+=+=+=故与正定矛盾,所以0)1(1211≠-++n n a a aB 组一、选择填空 1.（C ）；2.（C ）； 3.（A ）（B ）（D ）.二、解答题1．证明 由于对任意的正实数ε，)1(A E A E +=+εεε成立，所以当ε充分小时ε1充分大，利用北大高等代数教材习题知：AE +ε1为正定矩阵.故A E ε+是正定的.2．证明：设S 是n 级复对称矩阵，则存在可逆的复矩阵C 使A A C E C E C E E C C E C S r r r r r '=⎪⎪⎭⎫⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=)0()0(000.3.设A 是n 级实对称矩阵，证明，存在实数c ，使对任一n 维向量X ，都有X cX AX X '≤'证明：j nj i i j i nj i ijnj i j i ijx x a x x ax x aAX X ∑∑∑===≤=='1,1,1,=+≤∑=nj i ji x x a 1,222XX c x an x n x n a ni i n j j n i i '==+∑∑∑===121212)(2，其中ij a a max =.。
第4章 二次型 练习题
1 / 2 1 / 2 ； C 0 2 0 0
1 3 ，r = 2，p = 2， 0
2p r = 2，不是正定二次型。 ）
11、设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x22 2x32
12、设 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 x3 x1 ， （1） 用初等变换法将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 在实数域 R 内化为规范形，并写出可逆线性替换 的矩阵 C ； （2）求二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 正惯性指数，并判断其是否为正定二次型。 （规范形 f = y1 + y2 y3
（3）试证：对实数域上的任一 n 阶可逆矩阵 A，都有 AT A 是正定矩阵。
（4）设 A 为 n 阶实对称矩阵，r ( A ) = n ，证明：A2 是正定矩阵。
A1 （5）已知矩阵 A1 ~ B1 ， A2 ~ B2 ，对于分块矩阵 A O
B 。 求证： A ~
O B1 ， B O A2
2 2 2
1 1 1 ，可逆线性替换的矩阵 C 1 1 1 ；p = 2 < 3 = n ，不是正 0 1 0
定二次型 ）
13、已知三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x2 x3 ， 求：（1）用合同变换法求其标准形及可逆线性替换矩阵 C ； （2）写出二次型的规范性； （3）写出二次型的负惯性指数及符号差。 （
考研数学线性代数强化习题二次型
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模块十 二次型Ⅰ经典习题一．二次型及其矩阵1、二次型的矩阵为2、已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++秩为2，则a = 二．二次型的合同标准型3、二次型的合同标准型可以是（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）4、已知二次曲面经正交变换化成椭圆柱面方程，则应满足的条件是______________.5、用正交线性变换二次型为标准形，并给出所施行的正交变换. 6、设二次型，通过正交变换化为标准型，求常数及所用正交变换矩阵，求的最大()()()123112233112233,,f x x x a x a x a x b x b x b x =++++()2221231231223,,542f x x x x x x x x x x =++-+22124y y +22212362y y y -+2212y y -2221234y y y ++2222221x y z axy byz xz +++++=(,,)(',',')T Tx y z Q x y z =22(')2(')1y z +=a b 和22212312132322448f x x x x x x x x x =---++222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x α=++--+22212322f y y y β=++,αβ,3TQ x x =若f值.. 7、已知二次型.（1）写出二次型的矩阵表达式;（2）用正交变换把二次型化为标准型,并写出相应的正交矩阵.8、已知，求正交变换，使得9、已知二次型的秩为2.⑴ 求参数的值及此二次型对应矩阵的特征值； ⑵（*数学一） 指出方程表示何种二次曲面.10、设二次型，⑴ 写出二次型的矩阵表达式；⑵ 求正交矩阵，作变化化二次型为标准型；⑶ 对一般的元实二次型，其中，试证：在条件下的最大值恰为矩阵的最大特征值.11、已知三元二次型经正交变换为，又知矩阵满足矩阵方程，且，其中为的伴随矩阵，求此二次型的表达式.三．二次型的合同的条件12、设均为阶实对称矩阵，若与合同，则（ ） （A ）与有相同的秩 （B ）与有相同的特征值（C ）与有相同的特征向量 （D ）与有相同的行列式 13、阶实对称矩阵合同于矩阵的充要条件是()123(,,)Tx x x x 为323121232232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=f f ()22,4f x y x xy y =++P ,x u P y v ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()2,2.f x y u =+222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-c 123(,,)1f x x x =2221231231323(,,)33544f x x x x x x x x x x =+++-P 112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n Tf x Ax =12(,,,)T n x x x x =L f 222121n x x x +++=L A T X AX 2221232y y y --B 1*11242A BA AB E --⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦*A αα=[]*1,1,1,TA α=-A TX BX ,A B n A B A B A B A B A B n A B（A ） （B ）的负惯性指数相等（C ）均为正定矩阵 （D ），且的负惯性指数相等14、设方阵与合同，与合同，证明与合同 四．合同规范型与惯性指数15、二次型的规范型为（A ）（B ）（C ）（D ）16、二次型的规范型为（ ） （A ） （B ）（C ）（D ）17、设二次型为，其中为正定二次型的充要条件为（ ）（A ）的负惯性指数为 （B ）存在正交矩阵 （C ）的秩为 （D ）存在可逆矩阵18、实对阵矩阵与矩阵合同，则二次型的规范形为______________.19、已知正、负惯性指数均为1的二次型通过合同变换，其中，则______________. 20、二次型的合同规范型为五．正定二次型的判定与证明21、已知实二次型()()r A r B =A B 、A B 、()()r A r B =A B 、1A 1B 2A 2B 12A ⎛⎫⎪⎝⎭A 12⎛⎫⎪⎝⎭B B 2221231212323(,,)()(23)5()f x x x x x x x x x x =++++-+2221234y y y ++2223y y -222123y y y --222123y y y -+222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-222123f z z z =++2212f z z =-222123f z z z =+-21f z =12(,,,)T n f x x x x Ax =L 12,(,,,),T Tn A A x x x x f ==L 则f 0,TQ Q AQ E =使f n ,T C A CC =使A 010100002B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭T x A x Tx Ax Tx py y By =化为111111a B aa -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭a =()()1233123325Tx Ax x x a x x x b x =++++22111122133211222233311322()()(f a x a x a x a x a x a x a x a x =++++++++正定，矩阵，则（ ）（A ）是正定矩阵 （B ）是可逆矩阵 （C ）是不可逆矩阵 （D ）以上结论都不对22、设均为阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）23、设是正定矩阵，则的取值范围是________.24、已知，证明正定，并求正定矩阵.25、设为阶正定矩阵，则存在正定矩阵，使得.26、已知齐次线性方程组有非零解，且是正定矩阵，求的值，并确定时，的最大值.2333)a x ()33ijA a ⨯=A A A AB 、n 11A B --+AB **A B +23A B +*(1,0,1),,()T T A B kE A ααα===+若k 211121112A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A 2,B A B =使A n H 2A H =123123123(3)202(1)0(3)30a x x x ax a x x a x x ax +++=⎧⎪+-+=⎨⎪--+=⎩31212229A a ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭a 2T x x =Tx AxⅡ参考答案一．二次型及其矩阵1、【答案】： 【解析】：所以原二次型矩阵为 2、【答案】a=0因为二次型的秩是2，所以二次型的系数矩阵的秩也是二，所以系数矩阵行列式等于零就可以求出a=0二．二次型的合同标准型3、【答案】（A ） 【解析】：利用配方法将该二次型化为标准型133112211123321221221331233233222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎪⎪++ ⎪⎪⎪++ ⎪⎪⎝⎭()()()123112233112233,,f x x x a x a x a x b x b x b x =++++()111232123233,,(,,)a x x x x a b b b x a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111121312321222323132333,,x a b a b a b x x x a b a b a b x a b a b a b x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13311221111233212211232223133123323322,,2222a b a b a b a b a b x a b a b a b a bx x x a b x x a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎪⎛⎫⎪++ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭++ ⎪⎪⎝⎭133112211123321221221331233233222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎪⎪++ ⎪= ⎪⎪++ ⎪⎪⎝⎭()()2221231122323,,452f x x x x x x x x x x =-+++()()()222122323221223222x x x x x x x x x x =-+++=-++可知令，可以将二次型化为.可知二次型的正惯性指数为，负惯性指数为.任何与其正负惯性指数相同的二次型都与合同，可知，（A ）中的二次型与二次型是合同的，它可以作为二次型的合同标准型，故选（A ）. 4、【答案】：【解析】：由题设知二次型的矩阵为经正交变换后的矩阵为，所以 即比较的同次幂系数可得，且.因此.5、【解析】：得特征值，当时，可求得特征向量为当时，可求特征向量112223332y x x y x x y x=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩2212y y +20()123,,f x x x 22124y y +()123,,f x x x ()123,,f x x x 0a b ==f 111,11a A ab f b⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭012⎛⎫⎪Λ=⎪ ⎪⎝⎭||||E A E λλ-=-Λ32222323(2)()32a b a b λλλλλλ--+-+-=-+λ0a b -=2222a b --=0a b ==122224242A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭122122||22422424 222E A λλλλλλλλ-----=+-=+---+--2124226(7)(2)002 0λλλλλλ--=+--=+-=-1237,2λλλ=-==17λλ==-1 1 22α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭22λλ==23221,001αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正交化，单位化得令 则.6、【分析】：通过正交变换化二次型为标准形，说明前后二次型所对应矩阵是相似的，由此可求出参数的取值，再按通常方法求正交矩阵即可.化为标准形后，条件可等价表示为.再将标准形适当放大，即可利用条件求得最大值. 【解析】：二次型及其对标准形的矩阵分别为的特征值为.易知，可得.由于是的二重特征值，而实对称矩阵是可以相似对角化的，故有两个线性无关的特征向量，可知，也即矩阵的秩为，对比可知.下面计算正交矩阵：（ⅰ）的属于的特征向量.123132,,3230βββ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132,3203Q x Qy ⎛ ⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭222123722T T T x Ax y Q AQy y y y ==-++,αβQ 3TX X =3TY Y =2221233T Y Y y y y =++=111211,2.11A B A ααβ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦2,2,β22111β++=++1β=-2A A 2()21r A E -=1111111αα---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦11α=-Q A 2λ=1231211111111111000,,0,211100011x x x ξξ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---→=--==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦单位化，得.（已经正交）. （ⅱ）的属于的特征向量.单位化，得， 所用正交变换矩阵 通过变换可化为，这里. 因此条件等价于，此时，易知最大值为6，故下的最大值是6.7、【解析】：（1） 二次型的矩阵,则二次型的矩阵表达式.（2）的特征多项式,则的特征值.对应的正交单位化特征向量; 120,ηη⎡⎤⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢==⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎢⎣⎢⎥⎣⎦12,ξξA 1λ=-133232111011121011,,11120001x x x x ξ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎧⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→-=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎩⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦3η=123(,,)0Q ηηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==-⎢⎢⎢⎢⎣x Qy =22212322f y y y =+-3TTTTx x x Q Qx y y ===3Tx x =2221233T y y y y y =++=22212322f y y y =+-3T f X X =在022244243A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭f Tf x Ax =A (6)(1)(6)A E λλλλ-=-+--A 1236,1,6λλλ=-==16λ=-1Tp =对应的正交单位化特征向量;对应的正交单位化特征向量.令正交矩阵,所求正交变换,二次型的标准型.8、【解析】： 实对称矩阵与有相同的特征值，因此与合同.的特征向量是的特征向量是令有故9、【解析】：⑴ 二次型的矩阵因为，必有，此时的特征多项式21λ=2Tp =36λ=3Tp=123(,,)0P p p p ⎛ == ⎝112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 22212366f y y y =-++()[][]2212,4,,,21x x f x y x xy y x y x y A y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()[][]22,2,,.0u u f x y u u v u v B v v ⎡⎡⎤⎡⎤=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎥⎦()()()()31,31.E A E B λλλλλλ-=-+-=-+A B A B A 11,,1,1B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1,.1,⎡⎤⎢⎣⎦⎣1212,,122Q Q ⎤⎤⎥⎥⎢⎥==⎢-⎢⎣⎦()11223,1.T T Q AQ diag Q BQ =-=1212.TP Q Q Q Q ⎡⎢⎢===⎢51315333A c -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭()2r A =||24720,3A c c =-==得A故的特征值为.⑵ 由⑴可知，二次型经过正交变换可化为标准形，所以表示椭圆柱面.【评注】：由于二次型与其矩阵是一一对应的，而是实对称矩阵，所以，用正交变换法化二次型为标准形的问题，等价于求正交矩阵，使得为对角矩阵，矩阵的主对角线上元素恰是的全部特征值.因此，二次型的标准形可能不同.但是，标准形中所含正项的个数、负项的个数确实惟一确定的.从这一意义上说，二次型的规范形是惟一确定的. 10、【解析】：⑴ 二次型的矩阵表达式为⑵ 求正交矩阵，作变换化二次型的平方和. 先求的特征值.由，得.再求特征向量，由于互不相等，所以其所对应的特征向量必然正交. 由，当时，它的基础解系为，单位化后为，513||153(4)(9)333E A λλλλλλλ---=-=-----A 1230,4,9λλλ===222349f y y =+123(,,)1f x x x =A A Q T Q AQ ΛΛA (1,2,,)i i n λ=L 123(,,)Tf x x x x Ax =112323302(,,)032225x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P x Py =123123(,,),,f x x x y y y 为A ||(3)(7)(1)0A E λλλλ-=---=1231,3,7λλλ===123,,λλλ()0A E x λ-=11λλ==111-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1P ⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭当时，它的基础解系为，单位化后为， 时，它的基础解系为，单位化后为.可知，且有.⑶ 因实二次型所对应的矩阵为实对称矩阵，故存在正交矩阵使其中的特征值，且全为实数.作变换则. .于是在条件下的最大值即为在条件的最大值.设的最大特征值，则23λλ==110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭20P = ⎪ ⎪⎝⎭37λλ==112⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3P ⎛⎫ ⎪⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭P ⎛⎫ ⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭222123123(,,)()37T T T f x x x x Ax y P AP y y y y ===++Tf x Ax =A P 12T n P AP λλλ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭O 12,,,n A λλλL 为12,(,,,)Tn x Py y y y y ==L 2221122()T T T n n f x Ax y P AP y y y y λλλ===+++L 2222221212T T T T n n x x x x x y P Py y y y y y +++====+++L L Tf x Ax =1Tx x =2221122n n f y y y λλλ=+++L 222121n y y y +++=L 1A λ为，取满足条件的，此时，故在条件下，.11、【解析】：由条件知的特征值为2，-1，-1，则，因为的特征值为，所以的特征值为1，-2，-2，由已知，是关于的特征向量，也就是是关于的特征向量.由，得，则的特征值为-2,1,1，且.设关于的特征向量为，又是实对称阵，与要正交，故，解出，令则故三．二次型的合同的条件12、【答案】（A ） 【解析】：合同的矩阵也等价，故必有相同的秩，故选（A ）. 13、【答案】：（D ）【解析】：对于实对称矩阵、，合同于的秩及正惯性指数相等.选项（A ）、（B ）都只是合同于的必要条件，因为秩相同的矩阵正负惯性指数仍有可能不相等，而负惯性指数相等也不能保证正惯性指数相等.22222211221121()n n n f y y y f y y y λλλλλ=+++≤=+++=L L 222121T n y y y y y =+++=L (1,0,0,,0)T y =L 1f λ=1T xx =max 1f λ=A 2A =*A Aλ*A α*A 1λ=αA 2λ=*211111222A A A A --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()112242ABA AB E B E A --=+⇒=-B 2B αα=-B 1λ=[]123,,Tx x x β=B αβ1230x x x +-=[][]121,1,0,1,0,1TTββ=-=[]12111,,110101P αββ⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦121,1P BP --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11121110111110112110131011112110B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦121323222.TX BX x x x x x x =-++A B A B A B ⇔、A B选项（C ）是合同于充分条件，当均为正定矩阵时，矩阵的正惯性指数均为，负惯性指数均为，可知合同.但由于合同的矩阵并不一定是正定矩阵，故（C ）不正确.因此，应选（D ）.事实上，由于实对称矩阵正负惯性指数之和即为该矩阵的秩，故“，且的负惯性指数相等”等价于“矩阵、的正负惯性指数均相等”.故（D ）正确的. 14、【证明】：因为与合同，所以存在可逆矩，使. 同理，因为与合同，所以存在可逆矩，使. 令，则可逆，于是有 ， 即 与合同. 四．合同规范型与惯性指数15、【答案】：（B ）【解析】：二次型的规范形中，平方项的系数只能是-1,1,0，故应排除（A ）.只要求出二次型的正、负惯性指数就可以确定二次型的规范形.通常可以求二次型矩阵的特征值或用配方法化二次型为标准型来实现. 本题中，若令⑴ 而认为规范形是就不正确了.因为行列式所以上述变换⑴不是非退化的线性变换. 二次型经整理为由于A B A B 、A B 、n 0A B 、()()r A r B =A B 、A B 1A 1B 1C T1111=B C A C 2A 2B 2C T2222=B C A C 12⎛⎫=⎪⎝⎭C C C C TT 1111111T2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 12A ⎛⎫⎪⎝⎭A 12⎛⎫⎪⎝⎭BB 112212332323y x x y x x x y ⎧=+⎪=++⎨⎪=+⎩222123f y y y =+-112300=f 222123123121323(,,)5541444f x x x x x x x x x x x x =+-++-故矩阵的特征值是12,-6,0.因此二次型正惯性指数，负惯性指数，故应选（B ）.【评注】：题涉及二次型规范形的概念及求法.另外，坐标变换中，是可逆矩阵不能忽略或遗忘.本题若用配方法，有亦知，，而应当选（B ）.两种解法均可用.但要防止配方法的前叙错误. 16、【答案】：（D ）【解析】：利用配方法，将二次型化为标准形故的规范形必为.故选（D ）17、【答案】：（D ）【解析】：选项（A ）是必要条件，但不是充分条件.因为正定的充分必要条件是正惯性指数.负惯性指数为零不一定有.选项（B ）是充分条件，但不是必要条件.实际上，如果为正定二次型，则为正定矩阵，可知的特征值全大于零.假设存在正定矩阵，则的特征值全为1.显然，正定时，其特征值虽大于零但未必全是1.选项（C ）是必要条件，但非充分条件.因为是秩为只要求的特征值中不含零，但仍可能有负的特征值.选项（D ）正确. 正定的充分必要条件是合同于.即存在可逆矩阵，有57212120||752752224224E A λλλλλλλλ------=--=---+-+1200722(6)(12)244λλλλλλ-=-+=+--+A 1p =1q =x Cy =C 22222112323232323727272525445555555f x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++---+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()221232372245555x x x x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭1p =1q =222212312132312344448(22)f x x x x x x x x x x x x =++-+-=-+f 21f z =Tf X AX =p n =p n =f A A 1,TQ Q AQ Q AQ E -==使A A f n A A A E C.故应选（D ）.18、【答案】：【解析】：矩阵合同，说明二次型有相同的正、负惯性指数.由矩阵 的特征多项式，得到矩阵的特征值为1,2，-1.于是二次型的正惯性指数，负惯性指数.从而二次型的规范形应当是.19、【答案】：【分析】：合同变换不改变正、负惯性指数，因此只需确定的特征值为一正、一负即可. 【解析】：由合同矩阵所对应二次型具有相同的规范形，知矩阵的正、负惯性指数也均为1，于是，从而有. 若，不合题意若，由，得的特征值为，此时正、负惯性指数均为1. 故.20、【答案】：【分析】：也即计算二次型的正负惯性指数，可以先通过合同变换将二次型化成较为简单的形式，再进行计算.【解析】：令，已知该线性变换是非退化的，可知原二次型与变换之后的二次型是合同的，故有相同的合同规范型.T T A C EC C C ==222123y y y +-A B 与T Tx Ax x Bx 与B 210||1(2)(1)002E B λλλλλλ--=-=---B Tx Bx 2p =1q =T x Ax 222123y y y +-2-B B ()112r B =+=2||(1)(2)0B a a =--+=1,()1a r B ==则2a =-112||121(3)(3)211E B λλλλλλλ----=-+-+-＝－B 0,3,3-2a =-2212z z -11233212333325 y x x a x y x x b x y x=++⎧⎪=++⎨⎪=⎩12y y的矩阵为，其特征值为，可知正惯性指数与负惯性指数均为，故合同标准型为.五．正定二次型的判定与证明21、【答案】：（B ）【解析】：由所以，对任意的充要条件是，即方程组只有零解.因此实二次型正定的充要条件是方程组只有零解，即为可逆矩阵，因此选（B ） 22、【答案】：（B ）【解析】：因为为正定矩阵，则仍是正定矩阵，故也是正定矩阵.类似地选项C 、D 中的矩阵均为正定矩阵.故应选（B ）.事实上，由于，而不一定等于，故未必是对称矩阵. 23、【答案】：【解析】：由于的秩为1，同时，故矩阵的特征值是2,0,0，从而矩阵的特征值是.那么的特征值是. 所以，正定的充要条件是：，也即.【评注】：由对称对称；若对称可逆对称可逆对称可逆.所以本题矩阵是对称矩阵，进而可讨论正定问题.24、【证明】：.因为的特征值全大于0，故是正定矩阵.12y y 10021002000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11,,022-12212z z -222111122133211222233311322333()()()f a x a x a x a x a x a x a x a x a x =++++++++()()T T T X A AX AX AX ==0,0X f ≠>0AX ≠0AX =f 0AX =A A B 、11,A B --11A B --+()TT T AB B A BA==AB BA AB 20k k <->或T A αα=tr 2TA αα==A kE A +2,,k k k +*1()()B kE A kE A kE A -=+=++2,(2),(2)k k k k k ++B 20,(2)0k k k >+>20k k <->或A kE A ⇒+A 1A -⇒*A ⇒B 2211||121(4)(1)112E A λλλλλλ----=---=-----A 1231,4λλλ===A求出的特征向量，依次为，经Schmidt 正交化，得令，则是正交矩阵，且， 则 令，则对称且与合同.故是正定矩阵（或由的特征值全大于0，得正定），并满足，其中为所求.25、【证明】：由于为阶正定矩阵，故存在正交矩阵，使得这里，为的全部特征值.则 A 123(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)T T TX X X =-=-=123,,0γγγ⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥-⎢⎢⎥⎣⎦⎣123(,,)C γγγ=C 1114T C AC C AC -⎡⎤⎢⎥==Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111122TT T A C C C C C C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112T B C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B B B 2A B =41111413114B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A n U 12,T n A U U λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 120n λλλ<≤≤≤LA ,T T A U UU U ⎤⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎣OO令，则有正定且.25、【分析】：可由解的判定及的正定性确定，再通过正交变换后求标准形的最值. 【解析】：由齐次线性方程组有非零解，知，又由是正定矩阵知，，可排除或.当时，，的特征值全大于零，知正定，即为所求.为实对称矩阵，故存在正交矩阵，令，化二次型为标准形，又，所以，.因此，当时，即时，的最大值是.在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。
考研数学一(二次型)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学一（二次型）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，已知r(A)＝2，并且A满足A2－2A＝0．则下列各标准二次型中可用正交变换化为厂的是( )．(1)2y12＋2y22 (2)2y12．(3)2y12＋2y32．(4)2y22＋2y32．A．(1)．B．(3)，(4)．C．(1)，(3)，(4)．D．(2)．正确答案：C 涉及知识点：二次型2．设A＝，B＝，则A．A与B既合同又相似．B．A与B合同但不相似．C．A与B不合同但相似．D．A与B既不合同又不相似．正确答案：A 涉及知识点：二次型3．设A＝，B＝，则A．A与B既合同又相似．B．A与B合同但不相似．C．A与B不合同但相似．D．A与B既不合同又不相似．正确答案：B 涉及知识点：二次型4．A＝，则( )中矩阵在实数域上与A合同．A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5．用配方法化下列二次型为标准型(1)f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3．(2)f(χ1，χ2，χ3)＝χ1χ2＋χ1χ3＋χ2χ3．正确答案：(1)f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3 ＝[χ12＋2χ1χ2－2χ1χ3＋(χ2－χ3)2]－(χ2－χ3)2＋2χ22＋2χ2χ3 ＝(χ1＋χ2－χ3)2＋χ22＋4χ2χ3－χ32 ＝(χ1＋χ2－χ3)2＋χ22＋4χ2χ3＋4χ32－5χ32 ＝(χ1＋χ2－χ3)2＋(χ2＋2χ3)2－5χ32．令原二次型化为f(χ1，χ2，χ3)＝y12＋y22－5y32．从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵(2)这个二次型没有平方项，先作一次变换f(χ1，χ2，χ3)＝y12－y22＋2y1y3．虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：．y12－y22＋2y1y3＝(y1＋y3)2－y22－y32．则f(χ1，χ2，χ3)＝z12－z22－z32．变换公式为变换矩阵涉及知识点：二次型6．已知二次型2χ12＋3χ22＋3χ32＋2aχ2χ3(a＞0)可用正交变换化为y12＋2y22＋5y32，求a和所作正交变换．正确答案：原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似．于是｜A｜＝｜B｜＝10．而｜A｜＝2(9－a2)，得a2＝4，a＝2．A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量．对于特征值1：得(A－E)X＝0的同解方程组得属于1的一个特征向量η＝(0，1，－1)T，单位化得γ1＝(0，)．对于特征值2：得(A－2E)X＝0的同解方程组得属于2的一个单位特征向量γ2(1，0，0)T．对于特征值5：得(A－5E)X ＝0的同解方程组得属于5的一个特征向η3(0，1，1)T，单位化γ3＝(0，)T．令Q＝(γ1，γ2，γ3)，则正交变换X＝QY把原二次型化为y12＋2y22＋5y32．涉及知识点：二次型7．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝aχ12＋2χ22－2χ32＋2bχ1χ3，(b＞0) 其中A的特征值之和为1，特征值之积为－12．(1)求a，b．(2)用正交变换化f(χ1，χ2，χ3)为标准型．正确答案：(1)A＝由条件知，A的特征值之和为1，即a＋2＋(－2)＝1，得a＝1．特征值之积＝－12，即｜A｜＝－12，而｜A｜＝＝2(－2－b2) 得b＝2(b＞0)．则(2)｜λE－A｜＝＝(λ－2)2(λ＋3)，得A的特征值为2(二重)和－3(一重)．对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A－2E)X＝0的非零解．得(A－2E)X＝0的同解方程组χ1－2χ3＝0，求出基础解系η1＝(0，1，0)T，η2＝(2，0，1)T，它们正交，单位化：α1＝η1，α2＝．方程χ1－2χ3＝0的系数向量η3＝(1，0，－2)T和η1，η2都正交，是属于－3的一个特征向量，单位化得α3＝作正交矩阵Q＝(α1，α2，α3)，则QTAQ＝作正交变换X＝QY，则它把f化为Y的二次型f＝2y12＋2y22－3y32．涉及知识点：二次型8．已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(1－a)χ12＋(1－a)χ12＋2χ32＋2(1＋a)χ1χ2的秩为2．(1)求a．(2)求作正交变换X＝QY，把f(χ1，χ2，χ3)化为标准形．(3)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0的解．正确答案：(1)此二次型的矩阵为则r(A)＝2，｜A｜＝0．求得｜A｜＝－8a，得a＝0．(2)｜λE－A｜＝＝λ(λ－2)2，得A的特征值为2，2，0．对特征值2求两个正交的单位特征向量：得(A－2E)X＝0的同解方程组χ1－χ2＝0，求出基础解系η1＝(0，0，1)T，η2＝(1，1，0)T．它们正交，单位化：α1＝η1，α2＝方程χ1－χ2＝0的系数向量η3＝(1，－1，0)T 和η1，η2都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位化得α3＝作正交矩阵Q＝(α1，α2，α3)，则QTAQ＝作正交变换X＝QY，则f 化为Y的二次型f＝2y12＋2y22．(3)f(X)＝χ12＋χ22＋2χ32＋2χ1χ2＝(χ1＋χ2)2＋2χ32．于是f(χ1，χ2，χ3)＝0 求得通解为：，c任意．涉及知识点：二次型9．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为(1)求A．(2)求一个满足要求的正交矩阵Q．正确答案：(1)Q的第1列α1＝是A的属于10的特征向量，其倍η1＝(1，2，3)T也是属于10的特征向量．于是A的属于一4的特征向量和(1，2，3)T正交，因此就是方程χ1＋2χ2＋3χ3＝0的非零解．求出此方程的一个正交基础解系η2＝(2，－1，0)T，η3＝(1，2，)T．建立矩阵方程A(η1，η2，η3)＝(10η1，－4η2，－4η3)，用初等变换法解得(2)将η2，η3单位化得α2＝(2，－1，0)T，α3＝(3，6，－5)T．则正交矩阵Q＝(α1，α2，α3)满足要求．涉及知识点：二次型10．A＝．求作一个3阶可逆矩阵P．使得PTAP是对角矩阵．正确答案：f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝χ12＋4χ22－2χ32－4χ1χ2＋4χ2χ3＝(χ1－2χ2)2－2χ32＋4χ2χ3 ＝(χ1－2χ2)2－2(χ2－χ3)2＋2χ22．令原二次型化为f(χ1，χ2，χ3)＝y12－2y22＋2y32)．从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵涉及知识点：二次型11．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32＋2χ1χ2＋2χ1χ3＋2χ2χ3的正惯性指数为2，a应满足什么条件?正确答案：用配方法．f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1＋χ2＋χ3)2＋(a－1)χ22，令原二次型化为f(χ1，χ2，χ3)＝y12＋(a－1)y22，则正惯性指数为2a－1＞0，即a＞1．涉及知识点：二次型12．设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型f(χ1，χ2，…χn)＝χiχj (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型．(2)f(χ1，χ2，…，χn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?正确答案：(1)由于A是实对称矩阵，它的代数余子式Aij＝Aji，，并且A-1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是Aij／｜A｜，于是f(χ1，χ2，…，χn)＝XTA-1X．(2)A-1的特征值和A的特征值互为倒数关系，因此A-1和A 的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A-1和A合同，f(χ1，χ2，…，χn)和XTAX有相同的规范形．涉及知识点：二次型13．判断A与曰是否合同，其中正确答案：用惯性指数，看它们的正负惯性指数是否都一样．B的正惯性指数为2，负惯性指数为1．A的惯性指数可通过对二次型XTAX进行配方法化标准形来计算．XTAX＝χ12＋4χ22－2χ32－4χ1χ2－4χ2χ3 ＝(χ1－2χ2)2－2χ32－4χ2χ3 ＝(χ1－2χ2)2－2(χ3＋χ2)2＋2χ22，令则XTAX＝y12－2y22＋2y32，于是A的正惯性指数也为2，负惯性指数也为1．A与B合同．涉及知识点：二次型14．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ2－2χ2χ3．①求f(χ1，χ2，χ3)的矩阵的特征值．②如果f(χ1，χ2，χ3)的规范形为y12＋y22，求a．正确答案：①f(χ1，χ2，χ3)的矩阵为A＝记B＝．则A＝B＋aE．求出B的特征多项式｜λE－B｜＝λ3＋λ2－2λ＝λ(λ＋2)(λ－1)，B的特征值为－2，0，1，于是A的特征值为a－2，a，a＋1．②因为f(χ1，χ2，χ3)的规范形为y12＋y22，所以A的正惯性指数为2，负惯性指数为0，于是A的特征值2个正，1个0，因此a＝2．涉及知识点：二次型15．a为什么数时二次型χ12＋3χ22＋2χ32＋2aχ2χ3可用可逆线性变量替换化为2y12－3y22＋5)y32?正确答案：就是看a为什么数时它们的矩阵合同．写出这两个二次型的矩阵B的特征值是2正1负．又看出1是A的特征值，于是A的另两个特征值应该1正1负，即｜A｜＜0．求得｜A｜＝6－a2，于是a满足的条件应该为：a ＜－或a＞．涉及知识点：二次型16．已知A是正定矩阵，证明｜A＋E｜＞1．正确答案：设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则A＋E的特征值为λ1＋1，λ2＋1，…，λn＋1．因为A正定，所以λi＞0，λi＞1(i＝1，2，…，n)．于是｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．涉及知识点：二次型17．已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22＋4χ32＋2λχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3．当A满足什么条件时f(χ1，χ2，χ3)正定?正确答案：用顺序主子式．此二次型的矩阵它的顺序主子式的值依次为1，4－λ2，4(2－λ－λ2)．于是，λ应满足条件4－λ2＞0，2－λ－λ2＞0，解出Aλ∈(－2，1)时二次型正定．涉及知识点：二次型18．已知二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)2＋(χ2＋a2χ3)2＋…＋(χn＋anχ1)2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(χ1，χ2，…，χn)正定?正确答案：记y1＝χ1＋a1χ2，y2＝χ2＋a2χ3，…，yn＝χn＋anχ1，则简记为Y＝AX．则f(χ1，χ2，…，χn)＝YTY＝XTATAX．于是，实对称矩阵ATA就是f(χ1，χ2，…，χn)的矩阵．从而f正定就是ATA正定．ATA 正定的充要条件是A可逆．计算出｜A｜＝1＋(－1)n-1a1a2…an．于是，f正定的充要条件为a1a2…an≠(－1)n．涉及知识点：二次型19．设A＝，B＝(A＋kE)2．(1)求作对角矩阵D，使得B－D．(2)实数k满足什么条件时B正定?正确答案：(1)A是实对称矩阵，它可相似对角化，从而B也可相似对角化，并且以B的特征值为对角线上元素的对角矩阵和B相似．求B的特征值：｜λE－A｜＝λ(λ－2)2，A的特征值为0，2，2，于是B的特征值为k2和(k＋)2，(k＋2)2．令D＝则B～D．(2)当k为≠0和－2的实数时，B是实对称矩阵，并且特征值都大于0，从而此时B正定．涉及知识点：二次型20．设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A＋B)＝n，证明ATA＋BTB正定．正确答案：用正定的定义证明．显然ATA，BTB都是n阶的实对称矩阵，从而ATA＋BTB也是n阶实对称矩阵．由于r(A＋B)＝n，n元齐次线性方程组(A＋B)X＝0没有非零解．于是，当α是一个非零n维实的列向量时，(A＋B)α≠0，因此Aα与Bα不会全是零向量，从而αT(ATA＋BTB)α＝αTATAα＋αTβTβα＝‖Aα‖2＋‖βα‖2＞0．根据定义，ATA＋BTB正定．涉及知识点：二次型21．设A是3阶实对称矩阵，满足A2＋2A＝0，并且r(A)＝2．(1)求A的特征值．(2)当实数k满足什么条件时A＋kE正定?正确答案：(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设λ是A的一个特征值，则λ2＋2λ是A2＋2A的特征值．而A2＋2A＝0，因此λ2＋2λ＝0，故λ＝0或－2．又因为r(A－0E)＝r(A)＝2，特征值0的重数为3－r(A－0E)＝1，所以－2是A的二重特征值．A的特征值为0，－2，－2．(2)A ＋kE的特征值为k，k－2，k－2．于是当k＞2时，实对称矩阵A＋kE的特征值全大于0，从而A＋kE是正定矩阵．当k≤2时，A＋kE的特征值不全大于0，此时A＋kE不正定．涉及知识点：二次型22．设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：(1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵；(2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．正确答案：(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P1，使得P1TAP1＝E．作B1＝P1TBP1，则B仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得QTB1Q是对角矩阵．令P＝P1Q，则PTAP＝Q*P1TAP1Q＝E，PTBP＝QTP1TBP1Q＝QTB1Q．因此P即所求．(2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵PTBP 对角线上的元素依次为λ1，λ3，…，λn，记M＝max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E＋εPTBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1＋ελi＞0，i＝1，2，…，n．于是E＋εPTBP正定，PT(A ＋εB)P＝E＋εPTBP，因此A＋εB也正定．涉及知识点：二次型23．设C＝，其中A，曰分别是m，n阶矩阵．证明C正定A，B都正定．正确答案：显然C是实对称矩阵A，B都是实对称矩阵．｜λEm+n－C｜＝＝｜λEm－A｜｜λEn－B｜于是A，B的特征值合起来就是C的特征值．如果C正定，则C的特征值都大于0，从而A，B的特征值都大于0，A，B都正定．反之，如果A，B都正定，则A，B的特征值都大于0，从而C的特征值都大于0，C正定．涉及知识点：二次型24．设D＝是正定矩阵，其中A，B分别是m，n阶矩阵．记P＝．(1)求PTDP．(2)证明B－CTA-1C正定．正确答案：(1) (2)因为D为正定矩阵，P是实可逆矩阵，所以PTDP正定．于是由上例的结果，得B－CTA-1C正定．涉及知识点：二次型25．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为y12＋y22，Q的第3列为()T．①求A．②证明A＋E是正定矩阵．正确答案：①条件说明Q-1AQ＝QTAQ＝于是A的特征值为1，1，0，并且Q的第3列＝(1，0，1)T是A的特征值为0的特征向量．记α1＝(1，0，1)T，它也是A的特征值为0的特征向量．A是实对称矩阵，它的属于特征值1的特征向量都和α1正交，即是方程式χ1＋χ3＝0的非零解．α2＝(1，0，－1)T，α3＝(0，1，0)T 是此方程式的基础解系，它们是A的特征值为1的两个特征向量．建立矩阵方程A(α1，α2，α3)＝(0，α2，α3)，两边做转置，得解此矩阵方程②A＋E也是实对称矩阵，特征值为2，2，1，因此是正定矩阵．涉及知识点：二次型26．证明对于任何m×n实矩阵A，ATA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则ATA是正是矩阵．正确答案：设A是A的一个特征值，η是属于它的一个特征向量，即有ATA η＝λη，于是ηTATAη＝ληTη，即(Aη，Aη)＝λ(η，η)．则λ＝(Aη，Aη)／(η，η)≥0．如果A秩为n，则AX＝0没有非零解，从而A η≠0，(Aη，Aη)＞0，因此λ＝(Aη，Aη)／(η，η)＞0．涉及知识点：二次型27．如果A正定，则Ak，A-1，A*也都正定．正确答案：从特征值看．设A的特征值为λ1，λ2，…，λn．λi＞0，i＝1，2，…，n．则Ak的特征值为λ1k，λ2k，…，λnk．λik＞0，i＝1，2，…，n．设A-1的特征值为λ1-1，λ2-1，…，λn-1．λi-1＞0，i＝1，2，…，n．设A*的特征值为｜A｜／λ1，｜A｜／λ2，…，｜A｜／λn．｜A｜／λi＞0，i＝1，2，…，n．涉及知识点：二次型28．设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明AB相似于对角矩阵．正确答案：A是正定矩阵，存在可逆实矩阵C，使得A＝CCT，则AB＝CCT B．于是C-1ABC＝C-1CCTBC＝CTBC．即AB相似于CTBC．而CTBC是实对称矩阵，相似于对角矩阵．由相似的传递性，AB也相似于对角矩阵．涉及知识点：二次型。
高等代数之二次型习题
当t充分大时，k (t) 为严格主对角占优的行列式，且
t aii aij , (i 1,2, , n), ji
k (t ) 0(k 1,2, , n), 从而tE A正定的.
.
8.设A为一个n级实对称矩阵，且|A|<0, 证明：必存在实n维向量 X 0使X ' AX 0. 证: 假设任意实n维向量X，有 X' AX 0,
二次型习题
2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于 1的对称矩阵之和. 证: 由题设 A A', r( A) r ，存在可逆矩阵C使
C' AC D (D为对角阵)
又因为 C',C 1,(C 1 )' (C' )1均为可逆矩阵，
所以有C' AC D1 D2 Dr
0
d1
D1
A A',则 X ' AX ( X ' AX )' X '( A)X X ' AX 即X ' AX 0
充分性 取 X i (0, ,1, ,0) 取 X i j(i j)
i A i aii 0
X AX aii aij a ji a jj 0
从而 aij a ji (i j).
则f ( X 1 , , X n ) X ' AX半正定，
从 而A的所有主子式大于或等于0， 故|A|≥0这与|A|< 0矛盾，故假设不成立，原命题成立.
.
s
2.设实二次型 f ( x1, x2 , , xn ) (ai1 x1 ai2 x2 ain xn )2 i 1
证明：f ( x1, x2, , xn ) 的秩等于矩阵
则可经线性替换X=CY，二次型化为 f ( x1 , x2 , , xn ) ky12 其中 y1 a1 x1 a2 x2 an xn
练习六(二次型)
练习六（二次型）一、选择题：1.任何一个n 阶满秩矩阵必定与n 阶单位矩阵（ ）。
（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价 （D ）以上都不对。
2.设A 和B 为n 阶矩阵，则（ ）成立。
（A ）A ～B ⇒A 与B 合同；（B ）A 和B 等价⇒ A 与B 合同； （C ）A ～B ⇒A 和B 等价； （D ）A 和B 等价⇒A ～B3.设A 和B 为n 阶矩阵，则（ ）成立。
（A ）A 与B 合同⇒A 和B 等价； （B ）A 和B 等价⇒ A 与B 合同；（C ）A 与B 合同⇒A ～B ； （D ）A 和B 等价⇒A ～B 。
4.设A 和B 为实对称矩阵，则（ ）成立。
（A ）A ～B ⇒ A 与B 合同； （B ）A 与B 合同⇒A ～B 。
5.任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。
（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价 （D ）以上都不对。
6.设A 为实对称矩阵，则下列的（ ）成立。
（A ）如A 的主对角线元素都为正数，则A 正定；（B ）如行列式|A|>0，则A 正定；（C ）如A -1存在且正定，则A 正定；（D ）以上都不对。
二、填空题1.二次型31322123222132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=的矩阵A=__________________。
2.实二次型的规范形共有___________类，例如，三元实二次型共有__________类规范形，它们是________________________。
3.二次型3221222132132),,(x x x x x x x x x f -+-=的矩阵为__________；对称矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=12212112110A 所表示的二次型为_____________。
4.实二次型的规范形由_____________唯一确定；复二次型的规范形由_____________唯一确定。
线性代数第4,5章综合练习题和答案
第4，5章 综合练习题 一、填空题1.已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，100B 01000a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦且A 与B 相似，则_______________a =.2.设可逆阵A 的一个特征值是2，且-4detA =,则A 的伴随阵*A 的一个特征值为__________.3．设A 与B 相似，B 与112⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦相似，则A 的特征值是_______.4．已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦有二重特征值1，则A 的另一个特征值是______.5．二元二次型()112122x 13f (x ,x )x x 52x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的矩阵是_______. 6．若矩阵A 的一个特征值为0，则A =7. 二次型()2221231231223,,3524f x x x x x x x x x x =++++的矩阵A =8．设A 为3阶矩阵，其特征值分别为1,2,-1，则A = , 2A 的特征值是__________，1A -的特征值分别为 , *A 的特征值分别为 ,.9．已知矩阵20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭相似，则x = ， y =10. 已知三阶矩阵11020421A x -⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭的特征值为1、2、3，则x =11. 设向量组：(),0,1,11T=α ()T 1,0,12=α ，则与21,αα 等价的正交向量组为___________.12. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300020001A 的特征值为：_______, 2A 的特征值为：_______.13. 用配方法把二次型32312123222162252x x x x x x x x x +++++化成标准形为 .二、单项选择题1. 设12,αα都是n 阶矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，则( ) (A) 02T 1=αα; (B) 12T 1=αα ; (C) 线性相关与21αα ;(D) 线性无关与21αα2. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(A) (A)(B)r r =； (B)A 与B 和同一个对角矩阵相似； (C) B E A E -=-λλ； (D) A 与B 的特征向量相同. 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，与A 有相同特征值的是( ) (A) -1A ; (B) TA ; (C) *A ; (D) 2A . 4.以下四个矩阵，正定的是( )(A) 1-10-120003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(B)120210002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(C)120240001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (D)200012023⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦.5.A 与B 都是n 阶矩阵，且都可逆，则( )(A) 必存在可逆n 阶矩阵P ，使B AP P =-1; (B) 必存在可逆n 阶矩阵C ，使TC AC B =; (C) 必存在可逆n 阶矩阵P 与Q ，使B PAQ =; (D) A 与B 都与同一个对角矩阵相似.6. 设4-52A 5-736-94⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则A 的属于特征值00λ=的特征向量是( )(A) T )2,1,1(1=α ; (B) T )3,2,1(2=α ;(C) T)1,0,1(3=α ; (D) T )1,1,1(4=α .7． 二次型2123222132162-6-2)x ,x ,x (f x x x x x +-=是( ) (A)正定的; (B)负定的; (C) 半正定的; (D) 半负定的.8． 设001A 010100⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦,则以下四个向量中是A 的特征向量者是( )(A) T )1,0,1(； (B) T )1,1,1(-； (C) T )2,0,0( ； (D) T)2,1,0(.9. 设A 为n 阶实对称阵，B 为n 阶可逆阵，Q 为n 阶正交阵，则矩阵 ( )与A 有相同的特征值（A ）1T-B Q AQB ； (B) ()11TT --BQ AQB ； （C ）T T B Q AQB ； (D) T T BQ AQB10. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 都不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征值 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵A E λ-与B E λ-相等 11. 设A 是三阶矩阵,10λ=,21λ=,31λ=-是A 的三个特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，则使得1100000001P AP --⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭成立的P 是（ ）（A ）（123,,ααα） （B）（132,,ααα） （C）（321,,ααα） （D）（312,,ααα） 12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则（ ）（A）存在非奇异矩阵P ，使1P AP B -= （B）存在对角矩阵D ，使A 与B 都相似与D （C）0AB = （D）E A E B λλ-=-13．如果（ ），则矩阵A 与B 相似（A）A B = (B)()()r A r B = （C）A 与B 有相同的特征多项式 （D）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同 14．A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是（ ）（A）0A > (B)存在n 阶矩阵C ，使TA C C = （C）负惯性指数为零 （D）各阶顺序主子式均为正数 15. 若矩阵A 与B 相似，则下列结论不成立的为（ ）A. A B =B. ()()r A r B =C. A 与B 有相同的特征值D. A B = 16. 若A 为设n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ）A. A 的任n 个特征向量线性无关B. A 的属于不同特征值的特征向量线性无关C. A 的属于不同特征值的特征向量正交D. A 的任n 个特征向量线性相关17. 若n 阶方阵A 与B 的特征值完全相同，且A 与B 都有n 个线性无关的特征向量，则（ ）A. A B =B. A B ≠ 但0A B -=C. A 相似于BD. A 与B 不一定相似，但A B =18．设矩阵a b A b a -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中0a b >>，221a b +=，则A 为（ ） A. 正定矩阵 B. 初等矩阵 C. 正交矩阵 D. 以上都不对 19. 下列各矩阵中，不是正交矩阵的为（ ）（A）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（B）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（C ）1001⎛⎫ ⎪⎝⎭；（D）11222⎛⎫⎪-⎝⎭ 20. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 同时可逆或不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征向量 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵E A λ-与E B λ-相等21. 设三阶方阵A 的特征值分别为 -1，0，2.则下列结论正确的是（ ）。
大学高等代数二次型试题
第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++ (1)称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.令,ij jia a i j=<由于ijj ix xx x =,所以二次型(1)可写成22121111212112121222222112211(,,,)n n n n nnnn n n n nn n iji ji j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x ax x ===++++++++++++=∑∑其系数排成一个n n ⨯矩阵111212122212n nn n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭(2) 它称为二次型的矩阵.因为,,1,2,,ijji a a i j n== ,所以AA =',这样的矩阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令()()11121111112212122222112222121211121122,,,,,,n n n nnn n nn nij iji j n n nn n n n nn n a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x X AX x x x x x x ax x a a a x a x a x a x ==+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪'===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑或AXX x x x f n '=),,,(21 . (3)例1写出21231121323(,,)5226f x x x x x x x x x x =++-的矩阵及矩阵形式.注意二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时jiija a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型12(,,,)n f x x x X AX X BX''== ,且B B A A ='=',,则B A =.定义1设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字,系数在P 中关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,(4)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换,或简称线性替换.如果系 数行列式0≠ijc,那么线性替换(4)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C21212222111211,,于是线性替换(2)可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者CY X =.经过一个非退化的线性替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.二、矩阵的合同关系设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 是一个二次型,作非退化线性替换CYX =得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ',因12(,,,)()()().n f x x x X AX CY A CY Y C ACY Y C AC Y Y BY '''''''=====容易看出矩阵AC C '也是对称的,由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵间的关系。
二次型解答
第五章 二次型习题解答p.232~2361.(Ⅰ)用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果.(1) 323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=解: 先作线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x ,.4)(),,(2322231321y y y y x x x f ++--=再令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=3321311)(21zy z y z z y ,得.4),,(232221321z z z x x x f ++-=相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=001111001100010001101121211211T ,则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=141AT T T .(2) f (x 1,x 2,x 3)=x 12+2x 1x 2+2x 22+4x 2x 3+4x 23.解： f (x 1,x 2,x 3)=(x 1+x 2)2+x 22+4x 2x 3+4x 23 =(x 1+x 2)2+(x 2+2x 3)2+0令112223332y x x y x x y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即 11232233322x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 则f (x 1,x 2,x 3)==y 12+y 22. 用矩阵验算112110112012122122001024024'--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100110110221020⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(3) f (x 1,x 2,x 3)=x 12-3x 22-2x 1x 2+2x 1x 3-6x 2x 3解： f (x 1,x 2,x 3)=(x 1-x 2+x 3)2-(x 2-x 3)2-3x 22-6x 2x 3 =(x 1-x 2+x 3)2-4x 22-4x 2x 3- x 32=(x 1-x 2+x 3)2-(2x 2+x 3)2.令1123223332y x x x y x x y x=-+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即11232233313221122x y y y x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩则f (x 1,x 2,x 3)=y 12-y 22验算有：1311002211110011111330010222213000000131122⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭(4) f (x 1,x 2,x 3,x 4)=8x 1x 4+2x 3x 4+2x 2x 3+8x 2x 4.解: 令1142233414x y y x y x y x y y =+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩f (x 1,x 2,x 3,x 4)=8(y 21-y 24)+2y 3(y 1-y 4)+2y 2y 3+8y 2(y 1-y 2)=8y 21-8y 24+8y 1y 2+2y 1y 3+2y 2y 3-8y 2y 4-2y 3y 42221323423243411118()8()82822828f y y y y y y y y y y y y ∴=++-+-+--222123234343434111118()2(2)2(2)8228448y y y y y y y y y y y y =++--++-+---22123234341118()2(2)4284y y y y y y y y =++--+-令112322343344341128124z y y y z y y y z y y z y y ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎪=+⎩ 即112342234334434153288978811221122y z z z z y z z z y z zy z z ⎧=--+⎪⎪⎪=+-⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪=-+⎩ 222212323434341118()2(2)()()284y y y y y y y y y y =++--++--+则2222123482f z z z z =-+- 矩阵验算略(5) f (x 1,x 2,x 3,x 4)=x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4解：011110111110121110A ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ (2)022242444000202220220100220242020042222042200024200020002122020022002122002000200020002000202Pi A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪4000010000400003212121210021002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪→ ⎪--- ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭∴2121212100210002X y ---⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪⎝⎭则22221234443f y y y y =---. (6)f (x 1,x 2,x 3,x 4)=43423241312122212222442x x x x x x x x x x x x x x +++++++.解 : 由配方法可得.212,)(y )2123()22(.)(21)2123(2)22(2222)22(])22()22(2[),,,(232221444334322432112432432243214342322422243224324321214321y y y f x y x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=++++-+++=+++++++-++++++=得于是令且非退化的线性替换为.23244433432243211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=y x y y x y y y x y y y y x 故替换矩阵为 ,10001100123101121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=T 且有 .02121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=AT T T(7) 22221234122334222f x x x x x x x x x x =++++++解： 1100111001110011A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则1100100011100010011101110011001110001100010001000010001000010001A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,(1))100010001000001002200200010002000020000100010001110001001110010001000110001001200110000101210111P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪−−−−→→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭即令X=1110011001100111Y -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭则2222123422f y y y y =+-+. (Ⅱ) 把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。
二次型测试题
．
．
5
( )．
A. 正定
T
B. 负定
T
C. 不定
T
D. 以上都不对
)．
13、 设二次型 f X AX ,其中 A A , X x1, x2 ,, xn ,则 f 正定的充分必要条件是 (
A. A 的行列式 A 0 C. f 的秩为 n
1
B. f 的负惯性指数为 0 D. A M T M , M 为 n 阶可逆矩阵
C. A B
D. A B
新浪微博：万学丁勇
18、 n 阶方阵 A 与 B 的特征多项式相同,则 A. A 、 B 同时可逆或不可逆
( )． B. A 、 B 有相同的特征值和特征向量
C. A 、 B 与同一对角矩阵相似
19、n 阶实对称矩阵 A 合同于矩阵 B 的充要条件是
D. 矩阵 E A 与 E B 相等
二、填空题
2 2 2
பைடு நூலகம்
1 2 3 B. 2 5 4 3 4 6 5 2 1 D. 2 1 3 1 3 0
1、已知二次型 f x1 , x2 , x3 2 x1 3 x2 3 x3 2ax2 x3 通过正交变换化成标准
．
2 2 12、设二次型 f x1 , x2 , x3 xT Ax ax12 2 x2 2 x3 2bx1 x3 b 0 ,其中二次型矩阵 A
的特征值之和为 1,特征值之积为 12 ,则 a
2 2 2
,b
．
高等代数习题-二次型汇编
= -(2y1 - y3 )2 + y32 + 4y22 ;
(2)
再令
ìïïïïíïïïïî
z1 z2 z3
= = =
2y1 y2 , y3 ,
-
y3
,
(3)
则得
原式 =-z12 +4z22 + z32 .
此即原二次型的标准型. 将式(3)代入式(1), 得
ìïïïïïïïïíïïïïïïïïî
x1
８
c11 x1 + c12 x2 +L+ c1n xn = 0,
c21
x1
+ c22 x2
+L+ c2n xn
=
0,
M
c
p1
x1
+ cp 2 x2
+L + cpn xn
= 0,
c
x p+1,1 1
+
cp+1,2 x2
+L + cp +1n,
xn
= 1,
M
cn1x1 + cn2 x2 +L + cnn xn =1.
-6 130
故由定理知, 原二次型为正定二次型.
４
例 7、判别10x12 + 8x1 x2 + 24x1 x3 + 2x22 − 28x2 x3 + x32 二次型是否正定:
解 ：二次型的矩阵为
10 4 12
A
=
4
2 −14 .
12 −14 1
因为
| A |< 0 ,
由定理知, 原二次型非正定.
这说明 X ' AX 为多元零多项式, 故有
二次型与对称矩阵习题
二次型与对称矩阵习题型例题一、二次型及其矩阵表示二、化二次型为标准三、正定二次型的判定<i>线性代数课件</i>一、二次型及其矩阵表示例1. 求实二次型f ( x1 , x2 , , xn ) (ai1 x1 ai 2 x2 ain xn )i 1 n 2的矩阵及秩.解a11 a21 令A an1 a12 a22 an 2 a1n A1 a2 n A2 ann An<i>线性代数课件</i>A1 n A2 则A ' A ( A '1 , A '2 , , A 'n ) A 'i Ai i 1 An 于是f ( x1 , x2 , , xn ) (( x1 , x2 , xn ) A 'i ) 2i 1 nx1 n x2 ( x1 , x2 , , xn ) A 'i Ai i 1 xn<i>线性代数课件</i>x1 x1 n x2 x2 ( x1 , x2 , , xn )( A 'i Ai ) ( x1 , x2 , xn ) A ' A i 1 xn xn由于( A ' A)' A '( A ')' A ' A, A ' A为n阶实对称阵,故f ( x1 , x2 , xn )的矩阵为A ' A, 其秩R( A ' A) R( A).<i>线性代数课件</i>二、化二次型为标准形例3.设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x ' Ax ax2 x22 1 2 23x3 2bx1 x3 (b 0), 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1, 特征值之积为12. (1)求a, b的值; (2)利用正交变换将二次型f 化为标准型, 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.(2003年数学3)5<i>线性代数课件</i>解法1 a 0 b (1)二次型f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为A 0 2 0 . b 0 2 设A的特征值为i (i 1, 2,3),由题设有1 2 3 a 2 ( 2) 1a 0 b1 2 3 0 20 4a 2b 2 12 b 0 26解得a 1, b 2.<i>线性代数课件</i>(2)由矩阵A的特征多项式1 E A 0 22 0 ( 2) ( 3)2202得A的特征值1 2 2, 3 3. 对于1 2 2, 解齐次线性方程组(2E A) x 0, 得其基础解系1 (2,0,1) ', 2 (0,1,0) '. 对于3 3, 解齐次线性方程组( 3E A) x 0,得其基础解系 3 (1,0, 2) '.7<i>线性代数课件</i>由于1 , 2 , 3已是正交向量组, 为得到规范正交向量组, 只需将 1 , 2 , 3单位化,由此得 1 ( 2 5 , 0, 1 5 ) ', 2 (0,1, 0) ', 3 ( 1 5 , 0, 2 5 )'1 2 0 5 5 令矩阵P 0 1 0 , 1 2 0 5 5 则P为正交矩阵, 在正交变换x Py下, 有8<i>线性代数课件</i>2 0 P ' AP 0 2 0 0 2 2 f 2 y1 2 y2解法20 0 , 且二次型的标准形为3 3 y3 .2a 0b (1)二次型f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为A 0 2 0 . b 0 2 9<i>线性代数课件</i>A的特征多项式为1 E A 20 b0 b 2 0 0 22( 2)[ (a 2) (2a b )] 设A的特征值为1 , 2 , 3 ,则1 2, 2 3 a 2, 2 3 (2a b2 ), 由题设得1 2 3 2 (a 2) 1,1 2 3 2(2a b ) 12,解得a 1, b 2.2(2)由(1)可得A的特征值为1 2 2, 3 3,以下解法同解法(1).<i>线性代数课件</i>2 2 例4.已知二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 3 x2 3 x3 2ax2 x3 2 2 (a 0)通过正交变换化为标准型f y12 2 y2 5 y3 ,求参数a及所用的正交变换矩阵. (1993年数学1)2 0 0 解：二次型f ( x1, x2 , x ) 的矩阵A3 a 0 3 0 a 3 又由f 的标准型可知A的特征值为1 1, 2 2, 5, 32 故A 1 2 10, 即：a) 2(9 10 32 0 0 但a 0, 故a 2, 此时A3 2 0 0 2 3<i>线性代数课件</i>(1)当1时,由方程组( E A) x 0得对应的单位1 1 特征向量为1 (0, , )2 2(2)当2时,由方程组(2 E A) x 0得对应的单位特征向量为2 (1,0,0) (3)当5时,由方程组(5E A) x 0得对应的1 1 单位特征向量为 3 (0, , ) 2 212<i>线性代数课件</i>故所用的正交变换矩阵0 1 P ( 1 , 2 , 3 ) 2 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2<i>线性代数课件</i>例6.已知二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x 5 x cx2 1 2 22 32 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3的秩为2. (1)求参数c及此二次型的矩阵的特征值. (2)指出方程f ( x1 , x2 , x3 ) 1表示何种二次曲面. (1996年数学1) 5 1 3 解：该二次型的矩阵A 1 5 3 (1) 3 3 c由题设知R( A) 2,因此A 0, 解得c 3.14<i>线性代数课件</i>易证, 此时R( A) 2, A的特征多项式5 E A 1 313 3 ( 4)( 9)533故所求特征值为1 0, 2 4, 3 9.(2)由以上讨论知, f 的一个标准型为f 4 y 9 y ,2 2 2 3 2 2 由此可知f ( x1 , x2 , x3 ) 1(即4 y2 9 y3 1)所给出的曲面是椭圆柱面.15<i>线性代数课件</i>三、正定二次型的判定例7.设f ( x) x Ax是一实n元二次型, 若有n维向量x1 , x2 , 使f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 0, 试证：()x1和x2 线性无关；1(2)存在n维向量x0 0, 使f ( x0 ) 0. 证：由f ( x1 ) 0知x1 0, 从而x1线性无关. (1)于是, 若x1和x2 线性相关, 则x2 可由x1线性表示：x2 kx1 , k R, 且f ( x2 ) f (kx1 ) (kx1 ) A(kx1 ) k 2 x1 Ax1 k 2 f ( x1 ) 0,与题设f ( x1 ) 0相矛盾.故x1和x2 线性无关. 16<i>线性代数课件</i>(2)考虑实函数G(t ) (tx1 (1 t ) x2 ) A(tx1 (1 t ) x2 ), t R,显然它在R上连续, 且由题设知G(0) f ( x2 ) 0, G(1) f ( x1 )0,因此, 存在t0 (0,1), 使G(t0 ) 0,即存在n维向量x0 , 使f ( x0 ) 0, 其中x0 t0 x1 (1 t0 ) x2. 由(1)知, x0 0.<i>线性代数课件</i>例8.设二次型f ( x) x Ax的正、负惯性指数都不为零, 试证：存在非零向量x (1) , x (2) , x (3) , 使f ( x (1) ) 0, f ( x (2) ) 0, f ( x (3) ) 0.证：设f ( x)的正惯性指数为p, 秩为r , 则有0 p r, 且有可逆变换x Cy (1)使得f ( x) f (Cy) yi2 i 1 p由于C 0, 故以下三个向量均不为零：x x(1)j p 1ryi2 (2), x (2) C (1, 0, , 1 , , 0) , C (1, 0, , 0)(r )(3)C (0, , 1 , , 0) (r )(1) (2) (3)18将其代入式(2), 得f ( x ) 1 0, f ( x ) 1 1 0, f ( x ) 1 0.<i>线性代数课件</i>例9.设二次型f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) t ( x12 x2 2 x32 ) 2 x1 x2 2 x2 x 3 2 x3 x1 x4 2 .问t为何值时f 正定? 并讨论t 2时的情况. 解法1 对f 配方得f (t 2)( x x2 x3 ) ( x1 x2 ) ( x2 x3 )2 1 2 2 2 2 22( x3 x1 ) x4 . 由此可见: (1)t 2时, 对任意的( x1 , x2 , x3 , x4 ) 0, f 0, 故此时f 正定.2 2 2(2)t 2时, f 变为f ( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x3 x1 ) x4 ,2于是对任意的( x1 , x2 , x3 , x4 ), f 0, 且f (1, 1, 1, 0) 0, 故此时f 是半正定的.19<i>线性代数课件</i>(3)t 2时, f (0,0,0,1) 1 0, f (1, 1, 1,0) 3(t 2) 0 故此时f 是不定的. 综上,当且仅当t 2时, f 正定;当t 2时, f 半正定;当t 2时, f 是不定二次型解法2f ( x1 , x2 , x3 , x4 )的矩阵为t 1 1 1 t 1 A 1 1 t 0 0 0 0 0 0 120<i>线性代数课件</i>f ( x1 , x2 , x3 , x4 )正定的充要条件是t 1 1 t 1 2 t 0, t 1 0, 1 t 1 (t 2)(t 1) 2 0 1 t 1 1 t A (t 2)(t 1) 02由此解得t 2,即t取开区间(2, )内的值时, f ( x1 , x2 , x3 , x4 )正定.。
6.4二次型的典型例题
0
的特征向量为
0 p2 1
1
• 对于特征值 3 1，同样可以求得其特征向量为
0 p3 1
1
• 由只于需属 将于p1不, p2同, p特3单征位值化的，特即征得向三量个两相两互正正交交，的因单此位
特征向量：
1 e1 0
0
0
e2
1
2 1
•
故
3 a 3 a
5, 1.
得a 2
；或
3 a 1, 3 a 5.
得 a 2
• 所以 a 2
• 例4 已知二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 ax22 3x32 2 x1x2 6 x1x3 6 x2 x3
• 的正惯性指数为p=2，负惯性指数为q=0，
• 例2 求一个正交变换将二次型
f (x1, x2 , x3 ) 3x12 2x22 2x32 6x2 x3
• 化成标准形。
3 0 0
•
解：A
0
2
3
，由
0 3 2
3 0 0
A E 0 2 3 ( 3)( 5)( 1)
0 3 2
• 知特征值为：1 3, 2 5, 3 1
1 0 5
2 1 0 1 02001 03 2 10
1
1 0
1
0 10
1 0
3
2 1
x1 1
x2
1
x3 0
1 1 0
1
0
0 1
0 0
0 1 0
5 2 3 2 1
z1 z2 z3
• 由此
x
Pz
P
1 1
1 1
1 4
二次型习题
d 1 T ' BT C ' AC
d2 dr 0
D 0
考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，
共计r+1个合同类.但秩r又分别取n，n-1，…，2,1,0， 故共有
1 2 3 n ( n 1) ( n 1 )( n 2 ) 2 个合同类
2 2
( a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n )( b 1 x 1 b 2 x 2 b n x n )
总之，f ( x
1
, x 2 , , x n )
可表成两个一次齐次式的乘积.
.
6.设A是实对称矩阵.证明：当实数t充分大之后，
tE+A是正定矩阵.
12 22
a a
s2
2n a sn
1n
的秩.
证:
f
(a
i1
s
i1
x 1 a in x n )
2
s
i 1
a i1 x1 a x i 2 (a , , a ) 2 in ( x1 , , x n ) i1 a in xn
f ( x 1 , x 2 , , x n ) ky 1
2
秩为1.
2) 若上式右边的两个一次式系数不成比例，设
a1 b1 a2 b2
.
y a x a x a x 1 1 2 2 n n 1 y 2 b1 x 1 b 2 x 2 b n x n y x ( i 3, , n ) i i
二次型习题
由定理56及定理57可知 若A为正 定矩阵 则正惯性指标pn 即A~In 反之 若A~In 则A正定 即存在非奇 异矩阵C 使ACTInCCTC 此时|A||C|20
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定理58(正定性判别法) 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵C 使ACTC 即A合同于单位矩阵 推论1(用惯性指标判别正定性) 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指标pn 推论2 如果A为正定矩阵 则|A|0
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定理56 设A为正定矩阵 如果A~B 则B也是正定矩阵 定理57(对角矩阵正定性判别法) 对角矩阵
d1 d2 D dn
为正定矩阵的充分必要条件是 di0(i1 2 n)
《线性代数》 (第四版)教学课件
123201002????????a的顺序主子式为1112121?22?2?12nnnnnnaaaaaaaaa??????????a???1112121?22?2?12kkkkkkkaaaaaaaaaa???k12???na11212204?aa3a?8线性代数第四版教学课件首页上一页下一页结束定理510正定性的判别法矩阵aaijnn为正定矩阵的充分必要条件是a的所有的顺序主子式都大于零即ak0k12???n
定理56 设A为正定矩阵 如果A~B 则B也是正定矩阵
证 由A~B可知 存在非奇异矩阵C 使CTACB
令xCy |C|0 对任意y0均有x0 因此 yTBy yTCTACy(Cy)TA(Cy) xTAx0 (因A为正定矩阵) 即B是正定矩阵
《线性代数》 (第四版)教学课件
行列式
|A 3||A|8
a11 a12 a1k a a a2k | Ak | 21 22 (k1 2 n) a k1 a k 2 a kk
第四章 二次型真题
第四章 二次型99103 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 .设A 是n 阶矩阵，A ≠0, A * 为A 的伴随矩阵， E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值λ, 则2( *) A E +必有特征值 .95108 设三阶实对称矩阵A 的特征值为对应于的特征向量为求A .02103 填空题已知实二次型222123123121323,,)()444f x x a x x x x x x x x x =+++++(x 经正交变换可化成标准形21f =6y ，则a = 202203 填空题矩阵022222222A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是 404304 填空题二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为 2 。
9503 已知二次型（1）写出二次型f 的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵01103 选择题设1111111111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，4000000000000000B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 与B (A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 不合同且不相似。
[ A ] 02303 选择题设A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()1'PAP -属于特征值λ的特征向量是（A ）1P-α； (B) 'P α； (C)P α； (D)()1'P -α。
[ B ] 03404 选择题设矩阵001010100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知矩阵A 相似于B ，则()2R A E -与()R A E -之和等于(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5。
[ C ]01108 计算题 已知3阶矩阵A 与3维向量x ，使得向量组2 A A x,x,x 线性无关，且满足32 32A A A -x =x x（1）记()2 PA A =x,x,x ，求3阶矩阵B ，使得1A PBP -=；（2）计算行列式A E+。
第五章：二次型测试题2
第五章：二次型测试题2 一、选择题()1.,.A B 若为正定矩阵，则()A A B A B ⋅+，都正定 ()B A B A B ⋅+正定，非正定 ()C A B A B ⋅+非正定，正定 ()D A B A B ⋅+不一定正定，正定D 答案：()2.,.A B n A B ⋅设都是阶实对称矩阵，且都是正定矩阵，那么是()A 实对称矩阵 ()B 正定矩阵 ()C 可逆矩阵 ()D 正交矩阵C 答案：()3..A n A 若为阶实方阵，则为正定矩阵的充要条件为()1A AA E -= ()TB A A =()1T C A A -= ()2D A E =C 答案：()2211224.63x x x x ++矩阵是二次型的矩阵.()1333A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ()1243B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1113C -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ ()1513D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ A 答案：()()()()2221231235.,,11.f x x x x x x λλλ=-+二次型++，当满足时是正定二次型()0A λ> ()1B λ>-()1C λ> ()1D λ≥C 答案： 一、填空题()222212341234231.,,,252f x x x x x x x x x x =-+-+二次型的矩阵是____________.秩是____________.10000210,4.01100005⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦答案：()22212312312132.,,222__________.f x x x x x x tx x x x t =++-+二次型正定时，应满足的条件.t <<答案：-113.0T T A A f X AX f Y AY X Y ≠===设为实对称矩阵，且，把二次型化为的线性变换式____________.1.A -答案：1204.212___________.021A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设,则相应的二次型为 222123122344.Ax x x x x x x ++++答案：()2222123412345.,,,,f x x x x x x x x f f =-++-二次型则的正惯性指数是_________，的秩是_________.2,4.答案： 三、解答题()()21231231.,,.f x x x ax ax a x =-+写出二次型的矩阵211212221223231323a a a a a A a a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦答案： ()222212312312132332.,,+24225,f x x x x x x x x x x x x x X CY =+++-+=试用配方法化二次型用为标准形，并写出满秩的线性变换.()22212312312133.,,2322f x x x x x x x x x x λλ=++++求使二次型为正定的的取值范围。
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（
当 b 1 且 b 7 时， r = 3 ；当 b = 1 或 b = 7 时， r = 2
）
3、求二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 )2 + ( x2 x3 )2 + ( x3 + x1 )2
的秩。（
2
）
4、已知 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + b x22 + x32 + 2 x1 x2 2b x1 x3 2 x2 x3 型的矩阵 A 的特征值，并确定参数 b ，使此二次型的正、负惯性指数均为 1 . （
1 x1 y1 2 y 3 ， x2 y 2 ； p = 1 ，2 p r = 1 不是正定二次型 ） 1 x3 y1 y 3 2
17、将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 )2 + ( x2 x3 )2 + ( x3 + x1 )2 化为标准形 。
，求此二次 b=2 ）
5、判断二次型
1 0 2 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 , x2 , x3 2 2 2 x2 的正定性。（ 0 8 1 x3
不正定
）
1 2 6、设矩阵 A 0 0
y1 y1 y1
1 2 1 2
y2 y2
1 6 1 6 2 6
y3 y3 ； y3
13、设 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x12 + x22 +5x32 2x1 x2 2x1 x3 + 4x2 x3 ，
（1）用矩阵的合同变换法（初等变换法）化二次型为标准形； （2）求二次型的规范形； （3）写出所作的可逆线性替换矩阵 C，并求出二次型的秩、正惯性指数与符号差，并判断其 是否为正定二次型。
（8）设 A ，B 均为 n 阶实矩阵，且 r ( A + B ) = n ，试用定义证明：矩阵 ATA + BTB 是正 定矩阵 .
1 0 0 1 1 1 0 0 （9）设 A ，证明：（1）A 与单位矩阵合同；（2）A 不与单位矩阵 0 1 2 0 1 0 0 3
（ x > 4 ，y > 1 / 2
2 0 0 x 0 0 ，问：当 x 、y 为何值时，矩阵 A 是正定的？ 0 2 1 0 1 y
）
7、当 a 为何值时，二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x12 + 4x22 + 3x32 + a x1 x2 4x2 x3 是正定二次型。 （ 4 2 a 4 2 ）
相似。
（10）设 A 与 B 是两个 n 阶正定矩阵，证明：A 与 B 合同。
A O （11）设 A 与 B 分别为 m 阶与 n 阶正定矩阵，判断分块矩阵 C O B 是否为正定矩 是 n 阶正定矩阵，试证明： A + E > 1 。
10、用正交变换将二次型 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2x1 x2 + 2x3 x4 化为标准形，写出所作的正交变 换，并根据标准形判别二次型 f 是否为正定二次型（说明理由）。
（ 标准形 f = y1 y2 + y3 + y4
2
2
2
2
x1 x2 ， 正交线性变换 x 3 x4
第4章
二次型练习题
2 2 1、设 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 x3 2t x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 的秩为 2，求 t 的值 。
（ t=1 ）
2 2 2、已知 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 2b x2 x3 ，求此二次型的秩 .
1 2 1 2 1 2 1 2
y1 y1 y2 y2
1 2 1
y3 y3
； 不是正定二次型 ）
2 1 2 1 2
y4 y4
11、设实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + x32 + 2 x1 x2 + 2 x2 x3 + 2x1 x3 经正交替换 X = QY 化为 f = y22 + 2y32 ，其中 X = ( x1 , x2 , x3 )T ，Y = ( y1 , y2 , y3 )T 是三维列向量，Q 是三 阶正交矩阵。（1）求参数 、 之值；（2）给出所作的正交替换的矩阵；（3）求此二次型的 规范形。
1 x z1 1 1/ 2 0 1/ 2 2 （ = = 0； Q 0 1 0 ；经可逆线性替换 x 2 z 2 1/ 2 0 1/ 2 1 x1 z1 2
规范形 f = z12 + z22 。 ）
x1 （2）求方程 f ( x1 , x2 , x3 ) = 0 的解 . （ a = 1 ，b = 3 ； x 2 x1
= k1 ( 1 , 1 , 0 )T + k2 ( 1 , 0 , 1 )T ，k1 , k2 为任意常数 ）
1 3 1 3 1 3
（
标准形 f 2 y12
1 2 y2 2
1 x1 y1 2 y 2 y3 ， x2 y 2 y3 x y 3 3
，不唯一）
2 1 1 3 a 0 18、已知实矩阵 A 1 2 1 与 B a 3 0 合同但不相似，试求参数 a . 0 0 0 1 1 2
）
2 16、已知 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x3 x2 ，
（1）用初等变换法求此二次型的标准形，及所作的可逆线性替换； （2）确定此二次型的正惯性指数和符号差，并判断此二次型是否为正定二次型（说明理由）.
（
2 标准形 f 2 y12 y 2
1 2 y3 2
（13） 设 n 阶矩阵 H 是正定矩阵， R n 中的非零向量组 1 ， 2 ， … ， n 满足 iT H j 0 （ i j；i，j = 1，2，…，n ），试判断向量组 1 ，2 ， … ， n 的线性相关性.（线性无关）
（14）设 A 为实对称矩阵，B 为正定矩阵，证明：矩阵 AB 可以对角化 .
O ， B2
（6）设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，t 是实数，求证：t 充分大之后， 矩阵 tE + A 是正定矩阵。
（7）设 A 为 m n 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，已知矩阵 B = E + AT A ，试证： 当 > 0 时，矩阵 B 为正定矩阵。
（ 3<a<0 或 0<a<3 ）
19、证明题 （1）设 A 为 m n 实矩阵，证明 ① AT A 为正定矩阵的充分必要条件是齐次线性方程组 AX = 0 仅有零解； ② AT A 为正定矩阵的充分必要条件是 A 为列满秩； ③ A AT 为正定矩阵的充分必要条件是 A 为行满秩。
（2）设 A 为 n 阶正定矩阵，A* 为 A 的伴随矩阵，求证：A1 与 A* 都是正定矩阵。
1 2 （ 标准形 f 2 y y 2 ；规范形 f = z12 + z22 2
2 1
1 / 2 1 / 2 ； C 0 2 0 0
1 3 ，r = 2，p = 2， 1
2p r = 2，不是正定二次型。 ）
14、设 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 x3 x1 ， （1） 用初等变换法将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 在实数域 R 内化为规范形，并写出可逆线性替换 的矩阵 C ； （2）求二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 正惯性指数和秩，并判断其是否为正定二次型。 （规范形 f = y1 + y2 y3
2 2 2
1 1 1 ，可逆线性替换的矩阵 C 1 1 1 ；r = 3 ，p = 2 < 3 = n ， 0 1 0
不是正定二次型 ） 15、已知三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x2 x3 ， 求：（1）用合同变换法求其标准形及可逆线性替换矩阵 C ； （2）写出二次型的规范性； （3）写出二次型的负惯性指数及符号差。 （
1 2 1 2
z3
，将原二次型化为
z3
2 2 x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 （a > 0）经过正交 12、已知 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) a( x12 x2
线性替换 x = Q y 化为标准形 f by12 . （1）试求参数 a 、b ，以及所作的正交线性替换；
（3）试证：对实数域上的任一 n 阶可逆矩阵 A，都有 AT A 是正定矩阵。
（4）设 A 为 n 阶实对称矩阵，r ( A ) = n ，证明：A2 是正定矩阵。
A1 （5）已知矩阵 A1 ~ B1 ， A2 ~ B2 ，对于分块矩阵 A O
求证： A ~ B 。
O B1 ，B O A2
1 1 / 2 1 1 2 2 1 ； （1）标准形 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 y y 2 2 y3 ，可逆线性替换矩阵 C 1 1 / 2 2 0 0 1