浙江名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届第一次联考数学试卷

浙江名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考

数学试题卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{|(3)(1)0}, {||1|1}A x x x B x x =-+>=->，则()R C A B =

A.[1,0)(2,3]-

B.(2,3]

C.(,0)(2,)-∞+∞

D.(1,0)(2,3)-

2. 已知双曲线22

:193

x y C -=，则C 的离心率为

2 3. 已知,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若,,//a b a αββ⊥⊥，则下列命题中正确的是

A.b α⊥

B.//b α

C.αβ⊥

D.//αβ

4. 已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩

，则2x y +的最大值为

A.11

B.10

C.6

D.4

5. 已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是

A.1

B.3-

C.5

D.7-

6. 已知函数2|2|1,0()log ,0

x x f x x x +-≤⎧=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是 A.(,4][2,)-∞-+∞ B.[1,2]- C.[4,0)(0,2]- D.[4,2]-

7. 已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象

A. B.

C. D.

8. 在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==E 为边AD 上的一点，

1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成'A BE ∆，使得点'A

在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），

设二面角'A BE C --的大小为θ，直线','A B A C 与平面

BCDE 所成的角分别为,αβ，则

A.βαθ<<

B.βθα<<

C.αθβ<<

D.αβθ<< 9. 已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一

个零点属于区间[0,2]”的一个（ ）条件

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充分必要

D.既不充分也不必要

10.已知数列{}n a 满足：1102

a <<，1ln(2)n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是 A.2019102a << B.2019112a << C.2019312a << D.2019322

a <<

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.复数2

(1)1i z i

-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为，||z =. 12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ）,

则该几何体的体积为cm 3，表面积为cm 2.

13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则

0a =，2a =. 14.在ABC ∆中，90ACB ∠=，点,D E 分别在线段,BC AB 上，

36,60AC BC BD EDC ===∠=，则BE =， cos CED ∠=.

15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相

邻，体育不能排在第一节，则不同的排法总数是（用数字作答）.

16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为12,k k ，则22

2111k k -=

. 第8题图

第12题图

17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144

c a b =+，当,b c 得夹角取得最大值时，||a b -的值为.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本题满分14

分）已知函数2()cos cos f x x x x =.

（1）求()3f π

的值； （2）若13()210f α=，(0,)3

πα∈，求cos α的值.

19.（本题满分15分）在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰

三角形，且90ABC ∠=，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=，平

面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点.

（1）求证：1BB CM ⊥；

（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值.

20.（本题满分15分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，

且55a =，36S =， 数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b +++=-+.

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）令,N *n n n a c n b =

∈，证明：122n c c c +++<.

21.（本题满分15分）已知抛物线2

4x y =，F 为其焦点，椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 为其左右焦点，离心率12

e =，过F 作x 轴的 平行线交椭圆于,P Q

两点，PQ =

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于

, B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ， BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴于K ，, KED FOD ∆∆的面积分别

记为12,S S ，若121849

S S =，且点A 在 第一象限，求点A 的坐标.

22.（本题满分15分）设a 为实常数，函数2(), (), R x f x ax g x e x ==∈.

（1）当12a e

=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设N*m ∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为

B ，当(0,1]a ∈时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立？若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由.