第二章层次分析法

因此，Saaty 等人给出了在成对比较不一致的情况下计
算各因素 A1, A2 , A3, A4 , A5 对因素z的权重的方法，并且
确定了这种不一致的容许范围，为了说明这一点，先看 成对比较完全一致的情况。
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➢ 层次单排序及一致性检验
层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。
用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。
A2
2
1
7
A1, A2 , A3 , A4 , A5
55
A3 1/4 1/7 1 1/2 1/3 分别表示
A4 1/3 1/5 2
1
景色、费用、居住、饮食、旅途
1
A5 1/3 1/5 3 1 1
9
由上表，可得成对比较矩阵
1
1 2
4
3
3
2 1 7 5 5
A


1 4
1 7
1
1 1 2 3
基本思路
评价者将复杂问题分解为若干层次和若干要素。在
层次分析方法图解同一层次的各要素间进行比较、
判断和计算，得出不同方案的重要度，为选择最优
方案提供决策依据。
3
准则
例1：购买钢笔 质量、颜色、价格、外形、实用
目标
钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4
决策过程： 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、 实用等属性进行排序经综合分析来决定 买哪支钢笔。
例如 一块石头重量记为1，打碎分成 n 各小块，各块的重量
分别记为：w1, w2, , wn
则可得成对比较矩阵 由右面矩阵可以看出，

1

w
2
A w1
w1 w2 1
w1
wn w2

wn
wi wi wk
wj
wk w j


wn w1
14
➢ 当一致矩阵时，则取对应于最大特征根n 的归一化特征向
n
量，w1, w2,
, wn
（
wi
i 1
1
）
满意一致性
wi 表示下层第 i 个因素对上层某因素影响程度的权值。
➢ 当非一致阵，但在不一致的容许范围内，Saaty等人
aij

1 a ji
, aii
1, i,
j
1,2,
,n
2. AT也是一致阵
3. A的各行成比例，则 rankA 1
4. A的最大特征根（值）为 λ n,其余n-1个
特征根均等于 0。
5. A 的任一列(行)都是对应于特征根 n 的特征向量。 13
一致矩阵判断定理
定理： n 阶互反阵 A 的最大特征根 n ，当且仅 当 n 时，A 为一致阵。
5
例2 选择旅游地的层次结构
景色
费用
选择 旅游地
居住
饮食
旅途
目标层Z 准则层A
苏杭、北戴河、 桂林
方案层B
决策的当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只 是定性的结果，则常常不被别人接受。Saaty 等人的做法，一是不把 所有因素放在一起比较，而是两两相互对比；二是对比时采用相对 尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准 6 确度。
➢ 构造成对比较矩阵
设某层有 n 个因素， X x1, x2 , , xn
要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定
在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把n 个因素对上
层某一目标的影响程度排序）
上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。
用 aij 表示第 i 个因素相对于第 j个因素的比较结果，则
第 i 个因素比第 j 个因素的影响绝对地强
2,4,6,8表示第 i 个因素相对于第 j 个因素的影响介于上述
两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，
根据
aij
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1 a ji
。
8
例如：例2 某人给出准则层A的各因素对于 目标层Z的影响两两比较结果：
Z A1 A2 A3 A4 A5
A1 1 1/2 4 3 3
第二章层次分析法
1
第一节 层次分析法基本原理
背景： 面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、 最后作出决策。评价中主观因素占有相当的比重， 各种因素的影响很难量化，从而给用数学方法解 决问题带来不便。
2
层次分析法（AHP) 层次分析方法是一种多准则思维方法，它运用多因 素分级处理来确定因素权重，把人们思维过程层次 化和数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据 的情况下应用极为方便。
方案
4
层次分析法的基本步骤 ➢ 建立层次结构模型 （1）一般将决策问题分为三层，最上面为目标层，最下面
为方案层，中间是准则层或指标层； （2）通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案
对于每一准则的权重； （3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进
行综合，最终确定方案层对目标层的权重。
wn w2
1

12
即， aik akj aij i, j 1,2, , n
在正互反矩阵 A 中，若 aik akj aij ,则称 A为一致矩阵。
例2的成对比较矩阵中，a23 7, a21 2, a13 4
a23 a21 a13
一致矩阵的性质：
1.
Q:下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果？
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既然 A1 与 A2 之比为1：2，A1 与 A3 之比为4：1，那么
应该有： A2 A2 A1 2 4 8 :1 ，而不是7：1， A3 A1 A3 1 1
才能说明成对比较是一致的。
但是，n个因素要作n(n-1)/2次成对比较，全部一致的 要求是太苛刻了！
反对称矩阵
a11 a12
A
aij
nn

a21

an1
a22 an2

a1n
a2n
ann

其中；aij 1/ aij
Q: 反对称矩阵具有什么属性？
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比较尺度：（1~9尺度的含义）
尺度
１
３ ５ ７ ９
含义
第i 个因素与第 j 个因素的影响相同 第 i 个因素比第 j 个因素的影响稍强 第 i 个因素比第 j个因素的影响强 第 i 个因素比第 j个因素的影响明显强

1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
a12

1 2
表示景色
A1
与费用
A2
之比为1:2， a13 4表示景色 A1 与
居住条件 A3 之比为4:1，…，可以看出，此人在选择旅游地
时，费用因素最重要，景色次之，居住条件再次。
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）??。