重积分积分区域的对称性
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情形一:积分区域D 关于坐标轴对称
定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴对称,则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-(即(,)f x y 是关于y 的奇函数)时,有 (,)0D
f x y dxdy =⎰⎰ .
2)当(,)(,)f x y f x y -=(即(,)f x y 是关于y 的偶函数)时,有
1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰
⎰⎰ .
其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()D
I xy y dxdy =+⎰⎰,其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。
解:如图所示,积分区域D 关于x 轴对
称,且
3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=-
有
即(,)f x y 是关于y 的奇函数,由定理13()0D
f xy y dxdy +=⎰⎰
.
类似地,有:
定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于y 轴对称,则 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例 6 计算
2,
D
I x ydxdy =⎰⎰其中D 为由
22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解:如图所示,D 关于y 轴对称,并且
2(,)(,)f x y x y f x y -==,即被积分函数是关于x 轴的偶
函数,由对称性定理结论有:
1
1
22
22200
2
2215
x D
D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
.
定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴和y 轴都对称,则 (1)当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时,有
(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰
.
(2)当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有 其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
9例7 计算二重积分()D
I x y dxdy =+⎰⎰,其中D :1x y +≤ .
解:如图所示,D 关于x 轴和y 轴均对称,且被积分函数关于x 和y 是偶函数,即有
(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=,由定理2,得
其中1D 是D 的第一象限部分,由对称性知,1
1
D D x dxdy y dxdy =
⎰⎰⎰⎰
,
故1
4()D I x y dxdy =+⎰⎰1
4()D x x dxdy =+⎰⎰1
8D x dxdy =⎰⎰4
3
=.
情形二、积分区域D 关于原点对称
定理7 设平面区域12D D D =+,且1,D 2D 关于原点对称,则当D 上连续函数满足 1)(,)(,)f x y f x y --=时,有1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰
2)(,)(,)f x y f x y --=-时,有(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰.
例8 计算二重积分33()D
x y dxdy +⎰⎰,D 为3y x =与y x =所围区域.
解:如图所示,区域D 关于原点对称,对于被积函数
33(,)f x y x y =+,有
3333(,)()()()(,)f x y x y x y f x y --=-+-=-+=-,有定
理7,得
3
3()0D
x
y dxdy +=⎰⎰.
情形三、积分区域D 关于直线y x =±对称
定理8 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对
称,则
1)(,)(,)D
D
f x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰;
1
2
(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰.
2)当(,)(,)f y x f x y =-时,有(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰.
3)当(,)(,)f y x f x y =时,有1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰.
例9 求22
22()D
x y I dxdy a b =+⎰⎰,D 为222x y R +≤所围.
解:积分区域D 关于直线y x =对称,由定理8,得
2222
2222()()D D
x y y x dxdy dxdy a b a b +=+⎰⎰⎰⎰, 故 2222()D x y I dxdy a b =+⎰⎰2222
22221[()()]2D D
x y y x dxdy dxdy a b a b =+++⎰⎰⎰⎰
422
11
(
)4
R a b π
=
+. 类似地,可得:
定理9 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对称,则 (1)当(,)(,)f y x f x y --=-,则有(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰;
(2)当(,)(,)f y x f x y --=,则有1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰.
例10 计算22()arcsin()D
I x y x y dxdy =++⎰⎰,其中D 为区域:
01x ≤≤,10y -≤≤ .
解:如图所示,积分区域D 关于直线y x =-对称,且满足
(,)(,)f y x f x y --=-,
由以上性质,得: