一类拟线性椭圆方程非平凡解的估计
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其 中 （ ）是调 和 函数． 因此 只要研 究
ｃ ＝ ｚ
。
＋。 Ｊ Ｉ
＋ 上
＋ｃ，
－＇ 『ｊ ＝
即可 ． 由于 ｝ ｚｌ ≤ Ｉ Ｙ｝ ， ， ｚ— ＋ ｝ Ｉ 故 Ｙ ｐ
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给 出 这个 非平 凡解 的一 个 估 计 ． 关键 词 ： 平 凡 解 ；Ｈａｄ 不 等式 ； 线 性 椭 圆方 程 ；集 中 紧 ； 界 指 数 非 ｒｙ 拟 临
中 图 分 类 号 ： ７ ． ５ ０ １ ５ ２ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ — ７ ５ ２ １ ） ４ ０ ７— ３ ０ １ ８ ３ （ ０ １０ — ３ ３ ０
Ｍ 一， Ｌ（ Ｊ ）｛∈ ｝ ｏ ｃ ｎ
其 中 １＜ ｓ ｏ ， ＋ 一 １ ＜ 。 ．
５ Ｓ
Ｊ１）（Ｉ＜ 。， （ｌ ＋。 ｏｘ 厂）ｙ ｝ ｆ， ３ｒ ｄ Ｊ
其 次 引进 一 个重要 结 论． 引理［ 设 ｆ∈ Ｍ ｎ） ｓ 。 （ ， 口＞ Ｎ， 则
ｊ ． 。
ｄ ≤
，
＋
＋
其中 ｄ＝ｄ ｍ（ ， ｉ ） Ｃ— ｌ ｌｓ Ｋ：Ｋ（， ． ａ ｆＩ （ Ｍ ， ａＮ）
定 理 ２的证 明 设 Ｕ是 问题 （ ）的任 意 一个 非平 凡解 ， 据文 献 ［ ］ 可 以表示 为 ２ 根 １，
ｃ一ｊ 等 ｚ ．Fra bibliotek的非 平凡解 的一个估 计． 中 ： 其 ｎ是包 含原 点 的有界 开 区域 ，ｎ光 滑有 界 ； 。 ａ ２ ＝
ｏ ＜（－ ） ，＞４ ＜ Ｎ 。 ＞ｏ Ｔ ２， Ｎ ．
记
一
瓣 叫
．
ｊ ＝ （ “ｄ 一Ｉ）一 ． Ｉ （ ｊＩ ｌ — “ １。 ） ｌ ｌｚ Ｊ 。 ， ｄ 。 Ｉｄ
ｊ ） 应 的 Ｆ ￣ｈ ｔ （ 对 ｒｃ ｅ 导数 是
， ，＝ （ ｊ ）ｎ
收 稿 日期 ； ０ ００一０ ２ １ —９１
一静 －ｕｄ ｎ ］Ｚｄ Ａ） ｚｕｚ ｇ Ｊ ＂ ９， Ｉ－
基 金 项 目ｔ国家 自然 科 学 基 金 资助 项 目（０ ７ ０ ７ ； 东 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ４ ２ ０ ７ １４ １ ４ ） 广 ０００７）
Ｖｏ ． ０ ＮＯ ４ １４ ．
Ｊ ｌ ０ １ ｕｙ２ １
一
类拟 线 性 椭 圆方 程 非 平 凡解 的估计
张 瑞敏
（ 京理 工 大 学 珠 海 学 院 ， 东 珠 海 ５ ９ ８ ） 北 广 １ ０ ５
摘
要 ： 究 了一 类 包 含 ｆ 指 数 的 椭 圆 问 题 ． 用 山 路 引 理 证 明 了 拟 线 性 椭 圆方 程 非 平 凡 解 的 存 在 性 ， 研 临界 利 并
第４ Ｏ卷 第 ４期
２１ ０ １年 ７月
内 蒙 古师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学汉 文 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｅ ｏ ｇ ｌ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉｙ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｆＩ ｎ ｒＭ ｎ ｏ ｉ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ａ Ｓ ｉ
作者简介：张瑞敏（ ９ ０ ） 女 ， １ ８ － ， 河南省鹤壁市人 ， 北京理工大学珠海学院讲 师， 主要从事非线性椭圆型方程 的研究 ， Ｂｍａ ； ｔｒ ｈ ｎ ｉ ｍａｈｍ。 ａ ｇ ｌ
＠ １ ６ ｃ ｒ． ２． ｏ ｎ
・３ ４ ・ ７
内蒙 古 师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
） ，＞ｉ本 继 文 ［ 的 作给 当 一 时 题１非 ＞ｏ ＇ 文 续 献 ２ 工 ，出 ２ 问 （ 平 ， Ｎ ／ ２ ２ ｏ ］ ）
． Ｕ￣ ｌ 』 Ｕ＋ 一ｍ Ａ＿ ／ ｕ
ｌ一ｏ ｚ∈ａ ， Ｏ
， ｚ ∈
（ ２ ）
是临界 ｓ ｂ ｌｖ 数 ； ｏ 。ｅ 指
０ 引 言
拟线性 偏微 分方 程 问题 主要 来源 于几 何和 物理 学等 问题 中 的数学 模 型． 拟线 性 偏微 分 方程 的非 平凡 解 的存在 性及 相关 问题 至今仍 未完 全解 决 ， 别是 包含 临界 指数 的拟 线性 椭 圆方程 问题 近年来 颇受 关注叫 ． 特 文
献 ［］ 用 Ｈａｄ 等式 和山路几 何研 究 了一类 拟线 性椭 圆方 程 ２利 ｒｙ不
Ａｐ ｕ＝ ［ １
一
。 …
∈
（） １
０，ｚ ∈ ａ２ ． ｆ
非 平凡 解 的存 在 性 ． 中：ｎ 是 包 含 原 点 的有 界 开 区域 ，ｏ 光 滑 有 界 ；１＜ 户＜ Ｎ ， ＝ ｊ 其 ａ 户
是 临 界
ｓ 。Ｖ 数 ｏ 。 １指 ；＜ ＜（ ｂｅ
凡解 的一 个估 计 ， 即关于 问题
第４ Ｏ卷
Ｖ９ Ｈｎ在 ５）， 价 数 ｆｊＶｆ） ∈ ５） Ｈ 中 等 范 ｌ ． ｕ如专 ｕ （． （ 记 ， 一 ． （ｌ ｚ
本 文的结 论 如下 ：
定理 １ ｅ ＜ ≤ 盟 ｇｏ
，
ｏ＜ ＜ ｉ ｔ 成立 ， 中 Ｎ ＞ ４ 则 问题 （）存在 一个 非平 凡解． 其 ， ２
定理 ２ 设 “是 问题 （ ）的一 个非 平凡 解 ， ２ 则
ｌ
（） ≤ ｃ １ ｌ ，，） ｚ Ｉ （ｕ ， ／ｔ ， ｌ ｚ２
￣Ｐ＞ （ ｅ … ， ５ 一
１ 定 理 的证 明
足 理 １的 让 明 见 文 献 Ｌ － ２Ｊ ．
对 问题 （ ）的非平 凡解 做一 个估 计． ２ 首先 引进 Ｍ ｏｒｙ空 间 ： ｒｅ
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即可 ． 由于 ｝ ｚｌ ≤ Ｉ Ｙ｝ ， ， ｚ— ＋ ｝ Ｉ 故 Ｙ ｐ
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给 出 这个 非平 凡解 的一 个 估 计 ． 关键 词 ： 平 凡 解 ；Ｈａｄ 不 等式 ； 线 性 椭 圆方 程 ；集 中 紧 ； 界 指 数 非 ｒｙ 拟 临
中 图 分 类 号 ： ７ ． ５ ０ １ ５ ２ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ — ７ ５ ２ １ ） ４ ０ ７— ３ ０ １ ８ ３ （ ０ １０ — ３ ３ ０
Ｍ 一， Ｌ（ Ｊ ）｛∈ ｝ ｏ ｃ ｎ
其 中 １＜ ｓ ｏ ， ＋ 一 １ ＜ 。 ．
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其 次 引进 一 个重要 结 论． 引理［ 设 ｆ∈ Ｍ ｎ） ｓ 。 （ ， 口＞ Ｎ， 则
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定 理 ２的证 明 设 Ｕ是 问题 （ ）的任 意 一个 非平 凡解 ， 据文 献 ［ ］ 可 以表示 为 ２ 根 １，
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， ，＝ （ ｊ ）ｎ
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一静 －ｕｄ ｎ ］Ｚｄ Ａ） ｚｕｚ ｇ Ｊ ＂ ９， Ｉ－
基 金 项 目ｔ国家 自然 科 学 基 金 资助 项 目（０ ７ ０ ７ ； 东 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ４ ２ ０ ７ １４ １ ４ ） 广 ０００７）
Ｖｏ ． ０ ＮＯ ４ １４ ．
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类拟 线 性 椭 圆方 程 非 平 凡解 的估计
张 瑞敏
（ 京理 工 大 学 珠 海 学 院 ， 东 珠 海 ５ ９ ８ ） 北 广 １ ０ ５
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要 ： 究 了一 类 包 含 ｆ 指 数 的 椭 圆 问 题 ． 用 山 路 引 理 证 明 了 拟 线 性 椭 圆方 程 非 平 凡 解 的 存 在 性 ， 研 临界 利 并
第４ Ｏ卷 第 ４期
２１ ０ １年 ７月
内 蒙 古师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学汉 文 版 ）
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作者简介：张瑞敏（ ９ ０ ） 女 ， １ ８ － ， 河南省鹤壁市人 ， 北京理工大学珠海学院讲 师， 主要从事非线性椭圆型方程 的研究 ， Ｂｍａ ； ｔｒ ｈ ｎ ｉ ｍａｈｍ。 ａ ｇ ｌ
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（ ２ ）
是临界 ｓ ｂ ｌｖ 数 ； ｏ 。ｅ 指
０ 引 言
拟线性 偏微 分方 程 问题 主要 来源 于几 何和 物理 学等 问题 中 的数学 模 型． 拟线 性 偏微 分 方程 的非 平凡 解 的存在 性及 相关 问题 至今仍 未完 全解 决 ， 别是 包含 临界 指数 的拟 线性 椭 圆方程 问题 近年来 颇受 关注叫 ． 特 文
献 ［］ 用 Ｈａｄ 等式 和山路几 何研 究 了一类 拟线 性椭 圆方 程 ２利 ｒｙ不
Ａｐ ｕ＝ ［ １
一
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（） １
０，ｚ ∈ ａ２ ． ｆ
非 平凡 解 的存 在 性 ． 中：ｎ 是 包 含 原 点 的有 界 开 区域 ，ｏ 光 滑 有 界 ；１＜ 户＜ Ｎ ， ＝ ｊ 其 ａ 户
是 临 界
ｓ 。Ｖ 数 ｏ 。 １指 ；＜ ＜（ ｂｅ
凡解 的一 个估 计 ， 即关于 问题
第４ Ｏ卷
Ｖ９ Ｈｎ在 ５）， 价 数 ｆｊＶｆ） ∈ ５） Ｈ 中 等 范 ｌ ． ｕ如专 ｕ （． （ 记 ， 一 ． （ｌ ｚ
本 文的结 论 如下 ：
定理 １ ｅ ＜ ≤ 盟 ｇｏ
，
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１ 定 理 的证 明
足 理 １的 让 明 见 文 献 Ｌ － ２Ｊ ．
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