线性代数第四章

§3 线性方程组解的结构
定义2 若一个线性方程组的常数项都等于0，那么这个线性方程组叫作齐次线性方程组.
我们看一个齐次线性方程组
111122121122221122000n n n n
m m mn n a x a x a x ,a x a x a x ,a x a x a x .
+++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪
⎪+++=⎩L L L L L 这个方程组总是有解，显然
12000n x ,x ,,x ===L
就是方程组的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解.
我们常常希望知道，一个齐次线性方程组有没有非零解，由定理3我们就立即得到. 定理4一个齐次线性方程组（）有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n .
定义3 设12r ,,,αααL 是齐次线性方程组的r 个解向量，如果满足下列条件： (1) 12r ,,,αααL 线性无关；
(2) 方程组的任意一个解向量α都能由12r ,,,αααL 线性表出. 则12r ,,,αααL 称为齐次线性方程组的基础解系．．．．
. 易见，基础解系可看成解向量组的一个极大线性无关组.
定理5 齐次线性方程组（）若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n r ，其中r 是系数矩阵的秩.
证 设齐次线性方程组的系数矩阵为
111212122212n n m m mn a a a a a a ,a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=
⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
L L M M M L
A 由定理4知秩r ＜n .
对A 进行行初等变换，A 可化为
11121211000010000010000,r n ,r n r ,r rn c c c c ,c c +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
L L L L L L L L L L L L L L
L L L L L L L L L L L L L L L
L
L
L
L
L 与之对应的方程组为
111112*********,r r n n ,r r n n
r r ,r r rn n x c x c x ,
x c x c x ,x c x c x .
+++++++++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪
⎪+++=⎩L L L L L （） 令12r r n x ,x ,,x ++L 为自由未知量，得
111112211211,r r n n ,r r n n
r r ,r r rn n x c x c x ,
x c x c x ,x c x c x .
++++++=---⎧⎪=---⎪⎨
⎪
⎪=---⎩L L L L L 我们取
12110000001r r n x x ,,,,x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦L M M M M 由可得
11121122222212,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r rn r c c c x c
c c x ,,,,c c c x ++++++---⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
L M M M M 从而得到的n r 个解
11121212221212100010011,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r m n r c c c c c c c c c ,,,.++++++----⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
ξξξM M M L M M M
下面我们证明12n r ,,,-ξξξL 就是的基础解系.
首先，这n r 个解向量显然线性无关.
其次，设(12n k ,k ,,k L )是方程组的任意解，代入方程组得
111112
21121111,r r n n ,r r n n r r ,r r rn n r r n n k c k c k ,k c k c k ,
k c k c k ,k k ,k k .++++++++=---⎧⎪=---⎪⎪⎪
=---⎨⎪=⎪
⎪
⎪=⎩
L L L L L L L 于是
121122r r n n r
n k k k k k k ξξξ++-⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L M ，
因此方程组的每一个解向量，都可以由这n r 个解向量12n r ,,,-ξξξL 线性表示，所以
12n r ,,,-ξξξL 是方程组的一个基础解系，由于方程组与方程组同解，所以12n r ,,,-ξξξL 也是
方程组的基础解系.
定理5实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.
推论(齐次线性方程组解的结构定理)齐次线性方程组（）若有非零解，则它的通解就是基础解系的线性组合.
例6 解齐次线性方程组
1234123412
3400220x x x x ,x x x x ,x x x x .
-+-=⎧⎪
--+=⎨⎪--+=⎩ 解 齐次线性方程组的系数矩阵为
111111111122.--⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
A
对A 进行行初等变换，得
11111
1111111111100220011112200330033111111000011001100000000.------⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→-→-→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
A
由此可看出，ｒ＝２＜4，故有非零解，其对应的方程组是
1234
00x x ,
x x .-=⎧⎨
-+=⎩ 把14x ,x 看作自由未知量，令
141001x ,,x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 得
231001x ,.x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 从而得基础解系
1210100101,.⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
ξξ
由此，得方程组的通解为1122c c =+x ξξ(其中12c ,c 为任意实数).
例7 λ取何值时，方程组
12312312
30020
x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪
-++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，并求其通解.
解 由于所给方程组是属于方程个数与未知量的个数相同的特殊情形，可以通过判断其系数行列式是否为零，来确定方程组是否有零解.其系数行列式为
111
1(+1)(4-),1
12
λ
λ
λλ=-=-A
当|A |=0，即λ=1，4时，有非零解.
将λ=1代入原方程，得
12312312
30020
x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪
-++=⎨⎪-+=⎩ 方程组的系数矩阵
110
11111121110003012112023000⎡
⎤⎢⎥
--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→→⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
A 得同解方程组
13
23102302
x x x x ⎧
+=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩ 把3x 看作自由未知量，令3x =2 得
1213x ,x =-=
从而得基础解系
132-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
ξ=
所以，方程组的通解为x=k ξ(k 为任意实数).
同理，当λ=4时，可求得方程组的通解为
311k -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
x (k 为任意实数).
例8 设B 是一个三阶非零矩阵，它的每一列是齐次方程组
123123123
2202030x x x ,x x x ,x x x .λ+-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩ 的解，求λ的值和|B |.
解由于B 是一个三阶非零矩阵，所以B 中至少有一列向量不是零向量，又由于B 的每一列都是上面齐次方程组的解，故该齐次方程组有非零解，从而系数行列式
122
215503
1
1
λλ-=-=-=-A
所以λ=1.
当λ=1时，秩R （A ）=2从而基础解系中只含有一个解向量，因而B 的三个列向量必线性相关，得|B |=0.
下面讨论非齐次线性方程组. 线性方程组
1111221121122222
1122n n n n m m mn n m
a x a x a x
b ,a x a x a x b ,a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪
⎪+++=⎩L L L L L （） 称为非齐次线性方程组(12m b ,b ,,b L 不全为0).如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组的导出方程组，简称导出组.
非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有如下关系.
定理6 (非齐次线性方程组解的结构定理)如果线性方程组有解，那么方程组的一个解与它的导出方程组的解之和是方程组的一个解，方程组的任意解都可写成方程组的一个特解与它的导出方程组的解之和.
证 设
1112
121
222121122n n m m mn n m a a a a a a ,a a a x b x b ,
,
x b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
A x b =L
L M M M L M M
则方程组可表示为Ax =b ，它的导出组可表示为Ａｘ＝０.
设12()n c ,c ,,c =L γ是方程组的一个特解，12=()n d ,d ,,d L δ是它的导出组的一个解，于是有
=.=b,
A Aγδ0
那么
().+=+=b+b A γδAγAδ0=
所以+γδ是方程组的一个解，设12()n l ,l ,,l =L λ是方程组的任意解，那么
()=-+=+=A A b b λγγAδ0.
因此=-μλγ是导出组的一个解，从而=+λγμ.
由定理可知，对于非齐次线性方程组在r n <时，我们只须先求得它的一个特解，然后再求它的导出组的通解，由此便可得的全部解.一般求的一个特解与求它的导出组的通解可同时进行.
例9 试求
12345123451
2345324328729456111015x x x x x ,x x x x x ,x x x x x .
+-++=⎧⎪
-+++=⎨⎪++++=⎩ 的全部解.
解 对增广矩阵进行行初等变换
131243131243218729071036345611101507
1036313
124313124310363071036301777700000000
02323103010777710363017777000000,--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由此可知系数矩阵与增广矩阵的秩都是2，故有解.
由前述知对应的齐次线性方程组的基础解系(去掉常数列)为
1232323107771036777100010001,,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
ξξξ
令3450x x x ===，得非齐次线性方程组的一个特解为30300077,,,,'
⎛⎫- ⎪⎝⎭
(不能忽略常数列)，于是它的全部解（一般解）为
11223330737000k k k ,⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
x ξξξ
其中123k ,k ,k 为任意实数.
注：在求方程组的特解与它的导出组的基础解系时，一定要小心常数列(项)的处理!最好把特解与基础解系中的解分别代入两个方程组进行验证.
例10 设线性方程组
1231231
234324px x x ,x tx x ,x tx x .
++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 试就p ,t 讨论方程组的解的情况，有解时并求出解.
解 对增广矩阵进行行初等变换
°114113=1130011214011431131
1
300101
142011420
0(1)142p t
t t t pt p p t t t p
p p p p t t pt ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥----+⎣⎦⎣⎦
A
(1)当（p 1）t ≠0(即p ≠1,t ≠0)时，有惟一解
123211142(1)(1)t t pt
,,.p t t p t
--+=
==--x x x
(2)当p =1，且14t +2pt =1
2t =0即t =
1
2
时，方程组有无穷多解，此时 °1113101220102010200000000⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
A 于是方程组的一般解为
212001k -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
x (k 为任意常数). (3)当p =1，但14t +2pt=12t ≠0，即t ≠12时，方程组无解.
(4)当t=0时，14t+2pt=1≠0，故方程组也无解.
习题四1. 用消元法解下列方程组.
(1)
1234
124
1234
1234
4236
2242
32231
2338;
x x x x,
x x x,
x x x x,
x x x x
+-+=
⎧
⎪++=
⎪
⎨
++-=
⎪
⎪++-=
⎩
(2)
123
123
123
320
50
3580;
x x x,
x x x,
x x x
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.
(1)
123
123
123
320
50
3580;
x x x,
x x x,
x x x
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
(2)
1234
1234
1234
1234
50
230
380
3970;
x x x x,
x x x x,
x x x x,
x x x x
-+-=
⎧
⎪+-+=
⎪
⎨
-++=
⎪
⎪+-+=
⎩
(3)
12345
1234
1234
2270
23450
35680;
x x x x x,
x x x x,
x x x x
++++=
⎧
⎪
+++=
⎨
⎪+++=
⎩
(4)
12345
12345
12345
2220
2320
2470.
x x x x x,
x x x x x,
x x x x x
+-+-=
⎧
⎪
+-+-=
⎨
⎪+-++=
⎩
3. 解下列非齐次线性方程组.
(1)
123
123
12
123
21
224
23
442;
x x x,
x x x,
x x,
x x x
++=
⎧
⎪-+=
⎪
⎨
-=
⎪
⎪++=
⎩
(2)
1234
1234
1234
21
4222
21;
x x x x,
x x x x,
x x x x
+-+=
⎧
⎪
+-+=
⎨
⎪+--=
⎩
(3)
1234
1234
1234
21
21
25;
x x x x,
x x x x,
x x x x
-++=
⎧
⎪
-+-=-
⎨
⎪-++=
⎩
(4)
12345
12345
2345
12345
7
3232
22623
543312
x x x x x,
x x x x x,
x x x x,
x x x x x.
++++=
⎧
⎪+++-=-
⎪
⎨
+++=
⎪
⎪+++-=
⎩
4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.
车间
消耗系数车间123
出厂产量
（万元）
总产量
（万元）
122x1
20x2
30x3
表中第一列消耗系数,,表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间万元，万元，万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.
5. λ取何值时，方程组
1231232
12
31x x x ,x x x ,x x x λλλλλ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ (1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.
6. 齐次方程组
0020x y z ,x y z ,x y z λλ++=⎧⎪
+-=⎨⎪-+=⎩
当λ取何值时，才可能有非零解并求解.
7.当a ，b 取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解在有解时，求出其解.
（1） 123412341234123423123132236x x x x x x x x x x x x a x x x bx ++-=⎧⎪+++=⎪⎨---=⎪⎪+-+=-⎩ (2) 1234234
23412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨----=⎪⎪+++=-⎩
8. 设112224336⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A ，求一秩为2的3阶方阵
B 使AB =0. 9.已知123,,ηηη是三元非齐次线性方程组Ax =b 的解，且R （A ）=1及
122313111+=+=+=011011,,⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
ηηηηηη
求：方程组Ax=b 的通解.
10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.
(1) 1223==;1001,-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
ξξ (2) 123121232==,=021352132,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
ξξξ
11.设向量组1α=（1，0，2，3），2α=（1，1，3，5），3α=（1，1，a+2，1），4α=
（1，2，4，a +8），β=（1，1，b +3，5）
问：（1） a ，b 为何值时，β不能由1α，2α，3α，4α线性表出
（2） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α惟一地线性表出并写出该表出式.
（3） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α线性表出，且该表出不惟一并写出该表出式.
12. 证明：线性方程组
12123234345
4515
x x a x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩
有解的充要条件是510i i a
==∑.
13. 设*
η是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解，12n r ,,,-ξξξL 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明
（1）1*n r ,,-,ξξL η线性无关；
（2）1++***n r ,,-,ξξL ηηη线性无关. 14. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)
（Ⅰ）1241234123264133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (Ⅱ) 123422434521121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-⎩
(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；
(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t 为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解。