洛必达法则完全证明教学文案

洛必达法则完全证明

洛必达法则完全证明

定理1 00lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==，0'()lim '()

x x f x g x →存在或为∞ ，则00()'()lim =lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→ 证明见经典教材。

定理2 lim ()lim ()0x x f x g x →∞→∞

==，0'()lim '()x x f x g x →存在或为∞ ，则00()'()lim =lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→ 证明：1

01lim ()lim ()0t x x t f x f t =→∞→==，1

01lim ()lim ()0t x x t g x g t

=→∞→==，由定理1

11

200021111()'()()'()()'()lim =lim lim lim lim 1111()'()()'()()'()t x x

t x t t t x f f f f x f x t t t t g x g x g g g t t t t ==→∞→→→→∞-===-。 定理300lim ()lim ()x x x x f x g x →→==∞，0'()lim '()

x x f x g x →存在或为∞ ，则00()'()lim =lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→ 证明： 001

()()lim =lim 1

()()

x x x x f x g x g x f x →→，由定理1 00002221'()()()'()()()lim =lim =lim lim(())1'()()()'()()()

x x x x x x x x g x f x f x g x g x g x f x g x g x f x f x f x →→→→-=- 1） 设0()lim ()

x x f x g x →存在且不为0，则 0002()()'()lim lim()lim ()()'()x x x x x x f x f x g x g x g x f x →→→=，00()'()lim lim ()'()

x x x x f x f x g x g x →→= 2） 设0

()lim ()x x f x g x →存在且为0，设0k ≠ ，则 0()lim()0()

x x f x k g x →+≠

有00()()+()lim()=lim ()()

x x x x f x f x kg x k g x g x →→+ ()()f x g x ，是不同阶无穷大，()+()f x kg x 仍为无穷大，由1）

0000()()+()'()+'()'()lim()=lim =lim =lim(+)()()'()'()x x x x x x x x f x f x kg x f x kg x f x k k g x g x g x g x →→→→+ 00()'()lim =lim ()'()

x x x x f x f x g x g x →→ 3） 设0()lim =()

x x f x g x →∞，则0()lim =0()x x g x f x →，由2）得 00()'()lim

=lim =0()'()x x x x g x g x f x f x →→，00()'()lim =lim =()'()x x x x f x f x g x g x →→∞ 综合1）2）3）定理3证毕。

定理4 lim ()lim ()x x f x g x →∞→∞==∞，0'()lim '()x x f x g x →存在或为∞ ，则00()'()lim =lim ()'()x x x x f x f x g x g x →→ 证明方法类似定理2。