常微分方程习题集.docx

《常微分方程》测试题1

、填空题30%

1、形女口_______________________________ 的方程，称为变量分离方程，这

里.丁(X)一能)分别为χ.y的连续函数。

2、形如___________________________________ -的方程，称为伯努利方程，

这里Fa)Q⑴为X的连续函数.n

=。」是常数°引入变量变换------------ ，可化为线性方程中

3、如果存在常数"①使得下等式______________________________ -对于所有

(")r(Λ ”)W迪都成立』£称为利普希兹常数J函数/(3)称为在R上

关于尸满足利普希兹条件。

4、形如_____________________________________________ -的方程，称为欧

拉方程，这里昕宀,疋常数“

5、设您是宀加的基解矩阵,凶)杲F = 力+几)的某一解，则它的

任一解Fo)可袤为

、计算题40%

空二卍-亍的通解。

1、求方程山1

2、求方程山的通解。

3、求方程< I：- --L的隐式解。

^ = χ÷∕3通过点@0）的第三次近似解。

4、 求方程

三、证明题30%

Γ .7 ∏

0 Γ

厂

-I

1.试验证①E ）= t

i

2£

1 是方程组X = 2

' L F

2

t _ x,x=

,在任何不包含原点

的区间a^≤直上的基解矩阵。

2•设①心为方程x ' =Ax （A 为nF 常数矩阵）的标准基解矩阵（即φ

（0） =E ）,证明：

①J （t°）=①（t- t 0）其中t°为某一值.<%建设目标%>

《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%）

1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 微分方程

是

2、 方程戸-*b - h 的通解中含有任意常数的个数为 ________________________ .

3、 方程M （SiM （5T 有积分因子“心）的充要条件为 ______________________________ .

r

4、 几⑴刃连续是保证了3）对刀满足李普希兹条件的 ___________________ 条件.

——=SlnZ7 CQSJ

5、 方程山 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ____________ .

6、若

γ =

W f P=例（R 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它

们 _____________ （有或无）共同零点.

7、设-是方程的通解，则

IiIn I yw =

2如

8、已知是二阶齐次线性微分方程• ' ' ∙f

''」

'：

' 的一个非零解，则与

"1匕）线性无关的另一解

Pdx ）= .

9、设；L 是叮阶常系数齐次线性方程特征方程的 K 重根，则该方程相应于的K 个线

性无关解是

—= ^÷Ξv + ?

—二 4x+3J y

L 由

满足初始条件炉〔°> = °的解.(10%

五、证明题： (10%

设乃⑴，耳⑴是方程

的解，且满足-：=•」「=0, •「 l ,这里「: I 在一」上连续, 砒W 卜叫+呵.试证明：存在常数C 使得兀⑴=C 少］⑴

件是

10、线性微分方程组

S = JItrJy 的解川Z)…川)

是的基本解组的充要条

二、求下列微分方程的通解:

(40%

di

《常微分方程》测试题

1 .辨别题

指出下列方程的阶数，是否是线性方程：

(12%)

2、填空题(8%)

(1) .方程」 的所有常数解是

(2) __________________ .若y=y 1(x), y=y 2(χ)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用

这两个解可把 其通解表示为 _____ .

d 1

(1 ) -b -

(3)

^-2⅛÷⅛ = 0 dx 1 d? d√i (6) ' ' '∙υ i ' ~

(4)

丨上 -. (5)

(3).若方程M(x, y)dx + N (x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是

(4).设M(X o, y o)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在X轴和截距分别是___________________

3、单选题(14%)

(1).方程yin I ydZ+ (Z-Ill .y)dy= 0 是(

x(y2- 1)dx+y (x2- 1)dy=0 的所有常数解是(

(A) y= ±1, x=±1, (B) y=±1

(C) x=±1 (D) y=1, x=1

(4) .若函数y(x)满足方程~}f bi天_ 0 ,且在x=ι时，y=ι,则在y=( ).

£ 丄

(A)亡(B)戈(C)2 (D) e

(5).兀阶线性齐次方程的所有解构成一个( )线性空间.

(A)丹维 (B)疋+1维 (C)P一1维(D)吃+ 2维y轴上的

(A)可分离变量方程(B)线性方程

(C)全微分方程(D)贝努利方程

(2).方程dx^,过点(0, 0)有(

(A) 一个解(B) 两个解

(C) 无数个解(D) 三个解

(3).方程