第1讲_有限元基础
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– 偏微分方程组在域 中每一点为零， 中每一点为零，则
例：位移法中，用虚位移、虚加速度、虚速度等
分部积分形式
C,D,E,F为较 低阶的算子 为较A低阶的算子 为较
9
数值计算方法分类
特点
差分法
离散求解域；差分代替微分； 离散求解域；差分代替微分；解代 数方程组
优缺点
要求规则边界， 要求规则边界，几何形状 复杂时精度低 适合简单问题， 适合简单问题，复杂问题 很难解决
边界条件
在 Ω内
B1 (u ) B (u ) = B2 (u ) = 0 ...
在Γ上
Γ
Ω
A( u ) = 0
x
A、B----微分算子（如对坐标或时间的 、 微分算子（ 微分算子 微分） 微分） u----未知场函数，可为矢量场（如位移、 未知场函数， 未知场函数 可为矢量场（如位移、 应变、应力等），也可为标量场（ ），也可为标量场 应变、应力等），也可为标量场（如温 度）
• 离散化过程
– 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连 先将求解域离散为有限个单元， 求解域离散为有限个单元 接；——即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替 即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替
力学模型
(平面应力问题 平面应力问题) 平面应力问题
P
有限元模型
P
15
位移法基本过程
12
有限元法基本思想
• 有限元法分类
1）位移法：基于最小势能原理或虚功原理 ）位移法：
以位移为基本未知量的求解方法
2）力法： 基于最小余能原理 ）力法：
以应力为基本未知量的求解方法
3）杂交法：基于修正余能原理 ）杂交法：
在单元内假设位移场（或应力场）、而在边界上假设 在单元内假设位移场（或应力场）、而在边界上假设 ）、 应力场（或位移场） 应力场（或位移场）的方法
根据变形特征分体积成形和板料成形 根据变形特征分体积成形和板料成形 根据材料特征分弹塑性和刚塑性、 根据材料特征分弹塑性和刚塑性、刚粘塑性等 几何大变形等边界非线性问题
数值模拟的价值
• 产品研究的目标是确定高质量产品的优化准则 不同的产品要求不同的优化准则， 不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则 需要对产品制造过程的全面了解。 需要对产品制造过程的全面了解。如果不掌握诸如摩擦 条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对 条件、材料性能、工件几何形状、 成形过程的影响， 成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工 设备，更无法预测和防止缺陷的生成。 设备，更无法预测和防止缺陷的生成。 • 传统工艺分析和模具设计，依靠工程类比和设计经验 传统工艺分析和模具设计， 经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程 经过反复试模修模， 中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。 中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。 不能满足复杂过程的分析
0 0
u1 X 1 v1 Y1 2 k14 u 2 X 2 = 2 k 24 v 2 Y2 2 k 34 u 3 X 3 2 k 44 v3 Y3 0 0
单元1节点力平衡方程 单元 节点力平衡方程
单元1节点1在x方向力 单元1节点1在y方向力 单元1节点2在x方向力 单元1节点2在y方向力
1 1 1 1 1 1 Fx11 = k11u1 + k12 v1 + k13u1 + k14 v1 2 2 1 1 1 1 1 1 Fy11 = k21u1 + k22 v1 + k23u1 + k24 v1 2 2 1 1 1 1 1 1 Fx12 = k31u1 + k32 v1 + k33u1 + k34 v1 2 2 1 1 1 1 1 1 Fy12 = k41u1 + k42 v1 + k43u1 + k44 v1 2 2
注： ij ke
表示第e个单元的第 个自由度产生单位位移 表示第 个单元的第j个自由度产生单位位移，而其它自由度上 个单元的第 个自由度产生单位位移，
的位移为零时，第i个自由度上所受的力。常称其为单元的刚度系数。 的位移为零时， 个自由度上所受的力。常称其为单元的刚度系数。 个自由度上所受的力
20
实例1 实例 单元分析
y
B( u ) = 0
6
成形问题的一般描述
实例： 实例：汽车覆盖件 弹塑性力学问题
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
成形问题的一般描述
实例： 实例：动力问题
偏微分方程A(u)=0
运动微分方程 弹塑性本构方程 几何方程 Mises强化的后继屈服函数
&& & σ ij , j + bi − ρui − γui = 0
ep σ ij = Dijkl ε kl
∆l1 EA = AE = cos θ l1 l1
19
实例1 实例 单元分析
• 节点 作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为： 节点1作用于单元 上的力 方向的分量分别为： 作用于单元 上的力， 和 方向的分量分别为
1 k11
EA = cos 2 θ l1
1 k 21
EA cos θ sin θ = l1
4
• 建立过程遵循的基本方程
即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题， 即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题 建立基本方程所研究的对象是无限小的单元。 等。建立基本方程所研究的对象是无限小的单元。
• 边界条件的限制
只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的成形问题， 只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的成形问题， 还无法给出精确的解答， 还无法给出精确的解答，例如汽车覆盖件在成形中的成形性能问 题。
1 & & (ui , j + u j ,i ) 2 ' ' f (σ ij , κ ) = σ ijσ ij / 2 − σ 2 (ε p ) / 3 = 0
ε ij =
边界条件B(u)=0
应力边界条件 位移边界条件
σ ij n j = pi
ui = ui
σ ij n j = q i
8
偏微分方程弱解的积分形式
材料成形数值模拟
第一章 有限元法基础
•材料成形问题 材料成形问题 •成形问题的描述 成形问题的描述 •有限元方法的基本思想 有限元方法的基本思想 •有限元法的基本概念 有限元法的基本概念 •有限元法的几个热点问题 有限元法的几个热点问题 •有限元的历史、发展和方向 有限元的历史、 有限元的历史
材料成形问题
• 同理，节点2作用于单元 上的力，其大小与之相等，方向相反， 作用于单元1上的力 同理，节点 作用于单元 上的力，其大小与之相等，方向相反， x和y方向的分量分别记为： 方向的分量分别记为： 和 方向的分量分别记为
1 k 31
EA =− cos 2 θ l1
1 k 41
EA =− cos θ sin θ l1
16
实例1 实例 铰链
Y2
• 问题描述：两杆①、②在点 问题描述：两杆① 2处铰接，1、3点被约束，2 处铰接， 、 点被约束 点被约束， 处铰接 点受X2、 的作用力 的作用力， 点受 、Y2的作用力，求 方向的位移。 点2在x、y方向的位移。 在 、 方向的位移 • 几何属性：杆粗细均匀，截 几何属性：杆粗细均匀， l 面积为A， 面积为 ，长分别为 l1 ，2 • 材料属性：弹性模量为E 材料属性：弹性模量为
2
①
y
X2 ②
1
θ
3
x
17
实例1 实例 结构离散
2
Y2 X2 ②
• 节点位移向量表示： 节点位移向量表示：
1 1 {δ 1} = [u1 , v1 , u1 , v1 ]T 2 2
①
1
θ
3
• 节点力向量表示： 节点力向量表示：
{F } = [ F , F , F , F ]
1 1 x1 1 y1 1 x2 1 T y2
• 提出数值方法
现代金属成形工艺分析过程中， 现代金属成形工艺分析过程中，需要了解工件在成形过程中的 具体参数，建立适当的“过程模拟”非常重要。 具体参数，建立适当的“过程模拟”非常重要。
5
成形问题的一般描述
A1 (u ) A(u )= A2 (u ) = 0 偏微分方程组 ...
4）混合法：基于Reissner变分原理 ）混合法：基于Reissner变分原理 Reissner
部分采用位移场， 部分采用位移场，部分采用应力场
13
位移法基本过程
1）离散化过程 ） 2）单元平衡方程组装过程 ） 3）约束处理过程 ） 4）方程组求解过程 ） 5）应变、应力回代过程 ）应变、
14
位移法基本过程
约束处理过程
添加必要的约束，如节点位移， 添加必要的约束，如节点位移，节点力
方程组求解过程
求解该方程组即可， 求解该方程组即可，比如高斯消去法 等
应变、应力回代过程 应变、
由位移计算应变（几何方程）和应力（本构关系） 由位移计算应变（几何方程）和应力（本构关系）
反复加载， 反复加载，直到成形过程结束
矩阵形式为 单元2节点力平衡方程 单元 节点力平衡方程
{ }
F1 = K1 δ 1
{ }
{F 2} = K 2 {δ 2}
21
实例1 实例 整体分析
• 整体分析： 作用于每个节点上的节点力平衡，即 整体分析： 作用于每个节点上的节点力平衡，
∑F
e=1
1 k11 1 k 21 1 k 31 1 k 41 0 0 1 k12 1 k 22 1 k 32 1 k 42
整体场函数用近似函数代替； 等效积分法（加 整体场函数用近似函数代替；微分
权余量法或泛函变 分法） 分法）
方程及定解条件的等效积分转化为 某个泛函的变分， 某个泛函的变分，即求极值问题 离散求解域； 离散求解域；分片连续函数近似整 体未知场函数； 体未知场函数；解线形方程组
有限元法
节点可任意配置， 节点可任意配置，边界适 应性好； 应性好；适应任意支撑条 件和载荷； 件和载荷；计算精度与网 格疏密和单元形态有关， 格疏密和单元形态有关， 精度可控
• 同理可求 u2、v1、v2 分别作单位位移时相应的刚度系数，考虑到 分别作单位位移时相应的刚度系数， 1 Fx1, Fy11, Fx12 , Fy12 1 1 节点的实际受力为 和实际位移为 u1 , v1 , u1 , v1 ，则 2 2 据各个节点节点力平衡得： 据各个节点节点力平衡得：
1 1 1
10
有限元方法
• 结构，成形，铸造，注塑等。如波音 747客机 • 线弹性问题外，弹塑性、稳定性、大变形、粘弹 性、热应力、蠕变、振动、动力响应、断裂、疲 劳裂纹扩展、温度场、油箱晃动、噪声响应和颤 振分析等
11
有限元法基本思想
• 基本思想
1）将连续的求解系统离散为一组由节点相互联 ） 在一起的单元组合体 2）在每个单元内假设近似函数来分片表示系统 ） 的求解场函数
v1 2
Fy12 u
1 2
Fy22 Fx12
2
Fy11
1 v1
2
②
①
Fx22
Fy23 u
1 1
1
Fx11
3
Fx23
18
实例1 实例 结构离散
• 节点 沿x方向的位 节点1沿 方向的位 1 移 u1 = 1 、其余节点位移 全为0时轴向压力为 时轴向压力为： 全为 时轴向压力为：
σA = AEε
∆l1
e x1
= Xi
∑F
e=1
1 k14 1 k 24
e y1
= Yi
• 结合前式推导得：
1 k13 1 k 23 1 2 k 33 + k11 1 2 k 43 + k 21 2 k 31 2 k 41
0 0
2 k13 2 k 23 2 k 33 2 k 43
1 2 k 34 + k12 1 2 k 44 + k 22 2 k 32 2 k 42
单元平衡方程组装过程
对每个单元假设一个简单的位移函数近似表示真实位移的分布规律， 对每个单元假设一个简单的位移函数近似表示真实位移的分布规律， 该假设位移函数由单元节点的位移表示——通常为插值函数 通常为插值函数 该假设位移函数由单元节点的位移表示 通常为 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程 即单元刚度方程） 单元节点的平衡方程（ 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程） 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程 整体的刚度方程， 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程， 这是一组以节点位移为未知量的线形方程组
例：位移法中，用虚位移、虚加速度、虚速度等
分部积分形式
C,D,E,F为较 低阶的算子 为较A低阶的算子 为较
9
数值计算方法分类
特点
差分法
离散求解域；差分代替微分； 离散求解域；差分代替微分；解代 数方程组
优缺点
要求规则边界， 要求规则边界，几何形状 复杂时精度低 适合简单问题， 适合简单问题，复杂问题 很难解决
边界条件
在 Ω内
B1 (u ) B (u ) = B2 (u ) = 0 ...
在Γ上
Γ
Ω
A( u ) = 0
x
A、B----微分算子（如对坐标或时间的 、 微分算子（ 微分算子 微分） 微分） u----未知场函数，可为矢量场（如位移、 未知场函数， 未知场函数 可为矢量场（如位移、 应变、应力等），也可为标量场（ ），也可为标量场 应变、应力等），也可为标量场（如温 度）
• 离散化过程
– 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连 先将求解域离散为有限个单元， 求解域离散为有限个单元 接；——即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替 即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替
力学模型
(平面应力问题 平面应力问题) 平面应力问题
P
有限元模型
P
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位移法基本过程
12
有限元法基本思想
• 有限元法分类
1）位移法：基于最小势能原理或虚功原理 ）位移法：
以位移为基本未知量的求解方法
2）力法： 基于最小余能原理 ）力法：
以应力为基本未知量的求解方法
3）杂交法：基于修正余能原理 ）杂交法：
在单元内假设位移场（或应力场）、而在边界上假设 在单元内假设位移场（或应力场）、而在边界上假设 ）、 应力场（或位移场） 应力场（或位移场）的方法
根据变形特征分体积成形和板料成形 根据变形特征分体积成形和板料成形 根据材料特征分弹塑性和刚塑性、 根据材料特征分弹塑性和刚塑性、刚粘塑性等 几何大变形等边界非线性问题
数值模拟的价值
• 产品研究的目标是确定高质量产品的优化准则 不同的产品要求不同的优化准则， 不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则 需要对产品制造过程的全面了解。 需要对产品制造过程的全面了解。如果不掌握诸如摩擦 条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对 条件、材料性能、工件几何形状、 成形过程的影响， 成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工 设备，更无法预测和防止缺陷的生成。 设备，更无法预测和防止缺陷的生成。 • 传统工艺分析和模具设计，依靠工程类比和设计经验 传统工艺分析和模具设计， 经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程 经过反复试模修模， 中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。 中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。 不能满足复杂过程的分析
0 0
u1 X 1 v1 Y1 2 k14 u 2 X 2 = 2 k 24 v 2 Y2 2 k 34 u 3 X 3 2 k 44 v3 Y3 0 0
单元1节点力平衡方程 单元 节点力平衡方程
单元1节点1在x方向力 单元1节点1在y方向力 单元1节点2在x方向力 单元1节点2在y方向力
1 1 1 1 1 1 Fx11 = k11u1 + k12 v1 + k13u1 + k14 v1 2 2 1 1 1 1 1 1 Fy11 = k21u1 + k22 v1 + k23u1 + k24 v1 2 2 1 1 1 1 1 1 Fx12 = k31u1 + k32 v1 + k33u1 + k34 v1 2 2 1 1 1 1 1 1 Fy12 = k41u1 + k42 v1 + k43u1 + k44 v1 2 2
注： ij ke
表示第e个单元的第 个自由度产生单位位移 表示第 个单元的第j个自由度产生单位位移，而其它自由度上 个单元的第 个自由度产生单位位移，
的位移为零时，第i个自由度上所受的力。常称其为单元的刚度系数。 的位移为零时， 个自由度上所受的力。常称其为单元的刚度系数。 个自由度上所受的力
20
实例1 实例 单元分析
y
B( u ) = 0
6
成形问题的一般描述
实例： 实例：汽车覆盖件 弹塑性力学问题
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
成形问题的一般描述
实例： 实例：动力问题
偏微分方程A(u)=0
运动微分方程 弹塑性本构方程 几何方程 Mises强化的后继屈服函数
&& & σ ij , j + bi − ρui − γui = 0
ep σ ij = Dijkl ε kl
∆l1 EA = AE = cos θ l1 l1
19
实例1 实例 单元分析
• 节点 作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为： 节点1作用于单元 上的力 方向的分量分别为： 作用于单元 上的力， 和 方向的分量分别为
1 k11
EA = cos 2 θ l1
1 k 21
EA cos θ sin θ = l1
4
• 建立过程遵循的基本方程
即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题， 即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题 建立基本方程所研究的对象是无限小的单元。 等。建立基本方程所研究的对象是无限小的单元。
• 边界条件的限制
只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的成形问题， 只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的成形问题， 还无法给出精确的解答， 还无法给出精确的解答，例如汽车覆盖件在成形中的成形性能问 题。
1 & & (ui , j + u j ,i ) 2 ' ' f (σ ij , κ ) = σ ijσ ij / 2 − σ 2 (ε p ) / 3 = 0
ε ij =
边界条件B(u)=0
应力边界条件 位移边界条件
σ ij n j = pi
ui = ui
σ ij n j = q i
8
偏微分方程弱解的积分形式
材料成形数值模拟
第一章 有限元法基础
•材料成形问题 材料成形问题 •成形问题的描述 成形问题的描述 •有限元方法的基本思想 有限元方法的基本思想 •有限元法的基本概念 有限元法的基本概念 •有限元法的几个热点问题 有限元法的几个热点问题 •有限元的历史、发展和方向 有限元的历史、 有限元的历史
材料成形问题
• 同理，节点2作用于单元 上的力，其大小与之相等，方向相反， 作用于单元1上的力 同理，节点 作用于单元 上的力，其大小与之相等，方向相反， x和y方向的分量分别记为： 方向的分量分别记为： 和 方向的分量分别记为
1 k 31
EA =− cos 2 θ l1
1 k 41
EA =− cos θ sin θ l1
16
实例1 实例 铰链
Y2
• 问题描述：两杆①、②在点 问题描述：两杆① 2处铰接，1、3点被约束，2 处铰接， 、 点被约束 点被约束， 处铰接 点受X2、 的作用力 的作用力， 点受 、Y2的作用力，求 方向的位移。 点2在x、y方向的位移。 在 、 方向的位移 • 几何属性：杆粗细均匀，截 几何属性：杆粗细均匀， l 面积为A， 面积为 ，长分别为 l1 ，2 • 材料属性：弹性模量为E 材料属性：弹性模量为
2
①
y
X2 ②
1
θ
3
x
17
实例1 实例 结构离散
2
Y2 X2 ②
• 节点位移向量表示： 节点位移向量表示：
1 1 {δ 1} = [u1 , v1 , u1 , v1 ]T 2 2
①
1
θ
3
• 节点力向量表示： 节点力向量表示：
{F } = [ F , F , F , F ]
1 1 x1 1 y1 1 x2 1 T y2
• 提出数值方法
现代金属成形工艺分析过程中， 现代金属成形工艺分析过程中，需要了解工件在成形过程中的 具体参数，建立适当的“过程模拟”非常重要。 具体参数，建立适当的“过程模拟”非常重要。
5
成形问题的一般描述
A1 (u ) A(u )= A2 (u ) = 0 偏微分方程组 ...
4）混合法：基于Reissner变分原理 ）混合法：基于Reissner变分原理 Reissner
部分采用位移场， 部分采用位移场，部分采用应力场
13
位移法基本过程
1）离散化过程 ） 2）单元平衡方程组装过程 ） 3）约束处理过程 ） 4）方程组求解过程 ） 5）应变、应力回代过程 ）应变、
14
位移法基本过程
约束处理过程
添加必要的约束，如节点位移， 添加必要的约束，如节点位移，节点力
方程组求解过程
求解该方程组即可， 求解该方程组即可，比如高斯消去法 等
应变、应力回代过程 应变、
由位移计算应变（几何方程）和应力（本构关系） 由位移计算应变（几何方程）和应力（本构关系）
反复加载， 反复加载，直到成形过程结束
矩阵形式为 单元2节点力平衡方程 单元 节点力平衡方程
{ }
F1 = K1 δ 1
{ }
{F 2} = K 2 {δ 2}
21
实例1 实例 整体分析
• 整体分析： 作用于每个节点上的节点力平衡，即 整体分析： 作用于每个节点上的节点力平衡，
∑F
e=1
1 k11 1 k 21 1 k 31 1 k 41 0 0 1 k12 1 k 22 1 k 32 1 k 42
整体场函数用近似函数代替； 等效积分法（加 整体场函数用近似函数代替；微分
权余量法或泛函变 分法） 分法）
方程及定解条件的等效积分转化为 某个泛函的变分， 某个泛函的变分，即求极值问题 离散求解域； 离散求解域；分片连续函数近似整 体未知场函数； 体未知场函数；解线形方程组
有限元法
节点可任意配置， 节点可任意配置，边界适 应性好； 应性好；适应任意支撑条 件和载荷； 件和载荷；计算精度与网 格疏密和单元形态有关， 格疏密和单元形态有关， 精度可控
• 同理可求 u2、v1、v2 分别作单位位移时相应的刚度系数，考虑到 分别作单位位移时相应的刚度系数， 1 Fx1, Fy11, Fx12 , Fy12 1 1 节点的实际受力为 和实际位移为 u1 , v1 , u1 , v1 ，则 2 2 据各个节点节点力平衡得： 据各个节点节点力平衡得：
1 1 1
10
有限元方法
• 结构，成形，铸造，注塑等。如波音 747客机 • 线弹性问题外，弹塑性、稳定性、大变形、粘弹 性、热应力、蠕变、振动、动力响应、断裂、疲 劳裂纹扩展、温度场、油箱晃动、噪声响应和颤 振分析等
11
有限元法基本思想
• 基本思想
1）将连续的求解系统离散为一组由节点相互联 ） 在一起的单元组合体 2）在每个单元内假设近似函数来分片表示系统 ） 的求解场函数
v1 2
Fy12 u
1 2
Fy22 Fx12
2
Fy11
1 v1
2
②
①
Fx22
Fy23 u
1 1
1
Fx11
3
Fx23
18
实例1 实例 结构离散
• 节点 沿x方向的位 节点1沿 方向的位 1 移 u1 = 1 、其余节点位移 全为0时轴向压力为 时轴向压力为： 全为 时轴向压力为：
σA = AEε
∆l1
e x1
= Xi
∑F
e=1
1 k14 1 k 24
e y1
= Yi
• 结合前式推导得：
1 k13 1 k 23 1 2 k 33 + k11 1 2 k 43 + k 21 2 k 31 2 k 41
0 0
2 k13 2 k 23 2 k 33 2 k 43
1 2 k 34 + k12 1 2 k 44 + k 22 2 k 32 2 k 42
单元平衡方程组装过程
对每个单元假设一个简单的位移函数近似表示真实位移的分布规律， 对每个单元假设一个简单的位移函数近似表示真实位移的分布规律， 该假设位移函数由单元节点的位移表示——通常为插值函数 通常为插值函数 该假设位移函数由单元节点的位移表示 通常为 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程 即单元刚度方程） 单元节点的平衡方程（ 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程） 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程 整体的刚度方程， 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程， 这是一组以节点位移为未知量的线形方程组