数学建模基础案例1

可以看出，当学习次数n增大时， 随之增大，且越 来越接近于1（100%），但不会达到100%。这就说 明了一个道理：熟能生巧，学无止境！
模型解释及应用
• 不妨假设在学习过程中，掌握95%以上的学习 内容就算基本掌握。根据以上模型来计算至少需 要学习多少次？ 一般情况下， =0,即开始学习时，对电脑一无所知， 如果每次学习掌握程度为30%,逐个代入数据，如表 2-1所示。 表2-1 学习次数与掌握程度关系表
• 计算机的零售利润函数为：
模型求解 寻找x1 , x2使得利润函数取得最大值
L R C 2 2 -0.1x1 0.1x2 0.07 x1 x2 1440x1 1740x2 400000
公司应制造27英 寸与31英寸的计 算机数分别为 4763台与7043台， 才能使得利润最 大9136419,。25 美元。
x x (t t ) x (t ) rx ( t ) t t
x ( t ) ce kt x (0) x 0
dx rx ( t ) dt x (0) x 0
x ( t ) x 0 e kt
56 e k 0.17 40
问题分析 利润=销售收入-成本-固定费用 关键：确定两种产品 的生产数量、销售数 27寸销 31寸销 27寸生 31寸生 量以及市场价格。
售收入 售收入 产成本 产成本
模型假设
假设制造的所有计算 机都可以售出。
27寸 销售 数量 与市 场价 格
31寸 销售 数量 与市 场价 格
27寸生 31寸生 产数量 产数量 x 为27英寸显示器的计算机数； 1
2k
x (t ) x 0 e x ( 3) 56， x ( 5 ) 40
kt
x 0 e 3 r 56 5r x e 40 0
x0e30.17 56 x0 56e30.17 93.25 80
模型应用
由于初始时刻司机的血液中酒精浓度约为93.25mg/mL> 80mg/mL，故发生事故时，司机血液中的酒精浓度已超 出醉酒驾车规定，属于醉酒驾车，应给予严肃处理。
1.3 微分方程在数学建模中的应用 案例一 “饮酒驾车”问题
据报载，2003年我国全国道路交通事故死亡人数104372 人，其中因饮酒驾车造成事故的占有相当的比例。针对 这种情况，国家质量检验检疫局2004年5月31日发布了新 的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国 家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量 大于或等于20mg/100mL小于80mg/100mL为饮酒驾车， 血液中酒精的含量大于或等于80mg/100mL为醉酒驾车。 现有一起交通事故，在事故发生3小时后，测得司机血 液中酒精含量是56mg/100mL,又过两个小时后，测得其 酒精含量降为40mg/100mL,据此，交警能判断事故发生 时，司机属于饮酒还是醉酒驾车而酿成交通事故？
2 y2 (l x ) 2
确定x满足什么条件时，上式模型取得最小值。
v2
t (x)
、
0 2 2 2 2 2 v1 y1 x v2 y2 (l x)
x
l x
x0
| MN | x2 x1, | MP | x* x1, 记x2 x l, x* x1 x, 则 | ＮＰ| ＝x2 x* l x.
| MN | x 2 x1 , | MP | x x1 , 为了方便， * 记 x 2 x l , x x1 x , 则有 NP 的长度为： * x 2 x l x.

2 y2 (l x ) 2
v1
v2ຫໍສະໝຸດ 模型求解t(x)
y 12 x 2 v1

模型建立
记bn为经过n次学习电脑后所掌握的程度。很明显， 0 b0 1。 根据上面的假设， 1 - b 0就是开始第一次学时尚未掌握的新内 容，经过一次学习掌握的新内容为A(1 b0 ), 于是
b1 b0 A(1 b0 )
类似的有 b2 b1 A(1 b1 )。以此类推，得到经过 n次学习 电脑后所掌握的程度为 bn1 bn A(1 bn )，n 0,1,2,.... 即 bn1 (1 A)bn A，n 0,1,2,....
• 假设1 把这一物体视为质点； • 假设2 假设该质点在上平面运动速度为v1 ,在下平面为v2。 假设3 该质点在上下平面都沿直线运动。
此时再来考虑最短时间 的路径问题。同样假设 * 其运动路径与 x轴的交点 p ( x ,0).这时， Ap , Bp 肯定不在一条直线上（ 为什么？）。
y
A( x1, y1 )
符号说明
x2为31英寸显示器的计算机数； pi为xi (i 1或2)的零售价格； R为计算机零售收入； C为计算机的制造成本； L为计算机零售的总利润。
模型建立 • 27英寸显示器计算机的零售价：
P1 3390 0 . 1 x 1 0 . 03 x 2 ;
• 31英寸显示器计算机的零售价：
y A(x1,y1)
• 问题分析：显然该物体在上 简 平面和下平面都做直线运动，并 单 且上下平面的两条运动直线在同 情 一条直线上时，花费时间最短。 形
p x
o
B(x2,y2)
模型假设
假设1 把这一物体视为质点； 假设2 考虑最简单的情形，假设该质点在上下两个 平面都沿直线运动，并且运动速度恒定。
案例1 反复学习及效率 问题背景
心理学研究指出，任何一种新技能的获得和提高都 要通过一定时间的学习。在学习中，常常会碰到这 样的现象，这个学生学得快，掌握得深，而哪个学 生学得差，掌握得浅。
问题
以学习电脑为例，假设每学习电脑一次，能掌握一 定的新内容，其程度为常数A(0<A<1),试用数学知识 来描述经过多少次学习，就能基本掌握电脑知识。
问题分析 基本能掌握电脑知识，其掌握的程度应该
是接近于1的时候。那么，关键是如何确定经过n次后， 掌握电脑知识程度的函数表达式，从而确定n。
模型假设
假设 1： b0 为开始学习电脑时所掌 握的程度。
假设 2：A表示经过一次学习之后 所掌握的程度，即 每次学习所掌握的内容 占上次学习内容的百分 比。
P2 3990 0 . 04 x1 0 . 1 x 2 ;
• 计算机的零售收入与制造成本分别为：
RP 1 x1 Px2 , C 400000 1950x1 2250x2
L R C 2 2 -0.1x1 0.1x2 0.07 x1 x2 1440x1 1740x2 400000
n bn 1 0.3 2 0.51 3 0.66 4 0.76 5 0.83 6 7 8 9 10 0.88 0.92 0.94 0.96 0.97
• 随着学习的进行，掌握速度越来越慢，这也是学 习的道理，入门容易，深入钻研难！
案例2 最短路径问题 问题
设某一物体在平面上运动，当它由上平面A(x1,y1) 运动到下平面B(x2,y2)(y1>0,y2<0)时，问此物体应 沿什么路径运动，才能使其花费的时间最短？
模型求解
由上式模型得
b1 (1 A)b0 A 1 (1 b0 )(1 A) b2 (1 A)b1 A 1 (1 b1 )(1 A) M n bn (1 A)bn 1 A 1 (1 b0 )(1 A) , n 1,2,...
模型评注
应当说，对于“饮酒驾车”建立上述模型是有一些粗糙的， 饮酒视为口服药物在人体的分布与排除更为合理，但这样 处理的话，需要确定更多的数据，增加了问题的难度。
问题分析
通过酒精浓度的改变速率来推算出初始时刻司机的 酒精含量。
模型假设
假设1：司机血液中酒精的浓 度减少率 r常数； 设时刻 t肇事司机血液中的酒精 浓度为 x (t )，初始时刻 x (0) x0。
模型的建立及求解
时间间隔 [ t ， t t ]内，酒精浓度该变量： x x ( t t ) x ( t ) rx ( t ) t
对利润函数L分别关于x1 , x2求偏导 L 1140 0 . 2 x1 0 . 07 x 2 0 x1 L 1740 0 . 07 x1 0 . 2 x 2 0 x 2 解方程得
x1 4736， x 2 ,7043
则L(4736,7043)=9136410.25美元
模型建立
记速度为 v，显然该质点在上下平 面都做直线运动， 因此只需求出它的运动 路径与 x轴的交点即可， 即可建立时间与速度、 路程之间的关系模型为 ： AP BP t v v
模型求解
当AP，BP在一条直线上时，模型的值最小。因 此，直线段APB就是最节省时间的路径。
光的折射定理模型 模型假设

o M N
模型建立
现在问题转化为假定物体沿 折线ApB运动其所用时间最 省，求p点的坐标。 x 点 A ，点 B 到 x轴的距离分
B(x2, y2)
p(x*,0)

别是 AM y1和 BN y 2 (如图所示 )
*
那么质点从点 A经过点 p到点 B所需的总时间是： t ( x)
2 y1 x2
2 2 v1 y1 x0
x x0
l x0
2 v2 2 2 y2 (l x0)
sin v1 sin v2
入射角正弦与折射角正弦之比等于光在两种介质中的速度之比！
1.2 多元函数微积分在数学建模中的应用 案例一 竞争性产品生产中的利润最大化
一家制造计算机的公司计划生产两种产品：一种使用27英寸显示 器的计算机，而另一种使用31英寸显示器的计算机。除了400000 美元的固定费用外，每台27英寸显示器的计算机成本为1950美 元，而31英寸的计算机成本为2250美元。制造商建议每台27英寸 显示器的零售价格为3390美元，而31英寸的零售价格为3990美元。 营销人员估计，在销售这些计算机的竞争市场上，一种类型的计 算机每多卖出一台，它的价格就下降0.1美元。此外，一种类型的 计算机的销售也会影响另一种类型计算机的销售：每销售一台31 英寸显示器的计算机估计27英寸显示器的零售价格下降0.03美 元；每销售一台27英寸显示器的计算机，估计31英寸显示器的计 算机零售价格下降0.04美元。那么该公司应该生产每种计算机多 少台，才能使利润最大？