通信原理-带通信号传输原理

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频谱公式证明：
由于 Re{×} = 1 {×} + 1 {×}* 可得
22
v(t) = Re{g(t)e jwct } = 1 g(t)e jwct + 1 g*(t)e- jwct
2
2
由 F[g*(t)] = G*(- f )可得
V(
f
)
=
1 2
{G(
f
-
fc ) + G*(-
f
-
fc )}
s(t) = Re{g(t)e jwct}
复包络g(t)是调制信号m(t)的函数，即
g(t) = g[m(t)]
11
以AM调制为例：
g(t) = Ac[1+ cos(wmt +jm)]，则
x(t) = Re{g(t)} = Ac[1+ cos(wmt +jm)], y(t) = Im{g(t)} = 0
1 [ (
4
f
fc
fm) ( f
fc
fm )]
20
lim Pv
1 2
| g(t) |2 1 2
T
1 T
T /2
(1 cosmt)2 dt
T / 2
lim
1 2
T
1 T
T /2
(1 2 cosmt cos2 mt)dt
T / 2
lim
1 2
T
1 T
T /2
[1 2 cosmt
v(t) = Re{g(t)e jwct }
g(t)称为v(t)的复包络，g(t)是时间的复函数，为基带波形。 v(t)为带通波形，是实函数。ωc是载波频率。
wc = 2p fc
复包络的特点是统一了各种调制信号的数学描述。
8
2 极坐标形式
v(t) = R(t)cos[wct +q(t)]
R(t)为v(t)的调幅（AM），是非负实函数；θ(t)是实波形， θ(t)为v(t)的调相（PM），是实波形。本表示法的特点 是独立的描述了信号的包络和相位。
2
G( f
) ( f
)
1 { ( f
2
fm) ( f
fm )}
19
V(f
)
1 { (
2
f
fc)
1 [ (
2
f
fc
fm) (
f
fc
fm )]
*(
f
fc)
1 [ *(
2
f
fc
fm ) *(
f
fc
fm )]}
1 [ (
2
f
fc) (
f
fc )]
1 [ (
4
f
fc
fm) (
f
fc
fm )]
定理2：归一化PEP为：
PPEP
1 [max | 2
g(t)
|]2
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例：设g(t)=1+cos(mt)，求已调信号v(t)的频谱，归一化功 率Pv和峰值包络功率。
解：根据定义有，
v(t) Re{ g(t)e j2fct }
g(t) 1 cos(2fmt)
1 1 {e j2fmt e } j2fmt
公式，上式可以写成：
x(t) Re{ A(t)e j(t)e j2f0t }
即
x(t) Re{~x (t)e j2f0t }
5
其中
~x (t) A(t)e j(t)
就是实信号的复包络。这是复包络的极坐标形式 或指数形式。 通常可以很方便的以矩形波的形式来表示复包络 ，即
~x (t) xd (t) jxq (t)
y(t) Ax(t Td )
无失真传输系统要求其传递函数H(f)同时满足：
幅度条件： | H ( f ) | A
相位条件： ( f ) 2fTd
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2. 带通信号无失真条件
对于带通信号，由于它由复包络信号和载波信号的乘积构 成，若能分别满足复包络波形无失真和载波波形无失真 ，则认为带通信号无失真。这样，无失真传输带通系统 的传递函数可描述为，在信号的有效频带内满足：
g(t)
低通滤波器
g1(t)
vo(t)
K(f)
G(f)
G1(f)或K(f)
f
Vo(f)
f 23
从上图可以看出，两个模型的输出效果相同。带通滤波的 作用等效于低通系统中低通滤波
定理：带通滤波器的输入、输出和冲击响应的关系是：
1
1
1
2 g2 (t) 2 g1(t)* 2 k(t)
式中g1(t)、g2(t)是输入输出信号的复包络，k(t)是滤波器冲 击响应的复包络。对应于频域有：
f=±fc，fc>>0附近频带上不为零，而在其他频率值上 可以忽略不计的波形。 调制定义：调制是指通过改变信号的幅度或相位将源信 息加载到载频为fc的带通信号上的过程。这个带通信 号称为已调信号s(t)。源基带信号称为调制信号m(t)。 例如：m(t)cos(ωct) 和 Asin[ωct+m(t)]
2 正交形式
v(t) = x(t)coswct - y(t)sinwct
x(t)为v(t)的同相分量，y(t)为v(t)的正交分量。x(t)和y(t)均 为基带波形，是实波形。它是负数表示法的直接展开 ，其特点是将带通信号显示表示为两路同频的独立的 信号。
9
各物理量之间的关系
g(t) = x(t) + jy(t) =| g(t) | e jÐg(t) º R(t)e jq(t)
同相分量 正交分量
6
运用欧拉公式，复包络的指数形式可改写为： ~x(t) A(t) cos(t) jA(t)sin(t)
因此，可得：
xd (t) A(t) cos(t)
xq
(t)
A(t ) sin (t )
7
复包络表示 这里的带通信号，可以是已调信号，或者受扰信号，或者
噪声 带通波形的表示形式 1 复数形式
(
f
)
1 2
K(
f
)
例如：设带通滤波器的传递函数为：
H BPF ( f )
f fc 2B
f fc 2B
则它等效的低通滤波器的传递函数为：
H LPF ( f )
f 2B
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线性失真 1. 波形无失真的条件 若输出输入波形之间仅仅是幅度比例和延时常数不同，则
认为输出输入波形之间无失真。
g(t) = x(t)+ jy(t) = [5+sin(100pt)]+ j[cos(100pt)]
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功率计算
定理1：带通波形v(t)的全部平均归一化功率
Pv
v2 (t)
Pv ( f )df
Rv
(0)
1 2
|
g(t)
|2
归一化是指负载为1欧姆。
定义：峰值包络功率（PEP）指|g(t)|在其峰值处保持常数时 得到的平均功率。
通信原理
第四章 带通信号传输原理
1
第四章 带通信号传输原理
本章要点
复包络及已调信号 带通信号的频谱 线性与非线性失真 典型通信电路
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带通波形的复包络表示
基带、带通及调制 基带波形定义：基带波形是指其频谱强度再原点(f=0)附
近不为零，而在其他频率值上可以忽略不计的波形。 带通波形定义：带通波形是指其频谱强度在某一频率
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带通信号的频谱
定理：带通波形如下
v(t) = Re{g(t)e jwct }
其频谱为：
V(
f
)
=
1 [G( 2
f
-
fc ) + G*(-
f
-
fc )]
其波形的功率谱密度（PSD）为：
Pv (
f
)
=
1 4
[Pg
(
f
-
fc ) +
Pg (-
f
-
fc )]
式中，G(f)为g(t)的傅立叶变换，Pv(f)为g(t)的PSD
3
复包络的时域表示
一般的带通信号，如在调制器的输出端所看到的， 可以表示成下面的形式： x(t) A(t) cos[2f0t (t)]
这里A(t)是信号的幅度，或者说是实包络，(t)是相 对于2f0t的相位偏移。
4
如果上式表示的是调制器的输出信号，f0是载波
频率，2f0t是未调制载波的瞬时相位。根据欧拉
幅度条件： |H(f)| = A
相位条件： θ(f) = -2πfTg + θ0 对应的带通输入输出信号为：
即：
1
2p
dq( f )
df
= Tg
vi(t) = x(t)cosωct – y(t)sinωct vo(t) = Ax(t-Tg)cos[ωc(t-Td)] – Ay(t-Tg)sin[ωc(t-Td)] 其中： Td = Tg-θ0/ωc
x(t) = Re{g(t)} º R(t)cosq(t) y(t) = Im{g(t)} º R(t)sinq(t)
R(t)D g(t) º x2(t) + y2(t)
q
(t
)DÐg(t
)
=
tan-1
æ ç
y(t
)
ö ÷
è x(t)ø
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已调信号的表示方法 调制是将源信息m(t)加载到带通信号s(t)的过程。 已调信号是一种带通信号，即
1 2
G2
(
f
)
1 2
G1(
f
)
1 2
K
(
f
)
注意：带通滤波器的冲击响应和传递函数为
h(t)
Re[k(t)e jct ]
H(
f
)
1 [K ( 2
f
fc)
K * (
f
fc )]
24
式中：
1 K( f 2
fc )
对应于带通滤波器右半轴频谱波形
相对于带通滤波器H(f)，等效的低通滤波器的传递函数为
H LPF
信号 g(t)
载波
处理
电路
发射机
r(t) 信道
载波 电路
信号 处理
接收机
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不同调制对应的g(t)不同。选取g(t)的原则： 1、易于实现，能产生所需频谱特性； 2、接收端能求出反函数m(t)=m[g(t)]，该反函数在 所使用的域上必须是单值对应且易于实现； 3、映射应抑制尽可能多的噪声，以使m(t)能以较 小的失真恢复。
若g(t)为实信号，则
V(
f
)
=
1 2
{G(
f
-
fc ) + G(
f
+
fc )}
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例：设带通信号为
v(t) = 5cos(1000pt)+ sin(1100pt)
其中：载波频率为500Hz。求信号的复包络。 解：将公式中的各项表示为载波的和频或差频，然后简化
v(t) = 5cos(1000pt)+ sin(100pt)cos(1000pt) +cos(100pt)sin(1000pt) = [5+ sin(100pt)]cos(1000pt) + cos(100pt)sin(1000pt)
T / 2
1 2
(1
c
os
2mt
)]dt
1 (1 1) 3 2 24
PPEP
1 [max | 2
g (t )
|]2
1 [11]2 2
2
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带通滤波器和线性失真
等效低通滤波器 带通滤波系统模型如图
g(t)
带通滤波器 vo(t)
H(f)
G(f) f
Hb(f) V1(f)
Vo(f)
f 22
低通滤波系统模型如图
R(t) = Ac |1+ cos(wmt +jm) |,
q
(t
)
=
tg-1
æ ç è
y(t x(t
) )
ö ÷ ø
=
tg-1
æ ç è
0 x(t
)
ö ÷ ø
=
ìï í îï
0, 1800,
x(t) > 0 x(t) < 0
üï ý þï
注意：θ(t)≠φm
一般而论，带通信道的通信系统为：
12
m(t)
27
|H(f)| A
信号带宽
fc
f
(a)幅度响应
fc
f
(b)相位响应
28