MINITAB统计基础

MINITAB统计基础

1.正态总体的抽样分布

1)样本均值X的分布——标准正态分布及T分布

样本标准差计算公式：

◆T分布的定义：Student t distribution，如果X服从标准正态分布，S2服从个自由度的卡方分布，且

它们相互独立，那么随机量

所服从的分布称为ν个自由度的t分布。其分布密度函数为：

当ν ∞时的极限分布即是标准正态分布，

当ν=1时就是Cauchy分布。

T分布只包含1个参数。数学期望和方差分别为0，νν-2（ν≤1时期望不存在，ν≤2方差不存在）。我

们常常用tν表示υ个自由度的t分布。MINITAB对于更一般的t分布还增加了一个“非中心参数”，当非中心参数为0时，就得到了我们现在所说的t分布。在用MINITAB计算时，只要注意这一点就行了。

自由度：可以简单理解为在研究问题中，可以自由独立取值的数据或变量的个数。

范例：

✧Z~N(0，1)，求Z=1.98时的概率密度。

计算----->概率分布----->正态分布----->概率密度----->输入常数1.98----->确定

概率密度函数

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1

x f( x )

1.980.0561831

✧Z~N0，1，求PZ<2.4。

计算----->概率分布----->正态分布----->累积概率----->输入常数2.4----->确定

累积分布函数

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1

x P( X <= x )

2.4 0.991802

✧Z~N(0，1)，求使得P(Z

计算----->概率分布----->正态分布----->逆累积概率----->输入常数0.95----->确定

逆累积分布函数

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1

P( X <= x ) x

0.95 1.64485

✧自由度=12，求使得PZ

计算----->概率分布----->t分布----->逆累积概率----->输入自由度12----->输入常数0.95----->确定

逆累积分布函数

学生 t 分布，12 自由度

P( X <= x ) x

0.95 1.7822

自由度=12，求使得Pt≤3。

计算----->概率分布----->t分布----->累积概率----->输入自由度12----->输入常数3----->确定

累积分布函数

学生 t 分布，12 自由度

x P( X <= x )

3 0.994467

2)双样本均值差的分布

3)正态样本正态样本方差S2的分布——卡房卡方分布

若X1，X2，……,Xn是从正态总体Nμ，σ2中抽出的一组样本量为n的独立随机样本，记

则当μ已知时：

当未知时，用X替μ后可以得到

其概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。

◆卡方分布的定义：把n个相互独立的标准正态随机变量的平方和称为自由度为n的卡方分布。它的密

度表达式为：

参数ν≥1称为自由度。

卡方分布有向右的偏斜，特别在较小自由度情况下（ν越小，分布越偏斜）。我们常用χ2ν表达自由度为ν的卡方分布。

卡方分布有很多用途，其中一项就是用来分析单个正态总体样本方差的状况；还可以用来进行分布的拟合优度检验，即检验资料是否符合某种特定分布；对于离散数据构成的列联表，也可以用来分析两个离散型因子间是否独立等。

◆卡方分布的性质

a)卡方分布的加法性：设X和Y彼此独立，且都服从卡方分布，其自由度分别为n1，n2。若令Z=X+Y，

则Z服从自由度为n1+n2的卡方分布。

b)若X∼χ2n，则EX=n ，VX=2n 。

计算下列各卡方分布的相关数值：

✧自由度=10，求使得Pχ2

计算-----> 概率分布-----> 卡方分布-----> 逆累积概率-----> 自由度=10 -----> 常数=0.95 -----> 确定

逆累积分布函数

卡方分布，10 自由度

P( X <= x ) x

0.95 18.307

自由度=10，求Pχ2≤28。

计算-----> 概率分布-----> 卡方分布-----> 累积概率-----> 自由度=10 -----> 常数=28 -----> 确定

累积分布函数

卡方分布，10 自由度

x P( X <= x )

28 0.998195

4)两个独立的正态样本方差之比的分布——F分布

两个独立的正态样本方差之比的分布是F分布。

设有两个独立的正态总体N(μ1，σ2) 和N(μ2，σ2) ，它们的方差相等。又设X1，X2，…，X n是来自N(μ1，σ2)的一个样本Y1，Y2，…，Y n是来自N(μ2，σ2) 的一个样本，这两样相互独立。它们的样本方差之比是自由度为n-1和m-1的F分布：

n-1称为分子自由度；m-1为分母自由度；F分布的概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。

实际上，F统计量就是由两个卡方随机变量相除所构成的，如果Χ∼χ2ν1 ，Y∼χ2ν2，且二者相互独立，则称二者比值的分布为F分布，即

其密度函数是：

F分布的应用非常广泛，尤其是在判断两正态总体方差是否相等以及方差分析（ANOVA）等问题上面。

计算F0.95（8，,18）的数值。

计算-----> 概率分布-----> F分布-----> 逆累积概率-----> 分子自由度=8 -----> 分母自由度=18 ----->常数=0.95 ----->确定