精选高二数学12月月考试题文
2021年高二数学12月月考试题
2021年高二数学12月月考试题一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线2．,为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A． B．C． D．3．三棱柱侧棱与底面垂直，体积为，高为，底面是正三角形，若是中心，则与平面所成的角大小是（）A． B． C． D．4．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（）A. B. C. D.5．如果一个水平放置的图形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底都为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A． B． C． D．6．下列四种说法中，错误的个数是（）①的子集有3个；②“若，则”的逆命题为真；③“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；④命题“，均有”的否定是：“，使”．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． C． D．8．椭圆的右焦点为，椭圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于，且，则椭圆的方程为( ) A． B． C． D．9．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（）A． B． C． 4 D．11．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面，为底面内1121 D CB A F E 的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为( )12．如图，在四面体中，，且两两互相垂直，点是的中心，将绕直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．在空间直角坐标系中，已知点，点在轴上，且到与的距离相等，则的坐标是 ．14．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 ．15．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形球盘，点是它的两个焦点，长轴长，焦距，静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线（不与长轴共线．．．．．．） 发出，经椭圆壁反弹后第一次．．．回到点时，小球经过的路程为 ．16．下列命题：①的三边分别为则该三角形是等边三角形的充要条件为；②在中，“”是“”的充要条件；③若命题命题则命题是假命题；④已知都是不等于零的实数，关于的不等式和的解集分别为，则是的充分必要条件；⑤“函数为奇函数”的充要条件是“”．其中正确的命题是 ．三．解答题（本题共5大题，共48分）17．（本小题满分8分）如图所示的多面体中，是菱形，是矩形， 面，．（1）求证：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．18．（本小题满分10分）设：实数满足，其中，：实数满足（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围．19．（本小题满分10分）已知某椭圆，它的中心在坐标原点，左焦点为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若已知点，当点在椭圆上变动时，求出线段中点的轨迹方程．20．（本小题满分10分）如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知.（1）求证：平面⊥平面；（2）（文科做）求直线与平面所成角的大小；（理科做）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为60°？21．（理科做）（本题满分10分）如图，已知三棱柱，侧面⊥底面.（1）若分别是的中点，求证：；（2）若三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为60°，问在线段上是否存在一点，使得平面⊥平面？若存在，求与的比值，若不存在，说明理由．21．（文科做）（本题满分10分）如图，四边形中，,//,6,4,2,,AB AD AD BC AD BC AB E F ⊥===分别在上，现将四边形沿折起，使得平面平面．（1）设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值．（2）当，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出的长，若不存在，说明理由；山西大学附中xx学年第一学期高三12月月考（总第三次）数学试题评分细则考试时间：90分钟考试内容（立体几何、简易逻辑、椭圆）一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1-6 AABBAD 7-12 DCBAAA二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 14. 15.20 16. ①②③三．解答题（本题共5大题，共48分）17．（本小题满分8分）解：（1）由是菱形…………………….1分由是矩形…………………….2分面面⊂⊂=,,BC BCF BF BCF BC BF B所以…………………….4分（2）连接，由是菱形，由面,，则为四棱锥的高…………………….6分由是菱形，，则为等边三角形，，…………………….7分由；则，…………………….8分18．（本小题满分10分）解：由，得，即为真命题时，，由，得，…………………….2分即，即为真命题时 . …………………….3分（1）时，p：，由为真知和均为真命题，则，得，所以实数的取值范围为．……………….6分（2）设，，由题意知是q的必要不充分条件，所以，……………….8分有，所以实数a的取值范围为．……………….10分19．（本小题满分10分）解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为F（﹣，0），∴a=2，c=，可得b=1因此，椭圆的标准方程为．……………….5分（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，……………….7分∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得， ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是． ……………….10分20．（本小题满分10分）解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ，∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ， ……………….2分又AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ， ……………….3分又BF∩CB＝B ，∴AF ⊥平面CBF. ……………….4分 ∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF. ……………….5分(2)由(1)知AF ⊥平面CBF ，∴FB 为AB 在平面CBF 内的射影，因此，∠ABF 为直线AB 与平面CBF 所成的角． ……………….7分∵AB ∥EF ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作FH ⊥AB ，交AB 于H.已知AB ＝2，EF ＝1，则AH ＝AB －EF 2＝12. 在Rt △AFB 中，根据射影定理得AF 2＝AH·AB，∴AF ＝1，sin ∠ABF ＝AF AB ＝12，∴∠ABF ＝30°. ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°. ……………….10分(3)设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，，，方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AD ＝t(t ＞0)，则点D 的坐标为(1,0，t)，C(－1,0，t)，又A(1,0,0)，B(－1,0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0， ∴＝(2,0,0)，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，t ， 设平面DCF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则n 1·＝0，n 1·＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝0x 2－32y ＋tz ＝0，令z ＝3，解得x ＝0，y ＝2t ，∴n 1＝(0,2t ，3)． ……………….7分 由(1)可知AF ⊥平面CFB ，取平面CBF 的一个法向量为n 2＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，0， ……………….9分 依题意，n 1与n 2的夹角为60°.∴cos 60°＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|， 即12＝3t 4t 2＋3·1，解得t ＝64. 因此，当AD 的长为64时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°. ………………10分21．（理科做）（本题满分10分）解：(1)证明：连接AC 1，BC 1，则AC 1∩A 1C ＝N ，AN ＝NC 1，因为AM ＝MB ，所以MN ∥BC 1. ………………2分又BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以MN ∥平面BCC 1B 1. ………………4分(2)作B 1O ⊥BC 于O 点，连接AO ，因为平面BCC 1B 1⊥底面ABC ，所以B 1O ⊥平面ABC ，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，3，0)，B(－1，0,0)，C(1,0,0)，B 1(0,0，3)．由＝＝，可求出A 1(1，3，3)，C 1(2,0，3)，设点P(x ，y ，z)，＝λ.则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋1，3－3λ，3， ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，3－3λ，3， ………………5分 ＝(－1,0，3)．设平面B 1CP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·＝0n 1·＝0，令z 1＝1，解得n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1＋λ1－λ，1. ………………7分 同理可求出平面ACC 1A 1的法向量n 2＝(3，1，－1)． ………………9分由平面B 1CP ⊥平面ACC 1A 1，得n 1·n 2＝0，即3＋1＋λ1－λ－1＝0，解得λ＝3，所以A 1C 1＝3A 1P ，从而C 1P ∶PA 1＝2. ………………10分21．（文科做）（本题满分10分）解：（1）因为平面ABEF 平面EFDC ，平面ABEF 平面EFDC ＝EF ，又AFEF ，所以AF ⊥平面EFDC ． ………………1分由已知BE ＝x ，，所以AF ＝x （0x4），FD ＝6x ． ………………2分 故222111112(6)(6)[(3)9](3)332333A CDF V x x x x x x -=⋅⋅⋅-⋅=-=--+=--+．所以，当x ＝3时，有最大值，最大值为3. ………………4分（2）存在使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时． ………………5分下面证明： ，过点作MP ∥FD ，与AF 交于点， ………………6分则有，又FD ＝，故MP ＝3，又因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MPEC ，故四边形MPCE 为平行四边形， ………………8分所以PC ∥ME ，又CP 平面ABEF ，ME 平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．…10分填空题每题一个打分板，解答题18一个打分板，其他解答题：17， 19，20，21每问各一个打分板，31546 7B3A 笺&29591 7397 玗C28698 701A 瀚31100 797C 祼28867 70C3 烃29676 73EC 珬20299 4F4B 佋cN DP38521 9679 陹。
贵州省六盘水市水城区2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学含解析
2023-2024学年第一学期高二质量监测数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{}2,4,1,3,4A B =-=-，则A B ⋃=（）A.{}4 B.{}2,1-- C.{}2,1,3-- D.{}2,1,3,4--2.在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则B 的坐标为（）A.()0,1,5- B.()2,0,5- C.()2,1,0 D.()2,1,5--3.直线270y --=的倾斜角为（）A.150B.30C.120D.604.若()()275f x x a x =+--为偶函数，则=a （）A.0B.5C.7D.95.已知椭圆22:1131x y M m +=-，则m 的取值范围为（）A.()1,+∞ B.()()1,1414∞⋃+ C.()0,∞+ D.()()1,1313∞⋃+6.已知直线0x y -=与圆22:(2)6M x y +-=交于,A B 两点，则AB =（）A.1 B.2 C.4D.7.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（）A.310B.15C.25D.128.已知椭圆22:153x y M +=，过点()1,P m ，斜率为35的直线l 与M 交于,A B 两点，且P 为AB 的中点，则m =（）A.1B.1- C.12D.12-二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知1F ，2F 分别是椭圆22:186y x M +=的上、下焦点，点P 在椭圆M 上，则（）A.M 的长轴长为B.M 的短轴长为C.1F 的坐标为()D.2PF 10.已知向量(),,2a m n =，()2,2,1b =- ，则下列结论正确的是（）A .若a b，则4,4m n ==- B.若a b，则4,4m n =-=C.若a b ⊥，则10-+=m n D.若a b ⊥，则10n m -+=11.若函数()πsin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 是奇函数C.()g x 的图象关于直线3π16x =对称D.()g x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12.在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心135,,O O O 在x 轴上，且15O O 24O O ，133524 2.6O O O O O O ===，圆2O 与圆4O 关于y 轴对称，直线1524,O O O O 之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（）A.设,M N 是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则,M N 两点间的距离的最大值为7.6B.小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)1x y +++=C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为2.2πD.小圆1O 与小圆2O 的公共弦所在的直线方程为1301101930x y -+=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()i 59i +的虚部为__________．14.已知方程2222660x y x y m ++-++=表示一个圆，则m 的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．15.已知正方体的外接球的体积为92π，则该正方体的棱长为__________．16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，其离心率12e =，P 和M 是椭圆C 上的点，且1260F PF ∠=，12F PF △的面积为3，O 是坐标原点，则1MF MO ⋅的最小值为__________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点(2,4)A --．（1）若l 经过点(1,1)B -，求l 的斜截式方程；（2）若l 在x 轴上的截距为4-，求l 在y 轴上的截距．18.已知圆M 的圆心的坐标为()1,2-，且经过点()2,1．（1）求圆M 的标准方程；（2）若P 为圆M 上的一个动点，求点P 到直线3150x y +-=的距离的最小值．19.已知,A B 分别是椭圆222:1(0)4y xM m m+=>的左顶点､上顶点，且5AB =（1）求点,A B 的坐标；（2）若直线l 与AB 平行，且l 与M 相切，求l 的一般式方程．20.如图，在直三柱111A B C ABC -中，1,2,4,6AC AB AC AB AA ⊥===，,E F 分别为1CA ，AB 的中点．（1）若11111EF xB B yB C zB A =++，求,,x y z 的值；（2）求1B C 与平面AEF 所成角的正弦值．21.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且πsin cos cos 4A b A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求B ；（2）若b =，求ABC 面积的最大值．22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，其离心率为33，M 是E上的一点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ AB的最小值．2023-2024学年第一学期高二质量监测数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{}2,4,1,3,4A B =-=-，则A B ⋃=（）A.{}4 B.{}2,1-- C.{}2,1,3-- D.{}2,1,3,4--【答案】D 【解析】【分析】由并集的定义求解.【详解】集合{}{}2,4,1,3,4A B =-=-，则{}2,1,3,4A B ⋃=--．故选：D2.在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则B 的坐标为（）A.()0,1,5- B.()2,0,5- C.()2,1,0 D.()2,1,5--【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件可得出点B 的坐标.【详解】在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则点B 的坐标为()0,1,5-.故选：A.3.直线270y --=的倾斜角为（）A.150B.30C.120D.60【答案】D 【解析】【分析】设直线的倾斜角为α，根据题意，得到tan α=，即可求解.【详解】由题意，该直线270y --=的斜率为k =设直线270y --=的倾斜角为α，可得tan α=，因为0180α≤< ，所以所求的倾斜角为60α= ．故选：D.4.若()()275f x x a x =+--为偶函数，则=a （）A.0 B.5C.7D.9【答案】C 【解析】【分析】求出()f x -的表达式，根据偶函数定义即可求出a 的值.【详解】由题意，()()275f x x a x =+--为偶函数，∴()()()()227575f x x a x x a x -=-----=--，()()=f x f x -，∴()77a a -=--，解得：7a =，故选：C.5.已知椭圆22:1131x y M m +=-，则m 的取值范围为（）A.()1,+∞ B.()()1,1414∞⋃+ C.()0,∞+ D.()()1,1313∞⋃+【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程，列出不等式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意得10,113,m m ->⎧⎨-≠⎩得1m >且14m ≠．故选：B6.已知直线0x y -=与圆22:(2)6M x y +-=交于,A B 两点，则AB =（）A.1 B.2C.4D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意圆心M 为(0,2)，半径r =，圆心M (0,2)到直线0x y -=，利用垂径定理即可求得弦长.【详解】圆心M (0,2)到直线0x y -==又圆的半径r =4AB ==．故选：C7.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（）A.310B.15 C.25D.12【答案】A 【解析】【分析】用列举法列举出样本空间，结合古典概型概率计算公式即可求解.【详解】记3克的砝码为1A ，2A ，1克的砝码为1C ，2C ，2克的砝码为B ，从中随机选取两个砝码，样本空间()()()()()()()()()(){}1211112221221212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C A C A B A C A C B C B C C C Ω=，共有10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为310．故选：A.8.已知椭圆22:153x y M +=，过点()1,P m ，斜率为35的直线l 与M 交于,A B 两点，且P 为AB 的中点，则m =（）A.1B.1- C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,P m 为,A B 的中点，可得12122,2x x y y m +=+=，代入椭圆的方程，两式相减，得出关于m 的方程，即可求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,P m 为,A B 的中点，可得12122,2x x y y m+=+=又由22112222153153x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()22221212121212125353x x x x y y y y x x y y -+-+--+=+()()121222053x x m y y --=+=，则()()1212113053535m y y m x x -+=+⨯=-，得1m =-．故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知1F ，2F 分别是椭圆22:186y x M +=的上、下焦点，点P 在椭圆M 上，则（）A.M的长轴长为 B.M的短轴长为C.1F的坐标为()D.2PF【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，即可求解.【详解】由椭圆22:186y x M +=，可得a =，b，则c ==，所以，椭圆M的长轴长为M的短轴长为1F的坐标为(，根据椭圆的几何性质，得到2PF的最小值为a c -=故选：ABD.10.已知向量(),,2a m n =，()2,2,1b =- ，则下列结论正确的是（）A.若ab，则4,4m n ==- B.若ab，则4,4m n =-=C.若a b ⊥，则10-+=m n D.若a b ⊥，则10n m -+=【答案】AC 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出,m n 的值判断A ，B ；根据向量垂直的坐标表示计算得出,m n 的关系判断C ，D.【详解】若a b，则2221m n ==-，得4,4m n ==-，故A 正确，B 错误；若a b ⊥ ，则2220a b m n ⋅=-+= ，即10-+=m n ，故C 正确，D 错误；故选：AC.11.若函数()πsin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 是奇函数C.()g x 的图象关于直线3π16x =对称D.()g x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得()πsin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，可得()πππsin 2sin 2888g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()g x 的最小正周期为π，且()g x 不是奇函数，所以A 正确，B 不正确；当3π16x =时，可得()3πππsin(2sin 11682g x =⨯+==，所以()g x 的图象关于直线3π16x =对称，所以C 正确；由π0,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ3π2,888x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，所以()g x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以D 正确．故选：ACD.12.在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心135,,O O O 在x 轴上，且15O O 24O O ，133524 2.6O O O O O O ===，圆2O 与圆4O 关于y 轴对称，直线1524,O O O O 之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（）A.设,M N 是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则,M N 两点间的距离的最大值为7.6B.小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)1x y +++=C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为2.2πD.小圆1O 与小圆2O 的公共弦所在的直线方程为1301101930x y -+=【答案】ABD 【解析】【分析】根据五圆的位置，求,M N 两点间的距离的最大值判断选项A ；由圆心坐标和半径求小圆2O 的标准方程判断选项B ；求每个圆环的面积判断选项C ；作差法求两圆公共弦所在的直线方程判断选项D.【详解】设每个大圆的半径为R ，每个小圆的半径为r ．因为152 2.6 5.2O O =⨯=，所以M ，N 两点间距离的最大值应为2.622 5.22 1.27.6R ⨯+=+⨯=，A 选项正确．依题意可得小圆2O 的圆心为()1.3, 1.1--，半径1r =，所以小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)x y +++=1，B 选项正确．因为每个圆环的面积为()22π0.44πR r-=，即0.44π5 2.2π⨯=，而五个圆环有重合的部分，所以图中五个圆环覆盖的区域的面积小于2.2π，C 选项错误．又小圆1O 的方程为22( 2.6)1x y ++=，所以小圆1O 和小圆2O 两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程2.6 2.2 3.860x y -+=，化简得1301101930x y -+=，D 选项正确．故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()i 59i +的虚部为__________．【答案】5【解析】【分析】由复数的乘法和复数虚部的定义求解.【详解】由题意得()i 59i 95i +=-+，所以()i 59i +的虚部为5．故答案为：514.已知方程2222660x y x y m ++-++=表示一个圆，则m 的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．【答案】①.()2,2-②.2【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到240m -+>，求出m 的取值范围，并根据244m -+≤求出半径的最大值.【详解】该方程可化为圆的标准方程222(1)(3)4x y m ++-=-+．由240m -+>，得22m -<<．因为244m -+≤，2=．故答案为：()2,2-，215.已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为__________．【答案】【解析】【分析】设该正方体的棱长为a ，由正方体的性质得得到对角线，也就是外接球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式得到关于a 的方程，求解即得.【详解】设该正方体的棱长为a，则该正方体的外接球的半径为22=.由4π332⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得a =.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，其离心率12e =，P 和M 是椭圆C 上的点，且1260F PF ∠=，12F PF △的面积为，O 是坐标原点，则1MF MO ⋅的最小值为__________．【答案】8【解析】【分析】设12,PF m PF n ==，由12F PF △的面积，解出mn ，在12F PF △中利用余弦定理，结合离心率12e =，求出,a c ，得椭圆方程，设()00,M x y ，表示出1MF MO ⋅ ，利用二次函数的性质求最小值.【详解】由12e =，得2a c =．设12,PF m PF n ==，则2m n a +=，121sin602F PF S mn == ，解得16mn =．在12F PF △中，()22222(2)2cos60343c m n mn m n mn a mn =+-=+-=- ，解得22212a c b -==，从而4,2a c ==，椭圆方程为2211612x y+=，()12,0F -，设()()-≤≤000,44M x y x ，则()2221000012484MF MO x x y x ⋅=++=++ ，当04x =-时，1MF MO ⋅的最小值是8．故答案为：8四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点(2,4)A --．（1）若l 经过点(1,1)B -，求l 的斜截式方程；（2）若l 在x 轴上的截距为4-，求l 在y 轴上的截距．【答案】（1）2y x =-（2）8-【解析】【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解；（2）根据截距式代入即可求解.【小问1详解】由题意得41121AB k -+==--，则l 的方程为11y x +=-，其斜截式方程为2y x =-．【小问2详解】设l 的截距式方程为1x ya b+=，由题意得241,4,a ba --⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得8b =-，所以l 在y 轴上的截距为8-．18.已知圆M 的圆心的坐标为()1,2-，且经过点()2,1．（1）求圆M 的标准方程；（2）若P 为圆M 上的一个动点，求点P 到直线3150x y +-=的距离的最小值．【答案】（1）22(1)(2)10x y -++=（2【解析】【分析】（1）根据题意，求得圆M的半径为r =，结合圆的标准方程，即可求解；（2）根据题意，求得圆心M到直线距离为，进而求得点P 到直线的距离的最小值．【小问1详解】解：因为圆M 的圆心的坐标为()1,2-，且经过点()2,1，可得圆M的半径为r ==，所以圆M 的标准方程为22(1)(2)10x y -++=．【小问2详解】解：由题意，圆心M 到直线3150x y +-=的距离为d ==，所以点P 到直线3150x y +-=的距离的最小值为=．19.已知,A B 分别是椭圆222:1(0)4y xM m m+=>的左顶点､上顶点，且AB =（1）求点,A B 的坐标；（2）若直线l 与AB 平行，且l 与M 相切，求l 的一般式方程．【答案】（1）()()1,0,0,2A B -（2）20x y -+=或20x y --=【解析】【分析】（1）根据椭圆的顶点可得22||54AB m ==+，求得m 即可得解；（2）根据直线得平行设:2l y x t =+，联立221,42,y x y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得228440x tx t ++-=，再利用Δ0=即可得解.【小问1详解】由题意得22||54AB m ==+，得21m =，又0m >，所以1m =，所以()()1,0,0,2A B -．【小问2详解】由题意得20201AB k -==+．因为l 与AB 平行，所以l 的斜率为2．设:2l y x t =+，联立221,42,y x y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得228440x tx t ++-=．因为l 与M 相切，所以()22Δ164840t t =-⨯-=，得t =±故l的一般式方程为20x y -+=或20x y --=．20.如图，在直三柱111A B C ABC -中，1,2,4,6AC AB AC AB AA ⊥===，,E F 分别为1CA ，AB 的中点．（1）若11111EF xB B yB C zB A =++，求,,x y z 的值；（2）求1B C 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）11,,022x y z ==-=（2）33535【解析】【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到1111122EF B B BC =- ，结合11111EF xB B yB C zB A =++，即可求解；（2）以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得()12,4,6B C =- 和平面AEF 的法向量为()3,0,1n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：由向量的线性运算法则，可得()11122EF AF AE AB AA AC =-=-+ ()111111112222AA AB AC B B B C =-+-=- ，又由11111EF xB B yB C zB A =++ ，所以11,,022x y z ==-=．【小问2详解】解：以1A 为坐标原点，11111,,AC A B A A 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()10,0,6,2,0,6,0,4,0,1,0,3,0,2,6A C B E F ，所以()()()12,4,6,1,0,3,0,2,0B C AE AF =-=-=．设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =r ，则3020n AE x z n AE y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取3x =，可得0,1y z ==，所以()3,0,1n =，设1B C与平面AEF所成的角为θ，可得11sin35||B C nB C nθ⋅==．21.已知ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且πsin cos cos4A b A B⎛⎫+=⎪⎝⎭．（1）求B；（2）若b=，求ABC面积的最大值．【答案】（1）π3B=（2）【解析】【分析】（1）由πsin cos cos4A b A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭，利用两角和的正弦公式得到sin cosb A B=，再利用正弦定理求解；（2）利用余弦定理，结合基本不等式得到8ac≤，然后利用三角形面积公式求解.【小问1详解】πsin cos cos4A b A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭，所以sin cos cos cosb A b A b A B+=，即sin cosb A B=．由正弦定理得sin sin cosB A A B=．由()0,πA∈，得sin0A≠，则sintancosBBB==，由()0,πB∈，得π3B=．【小问2详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则228a c ac =+-．由2282a c ac ac ac =+-≥-，得8ac ≤，当且仅当a c ==时，等号成立．故13sin 24ABC S ac B ac ==≤ ABC面积的最大值为22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，其离心率为3，M 是E上的一点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ AB的最小值．【答案】（1）22132x y +=（2）153【解析】【分析】（1）根据题意，得到1c =且3c a =，求得,a b 的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设方程为1x my =+，联立方程组，得到12122244,2323m y y y y m m --+==++，利用弦长公式，求得)22123m AB m +=+和224923m PQ m +=+，得到212PQ AB =结合换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：由椭圆E 的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，其离心率为3，可得1c =且3c a =，解得2222a b a c ==-=，故椭圆E 的方程为22132x y +=．【小问2详解】解：由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+，设点()()1122,,,A x y B x y ，联立方程221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2223440m y my ++-=，所以12122244,2323m y y y y m m --+==++，可得)22123m AB m +=+．又因为122223,122323P P Py y m y x my m m +-===+=++，所以2249223P m PQ x m +=--=+，可得212PQ AB =令1t t =≥，上式245541212123PQt t AB t t +⎛⎫=⨯=+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当54t t =，即12m =±时，PQ AB取得最小值153．【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.。
高二数学上学期第二次(12月)月考试题 文(含解析)
2019学年高二上学期第二次（12月）月考数学（文）试题考试范围：圆锥曲线与方程、导数及其应用、统计案例；考试时间：120分钟第1卷一．选择题1.已知存在性命题，则命题的否定是（）A. B. 对C. D. 对【答案】B【解析】存在性命题，则命题的否定是故选：B2.下列命题中：①线性回归方程至少经过点(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n ,y n)中的一个点；②若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强；③在回归分析中，相关指数为0.80的模型比相关指数为0.98的模型拟合的效果要好；④在回归直线中，变量时，变量的值一定是-7。
其中假命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用回归直线方程的有关知识逐一判断即可.【详解】对于①，回归直线直线y=x+是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过（），所以①不正确；对于②，由相关系数的作用，当|r|越接近1，表示变量y与x之间的线性相关关系越强；变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系，所以②正确；对于③，用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，所以③不正确；对于④，在回归直线中，变量x=2时，变量y的预报值是-7，但实际观测值可能不是-7，所以④不正确；故选：C．【点睛】本题考查变量间的相关关系，本题解题的关键是正确理解相关变量的意义，考查命题的真假性，要求对各个章节的知识点有比较扎实，比较全面的掌握．3.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】已知双曲线，根据双曲线的渐近线的方程的特点得到：令即得到渐近线方程为：y=±x故选：B．4.已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）（）A. 在（﹣∞，0）上为减函数B. 在x=0处取极小值C. 在（4，+∞）上为减函数D. 在x=2处取极大值【答案】C【解析】【分析】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．【详解】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0 当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．可知C正确，A错误．由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，可知B、D错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，以及导函数图象与原函数的性质的关系，属于中档题．5.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为( ）A. －2B. 2C. －4D. 4【答案】D【解析】因为椭圆的右焦点坐标为，又的焦点为所以，即6.已知椭圆的两个焦点为,且,弦过点,则的周长为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，计算即可得到所求值．【详解】由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，a==，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故选：D．【点睛】本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和方程，定义法解题是关键，属于基础题．7.若抛物线上有一条过焦点且长为6的动弦，则的中点到轴的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A【解析】由抛物线的焦点弦公式可得：，则的中点到轴的距离为 .本题选择A选项.点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．8.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a的值为（）A. 1B. 2C. 1或2D. 3【答案】B【解析】【分析】求导函数，利用函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．【详解】∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2，∴f'（x）=3x2+6ax+b，又∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，∴，∴或，当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）2=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意；∴a=2故选：B．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题．9.若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，则( )A. f(0)<f(5)B. f(0)＝f(5)C. f(0)>f(5)D. f(0)≥f(5)【答案】C【解析】【分析】由于f（x）=x2+2f′（2）x+m，（m∈R），只要求出2f′（2）的值，可先求f′（x），再令x=2即可．利用二次函数的单调性即可解决问题．【详解】∵f（x）=x2+2f′（2）x+m，∴f′（x）=2x+2f′（2），∴f′（2）=2×2+2f′（2），∴f′（2）=﹣4．∴f（x）=x2﹣8x+m，其对称轴方程为：x=4，∴f（0）=m，f（5）=25﹣40+m=﹣15+m，∴f（0）＞f（5）．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的单调性，求出2f′（2）的值是关键，属于中档题．10.已知是R上的单调增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数在上单增，只需恒成立，，则，，则,选D.11.已知f'（x）为f（x）的导函数，若f（x）=ln，且b dx=2f'（a）+﹣1，则a+b 的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由已知的等式得到a，b的关系式，将所求转化为利用基本不等式求最小值．【详解】由b dx=2f'（a）+﹣1，得到b（﹣x﹣2）|=+﹣1，即=1，且a，b＞0，所以a+b=（a+b）（）=；当且仅当时等号成立；故选：C．【点睛】本题考查了定积分、导数的计算及利用基本不等式求代数式的最小值，属于中档题．12.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，再画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．【详解】设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，即或，解得0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故选：A．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题．二．填空题13.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单元:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每年增加1万元,年饮食支出平均增加______万元.【答案】【解析】当变为时，=0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245，而0.245x+0.321+0.245-（0.245x+0.321）=0.245.因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元，本题填写0.245.视频14.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .【答案】【解析】解析：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当x=0时，y=-e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：15.设抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|= .【答案】16【解析】试题分析：由抛物线方程可知，所以P到准线的距离为16，由定义可知点P 与焦点F的距离|PF|=16考点：抛物线方程及性质16.设双曲线的半焦距为,直线经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线的距离为,双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为，及又c2=a2+b2，求出离心率．【详解】∵直线l过（a，0），（0，b）两点，∴直线l的方程为：+=1，即bx+ay﹣ab=0，∵原点到直线l的距离为，∴=．又c2=a2+b2，∴a2+b2﹣ab=0，即（a﹣b）（a﹣b）=0；∴a=b或a=b；又因为b＞a＞0，∴a=b，c=2a；故离心率为e==2；故答案为2．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．三．解答题17.某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人.（1）请完成上面的列联表;优秀非优秀合计甲班10乙班30合计110（2）根据列联表的数据,若按99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;参考公式与临界值表 .0.100 0.050 0.025 0.010 0.0012.7063.841 5.024 6.635 10.828【答案】（1）见解析；（2）不能认为“成绩与班级有关系”.【解析】【分析】（1）由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为，可得两个班优秀的人数，乙班优秀的人数=30﹣10=20，甲班非优秀的人数=110﹣（10+20+30）=50．即可完成表格．（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可得：K2，和临界值表比对后即可得到答案．【详解】（1）优秀非优秀合计甲班10 50 60乙班20 30 50合计30 80 110（2）根据列联表中的数据，计算得到.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.【点睛】本题考查了列联表、独立性检验，独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式K2，计算出k 值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．18.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（x吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据：（1）请画出上表数据的散点图；1 2 3 4 52 3 6 9 10（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为220吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？注：【答案】（1）详见解析；（2）；（3）0.6吨.【解析】【分析】（1）描点作图即可；（2）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）代入x=100．求解改造后消耗，即可知道比技术改造前降低多少吨标准煤【详解】（1）散点图如图：（2），，，，；，所求的回归方程为；（9分）注意：回归直线方程必过（3，6）点且纵截距为负；（3），，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了（吨）.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）19.已知函数在与时都取得极值.⑴求的值与函数的单调区间;⑵若,求的最大值.【答案】（1）的递增区间是与，递减区间是；（2）.【解析】【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由求出函数的最大值为f（2）.【详解】（1），，由，得，，所以函数的递增区间是与递减区间是。
上海市高二上学期12月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．抛掷两枚硬币，恰好出现一次正面向上的概率是__________. 【答案】##0.512【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】同时抛掷两枚硬币，可能出现的所有结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.恰好出现一次正面向上的概率:.21=42P =故答案为：.122．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积ABC 1B O C O ''''==ABC 为2，则______． A O ''=【答案】1【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解.ABC 【详解】由直观图可还原,如下图所示, ABC其中,又因 1,2OB O B OC O C BC B C ¢¢¢¢¢¢======,2OA BC AO A O ¢¢^=所以 11222222ABC S BC A O A O ¢¢¢¢=´=´´=即得1A O ¢¢=故答案为: .13．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：.1r =故答案为：14．已知事件A 与事件B 相互独立，若，，则______．()0.3P A =()0.6P B =()P A B ⋂=【答案】0.42## 2150【分析】根据相互独立事件概率乘法公式以及对立事件的概率公式求得正确答案.【详解】.()()()()10.30.60.42P A B P A P B ⋂=⨯=-⨯=故答案为：0.425．在四棱台中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有______条1111ABCD A B C D -1AB 【答案】6【分析】根据异面直线的定义来确定正确答案.【详解】根据异面直线的定义可知，与直线是异面直线的有：1AB ，共条，111111,,,,,A D BC CD DD D C C C 6故答案为：66．为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记．则这个水库里大概有______条鱼【答案】40000【分析】利用“捉放捉”原则即可求得这个水库里大概有40000条鱼【详解】设水库里大概有x 条鱼，则，解之得 10005200x =40000x =故答案为：400007．正四面体ABCD 的各棱长均为2，则点A 到平面BCD 的距离为______．【分析】设是底面的中心，则的长是点A 到平面BCD 的距离，由勾股定理计算可O BCD △AO 得．【详解】如图，是底面的中心，则平面，平面，，O BCD △AO ⊥BCD BO ⊂BCD AO BO ⊥正四面体ABCD 的棱长均为2，则， 223BO ==． AO ===8．下列说法中正确的是______．①一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多；②极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量；③平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量．【答案】②③【分析】根据中位数，平均数、众数、极差、方差和标准差的定义即可判断.【详解】对于①，中位数是一组数据按照从小到大的顺序排列，位于中间的那个数据（或中间两个数据的平均数），但是也有一些特殊的，比如：这组数据，中位数是，而比小1,2,3,4,4,5,6,7,844的数据是个，比大的数据却是个，所以一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数不一定344一样多，故①说法错误；对于②，极差反映的是一组数据最大值与最小值的差，方差和标准差反映了数据分散程度的大小，所以说极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故②说法正确；对于③，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以说平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故③说法正确，故答案为：②③.9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm ．若不计容器的厚度，则球的体积为______3cm【答案】## 1256π1256π【分析】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD 水面是过点的虚数，它与圆相切，然后根据圆（球）的性质计算出球半径，从而得体积．E 【详解】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD ，线段是正方体上底面截球所得截面圆直径，虚线表示水面，，设球半径4AB =AB 431EF =-=为，则，， R 1OE R =-122AF AB ==由勾股定理得，即，解得， 222OA AF OF =+2222(1)R R =+-52R =所以球体积为． 33445125()3326V R πππ==⨯=故答案为：． 1256π10．甲、乙两人进行某项比赛，采用三局两胜模式，假定甲每一局比赛赢的概率都为0.6，则甲最终赢得比赛的概率为______．【答案】0.648【分析】分析试验过程，分别求出两局比赛后甲获胜和三局比赛后甲获胜的概率，即可求解.【详解】甲、乙两人进行某项比赛，每局比赛相互独立.两局比赛后甲获胜的概率为：；0.60.60.36⨯=三局比赛后甲获胜的概率为：；20.60.40.60.288⨯⨯⨯=所以甲最终赢得比赛的概率为：.0.360.2880.648+=故答案为：0.64811．从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为______． 【答案】##0.6 35【分析】利用列举法写出所有可能的基本事件，并列出所有满足恰好两个小球编号相邻的可能情况，然后利用古典概型求解.【详解】依题意得，取出的三个小球编号的所有可能为，123,124,125,134,135,145,234,235,245,345共种，其中恰好两个小球编号相邻的有，共种，根据古典概型的计算10124,125,134,145,235,2456公式，恰有2个小球编号相邻的概率为：. 63105=故答案为： 3512．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 侧面BCC 1B 1的交线长为________．.【分析】根据已知条件易得侧面，可得侧面与球面的交线上的点1D E 1D E ⊥11B C CB 11B C CB到与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结E 11B C CB EFG FG果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，11B C E 1BB F 1CC G 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以BAD ∠=1111ABCD A B C D -111D B C，1D E 111D E B C ⊥又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 111BB B C ⊥因为，所以侧面，1111BB B C B = 1D E ⊥11B C CB 设为侧面与球面的交线上的点，则，P 11B C CB 1D E EP ⊥，所以1D E =||EP ===所以侧面与球面的交线上的点到，11B C CB E因为与球面的交线是扇形的弧， ||||EF EG ==11B C CB EFG FG因为，所以， 114B EF C EG π∠=∠=2FEG π∠=所以根据弧长公式可得. 2FGπ==. 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.二、单选题13．平面与平面相交于直线l ，点A 、B 在平面上，点C 在平面上但不在直线l 上，直线αβαβAB 与直线l 相交于点D ．设A 、B 、C 三点确定的平面为，则与的交线是（ ）γβγA ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC【答案】C【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案.D C 、βγ【详解】因为直线AB 与直线l 相交于点D ，，所以平面，D ∈l D ∈β又点C 在平面上，所以平面，βCD ⊂β因为平面，点在直线AB 上，所以平面，AB ⊂γD D ∈γ又平面，所以平面，C ∈γCD ⊂γ所以与的交线是直线.βγCD 故选：C.14．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件A B ：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互C 3D 4斥事件的为（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与A B B C A D C D 【答案】B【分析】判断选项中的两个事件是否可以同时发生即可.【详解】对于A ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项A 不正确；A B ⋂=∅A B 对于B ，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点3数是”，6∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B 正确；B C ⋂=6B C 对于C ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生，4∴，事件与事件互斥，故选项C 不正确；A D ⋂=∅A D 对于D ，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， 34∴，事件与事件互斥，故选项D 不正确.C D ⋂=∅C D 故选：B.15．某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中错误的是（ ）A ．估计该校学生的平均完成作业的时间超过2.7小时B ．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业C ．该校学生完成作业的时间超过3.5小时的概率估计为20%D ．估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在2小时至3小时之间【答案】D【分析】对A ，根据直方图中平均数的公式计算，可判断A;对B ，利用直方图中2小时至小时2.5之间的频率判断B;对C ，计算超过3.5小时的频率可判断C;对D ，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.【详解】对A ，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：1.250.05 1.750.152.250.25 2.750.203.250.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 3.750.104.250.05 4.750.05+⨯+⨯+⨯，所以A 正确；2.75 2.7=>对B ，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有2.5()2.520.50.25-⨯=25人在2小时至小时之间完成作业，故B 正确；1000.25⨯= 2.5对C ，由直方图得超过3.5小时的频率为,所以C 正确；0.5(0.20.10.1)0.2⨯++=对D ，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D 错误. 0.5(0.50.4)0.450.5⨯+=<故选：D16．在棱长为2的正方体中，E 为棱BC 的中点，F 是侧面内的动点，若1111ABCD A B C D -11B BCC 平面，则点F 轨迹的长度为（ ）1//A F 1AD EA B C D ．【答案】B【分析】取中点，中点，连接，则易证平面平面，进而得当F 的轨1BB M 11B C N MN 1//A MN 1AD E 迹为线段时，则有平面，再根据勾股定理及三角形的中位线计算即可.MN 1//A F 1AD E 【详解】如图所示：取中点，中点，连接，1BB M 11B C N MN 因为，，//MN 1BC 1//BC 1AD 所以，//MN 1AD 平面，平面，MN ⊄1AD E 1AD ⊂1AD E 所以平面，//MN 1AD E 同理可证明平面，1//A N 1AD E 又因为，平面，1MN A N N = 1,MN A N ⊂1A MN 所以平面平面，1//A MN 1AD E 当F 的轨迹为线段时，此时平面，则有平面，MN 1A F ⊂1A MN 1//A F 1AD E此时. 11122MN BC ==⨯=故选：B.三、解答题17．某校共有在校学生200人，为了了解该校学生的体能情况，对该校所有学生进行体能测试，然后采用分层抽样的方法随机抽取了20名学生的成绩，整理得到如下茎叶图：(1)求该校女学生人数、样本中女生成绩的极差、25百分数；(2)已知全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，求该校全体学生的平均成绩．【答案】(1)80，32，62(2)71.2【分析】（1）利用样本与总体的关系即可求得该校女学生人数；依据极差定义即可求得样本中女生成绩的极差；依据百分位数定义即可求得样本中女生成绩的25百分数；（2）利用平均数定义即可求得该校全体学生的平均成绩．【详解】（1）样本中女生有8人，则该校女学生人数为 20880200÷=样本中女生成绩由小到大排列为 5659656873747788，，，，，，，则样本中女生成绩的极差为885632-=由，可得样本中女生成绩的25百分数为 80.252⨯=5965622+=（2）由（1）可得该校女学生人数为，则该校男生人数为120 80又全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，则该校全体学生的平均成绩为 80701207271.2200⨯+⨯=18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线．1AA(1)若AB ＝2，求圆柱的侧面积；(2)设AB 与CD 是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC 与所成角的大小．1A B 【答案】(1)；4π(2). π3【分析】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出； r l （2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.AB DC 1AA AC 1A B u u u r 【详解】（1）由已知可得，底面半径，母线，1r =12l AA ==所以圆柱的侧面积.2π4πS rl ==（2）由已知可得，两两垂直，且相等，1,,AB CD AA设，则，. 2AB =1OA OC ==AC =1A B ==又， ， 1122AC OC OA DC AB =-=+u u u r u u u r u u r u u u r u u u r 11A B AB AA =-u u u r u u u r u u u r 则. ()111122AC A B DC AB AB AA ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21111112222DC AB DC AA AB AB AA =⋅-⋅+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2122AB ==u u u r所以，11cos ,2AC A B =u u u r u u u r 又，所以， 10,πAC A B ≤≤u u u r u u u r 1π,3AC A B =u u u r u u u r 所以异面直线AC 与所成角的大小为. 1A B π319．如图，已知三棱柱的高为2，底面ABC 是边长为2的正三角形．111ABC A B C -(1)求四棱锥的体积；111A BBCC -(2)若，求证：侧面为矩形．11A B A C =11B BCC 【答案】(2)证明见解析【分析】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，因此用三111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -棱柱的体积减三棱锥的体积就能得到四棱锥的体积； 111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -（2）由棱柱定义知，四边形为平行四边形，因此只需借助空间中直线、平面的垂直关系，11B BCC 证明其中一个角为直角即可.【详解】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，111ABC A B C -1A ABC-111A B BCC -三棱柱的体积， 111ABC A B C -1111=22sin 6022ABC A B CABC V S h -=⨯⨯⨯︒⨯= 三棱锥的体积 1A ABC -11=3A ABC ABC VS h -= ∴四棱锥的体积. 111A B BCC -1111111A B BCC ABC A B C A ABC V V V ---=-==（2）取中点，连接，， BC M AM 1A M ∵是等边三角形，是边上的中线，ABC AM BC ∴也是边上的高，即，AM BC AM BC ⊥又∵，∴是等腰三角形，11A B A C =1A BC ∴是边上的中线，也是边上的高，即，1A M BC BC 1A M BC ⊥又∵，平面，平面，1AM A M M ⋂=AM ⊂1AMA 1A M ⊂1AMA ∴平面，BC ⊥1AMA ∵平面，1AA ⊂1AMA ∴，1BC AA ⊥由棱柱定义知，，，111AA BB CC ∥∥111AA BB CC ==∴，四边形为平行四边形，1BC BB ⊥11B BCC ∴侧面四边形为矩形.11B BCC 20．掷黑、白两枚骰子．(1)设事件A 为：两枚骰子的点数和为7，事件B 为：白色骰子的点数是1．判断事件A 和事件B 是否独立，并说明理由；(2)设事件C 为：两枚骰子中至少有一枚的点数是1且两枚骰子点数之和不是7．求事件C 的概率．【答案】(1)是，理由见解析 (2)14【分析】（1）写出所有的基本事件，再求出A ，B 发生的概率，根据概率公式 ()()()·P AB P A P B =来判断A ，B 事件是否独立；（2）根据事件C 包含的基本事件数，按照古典概型概率计算公式可求出事件C 的概率.【详解】（1）投掷黑、白两枚骰子一次的点数记作，所有基本事件如下： (),x y ，()2:1,1 ，()()3:1,2,2,1 ，()()()4:2,2,1,3,3,1 ，()()()()5:1,4,4,1,2,3,3,2 ，()()()()()6:3,3,1,5,5,1,2,4,4,2 ，()()()()()()7:1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3 ，()()()()()8:4,4,2,6,6,2,3,5,5,3 ，()()()()9:3,6,6,3,4,5,5,4 ，()()()10:5,5,4,6,6,4 ，()()11:5,6,6,5 ，()12:6,6共36个，事件包含6个基本事件，即，A ()()()()()()1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3事件包含6个基本事件，即，B ()()()()()()1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1事件只包含，C ()6,1所以， ，所以A ，B 是独立事件； ()()()()()61611,,36636636P A P B P AB P A P B ======（2）根据（1）所列出的基本事件，事件包含9个基本事件，即C ，所以，. ()()()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,3,1,1,4,4,1,1,5,5,1()91364P C ==综上，A ，B 是独立事件， . ()14P C =21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，P ABCD -ABCD AD BC ∥AB BC ⊥分别为棱中点．2AB AD BC AB E F ==，，、BC BP 、(1)求证：平面平面；AEF ∥DCP (2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角PBC ⊥ABCD AP PBC 45 CP PB ⊥的大小．P AB D --【答案】(1)证明见解析 (2)3π【分析】（1）证明平面，平面，即可证明结论；//EF PCD //AE PCD （2）根据面面垂直性质定理得，进而得，再根据题意证明平面可45APB ∠= AB PB =PC ⊥ABP 得为直角三角形，再根据几何关系得，进而根据是二面角的平PBC 60PBC ∠= PBC ∠P AB D --面角求解即可.【详解】（1）证明：因为分别为棱中点，E F 、BC BP 、所以，在中，，PBC //EF PC 因为平面，平面，EF ⊄PCD PC ⊂PCD 所以，平面，//EF PCD 因为，为棱中点．AD BC ∥2BC AB E =，BC 所以，，//,AD CE AD CE =所以，四边形是平行四边形，ADCE 所以，//CD AE 因为平面，平面，AE ⊄PCD DC ⊂PCD 所以，平面，//AE PCD 因为平面，,,AE EF E AE EF ⋂=⊂AEF 所以，平面平面AEF ∥DCP （2）解：因为平面平面，平面平面，，平面PBC ⊥ABCD PBC ⋂ABCD BC =AB BC ⊥AB ⊂，ABCD 所以，平面AB ⊥PBC 所以，是直线与平面所成的角，APB ∠AP PBC 因为，直线与平面所成的角为，AP PBC 45所以，，45APB ∠= 所以，AB PB =因为平面，,PC PB ⊂PBC 所以，，AB PC ⊥AB PB ⊥因为，，平面， CP PB ⊥AB BP B = ,AB BP ⊂ABP 所以平面，PC ⊥ABP 因为平面，PB ⊂ABP 所以，即为直角三角形，PC PB ⊥PBC所以，在中，由可得， PBC 22BC AB PB ==PC所以，， tan PC PBC PB∠==60PBC ∠= 因为，，AB PB ⊥AB BC ⊥所以，是二面角的平面角， PBC ∠P AB D --所以，二面角的大小为.P AB D --60。
2022-2023学年山西省晋城市校高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．132B ．116 C ．18D ．4【答案】B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为218x y =， 所以焦点坐标为10,32F ⎛⎫⎪⎝⎭，其准线方程为132y =-，所以抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为111323216d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 故选：B2．若直线1:20l x y -+=与直线2:230l x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．1【答案】A【分析】解方程1(1)20a ⨯--⨯=即得解. 【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=- 经检验，当2a =-时，满足题意. 故选：A3．已知直线3260x y --=经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A ．22194x y +=B ．22419x y +=C ．22194y x +=D ．22419y x +=【答案】C【分析】求出直线3260x y --=与两坐标轴的焦点为()0,3-，()2,0.根据32->，可设椭圆的方程为22221y x a b+=，求出,a b 即可. 【详解】令0x =，可得=3y -；令0y =，可得2x =. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为()0,3-，()2,0.因为32->，所以椭圆的焦点在y 轴上. 设椭圆的方程为22221y x a b +=，则3a =，2b =，所以椭圆的方程为22194y x +=.故选：C.4．若方程222141x y m m-=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，【答案】A【分析】原方程可变形为222141y x m m ---=-，根据已知有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，解出即可. 【详解】因为方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线， 222141x y m m -=-+可变形为222141y x m m ---=-. 所以有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，即21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-. 故选：A. 5．数列262,4,,203--，…的一个通项公式可以是（ ） A ．()12nn a n =-⋅ B ．()311n nn a n-=-⋅C ．()1221n nn a n+-=-⋅D ．()31n nn na n⋅-=-【答案】B【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可. 【详解】选项A ：()331236a =-⨯⨯=-，不符合题意； 选项C ：()212222132a +-=-⨯=不符合题意； 选项D ：()222327122a -=-⨯=，不符合题意； 而选项B 满足数列262,4,,203--，故选：B6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，则1AE BD ⋅=（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,2,1,2,2,0,0,0,2A E B D ， 所以，()()12,2,1,2,2,2AE BD =-=--， 所以，14422AE BD ⋅=-+=. 故选：D7．在数列{}n a 中，122,a a a ==，且132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，若数列{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，52）B ．（2，3）C ．（52，4）D ．（2，4）【答案】C【分析】由递推关系，结合条件122,a a a ==，求出数列的通项公式，再结合数列的单调性，列不等式可求实数a 的取值范围.【详解】因为132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，所以()21312(N )n n a a n n *++=-+++∈，328a a =-+，所以23(2,N )n n a a n n *+=+≥∈，又2a a =， 328a a =-+，所以数列{}n a 的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，所以当n 为偶数时，332n a n a =+-， 当n 为大于等于3的奇数时，3722n a n a =+-， 因为数列{an }单调递增，所以1n n a a -≥(2,N )n n *≥∈，所以当n 为大于等于3的奇数时，()37313222n a n a +->-+-，化简可得4a <，当n 为大于等于4偶数时，()33731222n a n a +->-+-，解得52a >，由21a a >可得，2a >， 所以542a <<， 故选：C.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为A ，B ，且椭圆C，点P是椭圆C 上的一点，且1tan 4PAB ∠=，则tan APB ∠（ ）A ．109-B ．1110-C ．1110D ．109【答案】B【分析】设()00,P x y 是椭圆上的点，设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠求出12k k ⋅为定值，从而能求出tan PBA ∠的值，然后根据()tan tan APB PAB PBA ∠=-∠+∠求解. 【详解】设()00,P x y 代入椭圆方程，则()22002210x y a b a b+=>>整理得：()2222002,b y a x a=-设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠ 又010y k x a =+，020y k x a=-,所以 ()22222000122222000116y y y b a c k k e x a x a x a a a -⋅=⋅==-=-=--=-+-- 而11tan 4k PAB =∠=，所以22tan 3k PBA =-∠=-，所以2tan 3PBA ∠=()12tan tan 1143tan tan 121tan tan 10143PAB PBA APB PAB PBA PAB PBA +∠+∠∠=-∠+∠=-=-=--∠⋅∠-⨯ 故选：B二、多选题9．在等比数列{n a }中，262,32a a ==，则{n a }的公比可能为（ ） A ．1- B ．2-C ．2D ．4【答案】BC【分析】根据等比数列的通项即可求解.【详解】因为在等比数列{n a }中，262,32a a ==，设等比数列的公比为q ，则54611216a a q q a q a ===，所以2q =±， 故选：BC .10．已知圆226430C x y x y +-+-=：，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的半径为16B ．圆C 截x 轴所得的弦长为C ．圆C 与圆E ：()()22621x y -+-=相外切D ．若圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，则实数m 的取值范围是()()19,2426,21⋃--【答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C 上有且仅有两点到直线的距离为1【详解】A:将一般式配方可得：()()223216,4x y r -++=∴=，A 错；B ：圆心到x 轴的距离为2，弦长为B 对；C:5,C E CE r r ===+外切，C 对；D: 圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为111,35r d r ∴-<<+∴<<，解之: ()()14,2426,16m ∈⋃--,D 错；故选：BC11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且151416S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A ．0d > B ．0d <C ．300S >D ．当15n =时，n S 取得最小值【答案】ACD【分析】根据题干条件利用()12n n n a S S n -=-≥可得到150a <，15160a a +>，160a >，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为151416S S S <<，所以1515140a S S =-<，1616150a S S =->，151616140a a S S +=->. 对于A 、B 选项，因为150a <，160a >，所以16150d a a =->，故选项A 正确，选项B 错误； 对于C ，因为15160a a +>，所以()()130301516301502a a S a a +==+>，故选项C 正确； 对于D ，因为150a <，160a >，可知10a <，0d >，等差数列{}n a 为递增数列，当15n ≤时，0n a <，当16n ≥时，0n a >，所以当15n =时，n S 取得最小值，故D 选项正确. 故选：ACD.12．已知抛物线C ：212y x =，点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点(4,3)M ，则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为3x =-B ．若7PF =，则△PMF 的面积为32C ．|PF PM -|D ．△PMF 的周长的最小值为7【答案】ACD【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为3x =-，即可判断A ，根据抛物线定义得到4P x =，故P 点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B ，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到()max ||||PF PM F M -∴=，计算即可判断C ，三角形PMF 的周长PM MF PF PM PF =++=+||||PM PF +的最小值，即得到周长最小值.【详解】212y x =，6p ∴=，()3,0F ∴，准线方程为3x =-，故A 正确； 根据抛物线定义得372P P pPF x x =+=+=，4P x =，()4,3M ,//PM y ∴轴，当4x =时，y =±若P 点在第一象限时，此时(4,P ,故433PM =-，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯-⨯=-， 若点P 在第四象限，此时()4,43P -，故433PM =+，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯+⨯=+，故B 错误； ||||PF PM MF -≤，()()()22max 433010||||M P F PF M ∴+--==-=,故C 正确；（连接FM ，并延长交于抛物线于点P ，此时即为||||PF PM -最大值的情况， 图对应如下）过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D ，PMF △的周长1010PM MF PF PM PF PM PD =++=++若周长最小，则PM PD +长度和最小，显然当点,,P M D 位于同一条直线上时，PM MF +的和最小，此时7PM MF PD +==,故周长最小值为710D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，121916a a =，则28223log log a a +=___________. 【答案】4【分析】由条件，结合等比数列性质可得82316a a =，再对数运算性质求28223log log a a +即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以3122198a a a a =， 又121916a a =，所以82316a a =， 所以2822328234log log log a a a a ==+， 故答案为：4.14．已知向量(2,4,)m a =，(1,,3)n b =-，若n m λ=，则 ||n m -=___________.【答案】【分析】根据n m λ=，列出1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，分别求出,,a b λ，然后得到,m n ，进而计算，可求出||n m -的值.【详解】n m λ=，故1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1226b a λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故(2,4,6)m =-，(1,2,3)n =--，(3,6,9)n m -=--，则||(3)n m -=-=故答案为：15．在数列{}n a ，{}n b 中，112a =，3110a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，记数列{bn }的前n 项和为Sn ，且122n n S +=-，则数列{}n n a b ⋅的最小值为___________.【答案】23【分析】可由题意构建1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差，求出n a 通项公式，{}n b 可由1n n S S --得出n b 的通项公式，再利用作差法求出新数列n n a b ⋅单调性即可求出最小值.【详解】由11112(2)n n nn a a a -++=≥可得111111n n n n a a a a +--=-，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设公差为d ， 首项112a =，311121028d a a =-=-=，可得4d =，则12(1)442n n n a =+-⨯=-，即142n a n =-， 由122n n S +=-，可得当2n ≥时，11222n n nn n n b S S +-=-=-=，112b S ==，代入后符合2n n b =，即{}n b 的通项公式为2n n b =，设新数列{}n c ，242nn n n c a b n ==-，11122(23)24(1)242(21)(21)n n n n n n c c n n n n +-+--=-=+--+-，当10n n c c +->时，得 1.5n >，即2n ≥时，{}n c 是递增数列； 当10n n c c +-<时，得 1.5n <，即21c c <，综上所述223c =是最小值，即数列{}n n a b ⋅的最小值为23，故答案为：2316．已知双曲线2322100x y C a b a b -=>>：（，）的右焦点为F ，离心率为102，点A 是双曲线C 右支上的一点，O 为坐标原点，延长AO 交双曲线C 于另一点B ，且AF BF ⊥，延长AF 交双曲线C 于另一点Q ，则||||QF BQ =___________. 【答案】22【分析】在1Rt F AF △中，由勾股定理可求得||AF 、1||AF 用含有a 的代数式表示，在1Rt F AQ △中，由勾股定理可求得||QF 用含有a 的代数式表示，在Rt BFQ △中，由勾股定理可求得||BQ 可用含有a 的代数式表示，进而求得结果. 【详解】如图所示，∵22101c b e a a ==+ ，则2252c a = ，2232b a =，由双曲线的对称性知：OA OB =，1OF OF = ， 又∵AF BF ⊥，∴四边形1AFBF 为矩形，设||0AF m => ，则由双曲线的定义知：1||2AF a m =+，在1Rt F AF △中，22211||||||F F AF AF =+，即：2224(2)c a m m =++ ，整理得：22230m am a +-=，即：()(3)0m a m a -+= ， ∵0m >，∴m a = ， ∴1||3AF a =设||0QF n => ，则由双曲线的定义知：1||2QF a n =+，在1Rt F AQ △中，22211||||||F Q AQ AF =+，即：222(2)(3)()a n a a n +=++，解得：3n a = ，即：||3QF a =， 又∵1||||3BF AF a ==，∴在Rt BFQ △中，||BQ ==∴||||2QF BQ =四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==. (1)求{an }的通项公式； (2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =- (2)2(32)n nT n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果； （2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-. 故{}n a 的通项公式为31n a n =-. （2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n nn =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++即：{}n b 的前n 项和2(32)n nT n =+.18．已知圆22:10C x y mx ny ++++=，直线1:10l x y --=，2:20l x y -=，且直线1l 和2l 均平分圆C . (1)求圆C 的标准方程(2)0y a ++-=与圆C 相交于M ，N 两点，且120MCN ∠=，求实数a 的值. 【答案】(1)()()22214x y -+-= (2)1a =或3a =-【分析】（1）根据直线1l 和2l 均平分圆C ，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.（2）根据120MCN ∠=，及MCN △为等腰三角形可得到30CMN ∠=，可得圆心到直线的距离sin d r CMN =∠，再根据点到直线的距离公式即可求出实数a 的值.【详解】（1）因为直线1l 和2l 均平分圆C ，所以直线1l 和2l 均过圆心C ，因为1020x y x y --=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 和2l 的交点坐标为()2,1，所以圆心C 的坐标为()2,1，因为圆22:10C x y mx ny ++++=，所以圆心坐标为,22m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2212m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得42m n =-⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 所以圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=.（2）由（1）得圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，圆心()2,1C ，半径2r =，因为120MCN ∠=，且MCN △为等腰三角形，所以30CMN ∠=， 因为CM CN r ==，所以圆心C 到直线3230x y a ++-=的距离sin 2sin301d r CMN =∠==， 根据点到直线的距离公式()222312311231a a d ++-+===+， 即12a +=，解得1a =或3a =-， 所以实数a 的值为1a =或3a =-.19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是菱形.1202DAB PA AD ∠===，，22PC PD ==，点E 是棱PC 的中点.(1)证明：PC ⊥BD .(2)求平面P AB 与平面BDE 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明PA ⊥平面ABCD ，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量垂直的判定条件证明PC BD ⊥即可；（2）通过第（1）问的空间直角坐标系，根据二面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）120DAB ∠=，四边形ABCD 为菱形， 60CAD ∴∠=，又60ADC ∠=，ACD ∴为等边三角形，2AD =，2AC CD ∴==，2PA =，22=PC222PA AC PC +=，PA AC ∴⊥， 222PA AD PD +=，PA AD ∴⊥，ACAD A =，AC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .过点A 作AF BC ⊥，则PA AF ⊥，AF AD ⊥，PA AD ⊥，∴分别以AF ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系.2AB =，cos603AF AB ∴=⋅=，1BF =，2BC =，1FC ∴=.)3,0,0F∴，()002P ,,，)3,1,0C，()3,1,0B-，()0,2,0D ，()3,1,2PC ∴=-，()3,3,0BD =-，(33130PC BD ⋅=-⨯=，PC BD ∴⊥.（2）()0,0,2P ，)3,1,0C，E 为PC 中点，31,12E ⎫∴⎪⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()1111,,n x y z =，()0,0,2PA =-，()3,1,0AB =-，1112030z x y -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，()11,3,0n ∴=.设平面BDE 的法向量为()2222,,n x y z =，()3,3,0BD =-，33,122DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，222223303302x y y z ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪，()23,1,0n ∴=， 设平面PAB 与平面BDE 夹角为θ， 则121213313cos n n n n θ⋅⨯+⨯==⋅∴平面PAB 与平面BDE 320．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 关于抛物线C 的准线的对称点为()9,0P -. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，记OAB 的面积为S ，求证：18sin S θ=. 【答案】(1)212y x = (2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的简单几何性质得到抛物线的焦点坐标和准线方程，结合条件得到()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，即可求解. （2）设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线的方程结合韦达定理计算得到12y y -，结合图形得到1212OFA OFB S S S OF y y =+=⨯⨯-△△，即可求证.【详解】（1）由题意得：抛物线C 的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程0l ：2p x =-，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭关于准线0:2p l x =-的对称点为()9,0P -，则()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，解得：6p ， 所以抛物线C 的方程为：212y x =. （2）由（1）知，焦点()3,0F ，如图：过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点， ∴直线l 的倾斜角θ不为0，则()0,πθ∈，即sin 0θ>，则设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2312x my y x=+⎧⎨=⎩，得：212360y my --=，由()2124360m ∆=+⨯>，得：12121236y y m y y +=⎧⎨=-⎩，则12y y -==又222cos 111sin sin m θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以121212sin y y θ-=（()0,πθ∈）， 又1212111222OFA OFB S S S OF y OF y OF y y =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯-△△，即1121832sin sin S θθ=⨯⨯=. 综上：OAB 的面积18sin S θ=，得证. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为yx =，且过点(3,.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若双曲线C 的右焦点为F ，点()0,4P -，过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且PA PB =，求直线l 的方程.【答案】(1)2213x y -=(2)0y =，或1233y x =-或2y x =-+.【分析】（1）根据题意得22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，进而解方程即可得答案；（2）由题知()2,0F ，进而先讨论直线l 的斜率不存在不满足条件，再讨论l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，进而与双曲线方程联立得线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，再结合题意得PE AB ⊥，进而再分0k =和0k ≠两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=，且过点(3,， 所以，22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得221,3b a ==所以，双曲线C 的标准方程为2213x y -=（2）解：由（1）知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，当直线l 的斜率不存在时，方程为:2l x =，此时,2,A A ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，PA PB =≠= 所以，直线l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，所以，联立方程()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222213121230k x k x k -+--= 所以()()422214441331212120k k k k ∆=----=+>，且2130k -≠，所以，k ≠设()()1122,,,A x y B x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k --+=-=-- 所以()3121222124441313k ky y k x x k k k k+=+-=--=---， 所以，线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭， 因为PA PB =，所以，点()0,4P -在线段AB 的中垂线上， 所以PE AB ⊥，所以，当0k =时，线段AB 中点为()0,0E ，此时直线l 的方程为0y =，满足题意；当0k ≠时，22222222424122613,66313PEAB kk k k k k k k k k k k k -+-+--+--====----， 所以，222613PE AB k k k k k k -+-⋅=⋅=--，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，满足k ≠综上，直线l 的方程为0y =，或1233y x =-或2y x =-+.22．已知椭圆2222:1(0x y C a b a b +=>>0x y -=相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点，点P 是y 轴上的一点，过点A 作直线PB 的垂线，垂足为M ，是否存在定点P ，使得PB PM ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22164x y += (2)存在，1(0,)4P【分析】（1）根据题意得,a b ==，由C与直线0x y --=相切，联立方程得22c =，即可解决；（2）1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，结合韦达定理得PB PM PB PA ⋅=⋅222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，即可解决.【详解】（1）由题知，,c a b a ==， 所以椭圆C 为2222132x y c c+=，即2222360x y c +-=，因为C与直线0x y --=相切，所以22223600x y c x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，消去y得22223(60x x c +-=，所以2253060x c -+-=，所以236045(306)0c ∆=-⨯⨯-=，得22c =，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=； （2）设1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，由221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222(23)690,3636(23)144720,k x kx k k k ++-=∆=++=+> 所以12122269,2323k x x x x k k +=-=-++， 所以()PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅1122(,)(,)x y t x y t =-⋅-1212(1)(1)x x kx t kx t =++-+- 221212(1)(1)()(1)k x x k t x x t =++-++-222296(1)()(1)()(1)2323kk k t t k k=+-+-⋅-+-++ 222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，所以2231292(1)32t t --+-=，解得14t =， 所以存在点1(0,)4P ，使得PB PM ⋅为定值.。
2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二上学期12月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线y =4x 2的焦点坐标是( )A. (1,0)B. (0,1)C. (116,0)D. (0,116)2.已知双曲线的方程为x 24−y 22=1，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =± 22x B. y =± 2x C. y =± 33x D. y =± 3x3.已知椭圆方程为：3x 2+4y 2=12，则该椭圆的长轴长为( )A. 4B. 2C. 2 3D. 34.高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是( )A. 100名学生是个体B. 样本容量是100C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本D. 1000名学生是样本5.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间(小时)7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是( )A. 8，8.5B. 8，8C. 9，8D. 8，96.已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为( )A. 245B. 165C. 145D. 1257.已知直线l 1:a 2x +y +1=0与直线l 2:x−3ay +7=0，则“a =3”是“l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知圆C 1：x 2+y 2+4x−4y +7=0与圆C 2：(x−2)2+(y−5)2=16的公切线条数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49.如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，E,F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E,F 的平面分别与棱BB′、DD′交于M,N ，设BM =x ，x ∈(0,1)，给出以下四个命题：①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积S =f(x),x ∈(0,1)，则f(x)有最小值；③若四棱锥A−MENF 的体积V =p(x)，x ∈(0,1)，则p(x)常函数；④若多面体ABCD−MENF 的体积V =ℎ(x)，x ∈(12,1)，则ℎ(x)为单调函数．其中假命题为( )A. ①B. ②C. ③D. ④10.已知曲线C:(x 2+y 2)2=9(x 2−y 2)是双纽线，则下列结论正确的是( )A. 曲线C 的图象不关于原点对称B. 曲线C 经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)C. 曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3D. 若直线y =kx 与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为(−∞,−1]二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x + 3y +1=0的倾斜角是( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘2.已知x 2+y 2+ax +a =0表示圆，则实数a 的取值范围为( )．A. (0,4)B. (−∞,0)C. (4,+∞)D. (−∞,0)∪(4,+∞)3.从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为( )A. 10B. 60C. 125D. 2434.平的内动点P (x,y )满足方程 (x +1)2+y 2+ (x−1)2+y 2=2 3，则动点P 的轨迹方程为( )A. x 23+y 22=1B. x 22+y 23=1C. x 23−y 22=1D. y 23−x 22=15.已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线x =−3的距离为5，则|MF|=( )A. 7B. 6C. 5D. 46.刍甍(cℎúméng)是中国古代算数中的一种几何体，它是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍(如图)，底面BCDE 为矩形，且BC =3，BD = 13,AF//平面BCDE,▵ABE 和▵CDF 为全等的正三角形，AF =1，则平面ABE 和底面BCDE 的夹角的余弦值为( )A. 13 B. 33 C. 22 D. 637.如图，某同学用两根木条钉成十字架，并交于点O ，制成一个椭圆仪．木条中间分别挖一道槽，在另一活动木条PAB 的P 处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A 、B 各在一条槽内移动，可以光滑移动以保证PA 与PB 的长度不变，当A 、B 各在一条槽内移动时，P 处笔尖就画出一个椭圆．已知|PA |=3|AB |，且P 在椭圆的右顶点时，B 恰好在O 点，则该椭圆的离心率为( )A. 32B. 34C. 74 D. 558.已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为y=3x”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.若椭圆x2m +y2=1(m>1)与双曲线x2n−y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点，则▵F1PF2的面积是( )A. 12B. 1C. 2D. 410.已知M={(x,y)∣y=x+t(x2−x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平自直角坐标系中的点集．设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则( )A. d=3,S<1B. d=3,S>1C. d=10,S<1D. d=10,S>1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
高二数学12月月考试题含解析 试题(共19页)
中学2021-2021学年(xuénián)高二数学12月月考试题〔含解析〕一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分)1.如下图，正方体的棱长为1，那么的坐标是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】B的坐标是(1,1,1)。
试题分析：由空间直角坐标系和棱长为1，可得那么1考点：1．空间直角坐标系；的倾斜角为〔〕A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D【解析】【分析】先求得直线的斜率，利用倾斜角和斜率的对应关系得出倾斜角.【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，那么.应选D.【点睛】本小题主要考察由直线方程的一般式求得直线的斜率，考察倾斜角和斜率的对应关系.对应直线的一般方程，化为斜截式得到，其中是斜率，是纵截距.直线的斜率，是倾斜角的正切值.要注意的是当倾斜角为时，斜率不存在.3.某校老年、中年和青年老师的人数(rén shù)见右表，采用分层抽样的方法调查老师的身体状况，在抽取的样本中，老年老师一共有180人，那么该样本中的青年老师人数为〔〕A. 320B. 360C. 90D. 180【答案】A【解析】【分析】先求得老年老师抽样的比例，用青年老师人数乘以这个比例得到样本中青年老师的人数. 【详解】老年老师抽样的比例为，故样本中青年老师的人数为人.应选A.【点睛】本小题主要考察分层抽样，利用分层抽样中某一层的抽样比例，得到总体的抽样比例，由此计算的其它层抽样的样本数.属于根底题.1，a2，…，a n的平均数为a，方差为s 2，那么数据2a1，2a2，…，2a n的平均数和方差分别为( )A. a，s2B. 2a，s2C. 2a，2s2D. 2a，4s2【答案】D【解析(jiě xī)】【分析】考虑到数据2a1，2a2，…，2a n的各个数据是原数据的2倍，充分利用两者的关系结合平均数、方差的计算公式计算即可．【详解】数据a1，a2，…，a n的平均数为a，方差为S2，那么另一组数据2a1，2a2，…，2a n的平均数为，方差是s′2，∵S2=[〔x1﹣〕2+〔x2﹣x〕2+…+〔x n﹣x〕2]，∴S′2=1n[〔2x1﹣2x〕2+〔2x2﹣2x〕2+…+〔2x n﹣2x〕2]=1n[4〔x1﹣x〕2+4〔x2﹣x〕2+…+4〔x n﹣x〕2]，=4S2应选：D．【点睛】此题考察了当数据都乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数，属于根底题．5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子〔它们六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6〕，骰子朝上的点数分别为X，Y，那么log2X Y＝1的概率为〔〕．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意知、应满足，所以满足题意的有三种，所以概率为．考点：1．古典概型；6.以下(yǐxià)说法正确的选项是( )A. 命题“假设x2＝1，那么x＝1〞的否命题是“假设x2＝1，那么x≠1〞B. 假设命题p：∃x0∈R，，那么：∀x∈R，x2－2x－1＜0C. 命题“假设x＝y，那么sin x＝sin y〞的逆否命题为真命题D. “x＝－1〞是“x2－5x－6＝0〞的必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】A中，写出该命题的否命题，即可判断A是否正确；B中，写出该命题的否认命题，即可判断B是错误的；C中，判断原命题的真假，由此得出它的逆否命题的真假．D中，判断充分性和必要性是否成立即可；【详解】对于A，该命题的否命题是：假设x2≠1，那么x≠1，∴A错误；对于B，命题的否认是：“〞，∴B错误；对于C，∵命题“假设x=y，那么sin x=sin y〞是真命题，∴它的逆否命题也为真命题．∴C正确；对于D，x=-1时，x2-5x-6=0，∴充分性成立，x2-5x-6=0时，x=-1或者x=6，必要性不成立，是充分不必要条件，D 错误应选：C．【点睛】此题通过命题真假的判断，考察了命题与命题的否认，四种命题之间的关系，充分与必要条件等问题，是综合题．7.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆的位置关系为( )A. 相切B. 相离C. 相交(xiāngjiāo)D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求得直线过的定点，这个定点在椭圆内部，由此判断直线和椭圆相交. 【详解】依题意，直线方程为，所以直线过点，这个点在椭圆的内部，故直线和椭圆一定相交，应选C.【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察含有参数的直线方程过定点的问题，属于根底题.和都相切的直线条数是〔 〕A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析: 圆，，，圆和圆外相切，所以与圆1O 和圆2O 相切的直线有3条.应选B ． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两圆的位置关系．满足条件 ，那么z=2x-y 的最大值为〔 〕A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】【分析(fēnxī)】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目的函数的最大值.【详解】画出可行域如以下图所示，由图可知，目的函数在点处获得最大值，且最大值为.应选D【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.10.在区间[0，1]上任取两个实数a，b，那么函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为( )A. 12B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．【详解】∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1假设(jiǎshè)函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点，那么△=a2-4b2＜0，对应的区域为直线a-2b=0的上方，面积为，那么根据几何概型的概率公式可得所求的概率为34．应选：B．【点睛】此题主要考察几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决此题的关键．2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，那么的值是( )A.22B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设的中点为，利用点差法，列出直线MN的斜率和直线斜率的关系式，由此求得mn的值.【详解】设，设MN中点为，直线MN的斜率为，直线OA的斜率为.由于在椭圆上，故，两式相减得，化简为，即.应选A.【点睛】本小题主要(zhǔyào)考察利用点差法，解有关直线和椭圆相交所得弦的中点有关的问题，属于根底题.内，过点有条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项，最长的弦长为，假设公差，那么n的取值集合为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设圆的圆心坐标与半径分别为，最长弦与最短弦分别为，所以，解之得，即，应选答案A。
高二数学12月月考试题文PDF(共8页)
一、 选择题DDACA DCCDD BB二、填空题 13 14 15 16三、解答(ji ěd á)题17. 解：〔Ⅰ〕由，解得，所以 又，因为，解得，所以． 当时，，又为真，都为真，所以．……5分 〔Ⅱ〕由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，由〔Ⅰ〕:25p x <<，:3q m x m <<， 所以，即 . ……10分18. 解：〔1〕因为， ， 成等差数列， 所以， 所以，所以(suǒyǐ)，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列{}n a的通项公式．………………6分〔2〕由〔1〕知，，，所以．故．…………………………………12分19. 〔1〕证明：连接是长方体，平面又平面ABCD，在长方形ABCD中，，又平面(píngmiàn)而平面BB D D,………………………………6分11〔2〕如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,那么,设平面的法向量为,那么令那么所以与平面AD E所成角的正弦值为………………………………12分120．解：〔Ⅰ〕∵圆G：经过(jīngguò)点．，∴，．∴．故椭圆的方程为．…………4分〔Ⅱ〕设直线的方程为．由消去得．设，，那么，，………6分∴．∵，……………………………8分∴=……………………10分∵点F在圆G的内部，∴，即，解得由△=，解得．又，∴．…………………………………12分21. 证明(zhèngmíng)：〔Ⅰ〕取中点为，中点为，连接侧面为正三角形，平面平面ABCD且平面平面，平面ABCD，平面ABCD，，又，平面PAD，平面PAD，，，那么，又是中点，那么，，平面，AE 平面，平面平面PCD.………6分x y z轴建立空间直角坐〔Ⅱ〕如图，以O为坐标原点，以所在的直线为,,标系,那么令，那么.由〔Ⅰ〕知为平面的法向量，令为平面(píngmiàn)的法向量，由于，故即解得故，由，解得.…………10分故四棱锥的体积.…………………12分22.解：〔Ⅰ〕依题意可得，．设椭圆的方程为，因为椭圆M的离心率为，所以，即．所以椭圆M的方程为．……………………………………2分证法1：设点、〔，，〕，直线的斜率为〔〕，那么直线AP的方程为，联立方程组整理(zh ěngl ǐ)，得，………………4分 解得或者．所以． 同理可得，…所以． ………………………………6分 证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y 〔0i x >，0i y >，1,2i =〕， 那么，．因为， 所以，即． 因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，． 即，．所以， 即．所以211x x =． …………………………………6分 〔Ⅱ〕解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y 〔0i x >，0i y >，1,2i =〕，那么，．因为(y īn w èi)，所以，即．因为点P 在双曲线上，那么221112y x -=， 所以，即．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点 所以． …………………………………………………8分因为，，所以．由〔Ⅰ〕知， 211x x =．设，那么，．因为在区间上单调递增，．所以即当时， ………………………………………12分内容总结（1）选择题DDACA DCCDD BB二、填空题13 14 15 16三、解答题17. 解：〔Ⅰ〕由，解得，所以又，因为，解得，所以．当时，，又为真，都为真，所以．（2）6分∴．∵，（3）4分解得或者．所以．同理可得，（4）12分。
广东省珠海市第二中学2024_2025学年高二数学12月月考试题
广东省珠海市其次中学2024-2025学年高二数学12月月考试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.抛物线24x y =-的焦点到准线的距离为 （ ） A.4 B.2 C.1 D ．122.已知R x ∈，设p ：1-<x ，q ⌝：022>--x x ，则下列命题为真的是 （ ） A ．若p 则q B ．若q ⌝则p C ．若q 则p ⌝ D ．若p ⌝则q3.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中随意取出3件,设E 表示事务“3件产品 全不是次品”,F 表示事务“3件产品全是次品”,G 表示事务“3件产品中至少有1件是 次品”,则下列结论正确的是 ( )A ．F 与G 互斥B ．E 与G 互斥但不对立 C.,,E F G 随意两个事务均互斥 D ．E 与G 对立4.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为（ ） A.607 B.627C.12D.14 5.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成状况,随机采访了9位代表, 得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体,则年龄在 (),x s x s -+内的人数占公司人数的百分比是 ( ) (其中x 是平均数,s 为标准差,结果精确到1%) A .14% B .25% C .56% D .67% 6.如图所示,已知1111ABCD A B C D -是平行六面体.设ACBD M =, N 是1BC 上靠近 点1C 的四等分点,若1MN xAB yAD zAA =++,则,,x y z 的值为( )A.113,,244x y z === B.113,,424x y z ===C.131,,244x y z === D.311,,424x y z === 7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，实轴的两个端点分 别为1A 、2A ，虚轴的两个端点分别为1B 、2B .以坐标原点O 为圆心，12||B B 为直径的 圆()O b a >与双曲线交于点M （位于其次象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点1F ，则双曲线的离心率是（ ）A.3B.2C.62 D.728.抛物线28y x =的焦点为F ,设1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线上的两个动点,若122343x x AB ++=, 则AFB ∠的最大值为（ ） A.3π B.23π C.34π D.56π 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分） 9.给出下列命题,正确的是 ( )A.命题“R x ∈∃，使得1<x ”的否定是“∀x R ∈，都有1-≤x 或1≥x ”；B.对于命题p 和命题q ，“q p ∧为真命题”的必要不充分条件是“q p ∨为真命题”；C.若{}n a 为等差数列，,,,p q m n N *∈，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+” 的充要条件；D.若0,0a b >>且21a b +=，则115.8a b+>； 10.统计某校n 名学生的某次数学同步练习成果(满分150分),依据成果依次分成六组:[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150,得到频率分布直方图如图所示,若不低于140分的人数为110,则以下说法正确的是( )A.0.031m =B.800n =C.100分以下的人数为60D.分数在区间[)120,140的人数占大半.11.在三棱锥P ABC -中,(0,1,0),(3,1,0),(0,3,0),(0,1,2)A B C P ,则( ) A.(3,0,0)AB =- B.2tan ,3BP AB <>=-C.两异面直线AC 与PB 所成角为060 D.2P ABC V -=12.已知双曲线22:14x y C m m+=+,给出下列四个结论, 正确的是 ( ) A.m 的取值范围是()4,0- B.C 的焦距与m 的取值无关C.当C 的离心率不小于2时, m 的最小值为3-D.存在实数m ,使得点()2,m m 在C 上三、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）13.某公司生产,,A B C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为2:3:4,为检验公司的产品质量, 用 分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本,若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆, 则n = .14.已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的焦距为10， 则双曲线C 的渐近线方程为 . 15.已知[]0:0,1p x ∃∈,使得00x a e-≥成立；:q 对x R ∀∈,240x x a ++>恒成立. 若p q ∧⌝是真命题,则实数a 的取值范围是 ．16.阳马,中国古代算数中的一种几何形体,是底面为长方形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.在 阳马P ABCD -中,PC 为阳马P ABCD -中最长的棱,1,2,3AB AD PC ===,若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点,则该点位于阳马内的概率为 ．17.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于 ．18.已知椭圆22:197x y C +=,F 为其左焦点,过原点O 的直线l 交椭圆于,A B 两点,点A 在其次象限,且FAB BFO ∠=∠,则直线l 的斜率为 ．四、解答题（本题共5个小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(本小题12分)有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z 参与某夏令营,其年级状况如下表:现从这6 (1)用表中字母列举出全部可能的结果;(2)设M 为事务“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事务M 发生的概率.20.(本小题12分)已知动圆M 过点(2,0)，被y 轴截得的弦长为4. （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；(2) 若P 为x 轴的负半轴上随意一点，点F 的坐标为()1,0,Q 为轨迹C 上随意一点，且QF PF =,求证：直线PQ 与抛物线C 有且只有一个公共点．21.(本小题12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需了解年宣扬费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣扬费和年销售量数据进行了探讨，发觉年宣扬费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.x （万元）2 4 53 6 y （单位：t ） 2.544.536（1）依据表中数据建立年销售量y 关于年宣扬费x 的回来方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，依据（1）中的结果回答下列问题：① 当年宣扬费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？② 估算该公司应当投入多少宣扬费，才能使得年利润与年宣扬费的比值最大.附：回来方程ˆˆˆy bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆnni i n ni i x ynx yx x yybx nxx x====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5S i x y==∑，21190Si x ==∑.22.(本小题12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面11BB C C ,E 是1CC 的中点1,BC =12BB =,0160BCC ∠=.(1)证明:1B E AE ⊥； (2)若2AB =,求二面角11A B E A --的余弦值.23.(本小题12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点3(1,)2P ,且离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若,M N 是椭圆C 上异于P 的两点,直线,PM PN 的斜率分别为12,k k 且121,,k k PD MN +=-⊥D 为垂足.是否存在定点Q ,使得DQ 为定值? 若存在,恳求出Q 点坐标及定值;若不存在,请说明理由.珠海二中高二月考数学试题参考答案BCDD CAAB 9. ABD 10. AC 11. BD 12. ABD 13. 72 14.12y x =±15.[]1,4 16.827π 17.23 18.73- 19.(1)从这6名同学中随机选出2人参与学问竞赛的全部可能结果为(A ,B ),(A ,C ),(A ,X ),(A ,Y ),(A ,Z ),(B ,C ),(B ,X ),(B ,Y ),(B ,Z ),(C ,X ),(C ,Y ),(C ,Z ),(X ,Y ),(X ,Z ),(Y ,Z ),共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的全部可能结果为 (A ,Y ),(A ,Z ),(B ,X ),(B ,Z ),(C ,X ),(C ,Y ),共6种. 因此,事务M 发生的概率P (M )==.20.（1）设动圆圆心(,)M x y ，由题意可得：22222(2)+=-+x x y 24y x =， 所以，动圆圆心M 的轨迹C 的方程：24=y x .（2）设点Q 的坐标为(),m n ，有24n m =，设点P 的坐标为()(),00t t <．又||1QF m =+，||1PF t =-，||||QF PF =， 所以11,m t +=-得(0)t m m =-> 直线PQ 的斜率22()224n nn k n m m mn ====--⨯， 所以直线PQ 的方程为2()y x m n =+，即直线PQ 的方程为22n y x n =+． 解2422y x n y x n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24n x y n =⎧⎪⎨⎪⎩=即方程组仅有一组解， 所以直线PQ 与抛物线C 有且只有一个公共点． 21.解:（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==，21222188.554ˆ0.859054ni ii nii x y nx ybxnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣扬费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为 2.25. ②令年利润与年宣扬费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭1.2520.050.850.35x x ⋅+=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应当投入5万元宣扬费，才能使得年利润与年宣扬费的比值最大.22.解:(1)证明:连接BC 1,BE ,因为在△BCC 1中,BC=1,CC 1=BB 1=2,∠BCC 1=60°,所以BC ⊥BC 1,所以BE=CC 1=1. 因为在△EC 1B 1中,B 1E==,所以BE 2+B 1E 2=B,即B 1E ⊥BE ,又AB ⊥平面BB 1C 1C ,且B 1E ⊂平面BB 1C 1C , 所以B 1E ⊥AB ,AB ∩BE=B ,所以B 1E ⊥平面ABE , 因为AE ⊂平面ABE ,所以B 1E ⊥AE.(2)以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,),B 1(-1,,0),E ,,0,A 1(-1,,),所以=,-,0,=(-1,,-),=,-,-,设平面AB 1E 的法向量为n=(x ,y ,z ),平面A 1B 1E 的法向量为m=(a ,b ,c ),由得取x=1,则n=(1,,),由得取a=1,则m=(1,,0).所以cos m ,n ===,由图可知二面角A-B 1E-A 1为锐角,所以二面角A-B 1E-A 1的余弦值为. 23.(1)由12c e a ==，得2222222,4,3a c a c b a c c ===-=.2222223311221,143a b c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=∴+= 解得2221,3, 4.c b a ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由题意得直线MN 的斜率肯定存在，直线MN 的方程为y kx m =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得()2224384120k x kmx m +++-= 2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+->，得22430k m -+>21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++ 1212211212123333()(1)()(1)222211(1)(1)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211233()(1)()(1)22(1)(1)kx m x kx m x x x +--++--=-- 121212121232()()()(23)2()1kx x m x x k x x m x x x x +-+-+--=-++22222224123882()()()()(23)43243434128()14343m km km k m k m k k k m kmk k -+------+++=---+++22224126129412843k km m k m km k -+-++=-+++ 由121k k +=-，得2281023120k km m m k ++--=， 即()()22340k m k m +-+=当2230k m +-=时，直线33()(1)22y kx k k x =+-=-+过定点3(1,)2P ，舍去. 当40k m +=，直线4(4)y kx k k x =-=-过定点(4,0)T 此时，222433120k m k -+=->，得1122k -<<，存在直线过定点(4,0)T . 当Q 为,P T 的中点，即53(,)24Q，此时124DQ PT ===.。
千人桥中学高二数学12月月考试卷文(无答案)(2021年整
千人桥中学高二年级12月份月考数学（文）试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
) 1．下列求导运算正确的是( )A ．B ．C ．D ．2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ）A ．（0，2）B ． (0，1)C ．(2，0)D ．(1,0)3．焦点为（0,6）且与双曲线错误!－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( ）A 。
错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1 C.错误!－错误!＝1D 。
错误!－错误!＝14. 若圆(x －5）2＋（y －1）2＝r 2（r ＞0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1,则实数r 的取值范围为（ ) A ．[4,6］B ．(4,6）C ．[5,7]D ．（5，7)5．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A.B ．C ．D ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()21l o g l n2x x '=()333l o g xx x '=()2c o s 2s i n x x x x '=-2221-22-21-26．如果椭圆的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．B ．C ．D ．7. 双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则 ( ） A ． B ． C ． D ． 8．如图，过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B,交其准线于点C ，若 ｜BC|＝2｜BF|,且｜AF|＝3,则此抛物线方程为( )A ．B ．C ．D ．9．设，那么“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.若曲线在点处的切线方程是，则 （ ）A ．,B ．，C 。
，D ．，11．一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋错误!上移动,设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 ( )A.B.C.D 。
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（ ） A ．51 B ．42 C ．39 D ．36【答案】D【分析】先进行单循环赛，6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后3个班再进行单循环赛，分别求出所需比赛场次，即可得出答案. 【详解】先进行单循环赛，有245C =30场，胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛， 6支球队打3场，决出最后胜出的三个班， 最后3个班再进行单循环赛，由23C =3场. 所以共打了30+3+3=36场. 故选：D.2．“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据焦点在x 轴上的椭圆求出m ，再根据充分性，必要性的概念得答案.【详解】由方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆得：220m m >+>， 解得21m -<<-或m>2， 由充分性，必要性的概念知，“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的充分不必要条件.故选：A.合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y a bx =+中，2b =，1x =，3y =，则1a =；④通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量2χ越大，说明两个分类变量相关程度越大，命题①正确；对于命题②，由kx y ce =，两边取自然对数，可得ln ln y c kx =+，令ln z y =，得ln z kx c =+，0.34z x =+，所以ln 40.3c k =⎧⎨=⎩，则40.3c e k ⎧=⎨=⎩，命题②正确；对于命题③，回归直线方程y a bx =+中，3211a y bx =-=-⨯=，命题③正确；对于命题④，通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可估计和预测变量的取值和变化趋势，命题④错误.故选C.【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推理能力，属于中等题.4．()823x y z ++的展开式中，共有多少项？（ ） A ．45 B ．36 C ．28 D ．21【答案】A【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.【详解】解：当()823x y z ++展开式的项只含有1个字母时，有3项，当()823x y z ++展开式的项只含有2个字母时，有2137C C 21=项,当()823x y z ++展开式的项含有3个字母时，有27C 21=项,所以()823x y z ++的展开式共有45项； 故选：A.5．已知()52232x x --21001210a a x a x a x =++++，则0110a a a ++=（ ）【答案】A【分析】首先令0x =，这样可以求出0a 的值，然后把2232x x --因式分解，这样可以变成两个二项式的乘积的形式，利用两个二项式的通项公式，就可以求出110a a 、的会下，最后可以计算出0110a a a ++的值.【详解】令0x =，由已知等式可得：50=232a =，()55552[(12)(2)]2((2)3122)x x x x x x =-+=-⋅+--，设5(12)x -的通项公式为：51551(2)(2)rrr r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为：0155555(2)2C C C --⋅⋅、、；设5(2)x +的通项公式为：5512r r r r T C x -+=⋅⋅‘’‘’‘，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为： 4501555522C C C ⋅⋅、、，0115401555522)(2240,a C C C C =⋅⋅⋅=-⋅⋅+-5551055(2)32a C C =-⋅⋅=-，所以01103224032240a a a ++=--=-，故本题选A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，正确求出通项公式是解题的关键.6．平行四边形ABCD 内接于椭圆22221x y a b +=()0a b >>AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（ ）A ．1-4B ．1-2C ．D ．-1【答案】A【分析】利用对称关系转化为中点弦问题即可求解. 【详解】22222223331,,,2444c c a b b a a a a -=∴==∴=， 设112233(,),(,),(,),A x y B x y D x y设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以//OE AB ,所以1OE k =, 因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，所以22112222332211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2131321313OE AD y y y y b k k a x x x x +--=⋅=⋅+-, 所以22114AD b k a ⨯=-=-，即14AD k =-.故选:A.7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e ⋅+的取值范围是A ．()1,+∞B ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义，椭圆和双曲线的离心率，平面几何分析方法，值域的求法.由于椭圆和双曲线有公共点，那么公共点既满足椭圆的定义，也满足上曲线的定义，根据已知条件有22PF c =，利用定义列出两个离心率的表达式，根据题意求121e e ⋅+的表达式，表达式分母还有二次函数含有参数，根据三角形两边和大于第三边，求出c 的取值范围，进而求得121e e ⋅+的取值范围.【详解】设椭圆方程为()222221122111x y a b c a b +=-=，双曲线方程为()222221122111x y a b c a b -=+=，由椭圆和双曲线的几何性质可得，1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，依题意可知22PF c =，110PF =，代入可得，125,5a c a c =+=-.故2122212251112525c c c e e a a c c ⋅+=⋅+=+=--，三角形两边的和大于第三边，故5410,2c c >>，120,0a a >>，故5c <故22223745402554252525c c c <⇒<⇒<-><-. 故选：B.【点睛】（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a +=，得到a ，c 的关系．（2）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a -=，得到a ，c 的关系．8．已知A ，B ，C ，D 是椭圆E ：22143x y +=上四个不同的点，且()1,1M 是线段AB ，CD 的交点，且3AM CM BMDM==，若l AC ⊥，则直线l 的斜率为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．2【答案】C【分析】设出点的坐标()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由3AMBM=得到3AM MB =，列出方程，得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，分别把()()1122,,,A x y B x y 代入椭圆，得到()()111122143x y -+-=，同理得到()()331122143x y -+-=，两式相减得到34AC k =-，利用直线垂直斜率的关系求出直线l 的斜率. 【详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为3AM BM =，故3AM MB =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，则12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()()1122,,,A x y B x y 都在椭圆上，故2211143x y +=，且()()22119114443x y -+-=， 两式相减得：()()1181142442443x y -⨯+-⨯=，即()()111122143x y -+-=①， 同理可得：()()11221x y -+-=②，②－①得：()()131311043x x y y -+-=， 所以131334ACy y k x x -==--， 因为l AC ⊥，所以直线l 的斜率为143AC k -=. 故选：C【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.二、多选题9．已知两点(5,0),(5,0)M N -，若直线上存在点P ，使||||6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”．下列直线中为“B 型直线”的是（ ） A ．1y x =+ B ．2y = C ．43y x =D ．2y x =【答案】AB【解析】首先根据题意，结合双曲线的定义，可得满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支；进而可得其方程，若该直线为“B 型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，依次分析4条直线与双曲线的右支是否相交，可得答案．【详解】解：根据题意，满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支； 则其中焦点坐标为(5,0)M -和(5,0)N ，即5c =，3a =， 可得4b =；故双曲线的方程为221916x y -=，(0)x > 双曲线的渐近线方程为43y x =±∴直线43y x =与双曲线没有公共点， 直线2y x =经过点(0,0)斜率43k >，与双曲线也没有公共点 而直线1y x =+、与直线2y =都与双曲线221916x y-=，(0)x >有交点 因此，在1y x =+与2y =上存在点P 使||||6PM PN -=，满足B 型直线的条件 只有AB 正确 故选：AB ．10．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以12,A A 表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．12,A A 两两互斥B ．()22|3P B A = C ．事件B 与事件2A 相互独立 D ．()914P B =【答案】AD【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次取一球，所以12,A A 是两两互斥的事件，故A 项正确； 因为()()1212P A P A ==，()()()2225|7P BA P B A P A ==，故B 项错误； 又()()()1114|7P BA P B A P A ==，所以()()()1214159272714P B P BA P BA =+=⨯+⨯=，故D 项正确.从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B 与事件2A 不相互独立，故C 项错误. 故选：AD11．已知抛物线E ：2y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点41,116P ⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过E 上的点()11,A x y 反射后，再经E 上的另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ） A ．12116x x =B ．54AB =C ．ABP QBP ∠=∠D ．延长AO 交E 的准线于点C 则存在实数λ使得CB CQ λ= 【答案】ACD【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线AB 经过抛物线的焦点，直线2l 平行于x 轴，由此可求出点,A B 的坐标，判断各选项的真假．【详解】如图所示：因为141,1,16P l ⎛⎫ ⎪⎝⎭过点P 且1//l x 轴,故(1,1)A ,故直线101:1414AF y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭- 化简得4133y x =-,由24133y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 并化简得231044y y --=,即1214y y =-,()21212116x x y y ==，故A 正确；又11y =, 故214y =-,B 11,164⎛⎫- ⎪⎝⎭,故121125116216AB x x p =++=++=,故B 错误；因为412511616AP AB =-==，故APB △为等腰三角形，所以ABP APB ∠=∠,而12l l //,故PBQ APB ∠=∠,即ABP PBQ ∠=∠，故C 正确；直线:AO y x =,由14y xx =⎧⎪⎨=-⎪⎩得11,,44C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故C B y y =,所以,,C B Q 三点共线,故D 正确．故选：ACD ． 12．已知当随机变量()2,XN μσ时，随机变量X Z μσ-=也服从正态分布．若()2,,X X N Z μμσσ-~=，则下列结论正确的是（ ）A ．()0,1ZNB ．()12(1)P X P Z μσ-<=-<C ．当μ减小，σ增大时，(2)P X μσ-<不变D ．当,μσ都增大时，(3)P X μσ-<增大 【答案】AC【分析】根据正态分布与标准正态分布的关系以及正态分布的性质及特点可判断各选项正误. 【详解】对任意正态分布()2,X N μσ，X Z μσ-=服从标准正态分布()0,1ZN 可知A 正确，由于X Z μ-=，结合正态分布的对称性可得()(1)12(1)P X P Z P Z μσ-<=<=->，可知B 错误，已知正态分布()2,X N μσ，对于给定的*N k ∈，()P X k μσ-<是一个只与k 有关的定值，所以C正确，D 错误. 故选：AC.三、填空题 13．设()2,XB p ，若()519P X ≥=，则p =_________ .【答案】13【分析】由二项分布的概率公式()()1n kk kn P X k p p -==-C ，代入()()()112P X P X P X ≥==+=可得结果. 【详解】()2,XB p ,()()()()()0122222112C 1+C 12P X P X P X p p p p p p ∴≥==+==--=-,2529p p ∴-=，解得：13p ∴=或53p =(舍去)故答案为：13.14．已知()35P A =，()12P B A =，()23P B A =，则()P B =______. 【答案】1330【分析】根据已知条件结合全概率公式求解即可 【详解】因为()35P A =，所以32()1()155P A P A =-=-=， 因为()23P B A =，所以()()211133P B A P B A =-=-=， 所以由全概率公式可得()()()()()P B P B A P A P B A P A =+ 131213253530=⨯+⨯=, 故答案为：133015．现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是______. 【答案】2##0.4.【分析】先计算出男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻的总情况，再按照古典概型计算概率即可.【详解】3位男生和3位女生共6位同学站成一排共有66A 种不同排法，其中男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻有2322233422A (A A 6A A )-种不同排法，因此所求概率为232223342266A (A A 6A A )2=.A 5- 故答案为：25.16．关于曲线C ：22111x y +=，有如下结论： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线0x y ±=对称； ③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=无公共点； 其中所有正确结论的序号为_________. 【答案】①②④【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确. 【详解】对于①，将方程中的x 换为x -，y 换为y -，得()()222211111x y x y +=+=--，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x 换为y 或y -，y 换为x 或x -，得()()2222221111111y x x y y x +=+=+=--，所以曲线C 关于直线0x y ±=对称，故②正确； 对于③，由22111x y +=得221110y x=-≥，即21x ≥，同理21y ≥，显然曲线C 不是封闭图形，故③错误；对于④，由③知曲线C 不是封闭图形，联立22221112x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去2y ，得42220x x -+=，令2t x =，则上式转化为2220t t -+=，由()224240∆=--⨯=-<可知方程无解，因此曲线C 与圆222x y +=无公共点，故④正确. 故答案为：①②④.四、解答题17．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，___________. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)4352T x =和74254T x =(2)51T x =，4352T x =，35516T x =【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项. （2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项. 【详解】（1）二项展开式的通项公式为：211C C ,0,1,2,,2rr r rr n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，∴()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-(舍去)，∴5n =.若选②，则由题得()221111C 22141C 22n n nn n n n n n n ----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴5n =， 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52rr r rr r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.当52rZ -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为:51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭.18．已知圆()22:()(21)4C x a y a a -+-+=∈R ，定点()1,2M -.(1)过点M 作圆C 的切线，切点是A ，若线段MA C 的标准方程；(2)过点M 且斜率为1的直线l ，若圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，求a 的取值范围. 【答案】(1)22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=(2)(4【分析】（1）由题可知，圆心(),21C a a -，2r =，由勾股定理有222MC MA r =+，根据两点间距离公式计算即可求出a 的值，进而得出圆的方程；（2）因为圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，圆C 的半径为2，因此需圆心C 到直线l 的距离小于1，设直线l 的方程为：()211y x -=+，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）解：由题可知，圆心(),21C a a -，2r =由勾股定理有222MC MA r =+，则222(1)(23)225a a ++-=+= 即2510150a a --=，解得：3a =或1a =-，所以圆C 的标准方程为：22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=. （2）解：设直线l 的方程为：()211y x -=+，即30x y -+=， 由题，只需圆心C 到直线l 的距离小于1即可，所以1d =<，所以4a -44a <所以a 的取值范围为(4.19．某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，125E ζ=，②240 【解析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可（2）代入公式计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为123205p ==，332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计 155202220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. ①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株， 所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3.其中24353(2)5C P C ξ===， 34352(3)5C P C ξ===ξ的分布列为： ξ2 3 P3525所以321223555E ξ=⨯+⨯=. ②332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【点睛】考查完成22⨯列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题. 20．安排5个大学生到,,A B C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的． （1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．【答案】（1）;（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）5个大学生去三所学校支教，共有种方法，若恰有2人去A 校支教，那就从5人中先选2人，去A 大学，然后剩下的3人去B 和C 大学支教，有种方法，最后根据古典概型求概率；（2）根据题意，，表示5人都去了同一所大学支教，表示5人去了其中2所大学支教，那可以将5人分组，分为4和1，或是3和2，然后再分配到2所大学，计算概率，表示5人去了3所大学支教，那分组为113，或是122型，再将三组分配到三所大学，计算概率，最后列分布列.试题解析：（1）5个大学生到三所学校支教的所有可能为53243=种，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ，则有352280C ⋅=种，∴80()243P M =． 答：5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率80243． （2）由题得：1,2,3ξ=，15ξ=⇒人去同一所学校，有133C =种，∴ 31(1)24381P ξ===， 25ξ=⇒人去两所学校，即分为4,1或3,2有24323552()90C C C A ⋅+⋅=种，∴ 903010(2)2438127P ξ====， 35ξ=⇒人去三所学校，即分为3,1,1或2，2,1有312235253311()1502!2!C C C C A ⋅⋅⋅⋅+⋅= 种，∴15050(3)24381P ξ===． ∴ 的分布列为【解析】1.排列组合；2.离散型随机变量的分布列.21．已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于,A B 两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆Γ上存在点C 使得||||AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】(1)3 (2)32(3):1l x =、:0l y =或3:1l x y =+【分析】（1）根据直线垂直x 轴，可得,A B 坐标，进而可求线段长度.（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解.【详解】（1）因为(1,0)F ，令1x =，得21143y +=，所以32y =±，所以||3AB = （2）设直线:1(0)l x my m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设210,0y y ><，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=， 2144(1)m ∆=+，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ()2221122221212169434434m y y y y y m m m y --⎛⎫- ⎪++-+-==+⎝⎭2211112122AOBm SOF y y +=⋅-=21m t +=，则1t ≥，2661313AOB t S t t t==++△，记1()3h t t t =+，可得1()3h t t t=+在[)1,+∞上单调递增所以211322AOBSOF y y =⋅-≤当且仅当0m =时取到， 即AOB 面积的最大值为32；（3）①当直线l 不与x 轴重合时，设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为M ．由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 因为ABC 的重心G 在y 轴上，所以120C x x x ++=， 所以121228()234C x x x m y y m -=--=-+-=+，又()12122242234M m y y x x x m +++===+，1223234M y y my m +-==+， 因为||||AC BC =，所以CM AB ⊥ ,故直线:()M M CM y y m x x -=--，所以29()34C M C M m y y m x x m =--=+，从而2289,3434m C m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 代入22143x y +=得22(31)0m m -=，所以0,m =:1l x =或:1l x y =+．② 当直线l 与x 轴重合时，点C 位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时:0l y =． 综上，:1l x =，:0l y =或:1l x y =+． 22．已知双曲线2222:100x y C a b a b-=>>（，），1F 、2F 分别是它的左、右焦点，(1,0)A -是其左顶点，且双曲线的离心率为2e =．设过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P Q 、两点，其中点P 位于第一象限内． (1)求双曲线的方程；(2)若直线AP AQ 、分别与直线12x =交于M N 、两点，证明22MF NF ⋅为定值； (3)是否存在常数λ，使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2213y x -= (2)证明见解析 (3)存在，2【分析】（1）根据题意可得1a =，2ce a==，即可求解,b c 的值，进而得到双曲线方程； （2）设直线l 的方程及点,P Q 的坐标，直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，得到1212,y y y y +的值，进而得到点,M N 的坐标，计算22MF NF ⋅的值即可；（3）在直线斜率不存在的特殊情况下易得2λ=，再证明222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，将角度问题转化为斜率问题，即222tan 21PAPAk PAF k ∠=-，22tan PF AF P k ∠=-，即可求解=2λ. 【详解】（1）解：由题可知：1a = ∵2ce a==，∴c ＝2 ∵222+=a b c ，∴b = ∴双曲线C 的方程为：2213y x -=（2）证明：设直线l 的方程为：2x ty =+，另设：()11,P x y ，()22,Q x y ，∴()2222131129032y x t y ty x ty ⎧⎪⎨⎪-=⇒-++==+⎩， ∴121222129,3131t y y y y t t -+==--，又直线AP 的方程为()1111y y x x =++，代入()11311,2221y x M x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, 同理，直线AQ 的方程为()2211y y x x =++，代入()22311,2221y x N x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, ∴()()1222123333,,,221221y y MF NF x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴()()()()()12121222212121212999999441144334439y y y y y y MF NF x x ty ty t y y t y y ⋅=+=+=+++++⎡⎤+++⎣⎦2222999993109124444393131t t t t t t ⨯-=+=-=-⎛⎫⨯+⨯+ ⎪--⎝⎭,故22MF NF ⋅为定值.（3）解：当直线l 的方程为2x =时，解得(2,3)P ， 易知此时2AF P △为等腰直角三角形，其中22,24AF P PAF ππ∠=∠=，即222AF P PAF ∠=∠，也即：=2λ，下证：222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，121112222212112122tan 212(1)tan 21tan 1(1)1()1PAPAy PAF k x y x PAF y PAF k x y x ⨯∠++∠====-∠-+--+，∵()222211111313y x y x -=⇒=-，∴()()()()()()11111222121112121tan 22122131y x y x y PAF x x x x x ++∠===--+--+--，∴21221tan tan 22PF y AF P k PAF x ∠=-=-=∠-， ∴结合正切函数在0,,22πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的图像可知，222AF P PAF ∠=∠，。
贵州省2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
A．若秒针 OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则 OA BC
B．若秒针 OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则 NA // 平面 OBC C．若秒针 OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则 BC 与 AM 所成角的余弦值为 14
7 D．若秒针 OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则四面体 OABC 的外接球的表面积为 103
(1)证明：不论 m 为何值，直线 l 过定点 M . (2)过（1）中点 M ，且与直线 l 垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 最小时，求直线 l 的方程.
五、证明题 21．如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，平面 ADE 平面 ABCD ，且 AB 4 ，正三角形 ADE 的边长为 2.
贵州省 2023-2024 学年高二上学期 12 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 ax 3y 2 0 与直线 2x a 1 y a 0 平行，则 a （ ）
A． 2
B．3
C． 2 或 3
(1)证明： BC OP .
(2)若 BM 2MC ，求二面角 M AP C 的余弦值.
试卷第 5页，共 5页
(1)证明： EF / / 平面 ABCD . (2)若 EF AB ，且直线 AE 与平面 BCF 所成角的正弦值为 21 ，求 EF 的值.
7 22．如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 3 2, PA PB PC AC 6,O 为 AC 的中 点.
试卷第 4页，共 5页
A． 179 4
B． 178 4
C． 179 8
辽宁省名校联盟2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学含答案
辽宁省名校联盟2023年高二12月份联合考试数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(3i)45i z =-，则z 的共轭复数为（）A.54i 33-- B.54i33-+ C.54i 33+ D.54i 33-2.抛物线24x y =-的准线方程是（）A.1y = B.1y =- C.2y = D.=2y -3.已知12112212,log 3,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b>> D.c b a>>4.如图，在四面体A BCD -中，点O 为底面三角形BCD 的重心，P 为AO 的中点，设,AB a AC b ==，AD c = ，则BP 在基底{},,a b c下的有序实数组为（）A.211,,333⎛⎫--⎪⎝⎭B.211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭C.511,,666⎛⎫--⎪⎝⎭D.511,,666⎛⎫-⎪⎝⎭5.已知()0,2π,θθ∈终边经过点()sin3,cos3，则θ=（）A.32π-B.32π+ C.332π- D.532π-6.设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交C 于,M N 两点，若112MF F N = ，且27cos 9MNF ∠=，则C 的离心率为（）A.33B.63C.2D.27.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E 为线段BC 的中点，且1DE DF ⋅=-，则该半正多面体外接球的表面积为（）A.4πB.8πC.16πD.24π8.十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于2π3时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角2π3；当三角形有一内角大于或等于2π3时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在ABC 中，2π,1,23C AC BC ===，CM 是ABC 的角平分线，交AB 于M ，满足若P 为AMC 的费马点，则·PA PM PM ⋅+ PC PA PC +⋅=（）A.35-B.25-C.23-D.13-二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知定义域为R 的奇函数()f x 在()0,∞+单调递减，且()10f -=，则下列选项满足()0xf x >的是（）A.(),1-∞- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,+∞10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.点7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的对称中心B.直线512x π=是()f x 图像的对称轴C.()f x 的图像向右平移712π个单位长度得sin2y x =的图像D.()f x 在区间232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11.已知直线:10l x y +-=截圆222:()0O x y r r +=>，点,M N 在圆O 上，且直线()():12130l m x m y m '++--=过定点P ，若PM PN ⊥，Q 为MN 的中点，则下列说法正确的是（）A.点P 坐标为()1,1B.当直线l 与直线l '平行时，2m =-C.动点Q 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆D.MN 的取值范围为-12.在一个圆锥中，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，P 为线段DO 的中点，AE 为底面圆的直径，ABC 是底面圆的内接正三角形，3AD ==，则下列说法正确的是（）A.//BE 平面PACB.在圆锥的侧面上，点A 到DE 的中点的最短距离为2C.二面角B PC A --的余弦值为12D.记直线DO 与过点P 的平面α所成角为θ，当cos 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆或部分椭圆三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()0,0,0,3,2,4,0,5,1O A B -，若23OC AB =uuu r uu u r，则C 的坐标是__________.14.若函数()e 1xf x a =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.15.已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在对称轴，则ω的最大值是__________.16.如图，已知直线1l 2,l A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1,2,B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，平面内动点G 满足230GA GB GC ++=，则 GBC 面积的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，点()1,1B ，且满足43FB FA OF=-（O 为坐标原点）.（1）求C 的方程；（2）求AFB ∠的角平分线所在直线的方程.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为()1,0F ，且离心率为12.（1）求C 的方程；（2）过F 作直线l 与C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若627OMN S =，求l 的方程.19.如图，已知棱长为4的正方体1111,ABCD A B C D M -为11B D 的中点，E 为MC 的中点，F BC ∈，且EF 面11BB D D .（1）求证：,,,E F M B 四点共面，并确定点F 位置；（2）求异面直线1AA 与BM 之间的距离；（3）作出经过点,,A F M 的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长.20.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求A ；（2）若π4,4b B ==，点D 在线段BC 上且满足CD CB λ= ，当AD 取最小值时，求λ的值.21.如图①，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==为边CD 的中点.将ADE V 沿AE 翻折至PAE △，连接,PB PC ，得到四棱锥P ABCE -（如图②），M 为棱PB 的中点.（1）求证：CM 面PAE ，并求CM 的长；（2）若23PB =，棱AP 上存在动点F （除端点外），求直线BF 与面PEC 所成角的正弦值的取值范围.22.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为23（1）求C 的标准方程；（2）设不与渐近线平行的动直线l 与双曲线有且只有一个公共点P ，且与直线12x =相交于点Q ，试探究：在焦点所在的坐标轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由.辽宁省名校联盟2023年高二12月份联合考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(3i)45i z =-，则z 的共轭复数为（）A.54i 33-- B.54i33-+ C.54i 33+ D.54i 33-【答案】B 【解析】【分析】由复数的除法运算结合共轭复数的定义求得.【详解】由题得()245i i 45i 54i 3i 3i 33z --===--，所以z 的共轭复数为54i 33-+.故选：B.2.抛物线24x y =-的准线方程是（）A.1y =B.1y =- C.2y = D.=2y -【答案】A 【解析】【分析】结合抛物线的准线方程求解即可.【详解】由题知抛物线224x py y =-=-,所以2p =，故抛物线24x y =-的准线方程为12p y ==.故选：A.3.已知12112212,log 3,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a>>【答案】C 【解析】【分析】根据指数，对数相应的值可得12021a -<=<，12log 30b =<，121log 13c =>从而可求解.【详解】因为12021a -<=<，12log 30b =<，112211log l 132c og =>=所以b a c <<，故C 项正确，故选：C.4.如图，在四面体A BCD -中，点O 为底面三角形BCD 的重心，P 为AO 的中点，设,AB a AC b ==，AD c = ，则BP 在基底{},,a b c下的有序实数组为（）A.211,,333⎛⎫--⎪⎝⎭B.211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭C.511,,666⎛⎫--⎪⎝⎭D.511,,666⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】取CD 的中点E ，连接BE .由重心的性质可知23BO BE =，且,,B O E 三点共线.因为()()()1112222BE BC BD AC AB AD AB b a c =+=-+-=-+，所以()()211112,33222BO BE b a c BP BA BO AB BO==-+=+=-+()1115112223666a b a c a b c =-+⨯-+=-++ .所以BP 在基底{},,a b c 下的有序实数组为511,,666⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D5.已知()0,2π,θθ∈终边经过点()sin3,cos3，则θ=（）A.32π-B.32π+ C.332π- D.532π-【答案】D 【解析】【分析】根据θ的终边经过点()sin 3,cos3，利用三角函数终边知识从而可求解【详解】由题意得πsin 3cos3π2tan tan 3πsin32cos 32θ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，故π3π,Z 2k k θ=-+∈.又因为π3,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin30,cos30><，所以3π,2π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2k =，所以5π32θ=-，故D 项正确.故选:D.6.设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交C 于,M N 两点，若112MF F N = ，且27cos 9MNF ∠=，则C 的离心率为（）A.33B.63C.22D.32【答案】A 【解析】【分析】设1F N m =，2MNF 中，由余弦定理得m 与a 的关系，12NF F △中，由余弦定理得c 与a 的关系，可求C 的离心率.【详解】如图，设1F N m =，则12,3MF m MN m ==.由椭圆定义可得2222,2MF a m F N a m =-=-，则在2MNF 中，由余弦定理得:()()22222222222||9(2)(22)647cos 262629MN F N MF m a m a m m am MNF MN F Nm a m m a m ∠+-+---+====⋅--，即2254368442m am am m +=-，解得2a m =，则123,22a a F N F N ==.在12NF F △中，由余弦定理得222212121212937232cos 2442293a a a a F F F N F N F N F N F NF a ∠=+-⋅=+-⋅⋅⋅=，又122F F c =，所以323a c =，所以离心率33c e a ==.故选：A.7.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E 为线段BC 的中点，且1DE DF ⋅=-，则该半正多面体外接球的表面积为（）A.4πB.8πC.16πD.24π【答案】C 【解析】【分析】利用割补法将此多面体补成正方体，建立空间直角坐标系，根据几何关系，从而可求解.【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.令正方体的棱长为2a ，则(,0,2),(0,,2),(,2,2),(2,2,),,,222a a B a a C a a D a a a F a a a E a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以3(,0,),,,022a a DF a a DE ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭ ，所以212a DE DF ⋅=-=-，解得a =，则正方体的棱长为.令该半正多面体外接球的半径为r ，即2,2r r ==，则外接球的表面积为16π.故C 项正确.故选：C.8.十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于2π3时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角2π3；当三角形有一内角大于或等于2π3时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在ABC 中，2π,1,23C AC BC ===，CM 是ABC 的角平分线，交AB 于M ，满足若P 为AMC 的费马点，则·PA PM PM ⋅+ PC PA PC +⋅=（）A.35-B.25-C.23-D.13-【答案】D 【解析】【分析】应用角平分线的性质及等面积法及数量积即可求解.【详解】在ABC 中，2π,1,23C AC BC ===，由CM 是ABC 的角平分线，交AB 于M ，设M 到两边的距离为d ，则||||AMC BMC S BC d S AC d ⋅==⋅21，故1111233226AMC ABC S S ==⨯⨯⨯⨯=.已知AMC 的三个内角均小于2π3，则点P 与AMC 的三个顶点的连线两两成角2π3，所以.12π12π12π||sin ||||sin ||||sin 232323AMCS PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅(||||||||||||)46PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅=，所以2||||||||||||3PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅= ，所以PA PM PM PC PA PC⋅+⋅+⋅ 2π2π2π||||cos ||||cos ||||cos333PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅ 1121(||||||||||||)2233PA PM PM PC PA PC =-⋅+⋅+⋅=-⨯=- .故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知定义域为R 的奇函数()f x 在()0,∞+单调递减，且()10f -=，则下列选项满足()0xf x >的是（）A.(),1-∞- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,+∞【答案】BC 【解析】【分析】由0,0,0x x x <=>分类讨论，结合奇函数的性质求出不等式的解集，然后判断各选项．【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，且在()0,∞+单调递减，且()10f -=，所以()()110f f -=-=，且()()00,f f x =在(),0∞-上单调递减，所以当0x =时，()0xf x =，不满足题意；当0x <时，由()0xf x >，可得()0f x <，所以10x -<<；当0x >时，由()0xf x >，可得()0f x >，所以01x <<.综上，()0xf x >的解集为()()1,00,1-U .故选:BC .10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.点7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的对称中心B.直线512x π=是()f x 图像的对称轴C.()f x 的图像向右平移712π个单位长度得sin2y x =的图像D.()f x 在区间232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD 【解析】【分析】由图象结合五点法求出函数解析式，然后根据正弦函数性质进行检验．【详解】由题意可知311ππ1,4126A T ==-，解得πT =，所以2ππT ω==，解得2ω=.将π,06⎛⎫⎪⎝⎭代入()()sin 2f x x ϕ=+中，得πsin 206ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，解得π2π,Z 3k k ϕ=-∈，因为π2ϕ<，所以当0k =时，π3ϕ=-，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.对于A 项，7π7ππsin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点7π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的对称中心，故A 项正确；对于B 项，5π5ππ()sin(2)112123f =⨯-=，所以直线5π12x =是()f x 图像的对称轴，故B 项正确；对于C 项，()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向右平移7π12个单位长度得7ππsin 2123y x ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3πsin 2cos22x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的图像，故C 项错误；对于D 项，当π2π[,]23x ∈时，π2ππ2,π,π332x ⎡⎤⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在区间[π2,2π]3上单调递减，故D项正确.故选：ABD11.已知直线:10l x y +-=截圆222:()0O x y r r +=>，点,M N 在圆O 上，且直线()():12130l m x m y m '++--=过定点P ，若PM PN ⊥，Q 为MN 的中点，则下列说法正确的是（）A.点P 坐标为()1,1B.当直线l 与直线l '平行时，2m =-C.动点Q 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆D.MN的取值范围为-【答案】ABD 【解析】【分析】由直线过定点的求法参变分离，即可列式求解得出定点判断A ；由两直线平行时斜率的关系列式得出m 判断B ，注意验证一下，避免两直线重合；通过圆弦长的几何求法列式得出半径r ，设出所求点(),Q x y ，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出12PQ MN MQ ==，即可通过圆弦长的几何求法列式22222OMOQ MQ OQ PQ =+=+代入值化简得出轨迹方程，即可判断C ；通过圆上点到定点距离的范围求法得出PQ 的取值范围，即可通过2MN PQ =得出MN 的取值范围判断D.【详解】对于A ，因为直线()():12130l m x m y m '++--=，可化为()230x y m x y -++-=，由0230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以()():12130l m x m y m '++--=过定点()1,1P ，故A 正确；对于B ，当直线l 与直线l '平行时，因为直线:10l x y +-=的斜率为1-，所以直线l '的斜率也为1-时，则1211mm+=--，解得：2m =-，此时:3360l x y '--+=，即20x y +-=与直线:10l x y +-=平行，故B 项正确；对于C2=，则=，解得2r =，设MN 的中点为(),Q x y ，PM PN ⊥ ，Q 为MN 的中点，12PQ MN MQ ∴==， 点,M N 在圆O 上，2OM ∴=，OQ MN ⊥，22222OM OQ MQ OQ PQ ∴=+=+，即22224(1)(1)x y x y =++-+-，化简可得22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点Q 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，62为半径的圆，故C 错误；对于D ，点P 到圆心11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离为22，在圆22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内，PQ ∴的取值范围为22-+⎣⎦，2MN PQ= MN ∴的取值范围为，故D 项正确.故选：ABD.12.在一个圆锥中，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，P 为线段DO 的中点，AE 为底面圆的直径，ABC 是底面圆的内接正三角形，3AD ==，则下列说法正确的是（）A.//BE 平面PACB.在圆锥的侧面上，点A 到DE 的中点的最短距离为2C.二面角B PC A --的余弦值为12D.记直线DO 与过点P 的平面α所成角为θ，当cos 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆或部分椭圆【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，假设//BE 平面PAC ，由线面平行的性质得到线线平行，但BE 不与AC 平行，所以假设不成立，A 错误；B 选项，将侧面铺平展开，在平面内得到最短距离；C 选项，先求出四面体-P ABC 为正四面体，作出辅助线，找到二面角B PC A --的平面角，利用余弦定理求出答案；D 选项，设圆锥的轴截面顶角2ADE β∠=，得到cos 3OD DE β==，根据余弦函数的单调性得到π2βθ<<，从而得到答案.【详解】对于A 项，假设//BE 平面PAC ，因为BE ⊂平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，所以BE //AC ，由题意得BE 不与AC 平行，所以假设不成立，则BE 不平行平面PAC ，故A 项错误；对于B 项，将侧面铺平展开得3AD DE ==，因为3AD ==，所以AB =故2cos30ABAE ==︒，1AO =，底面圆周长2π12π⨯=，所以 πAE =，则π3ADE ∠=，所以点A 到DE 中点M 的最短距离为AM ，在等边三角形ADE 中，sin2π3AM AD ==，故B 项正确；对于C 项，因为3DE =，1AO =，则DO ==，所以12PO DO ==21PA =+=，同理PB PC ==，又AB BC AC ===，所以四面体-P ABC为正四面体，取PC 的中点Q ，连接,BQ AQ ，则BQ ⊥PC ，AQ ⊥PC ，则AQB ∠即为二面角B PC A --的大小，其中3602BQ AQ ==︒=，由余弦定理得222993144cos 3323222AQ BQ AB AQB AQ BQ +-+-∠===⋅⨯⨯，即二面角B PC A --的余弦值为13，故C 项错误；对于D 项，设圆锥的轴截面顶角2ADE β∠=，则22cos 3OD DE β==，由题意得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为cos 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos cos θβ<，又cos y x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故π2βθ<<，此时平面α与圆锥侧面的交线为椭圆或部分椭圆，D 正确.故选：BD .【点睛】在空间中，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线是一个圆，用一个不垂直轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角α不同时，可以得到不同的截口曲线，设圆锥的轴截面半顶角为β，当βα<时，截口曲线为椭圆，当βα=时，截口曲线为抛物线，当βα>时，截口曲线为双曲线如图所示：三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()0,0,0,3,2,4,0,5,1O A B -，若23OC AB =uuu ruu ur ，则C 的坐标是__________.【答案】102,2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】应用空间向量数乘即向量相等即可.【详解】因为()()()0,0,0,3,2,4,0,5,1O A B -，设(),,C x y z 则()3,3,5AB =- ，(,,)O y z C x =所以210(,,)2,2,33OC x y z AB ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则102,2,3x y z =-==，即102,2,3C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：102,2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭14.若函数()e 1xf x a =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】()1,0-【解析】【分析】将问题转换成e 1xy =-与y b =的图像交点问题，数形结合得到答案.【详解】函数()e 1xf x a =-+有两个零点，即e 1xy =-与y a =-的图像有两个交点.令a b -=，作出e 1xy =-与y b =的大致图像如图所示，由图可知01b <<，则01a <-<，故实数a 的取值范围是()1,0-.故答案为：()1,0-15.已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在对称轴，则ω的最大值是__________.【答案】53【解析】【分析】由正弦函数性质及已知条件建立不等式组即可【详解】因为π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且0ω>，所以πππππ2666x ωωω-<-<-，因为()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在对称轴，所以()ππππ262,Z πππ1π62k k k ωω⎧-≥+⎪⎪∈⎨⎪-≤++⎪⎩，解得452,Z 33k k k ω+≤≤+∈，当1k =-时，203ω<≤；当0k =时，4533ω≤≤；当1k ≥时，不成立，即2450,,333ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为：53.16.如图，已知直线1l 2,l A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1,2,B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，平面内动点G 满足230GA GB GC ++=，则 GBC 面积的最小值是__________.【答案】13【解析】【分析】取AC 的中点,M BC 的中点N ，先由平面向量运算得到20GM GN +=；表示出11113326GBC MBC ABC ABC S S S S ==⨯= ，再由几何关系得到21,cos sin AB AC θθ==，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.【详解】由230GA GB GC ++= ，得220GA GC GB GC +++=.取AC 的中点,M BC 的中点N ，有20GM GN +=，则11113326GBC MBC ABC ABC S S S S ==⨯= .设π02BAD Ðq q 骣琪=<<琪桫，由于1DE l ⊥，2DE l ⊥，而AC AB ⊥，则π2EAC θ∠=-，由2AD =，1AE =，得21,cos sin AB AC θθ==，则122222cos sin sin2ABC S AB AC θθθ=⋅==≥ ，当且仅当π22θ=，即π4θ=时取等号，此时GCB △的面积的最小值为1163ABC S = .故答案为：13【点睛】本题考查平面向量和基本不等式的计算.取AC 的中点,M BC 的中点N ，先由平面向量运算得到20GM GN += ；表示出11113326GBC MBC ABCABC S S S S ==⨯= ，再由几何关系得到21,cos sin AB AC θθ==，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，点()1,1B ，且满足43FB FA OF=-（O 为坐标原点）.（1）求C 的方程；（2）求AFB ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）24y x =（2）330x y --=【解析】【分析】（1）利用向量关系求出点A 坐标，代入抛物线方程可得；（2）求出直线BF ，AF 的方程，设(),P x y 为AFB ∠的角平分线所在直线上任一点，利用点到直线的距离公式可得.【小问1详解】因为43FB FA OF =- ，所以33OF FB FA FB +=- ，所以3OB BA =，设(),A x y ，则()()31,11,1x y =--，解得()4,4A .因为点A 在C 上，所以2424p =⋅，所以2p =，所以24y x =.【小问2详解】由（1）知()1,0F ，所以直线BF 的方程为1x =，又43AF k =，所以直线AF 的方程为()413y x =-，即4340x y --=.由抛物线的图形知，AFB ∠的角平分线所在直线的斜率为正数.设(),P x y 为AFB ∠的角平分线所在直线上任一点，则有43415x y x --=-，若43455x y x --=-，得310x y +-=，其斜率为负，不合题意，舍去.所以43455x y x --=-+，即330x y --=，所以AFB ∠的角平分线所在直线的方程为330x y --=.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为()1,0F ，且离心率为12.（1）求C 的方程；（2）过F 作直线l 与C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若27OMN S =，求l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）10x y +-=或10x y --=.【解析】【分析】（1））由离心率和焦点坐标即可求得C 的方程.（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据627OMN S =求出直线l 的方程.【小问1详解】由已知得1c =，离心率12c e a ==，得2222,3a b a c ==-=，则C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题可知，若OMN 面积存在，则斜率不为0，所以设直线l 的方程为1,x my m =+显然存在，()()1122,,,M x y N x y ，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2234690m y my ++-=，因为直线l 过点F ，所以Δ0>显然成立，且12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，因为121122OMNS OF y y =⋅-= .127==，化简得4218170m m --=，解得21m =或21718m =-（舍），所以直线l 的方程为10x y +-=或10x y --=.19.如图，已知棱长为4的正方体1111,ABCD A B C D M -为11B D 的中点，E 为MC 的中点，F BC ∈，且EF 面11BB D D .（1）求证：,,,E F M B 四点共面，并确定点F 位置；（2）求异面直线1AA 与BM 之间的距离；（3）作出经过点,,A F M 的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长.【答案】（1）F 为BC 的中点.证明见解析（2）22（3）截面位置见解析，45217+【解析】【分析】（1）由线面平行的性质定理得到四点共面，进而确定F 的位置；（2）证明1A M 同时垂直于两条异面直线，并求出长度即可；（3）在线段1111,A D B C 上分别取点,P Q ，使得111,1A P C Q ==，连接点,,,A F Q P ，画出四边形AFQP 即为所求，并求出周长.【小问1详解】证明：因为EF 面11,BB D D EF ⊂面CBM ，面CBM 面11BB D D MB =，所以EF MB ，所以,,,E F M B 四点共面.又EF MB ，所以F 为BC 的中点.【小问2详解】连接1A M ，因为1AA ⊥面11111,A B C D A M ⊂面1111D C B A ，所以11AA A M ⊥，因为1AA 1BB ，所以11A M BB ⊥，又1111111,A M B D BB B D B ⊥⋂=，所以1A M ⊥面11BB D D ，又BM ⊂面11BB D D ，所以1A M BM ⊥.所以线段1A M 即为异面直线1AA 与BM 之间的距离，易得12A M =即异面直线1AA 与BM 之间的距离为22.【小问3详解】如图，在线段1111,A D B C 上分别取点,P Q ，使得111,1A P C Q ==，连接点,,,A F Q P ，则四边形AFQP 即为所求.又AF PQ AP QF ======，所以该截面的周长为+20.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求A ；（2）若π4,4b B ==，点D 在线段BC 上且满足CD CB λ= ，当AD 取最小值时，求λ的值.【答案】（1）π3（2）336λ-=【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到sin cos sin sin A C A C C =+，得到cos 1A A -=，求得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可求解.（2）由正弦定理求得5π12a ACB ∠==，根据AD CB CA λ=- ，利用向量的线性运算法则和数量积的运算公式，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】由题得cos sin a C C b c +=+，由正弦定理得sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，又由πA B C ++=，可得()sin sin B A C =+，所以()sin cos sin sin sin A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C =+，因为()0,πC ∈，可得sin 0C >cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，故π3A =，【小问2详解】在ABC 中，由正弦定理得sin sin b aABC BAC∠∠=2322=解得5π12a ACB ∠==，则5πππ232162cos cos()124622224=+=⋅-⋅=，因为AD CD CA CB CA λ=-=-，由余弦定理得2225π||24162241624cos12AD CB CA λλλλ=+-⋅=+-⋅⋅(222416242483164λλλλ=+-⋅=-+，所以当336λ-=时，AD 取到最小值.21.如图①，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==为边CD 的中点.将ADE V 沿AE 翻折至PAE △，连接,PB PC ，得到四棱锥P ABCE -（如图②），M 为棱PB 的中点.（1）求证：CM 面PAE ，并求CM 的长；（2）若PB =，棱AP 上存在动点F （除端点外），求直线BF 与面PEC 所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）CM =，证明见解析（2）20,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用线面平行即可求证，然后利用勾股定理可求出CM 的长；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解直线与平面的夹角，并结合函数性质，从而求解.【小问1详解】证明：取PA 的中点N ，连接,EN MN ，如下图，因为,M N 分别为,PB PA 的中点，所以MN AB 且12MN AB =.又EC AB 且12EC AB =，所以EC MN ，EC MN =，所以四边形CMNE 为平行四边形，所以CM EN .因为CM ⊄平面,PAE EN ⊂平面PAE ，所以CM 平面PAE .在Rt PEN中，EN ===，所以CM EN ==.【小问2详解】取EA 的中点Q ，连接,PQ BQ，易得PQ =在QAB中，45,QAB BQ ∠==，且PB =，则222PQ QB PB +=，即PQ QB ⊥.因为,,,PQ EA EA QB Q EA QB ⊥⋂=⊂面ABCE ，所以PQ ⊥面ABCE .取AB 的中点G ，连接EG ，则EG EC ⊥，以E 为原点，,,EG EC QP方向分别为,,x y z轴的正方向，建立如上图所示的空间直角坐标系，(0,0,0),(2,2,0),(2,2,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,E A B C Q P ---，设(),,,(01)F x y z AF AP λλ=<<，则有()(2,2,x y z λ-+=-，所以()()2,,,F BF λλλλ--=--.因为()(0,2,0,1,EC EP ==-，设平面PEC 的一个法向量(),,n a b c = ，则200EC n b EP n a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取a =1)n =- .设BF 与平面PEC 所成角为θ，则sin BF n BF n θ⋅===⋅3=.设11t λ=>，所以sin 3θ=，因为2213421224t t t ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，因为1t >，所以24213t t -+>，0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.即BF 与平面PEC所成角的正弦值的取值范围为0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.22.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2（1）求C 的标准方程；（2）设不与渐近线平行的动直线l 与双曲线有且只有一个公共点P ，且与直线12x =相交于点Q ，试探究：在焦点所在的坐标轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=（2）存在定点M ，坐标为()2,0M .【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解，（2）联立直线与双曲线方程，利用判别式为0得2230k m -+=，进而可得,P Q 坐标，即可根据向量垂直的坐标关系代入求解.【小问1详解】由题可得渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，则右焦点F到渐近线的距离为b ==，又2222,===+ce c a b a，所以223,1b a ==，所以C 的标准方程为2213y x -=.【小问2详解】由题可得直线的斜率显然存在且k ≠，设直线l 的方程为y kx m =+，则11,22Q k m ⎛⎫+⎪⎝⎭，联立22,1,3y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 整理得()2223230k x kmx m ----=，由设直线l 与双曲线有且只有一个公共点P且k ≠，可知()()2222Δ44330k m k m=----=，即2230k m -+=.令()11,P x y ，则123km kx k m==--，代入直线方程得213k y m m m =-+=-，即3,k P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.假设以PQ 为直径的圆上存在定点M ，令()0,0M x ，则0MP MQ ⋅=，即00113022k x x k m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，即00011330222k k x x x m m ⎛⎫⎛⎫-+--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()200013202kx x x m --+-=，令2001302x x --=且020x -=，则02x =当02x =时恒成立，所以在焦点所在的坐标轴上存在定点M ，坐标为()2,0M .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b。
2021届高二数学(文)12月月考试题
高二数学12月月考试题 文试题说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试时间120分钟，试卷满分120分。
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修5+选修1-1第一.二章。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“对任意的,sin 1x x ∈≤R ”的否定是 A ．不存在,sin 1x x ∈≤R B ．存在,sin 1x x ∈≤R C ．存在,sin 1x x ∈>RD ．对任意的,sin 1x x ∈>R2．已知数列14,19,26,,则12是该数列的A ．第28项B ．第29项C ．第30项D ．第31项3. 已知实数m ，n 满足0m n +≥，则命题“若0mn ≥，则0m ≥且0n ≥”的逆否命题为 A ．若0mn <，则0m ≥且0n ≥ B ．若0mn ≥，则0m <或0n < C ．若0m ≥且0n ≥，则0mn ≥D ．若0m <或0n <，则0mn <4．若0b a <<，0d c <<，则 A ．bd ac < B ．a bc d> C ．a c b d ->- D ．a c b d +>+5．已知双曲线222:1y C x b-=的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为A ．33y x =±B ．32y x =±C ．3y x =D ．5y x =6．若实数x ，y 满足约束条件220202x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩，则z x y =-的最大值为A ．2B ．1C ．2-D ．4-7．已知a ，b ∈R ，且220a b -+=，则124ab +的最小值为 A ．2B ．1C ．12D ．148．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，23a =，23174a a a =，则5a =A ．34B ．38C ．12D ．249．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin22sin 0b A a B +=，22b c =，则ca = A ．1313B ．55C 13D ．3310．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为A ．221189x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．2214536x y +=11．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 A ．2]B ．(1,2)C ．2)D ．2,)+∞12．已知1(,0)F c -，2(,0)F c 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得221PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为 A ．35(B ．32C ．33D ．22第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合1{|0}1x A x x -=<+，{|}B x x a =<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__．14．椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为_________．15．在ABC △中，D 为边AB 上一点，且DA DC =，3B π=，2BC =，BCD △的面积3AC =___．16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25S =，131n n a S +=+，则n S =______________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知命题:[2,1]p x ∀∈-，20x m +≤；:04q m <<． （1）若p ⌝为假命题，求实数m 的取值范围；（2））若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5，虚轴长为4．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点(0,1)，倾斜角为45︒的直线l 与双曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB △的面积．19. （本小题满分12分）已知关于x 的不等式250ax x c ++>的解集为11{|}32x x <<． （1）求实数a ，c 的值；（2）解不关于x 的不等式2()0ax ac b x bc +++≥．20．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(sin sin )sin sin()a A B b B c A B ++=+．（1）求角C ；（2）若2a =，33c =ABC △的面积S ．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足123a =-，12334n n n a a a +--=+．（1）求证：数列1{}1n a +为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足31nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(16，左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的四个顶点所围成的菱形的面积为42（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过点F 2作OQ 的平行线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，求2||MNOQ 的值．数学（文）参考答案一. 选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B D D C A B D A A C B二. 填空题：13. [1,+∞) 14. 2.5 15. 32 16.314-n 三. 解答题：17．（本小题满分10分）【解析】（1）因为p ⌝为假命题，所以p 为真命题． 当p 为真命题时，[2,1]x ∀∈-，20x m +≤， 即[2,1]x ∀∈-，2m x ≤-，因为[2,1]x ∈-，所以2[4,0]x -∈-，所以4m ≤-， 故实数m 的取值范围为(,4]-∞-．（2）因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以命题p ，q 一真一假．若p 真q 假，则404m m m ≤-⎧⎨≤≥⎩或，即4m ≤-；若p 假q 真，则404m m >-⎧⎨<<⎩，即04m <<．综上，4m ≤-或04m <<， 故实数m 的取值范围为(,4](0,4)-∞-．18．（本小题满分12分）【答案】（1）2214y x -=；（2）43．【解析】（1）依题意可得222524ca b c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1,2,5a b c ===∴双曲线的标准方程为2214y x -=．（2）由题可得直线l 的方程为1y x =+，设11(),A x y ，22(),B x y ，由22144y x x y =+⎧⎨-=⎩可得23250x x --=， 由根与系数关系可得1223x x +=，1253x x =-， 则2212124202149)3(23AB k x x x x =++-=+=原点到直线l 的距离为22d =，于是11822422323OAB S AB d =⋅⋅=⨯=△， ∴OAB △的面积为43． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）6a =-，1c =-；（2）见解析． 【解析】因为关于x 的不等式250ax x c ++>的解集为11{|}32x x <<， 所以0a <，且12，13是方程250ax x c ++>的两个实数根， 则11532a +=-，1132ca ⨯=，上述两式联立解得61a c =-⎧⎨=-⎩． （2）由（1）知6a =-，1c =-，所以原不等式即26(6)0x b x b -++-≥， 即26(6)0x b x b -++≤，即(6)(1)0x b x --≤．①当16b >，即6b >时，原不等式的解集为{|1}6bx x ≤≤； ②当16b=，即6b =时，原不等式的解集为{|1}x x =；③当16b <，即6b <时，原不等式的解集为{|1}6bx x ≤≤．综上所述，当6b >时，原不等式的解集为{|1}6bx x ≤≤；当6b =时，原不等式的解集为{|1}x x =；当6b <时，原不等式的解集为{|1}6bx x ≤≤． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）2π3C =；（2623- 【解析】（1）因为πA B C +=-，所以sin()sin(π)sin A B C C +=-=，因为(sin sin )sin sin()a A B b B c A B ++=+，所以(sin sin )sin sin a A B b B c C ++=， 由正弦定理可得22()a a b b c ++=，即222a ab b c ++=，所以222a b c ab +-=-．由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==-．因为0C <<π，所以2π3C =． （2）由（1）可知222c a b ab =++，因为2a =，33c =，所以222(33)22b b =++， 即22230b b +-=，解得261b =-（负值舍去）， 所以ABC △的面积112π623sin 2(261)sin 223S ab C -==⨯⨯=． 21．（本小题满分12分）【答案】（1）证明见解析，113n a n =-；（2）2219344n n n S +-=⨯+． 【解析】（1）因为12334n n n a a a +--=+，所以1231113434n n n n n a a a a a +--++=+=++，所以134111311n n n n a a a a ++=+=+++，所以111311n n a a +-=++， 所以数列1{}1n a +是首项为1131a =+，公差为3的等差数列， 所以131n n a =+，所以113n a n=-． （2）由（1）可知113n a n=-，所以1313n n n n b a n +==⋅+， 所以2311323(1)33n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，341231323(1)33n n n S n n ++=⨯+⨯++-⨯+⨯，上述两式相减可得231223333n n n S n ++-=+++-⨯22331331()n n n +-=-⨯-2932221n n +=-⨯-， 所以2219344n n n S +-=⨯+ 22．（本小题满分12分）【答案】（1）22241x y +=；（2）1． 【解析】（1）由题意可知242ab =221123a b +=，解得2a =，2b = 故椭圆C 的标准方程为22241x y +=．（2）设11()M x y ,，22()N x y ,，33()Q x y ,，直线OQ ：x my =，则直线MN ：2x my =+由22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222224242m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以22322324242mx m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 所以2222233222444(1)222m m OQ x y m m m +=+=+=+++， 由222142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)2220m y my ++-=，故122222m y y m +=-+，12222y y m =-+，所以222221121224(1)11()|42m MN m y y m y y y y m +=+-=++-=+，所以222224(1)214(1)||2m MN m m OQ m ++==++．。
高二数学12月月考试题 文_2
宁夏平罗中学2021-2021学年高二数学12月月考试题 文〔无答案〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。
第I 卷〔选择题 一共60分〕一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
每一小题只有唯一正确答案.〕1．直线x=1的倾斜角是〔 〕A ．0B ．4πC ．2π D ．不存在 2．,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，且n β⊂，那么以下表达正确的选项是〔 〕A ．假设//m n ，m α⊂，那么//αβB ．假设//αβ，m α⊂，那么//m nC ．假设//m n ，m α⊥，那么αβ⊥D ．假设//αβ，m n ⊥，那么m α⊥3．某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1:2:4，现要用分层抽样的方法从中抽取140件产品进展质量检测，那么乙类产品应抽取的件数为〔 〕A ．20B ．40C ．60D ．804．直线1:10l x ay +-=与()2:1230l a x y -+-=垂直，那么a 的值是〔 〕A ．21B ．2C ．31 D ．1 5．假设某几何体的三视图如下图，那么此几何体的体积是〔 〕A ．πB ．2πC ．3πD ．4π)1,1(),1,1(--B A ，且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是〔 〕A.4)1()3(22=++-y xB.4)1()1(22=-+-y xC.4)1()3(22=-++y xD.4)1()1(22=+++y x1,0,0,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩xy 1-7．实数x 、y 满足 那么z =的取值范围是( )A. [－1,0]B. (－∞,0]C. [－1,+∞)D. [－1,1)8．两平行直线1l ：02=+-m y x )0(>m 与2l ：062=-+ny x 间的间隔 是5，那么=+n m 〔 〕A ．0B ．1C ．2-D ．1-9．甲、乙两组数据如茎叶图所示，它们的中位数一样，平均数也一样，图中的m,n 的比值m n＝〔 〕 A ．1 B ．13 C ．29 D ．3810. 假设点)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，那么直线AB 的方程是〔 〕A ．03=--y xB ．032=-+y xC ．01=-+y xD ．052=--y x11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如下图，那么〔 〕12.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，假设目的函数z=ax+by 〔a>0，b>0〕的值是最大值为12，那么23a b+的最小值为( ). A.625 B.38 C. 311 D. 4第II 卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题〔请将正确答案填在答案卷的横线上。
重庆市部分学校(九校联盟)2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学(含答案)
重庆市高二数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.密封线内不要答题1.已知向量()1,3,3a =-，()2,4,1b =-，则a b -= （）A.()1,7,4-B.()1,7,4-C.()1,7,4- D.()1,7,4--2.若直线1l ：2550x y --=，2l ：430x By ++=，且12l l ∥，则B =（）A.85-B.85C.10D.-103.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一部分，其宽为8m ，高为0.8m ，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）A.()5,0 B.()10,0 C.()0,5 D.()0,104.已知直线1l 的倾斜角比直线2:4l y =+的倾斜角小20︒，则直线1l 的倾斜角为（）A .150︒B.130︒C.120︒D.100︒5.虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为30厘米，短轴长为20厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（）A.13B.23C.53D.636.在空间直角坐标系中，直线l 的一个方向向量为()1,0,3m =-，平面α的一个法向量为()5,2n = ，则直线l 与平面α所成的角为（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π67.已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与C 的两条渐近线从左到右依次交于A ，B 两点，且1F A AB =，2BF a =，则C 的渐近线的倾斜角为（）A.5π12或7π12B.π3或2π3C.π4或3π4 D.π6或5π68.如图，在三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，3AP =，1cos cos 3BAP CAP ∠=∠=，1cos 4BAC ∠=，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，O 为BCP 的重心，AO 与PF 相交于点G ，则AG 的长为（）A.45B.1C.54D.335二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.圆22:1:O x y +=与圆22:()(2)4M x a y -+-=的位置关系可能为（）A.内切B.相交C.外切D.外离10.已知,,a b c是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.,,a b c a b c +++B.,2,3a b c- C.,,a a b c+ D.2,,a b c a b a c-+-+ 11.已知1F ，2F 分别是椭圆222:1(03)9x y M b b +=<<的左、右焦点，点P 在M 上，且14PF =，12sin 4F PF ∠=，则b 的值可能为（）A. B.2C.D.12.已知F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，3AF BF =，C 的准线与x 轴的交点为1F ，点A 在准线上的投影为点1A ，且四边形11AA F F 的面积为2732，则（）A.2BF =B.3p =C.直线lD.点A 的横坐标为92三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C 的焦点在y 轴上，且C 的离心率大于2，请写出一个C 的标准方程：___________.14.在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD 的三个顶点分别为()0,1,2A -，()2,2,1B -，()1,3,2C ，则点D 的坐标为__________.15.已知A ,B 分别是椭圆222:1(3x y M a a +=>的左、右顶点，P 是M 的上顶点，若2π3APB ∠=，则12PF F △的面积为__________.16.已知直线1:40l x y +-=，2:330l x y -+=，一条光线从点()1,1P 射出，经1l 反射后，射到2l 上，再经2l 反射后，回到P ，则该光线经过的路程长度为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的顶点()()()0,4,2,0,5,A B C m -，线段AB 的中点为D ，且CD AB ⊥.（1）求m 的值；（2）求BC 边上的中线所在直线的方程.18.已知圆22:24100M x x y y -++-=．（1）求圆M 的标准方程，并写出圆M 的圆心坐标和半径：（2）若直线30x y C ++=与圆M 交于A ，B 两点，且AB =C 的值．19.已知点P 到()0,4F 的距离与它到x 轴的距离的差为4，P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 中点的横坐标为4-，求l 的斜率.20.已知椭圆M ：()222210y x a b a b+=>>的焦距为4，且经过点(.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）若直线1l 与椭圆M 相切，且直线1l 与直线l ：0x y --=平行，求直线l 的斜截式方程.21.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1AA上，且1AE =.（1）求平面11ADD A 与平面1B DE 夹角的余弦值；（2）若点P 在棱11D C 上，且P 到平面1B DE 的距离为2，求P 到直线1EB 的距离.22.已知圆221:(4C x y +=，圆222:(4C x y +=，动圆C 与这两个圆中的一个内切，另一个外切.（1）求动圆圆心C 的轨迹方程.（2）若动圆圆心C 的轨迹为曲线M ，()2,0D ，斜率不为0的直线l 与曲线M 交于不同于D 的A ，B 两点，DE AB ⊥，垂足为点E ，若以AB 为直径的圆经过点D ，试问是否存在定点F ，使EF 为定值？若存在，求出该定值及F 的坐标；若不存在，请说明理由.重庆市高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.密封线内不要答题1.已知向量()1,3,3a =-，()2,4,1b =-，则a b -= （）A.()1,7,4-B.()1,7,4-C.()1,7,4-D.()1,7,4--【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的减法运算的坐标表示即可得出答案.【详解】因为向量()1,3,3a =- ，()2,4,1b =-，所以()1,7,4a b -=--.故选：D2.若直线1l ：2550x y --=，2l ：430x By ++=，且12l l ∥，则B =（）A.85-B.85C.10D.-10【答案】D 【解析】【分析】根据12l l ∥列方程求解即可.【详解】由题意得()245B =⨯-，得10B =-.故选：D.3.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一部分，其宽为8m ，高为0.8m ，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）A.()5,0 B.()10,0 C.()0,5 D.()0,10【答案】C 【解析】【分析】根据待定系数法，代入坐标即可求解抛物线方程，进而可得焦点.【详解】由题意得()4,0.8B ，设该抛物线的方程为22(0)x py p =>，则2420.8=⨯p ，得10p =，所以该抛物线的焦点为()0,5.故选：C4.已知直线1l 的倾斜角比直线2:4l y =+的倾斜角小20︒，则直线1l 的倾斜角为（）A.150︒B.130︒C.120︒D.100︒【答案】D 【解析】【分析】根据直线2l 的斜率可知其倾斜角，进而可得直线1l 的倾斜角.【详解】由题意得直线2l 斜率为α（0180α≤<︒）满足tan α=，可得120α=︒，所以直线1l 的倾斜角2012020100βα=-︒=︒-︒=︒，故选：D.5.虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为30厘米，短轴长为20厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（）A.13B.23C.3D.3【答案】C 【解析】【分析】由已知可得15a =，10b =，进而可得离心率.【详解】由已知可得230a =，220b =，即15a =，10b =，所以离心率53c e a ====，故选：C.6.在空间直角坐标系中，直线l 的一个方向向量为()1,0,3m =-，平面α的一个法向量为()2n = ，则直线l 与平面α所成的角为（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】A 【解析】【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线l 与平面α所成的角为π20θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则1sin cos ,2m n m n m n θ⋅=== ，所以π6θ=.故选：A7.已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与C 的两条渐近线从左到右依次交于A ，B 两点，且1F A AB =，2BF a =，则C 的渐近线的倾斜角为（）A.5π12或7π12B.π3或2π3C.π4或3π4 D.π6或5π6【答案】C 【解析】【分析】由题意通过几何关系得到22,OB BF a OF c ===，进一步由2tan bBOF a∠=可得2cos aBOF c∠=，再结合余弦定理即可得出,a b 的关系，进一步即可得解.【详解】设O 为坐标原点.由题意得C 的渐近线方程为by x a=±，得12AOF BOF ∠=∠，12tan tan b AOF BOF a∠=∠=.由112,O F A AB O F F ==，即OA 是12BF F △的中位线，得2OA BF ∥，则212BF O AOF BOF ∠=∠=∠，所以2OB BF a ==.由222222222sin tan ,,sin cos 1cos BOF b BOF c a b BOF BOF a BOF ∠∠===+∠+∠=∠，得2222222211cos cos b c BOF BOF a a ⎛⎫+∠=∠ ⎪⎝=⎭，所以2cos a BOF c ∠=，所以在2BOF 中，由余弦定理2222cos 2a c a aBOF ac c+-∠==，得22222c a a b ==+，即a b =，所以C 的渐近线的倾斜角为π4或3π4.故选：C.8.如图，在三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，3AP =，1cos cos 3BAP CAP ∠=∠=，1cos 4BAC ∠=，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，O 为BCP 的重心，AO 与PF 相交于点G ，则AG 的长为（）A.45B.1C.54D.335【答案】D 【解析】【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得35AG AO =，即可根据模长公式求解.【详解】设(01)AG AO λλ=<<，由题意得2PO OE =，则()2223133233AG AO AP AP A P P AP A PO PE A E E A λλλλλ⎛⎫===+ ⎪⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎭⎝⎪⎝⎭⎝⎭1233AP AE λλ=+.设(01)PG PF μμ=<<，则()P A AP G AF A μ--= ,故()()1112AG AP AF AP AE μμμμ=-+=-+ .由11,321,32λμλμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得λ35=，得121211111555522555AG AP AE AP AB AC AP AB AC ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ ，所以222211()22255AG AP AB AC AP AB AC AP AB AP AC AB AC=+++++⋅+⋅+⋅22211113332223223222253345=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.圆22:1:O x y +=与圆22:()(2)4M x a y -+-=的位置关系可能为（）A.内切 B.相交 C.外切D.外离【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，求得圆心距OM =211r r -=，由21OM ≥>，结合两圆的位置关系，即可求解.【详解】由圆22:1:O x y +=，可得圆心坐标为(0,0)O ，半径为11r =；又由圆22:()(2)4M x a y -+-=，可得圆心坐标为(,2)M a ，半径为22r =，则圆心距为OM =O 与圆M 的半径之差为211-=，21≥>，所以圆O 与圆M 的位置关系可能为相交、外切、外离．故选：BCD.10.已知,,a b c是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.,,a b c a b c +++B.,2,3a b c- C.,,a a b c+ D.2,,a b c a b a c-+-+ 【答案】BC 【解析】【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.【详解】对于选项A ：因为()a b c a b c ++=++，所以,,a b c a b c +++三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故A 错误；对于选项D ：因为()()2a b c a b a c -+=-++，所以2,,a b c a b a c -+-+三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故D 错误；因为,,a b c是空间中不共面的三个向量，对于选项B ：设()()23=+-r r ra xb yc ，显然不存在实数,x y 使得该式成立，所以,2,3a b c -不共面，可以作为基底向量，故B 正确；对于选项C ：设()()()33=++-=++-r r r rr r r a x a b y c xa xb y c ，则1030x x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，方程无解，即不存在实数,x y 使得该式成立，所以,,a a b c +不共面，可以作为基底向量，故C 正确；故选：BC.11.已知1F ，2F 分别是椭圆222:1(03)9x y M b b +=<<的左、右焦点，点P 在M 上，且14PF =，12sin 4F PF ∠=，则b 的值可能为（）A.B.2C.D.【答案】AC 【解析】【分析】根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解.【详解】由1226PF PF a +==，14PF =，得22PF =.()()22222124449F F c a b b ==-=-,由12sin 4F PF ∠=，得121cos 4F PF ∠=±.在12F PF △中，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，得25b =或23b =，所以b =故选：AC12.已知F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，3AF BF =，C 的准线与x 轴的交点为1F ，点A 在准线上的投影为点1A ，且四边形11AA F F 的面积为32，则（）A.2BF =B.3p =C.直线l 3D.点A 的横坐标为92【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式以及条件，代入计算可得3p =，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】如图，设点B 在C 的准线上的投影为点1B ，取AB ，11A B 的中点分别为E ，1E ，过F 作1FG AA ⊥，垂足为点G .设33AF BF m ==，则1133AA BB m ==，11122AA BB EE m +==，111322BB EE mFF +==，()2211332mFG AF AA FF =--=，所以四边形11AA F F 的面积为211282AA FF FG +⋅==，解得2BF m ==，12332mF F p ===，故A ，B 正确；由1sin 2AG AFG AF ∠==，得π6AFG ∠=，当A 在第一象限，B 在第四象限时，直线l ，当A 在第四象限，B 在第一象限时，直线l 的斜率为，故C 错误；点A 的横坐标为39322m -=，故D 正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C 的焦点在y 轴上，且C 的离心率大于2，请写出一个C 的标准方程：___________.【答案】2214x y -=（答案不唯一）【解析】【分析】由题意可知符合22221y x a b -=，223b a >即可.【详解】设()2222:10,0y x C a b a b -=>>，由2c e a ==>，得223b a >，可令21a =，24b =，即2214x y -=，故答案为：2214x y -=（答案不唯一）.14.在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD 的三个顶点分别为()0,1,2A -，()2,2,1B -，()1,3,2C ，则点D 的坐标为__________.【答案】()1,4,3-【解析】【分析】由题意首先设(),,D x y z ，结合AB DC =进行运算即可得解.【详解】设(),,D x y z ，由题意得()2,1,1AB =-- ，()1,3,2DC x y z =---，因为AB DC = ，所以211312x y z =-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩,得143x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即()1,4,3D -.故答案为：()1,4,3-.15.已知A ,B分别是椭圆222:1(3x y M a a +=>的左、右顶点，P 是M 的上顶点，若2π3APB ∠=，则12PF F △的面积为__________.【答案】【解析】【分析】设O为坐标原点，由题意可得b =tan aAPO b∠==，解出,a b 值，再利用12PF F △的面积为bc ，求解即可.【详解】设O 为坐标原点.由题意得b =，π3APO ∠=，则tan aAPO b∠==，得3a ==，又222c a b =-，所以c =，所以12PF F △的面积为1212F F OP bc ==故答案为：16.已知直线1:40l x y +-=，2:330l x y -+=，一条光线从点()1,1P 射出，经1l 反射后，射到2l 上，再经2l 反射后，回到P ，则该光线经过的路程长度为__________.【解析】【分析】分别求出P 关于1l 对称的点A ，关于2l 对称的点B ，求出AB 即可求解.【详解】如图，设P 关于1l 对称的点为()11,A x y，由()1111111,11140,22y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩得113,3,x y =⎧⎨=⎩即()3,3A .设P 关于2l 对称的点为()22,B x y ，由2222131,111330,22y x x y -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪⨯-+=⎪⎩得222,2,x y =-⎧⎨=⎩即()2,2B -.易得该光线经过的路程长度为AB ==.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的顶点()()()0,4,2,0,5,A B C m -，线段AB 的中点为D ，且CD AB ⊥.（1）求m 的值；（2）求BC 边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）1m =-（2）340x y -+=【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式以及垂直满足的斜率关系即可求解，（2）根据中点公式以及斜率公式即可根据点斜式求解方程.【小问1详解】因为()()0,4,2,0A B ，所以D 的坐标为()1,2，因为CD AB ⊥，所以24015102m --⨯=----，解得1m =-.【小问2详解】设线段BC 的中点为E ，由（1）知()5,1C --，则31,22E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以1423302AEk +==+，所以直线AE 的方程为()430y x -=-，化简得340x y -+=，即BC 边上的中线所在直线的方程为340x y -+=.18.已知圆22:24100M x x y y -++-=．（1）求圆M 的标准方程，并写出圆M 的圆心坐标和半径：（2）若直线30x y C ++=与圆M 交于A ，B两点，且AB =C 的值．【答案】（1）22(1)(2)15x y -++=，圆心坐标(1,2)M -（2）15C =或5-【解析】【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案【小问1详解】由2224100x x y y -++-=，得22214415x x y y -++++=，则圆M 的标准方程为22(1)(2)15x y -++=，圆M 的圆心坐标(1,2)M -【小问2详解】由AB =M 到直线30x y C ++==则圆心M 到直线30x y C ++==，得15C =或5-．19.已知点P 到()0,4F 的距离与它到x 轴的距离的差为4，P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 中点的横坐标为4-，求l 的斜率.【答案】（1）()2160x y y =≥或()00x y =<.（2）12-.【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式，结合绝对值的性质进行求解即可；（2）利用点差法进行求解即可.【小问1详解】设(),P x y ，由题意可知：44PF y y -=⇒=+，两边同时平方，得2222216,0816168880,0y y x y y y y x y y x y ≥⎧+-+=++⇒=+⇒=⎨<⎩所以C 的方程为()2160x y y =≥或()00x y =<.【小问2详解】由题可知曲线C 为216x y =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()12248x x +=⨯-=-.由21122216,16,x y x y ⎧=⎨=⎩得()()()221212121216x x x x x x y y -=-+=-，所以l 的斜率为1212121162y y x x x x -+==--.20.已知椭圆M ：()222210y x a b a b+=>>的焦距为4，且经过点(.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）若直线1l 与椭圆M 相切，且直线1l与直线l ：0x y --=平行，求直线l 的斜截式方程.【答案】（1）22162y x +=；（2）y x =±.【解析】【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；（2）由平行关系设直线方程1l ：y x b =+，联立椭圆方程得224260x bx b ++-=，利用相切关系有Δ0=求参数，即可得直线方程.【小问1详解】由题意得2222224311c a b c a b⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，得22622a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆M 的标准方程为22162y x +=.【小问2详解】设与l 平行的1l ：y x b =+，由22162y x y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得224260x bx b ++-=，由()2244460b b ∆=-⨯-=，得b =±，则1l：y x =±.21.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1AA上，且1AE =.（1）求平面11ADD A 与平面1B DE 夹角的余弦值；（2）若点P 在棱11D C 上，且P 到平面1B DE 的距离为262，求P 到直线1EB 的距离.【答案】（1）32626（2）4815【解析】【分析】（1）建立空间空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面夹角，从而求解；（2）由点P 到平面1B DE 的距离为262，求得P 的坐标，然后利用空间点到直线距离的向量法即可求解.【小问1详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()4,0,1E ，()14,4,4B ，()4,0,1DE =，()14,4,4DB =.设平面1B DE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则1404440n DE x z n DB x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩取1x =，则3y =，4z =-，得()1,3,4n =-，因为DC ⊥平面11ADD A ，所以平面11ADD A 的一个法向量为(0,4,0)DC =，则平面11ADD A 与平面1B DE的夹角的余弦值为6cos 2,DC n DC nn ⋅==.【小问2详解】设()0,,4P a ，04a ≤≤，则()0,,4DP a =.由（1）可知平面1B DE 的法向量为()1,3,4n =-，则P 到平面1B DE的距离为2DP n n⋅==，解得1a =或293（舍去），即()0,1,4P .因为()14,3,0PB = ，()10,4,3EB =，所以P 到直线1EB的距离为5.22.已知圆221:(4C x y +=，圆222:(4C x y +=，动圆C 与这两个圆中的一个内切，另一个外切.（1）求动圆圆心C 的轨迹方程.（2）若动圆圆心C 的轨迹为曲线M ，()2,0D ，斜率不为0的直线l 与曲线M 交于不同于D 的A ，B 两点，DE AB ⊥，垂足为点E ，若以AB 为直径的圆经过点D ，试问是否存在定点F ，使EF 为定值？若存在，求出该定值及F 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y -=（2）存在，定值为6，()8,0F 【解析】【分析】（1）由题意根据圆与圆的位置关系可得12124CC CC C C =<=-，进一步由双曲线的定义即可得解.（2）由题意以AB 为直径的圆经过点D ，所以DA DB ⊥，即()()1212220DA DB x x y y ⋅=--+=，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理可得直线AB 过定点()14,0G ，而DE GE ⊥，即点E 在DG 中点为圆心，DG 的一半为半径的圆上，由此即可得解.【小问1详解】设动圆C 的半径为r ，由题意圆1C 、2C 的半径均为2，圆心)()12,C C .因为动圆C 与圆1C ，圆2C 一个外切，另一个内切，所以1222CC r CC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或1222CC r CC r ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，得12124CC CC C C =<=-，所以圆心C的轨迹是以)，()为焦点，实轴长为4的双曲线，即2,c a b ====，得动圆圆心C 的轨迹方程为22143x y -=.【小问2详解】如图所示：存在定点()8,0F ，使得EF 为定值6，理由如下：直线l 的斜率不为0，设直线:l x my b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()112,DA x y =- ，()222,DB x y =- .由22143x my b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2223463120m y mby b -++-=，由()()2222Δ364343120m b m b =--->，得22340m b +->，由韦达定理得122212263431234mb y y m b y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，因为以AB 为直径的圆经过点D ，所以DA DB ⊥，则()()1212220DA DB x x y y ⋅=--+= .因为()()()()121212122222x x y y my b my b y y --+=+-+-+()()()22121212(2)m y y m b y y b =++-++-，所以()()()()22212122231262212(2)03434b mb x x y y m m b b m m ---+=+--+-=--，得()()()()()()()222231262342140b m b m b b m b b ⎡⎤-++-+--=--+=⎣⎦.因为直线l 不经过D ，所以2b ≠，14b =，满足22340m b +->.直线:14l x my =+经过定点()14,0.取()14,0G ，()8,0F ，当G ，E 不重合时，DE GE ⊥，则由斜边上的中线等于斜边的一半可知162EF DG ==，当G ，E 重合时，162EF EG DG ===.故存在定点()8,0F ，使得EF 为定值6.【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是充分利用圆与圆之间的位置关系以及双曲线的定义即可，第二问关键是数学结合，首先求出直线AB 过顶点，进一步根据平面几何知识确定点E 在定圆上运动，从而即可顺利得解.。
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陕西省西安市第七十中学2016-2017学年高二数学12月月考试题 文总分：150分 时间：120分钟第Ⅰ卷（60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1.设a ∈R ，则a >1是a1<1 的 （ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.已知命题p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋14>0，则非p 为()A ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14≤0B ．存在x ∈R ，x 2－x ＋14≤0C ．存在x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14≥03. 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．74. 已知命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，使得3x 0<4x 0；命题q ：任意x ∈(0，π2)，有tan x >x ，则下列命题中的真命题是() A.p 且qB.p 或(非q )C.p 且(非q )D.(非p )且q5. 下列四个命题中，正确的有个 （ ） ①2,2340x R x x ∀∈-+>； ②{}1,1,0,210x x ∀∈-+>；③x N ∃∈，使2x x ≤； ④*x N ∃∈，使x 为29的约数．A ．1 B.2 C.3 D.46 .曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k+=<--的 （ ） A.长轴长相等 B.焦距相等 C. 短轴长相等 D. 离心率相等 7.焦距是8，离心率0.8的椭圆的标准方程为 （ ）22.1259x y A +=22.1259y x B +=2222.11259259x y y x C +=+=或 D.以上都不是8. 抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ）A ．25 B ．5 C ．215 D ．10 9．设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为12y x =±,则该双曲线的离心率e （ ）A ．5B ．2 D ．5410．x =231y -表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分11.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B.若p 或q 为假命题，则p ，q 均不为假命题C.命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0” D.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题12．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ）A ．（1，1）B ．（41,21） C ．)49,23(D ．（2，4）第Ⅱ卷（90分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）．13.若“[]2,5x ∈或{}|14x x x x ∈<>或”是假命题，则x 的范围是___________。
14.焦点为F 1（-4，0）和F 2（4，0），离心率为2的双曲线的方程是．15．椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。
16.若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。
17.在下列结论中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ③“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件； ④“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． 正确的结论为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共65分）．18.（本题8分）已知命题2:6,:p x x q x Z -≥∈且“p q 且”与“非q ”同时为假命题，求x 的值。
（共10分）19.（本题9分）已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.20．（本题12分）双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线方程与椭圆的方程。
（共12分）21.（本题12分）已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。
（共12分）22.（本题12分）设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .求双曲线C 的离心率e 的取值范围．23.（本题12分）已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )． (1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．高二年级文科数学答案一．选择题 （ 每小题5分,共60分） 113．)2,1[ 14.112422=-y x 15 ,4或45-16.)2,4(17.①③ 三．解答题 （共65分）18.（本题8分）解：非q 为假命题，则q 为真命题；p q 且为假命题，则p 为假命题，即26,x x x Z -<∈且，(4分)得2260,23,60x x x x Z x x ⎧--<⎪-<<∈⎨-+>⎪⎩ 1,0,1,2x ∴=-或（8分）19.（本题9分）解 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴非q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}. （2分） 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，∴非p ：B ＝{x |x >10或x <－2}. （4分） ∵非p 是非q 的必要不充分条件， ∴A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9， （8分） ∴实数m 的取值范围是m ≥9. （9分） 20. （本题12分）解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为2222125y x a a +=-； 双曲线方程为2222125y x b b+=-，（2分） 点(3,4)P 在椭圆上，2221691,4025a a a +==-（6分） 双曲线的过点(3,4)P 的渐近线为y x =，即243,16b ==（10分）所以椭圆方程为2214015y x +=；双曲线方程为191622=-x y （12分） 21. （本题12分）解：设抛物线的方程为22y px =，则22,21y pxy x ⎧=⎨=+⎩消去y 得21212214(24)10,,24p x p x x x x x ---+=+==（3分）12AB x =-===，（ 6分）24120,2,6p p p =--==-或（10分）22412y x y x ∴=-=，或（12分）22. （本题12分）解 由双曲线C 与直线l 相交于两个不同点，知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的实数解．消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1. （6分）双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1.（8分）∵0<a <2且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2. 故离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞)．（ 12分） 23. （本题12分） 解 (1)由题意得，a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0，化简得x 23＋y 2＝1，∴点Q 的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1. （4分）(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1.得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标， 则x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1， k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk， （8分）又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. （10分）(ⅱ)当k ＝0时，|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1即为m 2<1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， 当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1)． （12分）。