恒定磁场的镜像法
恒定磁场
三、恒定磁场电流或运动电荷在空间产生磁场。
不随时间变化的磁场称恒定磁场。
它是恒定电流周围空间中存在的一种特殊形态的物质。
磁场的基本特征是对置于其中的电流有力的作用。
永久磁铁的磁场也是恒定磁场。
1、磁通密度与毕奥－萨伐尔定律磁通密度是表示磁场的基本物理量之一，又称磁感应强度，符号为B。
电流元受到的安培力B l d I f d ⨯''=毕奥——萨伐尔定律⎰⨯=l r r l Id B 2004 πμ对于粗导线，可将导线划分为许多体积元dV 。
⎰⎰⎰⨯=Vr r dV J B 2004πμ2、磁通连续性定理磁场可以用磁力线描述。
若认为磁场是由电流产生的，按照毕奥－萨伐尔定律，磁力线都是闭合曲线。
磁场中的高斯定理 0d =⋅⎰⎰S S B式中，S 为任一闭合面，即穿出任一闭合面的磁通代数和为零。
应用高斯散度定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=⋅V S dV B S B d＝⎰⎰⎰⋅∇VdV B 由于V 是任意的，故 0＝B⋅∇式中⋅∇为散度算符。
这是磁场的基本性质之一，称为无散性。
磁场是无源场。
3、磁场中的媒质磁场对其中的磁媒质产生磁化作用，即在磁场的作用下磁媒质中出现分子电流。
总的磁场由自由电流与分子电流共同产生。
永磁铁本身有自发的磁化，因而不需要外界自由电流也能产生磁场。
磁媒质的磁化程度用磁化强度M来表征，它是单位体积内的磁偶极矩。
磁偶极矩：环形电流所围面积与该电流的乘机为磁偶极矩，其方向与电流环绕方向符合右螺旋关系。
nIS P m =磁场强度 MB H -=0μ 或)(0M H B +=μ 本构方程 由mH M χ =可得 H B μ＝，该式称为磁媒质的成分方程或本构方程。
磁媒质的分类：r m μμχμμ00)1(=+=，顺磁质 1>r μ，抗磁质 1<r μ，铁磁质 1>>r μ。
4、安培环路定律 磁场强度H沿闭合回路的积分，等于穿过该回路所限定的面上的自由电流。
回路的方向与电流的正向按右螺旋规则选定。
5-恒定磁场-4镜像法
r a1n
r
H1
µ1
r
µ2
H2
如果没有自由表面电流：r r r r an × H1 = an × H2
… 时，分界面切向分量连续— — H1τ = H2τ
矢量磁位… 连续— —
磁 场 中 “镜像法 ”
因为“唯一性”定理：… … 在不改变 恒定磁场区域内电流分布和边界条件的情况下， 用场域外的等效源 (电流 )代替边界对场的影响，来简化 场的计算。
电导线平行于分界面，距离为 a 求：单位长度磁介质同导线之间的作用力
I
a
µ
磁介质的边界条件－1
1. 磁感应强度
µ1
r B1
r a2 n
“扁盒子”
rr
∫ B•dS = 0
µ2
S
分界面法向分量连续— —
r a1n
r B2
r B1
•
r an
=
r B2
•
r an
r ∇•B = 0
矢量磁位连续— —
rr A1 = A2
磁介质的边界条件－2
2. 磁场强度
r a2n
“闭合回路”
r rr r an × ( H1 − H 2) = J sFree
h
I ' = µ2 − µ1 ⋅ I µ2 + µ1
I' ' = 2 ⋅µ1 ⋅ I µ2 + µ1
对比： “线电荷 ”镜像
ε1
ρ
h
ε2
对比： “线电荷 ”镜像
1. 上半区域：
ε1
ρ'
ρ'= − ε2 − ε1 ⋅ ρ ε2 + ε1
2. 下半区域：
ρ"
工程电磁场-恒定磁场
例2 分析铁磁媒质与空气分界面情况。
μ0 α2
α1
μfe
铁磁媒质与空 气分界面
解：
tan 2
2 1
tan 1
0 fe
tan 1
0
2 0
表明 只要 1 90 ，空气侧的B
与分界面近似垂直，铁磁媒质表面
近似为等磁面。
2023/10/27
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例 3 在两种媒质分界面两侧，
1 50，2 30
即 H2 H2yey H2xex 10ex 4ey A/m
B2 2H2 0(30ex 12ey ) T
M1 ∆l2
磁化电流是一种等效电流，是大量分子电流磁效应的表示。 有磁介质存在时，场中的 B 是传导电流和磁化电流共同 作用在真空中产生的磁场。
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4） 磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
电
偶
极
子
p qd
ρp - P p P en
电场与磁场
磁 偶
Jm M
极 子
Bx
0Ky 2
dx (x2 y2)
B
0K
2
ex
0K
2
e
x
y0 y0
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3.2 安培环路定律 Ampere’s Circuital Law 1. 真空中的安培环路定律
B dl l
l
0 I 2
e
dl
0I d l 2
0I
2
2
0 d 0 I
α
I dΦ
Bdl
解: 平行平面磁场，且轴对称，故
图3.2.19 磁场分布
(电磁场PPT)第三章 恒定磁场
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
元电流段：
元电流段：
源点元电流段 场点元电流段 I dl I dl 1 1 2 2
电流元 即在载流导线上沿电流流向取一段长度为dl的 线元，若线元中通过的恒定电流强度为I，则我们就把 Idl表示为矢量Idl，Idl的方向沿着线元中的电流流向。 这一载流线元矢量Idl为电流元 计算磁场的基本方法： 与在静电场中计算带电体的电 场时的方法相仿，为了求恒定电流的磁场，我们也可 将载流导线分成无限多个小的载流线元，每个小的载 流线元的电流情况可用Idl来表征，称为电流元。电流 元可作为计算电流磁场的基本单元。
图3.1.4 圆形载流回路轴线上的 磁场分布
I R 0 2 π R e x 2 2 2 2 4 π ( R x) R x
0IR2
2(R x )
2 2 3/ 2
ex
B
2 IR 0
2 (R x )
2
2 3/2
ex
如果载流圆线圈是由半径都是R的N匝线圈重叠而成， 则在圆心处激发的磁感强度为:
注意类比法的应用。
恒定磁场的知识结构。 基本实验定律 (安培力定律）
磁感应强度（B）(毕奥—沙伐定律)
H 的旋度
基本方程
分界面衔接条件 边值问题
B 的散度
磁位( m )
磁矢位（A） 解析法 镜像法
数值法
有限差分法
有限元法
分离变量法
电感的计算
磁场能量及力
本章要求
深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度 的概念。 掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。 了解磁位及其边值问题。
l 0
2 I 2 I 2 π I 2 π 1 1
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
5.5 镜像法
20
两根线电荷 <-----------> 两个导体柱
* l
l
* l
l
o
P'
P
o'
a 2 O' P O ' P'
a 2 OP OP '
电磁场与电磁波
b d a
2
2
21
b d a
2
2
o
o'
已知：两根无限长平行圆柱,半径为a, 轴心距离为2d 求：两柱间单位长度上的电容 两根线电荷 <-----------> 两个导体柱 引入两 “线电荷”
电磁场与电磁波
2
若定解问题存在唯一的稳定解, 则称定解问题是
适定的。 换言之, 适定指的是解是存在的, 唯一的, 并且稳 定的。 解方程时可自由选择任何合理方法，甚至可以凭 经验去猜测出一个形式解。
而实际中解决工程问题时不能模棱两可，我们 需要得到适定的解。 静电场问题解法的多样性与适定性要求有矛盾 吗？？？
2
边界条件
切向：
E1t E 2t
2 1 1 fc n n
1 2
E1t E 2t J 1t / 1 J 2t / 2 1 2
恒定电场媒质边界 J 1n J 2 n 1 E1n 2 E 2 n
1 2 2 1 n n
M pl p* l d
a * OP d
2
电磁场与电磁波
19
问题扩展：电位
“长导体柱”+ “线电荷”
OP OP a
'
2
l
相应的问题等效为求解两个 “线电荷”周围的电场、电位？
磁场的镜像法
B2 1 I磁压之定义，此时整个 铁磁体将为一个等磁位体，因而μ1媒质中所有穿过界 面的磁力线，均将与铁磁媒质平面垂直。
8
若导线埋设在铁磁媒质中，可设μ1→∞，则
I ' I
（4-85）
I '' 2I
（4-86）
可按图4-39及图4-40分别求解上半场域及下半场域之 磁场。
在求解上半场域，将下 半场域媒质，换以磁导 率为μ1的媒质，这样， 对被研究的上半场域来 说，场域内部条件未变 化。且在边界外导线I的 镜像位置处，放置一位 置长直导线I’，以代替边 界面上分散的磁化电流。
图4-34 用集中的镜象电流代替媒质交界面 上分散的磁化电流
而在求下半场域时， 将上半场域的媒介 换以磁导率为μ2的 媒质，这样对研究 的下半场域来说， 场域内部条件并未 变化。另外在边界 外导线I处，加置一 位置镜像直导线I’’， 以代替媒质交界面 上分散的磁化电流 和原导线的电流。
2 1 I I 2 1
''
图4-38 用镜象法处理后的 磁场
7
I '' ' 由安培环路定理 H 2 2R 21I 2 1I 1 B2 2 H 2 2R 2 1 R (1 1 / 2 )
（4-83）
在上式中令μ2→∞，即得铁中之磁感应强度为
• 设有磁导率为μ1及μ2的导磁媒质，其交接处 为无限大平面，今有一线形载电流I的导体 与平面平行，求两媒质中磁场。
本问题与静电场中无限长电轴对无限大媒质 平面的镜象相对应。因而在求解磁导率为μ1的 媒质中的磁场时，可按图4-34进行求解，而在 求解磁导率为μ2的媒质中的磁场时，可按图435进行。
上半空间为磁导率为μ1的媒质， 下半空间充满铁磁媒质μ2 ，μ2 》 μ1 ，故令μ2→∞得
电磁场与电磁波理论思考题
《电磁场与电磁波理论》思考题第1章思考题1.1什么是标量？什么是矢量？什么是矢量的分量？1.2什么是单位矢量？什么是矢量的单位矢量？1.3什么是位置矢量或矢径？直角坐标系中场点和源点之间的距离矢量是如何表示的？1.4什么是右手法则或右手螺旋法则？1.5若两个矢量相互垂直，则它们的标量积应等于什么？矢量积又如何？1.6若两个矢量相互平行，则它们的矢量积应等于什么？标量积又如何？1.7若两个非零矢量的标量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？1.8若两个非零矢量的矢量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？1.9直角坐标系中矢量的标量积和矢量积如何计算？1.10什么是场？什么是标量场？什么是矢量场？1.11什么是静态场或恒定场？什么是时变场？1.12什么是等值面？它的特点有那些？1.13什么是矢量线？它的特点有那些？1.14哈密顿算子为什么称为矢量微分算子？1.15标量函数的梯度的定义是什么？物理意义是什么？1.16什么是通量？什么是环量？1.17矢量函数的散度的定义是什么？物理意义是什么？1.18矢量函数的旋度的定义是什么？物理意义是什么？1.19什么是拉普拉斯算子？标量和矢量的拉普拉斯运算分别是如何定义的？1.20直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的？1.21三个重要的矢量恒等式是怎样的？1.22什么是无源场？什么是无旋场？1.23为什么任何一个梯度场必为无旋场？为什么任何一个无旋场必为有位场？1.24为什么任何一个旋度场必为无源场？为什么任何一个无源场必为旋度场？1.25高斯散度定理和斯托克斯定理的表示式和意义是什么？1.26什么是矢量的唯一性定理？1.27在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场？为什么？1.28直角坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？1.29圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？1.30球面坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？2.1什么是体电荷、面电荷、线电荷和点电荷？他们分别是如何定义的？2.2什么是试验电荷？什么是电场强度？2.3什么是电介质、磁介质和导体或导电媒质？2.4什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？2.5什么是电极化强度？电介质的极化现象是怎样的？2.6什么是电位移或电通量密度？2.7什么是相对介电常数和（绝对）介电常数？什么是自由空间？2.8什么是线性各向同性的电介质？2.9什么是恒定电流？什么是时变电流？什么是传导电流？什么是运流电流？2.10什么是体电流、面电流和线电流？他们分别是如何定义的？2.11什么是微分形式欧姆定律？2.12什么是洛伦兹力？什么是磁感应强度？2.13什么是磁偶极子？磁偶极矩矢量是如何定义的？2.14什么是磁化强度? 磁介质的磁化现象是怎样的？2.15什么是顺磁质？什么是抗磁质？什么是铁磁性物质？2.16什么是相对磁导率和（绝对）磁导率？2.17什么是磁场强度？2.18什么是线性各向同性的磁介质？2.19电磁学的三大基本实验定律是哪三个？2.20什么是库仑定律？什么是静电场的环量定律？什么是高斯定律？2.21由静电场的环量定律可以什么结论？2.22穿过任一高斯面的电场强度通量与该闭合曲面所包围的哪些电荷有关？2.23穿过任一高斯面的电位移通量与该闭合曲面所包围的哪些电荷有关？2.24高斯面上的场矢量与高斯面外的电荷是否有关？为什么？2.25什么是安培定律？什么是比奥—萨伐尔定律？2.26什么是磁通连续性定律？什么是安培环路定律？2.27磁场强度沿任一闭合回路的环量与哪些电流有关？2.28磁感应强度沿任一闭合回路的环量与哪些电流有关？2.29闭合回路上的磁场强度与闭合回路以外的电流是否有关？为什么？2.30什么是感应电流？什么是感应电场？什么是感应电动势？2.31什么是法拉第电磁感应定律？2.32什么是电荷守恒定律？电荷守恒定律的数学表达式是怎样的？2.33麦克斯韦的漩涡电场假设的基本思想是什么？2.34什么是位移电流？什么是位移电流密度？2.35什么是全电流？什么是全电流密度？什么是全电流连续性定律？2.36为什么说五个基本方程不是独立的？2.37什么是电磁场的边界条件？他们是如何得到的？2.38为什么边界条件的讨论分解成法向分量和切向分量来进行？2.39在不同媒质分界面上，永远是连续的是电磁场的哪些分量？2.40电磁场的哪些分量当不存在传导面电流和自由面电荷时是连续的？2.41什么是理想介质？什么是理想导体？2.42边界条件有哪三种常用形式？他们有什么特点？2.43在理想导体表面上不存在电磁场的什么分量？2.44垂直于理想导体表面的是电力线还是磁力线？平行于理想导体表面的是电力线还是磁3.1什么是静电场？如何由是麦克斯韦方程组得到静电场的基本方程？3.2静电场是无源场还是无旋场？3.3静电场边界条件有哪两种常用形式？他们有什么特点？3.4在静电场中的不同电介质分界面上，电场强度和电位移的什么分量总是连续的？3.5什么是静电场折射定律？3.6静电场的什么分量在导体表面总是为零？导体表面面电荷密度等于电场的什么分量？3.7在静电场中，电场强度沿一个开放路径的线积分与积分路径是否有关？为什么？3.8静电场中任一点的电位是如何定义的？什么是零电位参考点？3.9静电场中任一点的电位是否是唯一的？电场强度是否是唯一的？3.10什么是等位面？电场强度矢量与等位面有什么关系？为什么？3.11什么是电位的泊松方程和拉普拉斯方程？什么是电场强度的泊松方程和拉普拉斯方程？3.12电位的边界条件是如何得到的？为什么电位在界面上总是连续？3.13为什么说导体必为等位体，导体与电介质的交界面必为等位面？3.14静电场的能量和能量密度是如何计算的？3.15导体的电容与哪些因素有关？与导体的电位和所带的电量是否有关？3.16什么是电容器？电容器的电容是如何定义的？3.17电容器的电容与其电场储能有什么关系？3.18什么是静电场分布型问题？什么是静电场的边值型问题？3.19静电场的边值问题可以分为哪三类？3.20什么是静电场唯一性定理？它是如何证明的？3.21静电场边值问题主要解法有哪些？3.22什么是直接积分法？什么情况下可以采用直接积分法？直接积分法的基本步骤是什么？3.23直角坐标系中一维电位分布的拉普拉斯方程的通解是怎样的？电荷均匀分布和线性分布区域电位的通解各是怎样的？3.24圆柱坐标系中无源区域、电荷均匀分布和线性分布区域三个一维电位分布满足的二阶微分方程各是怎样的？电位的通解各是怎样的？3.25球面坐标系中无源区域、电荷均匀分布和线性分布区域三个一维电位分布满足的二阶微分方程各是怎样的？电位的通解各是怎样的？3.26什么是分离变量法？什么是分离常数？什么是分离方程？3.27直角坐标系中的分离常数有哪几个？直角坐标系中的分离方程是怎样的？3.28直角坐标系中的分离方程的通解与分离常数有什么关系？3.29直角坐标系中分离变量法的的两种常见的二维问题是指什么情况？3.30什么是直角坐标系中分离变量法的基本问题？3.31如何根据基本问题的边界条件选取通解的具体形式？3.32如何利用三角函数的正交性或者傅立叶级数的公式来确定基本问题的最终解？3.33什么是镜像法？什么是镜像电荷？如何确定镜像电荷？3.34点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷是如何确定的？此时导体表面的感应电荷有什么特点？3.35无限大导体平面上方与其平行的无限长直的均匀线电荷的镜像是怎样的？（画图）3.36两个无限大相交理想导体平面之间的夹角满足什么条件才能采用镜像法？镜像电荷的数目与夹角有什么关系？（画图）3.37两个平行的无限大导体平面之间的点电荷的镜像电荷有多少？（画图）（画图）3.40如果导体球或球壳没有接地，如何借助于镜像法来求各处的场分布？3.41什么是静电场的数值解法？什么是“场域型”数值方法？什么是“边界型”数值方法？3.42什么是有限差分法？有限差分法的基本步骤是什么？3.43二维泊松方程对应的差分方程是怎样的？3.44二维静电场边值问题的有限差分法的基本步骤是怎样的？3.45什么是差分方程的超松弛迭代法求解？它的基本步骤是怎样的？3.46什么是矩量法？矩量法的三个基本步骤是什么？3.47静电场边值问题的矩量法的基本步骤是怎样的？第4章思考题4.1什么是恒定电流或直流？什么是时变电流或交流？4.2什么是恒定电场？如何由是麦克斯韦方程组得到恒定电场的基本方程？4.3恒定电场是无源场还是无旋场？4.4在电导率不同的导体的分界面上，电场强度和电流密度的什么分量是连续的？4.5在不同导体的分界面上电场强度和电流密度的什么分量是不连续的？4.6恒定电场中电位与静电场的电位有什么异同点？4.7为什么在线性和各向同性的均匀媒质中恒定电场中电位总是满足的拉普拉斯方程？4.8线性和各向同性的均匀媒质中是否存在体电荷？4.9导电媒质分界面上的面电荷的密度是如何确定的？4.10什么情况下，导电媒质分界面上的不存在面电荷？4.11什么是电流的热效应？恒定电场的功率损耗是如何计算的？4.12什么是焦耳定律的微分形式和积分形式？4.13什么是漏电流？什么是漏电导？4.14什么是静电比拟法？它有什么用处？4.15什么情况下可以将静电场与恒定电场相比拟？4.16电容器的漏电导与电容的对应关系是怎样的？4.17什么是恒定磁场？如何由是麦克斯韦方程组得到恒定磁场的基本方程？4.18恒定磁场是无源场还是无旋场？4.19在磁导率不同的磁介质的分界面上，磁场强度和磁感应强度什么分量是连续的？4.20在不同磁介质的分界面上磁场强度和磁感应强度的什么分量是不连续的？4.21什么是恒定磁场折射定律？4.22什么是恒定磁场镜像法？4.23恒定磁场的矢量磁位是如何定义的？4.24什么是库仑条件或库仑规范？为什么恒定磁场的矢量磁位要满足库仑条件或库仑规范？4.25什么是恒定磁场矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程？4.26由比奥—萨伐尔定律得到的恒定磁场矢量磁位的积分表示式是否满足恒定磁场的微分方程？4.27恒定磁场的标量磁位是如何定义的？它有什么要求？4.28为什么恒定磁场的标量磁位只是满足拉普拉斯方程？4.29恒定磁场的标量磁位的边界条件是如何得到的？4.30恒定磁场的能量和能量密度是如何计算的？4.31什么是导体载流回路的电感？它与哪些因素有关？5.1什么是时谐电磁场？什么是时谐电磁场的复振幅和复振幅矢量？5.2如何由时变电磁场的基本方程得到时谐电磁场的基本方程（基本方程的复数形式）？5.3如何由时变电磁场的结构方程得到时谐电磁场的结构方程（结构方程的复数形式）？5.4如何由时变电磁场的边界条件得到时谐电磁场的边界条件（边界条件的复数形式）？5.5时谐电磁场边界条件有哪三种常用形式？他们有什么特点？5.6在不同媒质分界面上，永远是连续的是时谐电磁场的哪个分量？5.7在理想导体表面上不存在时谐电磁场的什么分量？5.8垂直于理想导体表面的是时谐电磁场的电力线还是磁力线？平行于理想导体表面的是时谐电磁场的电力线还是磁力线？5.9理想导体表面的面电流密度等于时谐电磁场的什么分量？理想导体表面面电荷密度等于时谐电磁场的什么分量？5.10什么是导电媒质的复介电常数？什么是导电媒质的损耗角正切？5.11时变电磁场的矢量磁位和标量电位是如何定义？5.12什么是洛伦兹条件或洛伦兹规范？洛伦兹条件与电流连续性方程是否是一致的？5.13什么情况下矢量磁位和标量电位满足齐次达兰贝尔方程？5.14什么情况下电场强度和磁场强度满足齐次达兰贝尔方程？5.15什么是滞后位？什么是超前位？为什么在无限大自由空间中只有滞后位？5.16矢量磁位和标量电位的滞后位是怎样的？5.17时谐电磁场的矢量磁位和标量电位是如何定义？5.18如何得到时谐电磁场的矢量磁位和标量电位的洛伦兹条件或洛伦兹规范？5.19如何得到时谐电磁场的矢量磁位和标量电位的亥姆霍兹方程（复波动方程）？5.20如何得到时谐电磁场的矢量磁位和标量电位的滞后位和超前位？5.21瞬时坡印廷矢量是如何定义的？它的物理意义是什么？它有什么特性？5.22什么是瞬时坡印廷定理的微分形式和积分形式？瞬时坡印廷定理的物理意义是什么？5.23什么是平均坡印廷矢量？5.24复坡印廷矢量是如何定义的？它的物理意义是什么？5.25天线的作用是什么？天线有哪些类型？5.26什么是电基本振子？什么是磁基本振子？5.27什么是线天线？什么是对称天线？什么是半波天线？5.28什么是近区场？什么是远区场？5.29电基本振子的近区场有什么特性？5.30电基本振子的远区场有什么特性？5.31磁基本振子的近区场有什么特性？5.32磁基本振子的远区场有什么特性？5.33基本振子和磁基本振子的电场有什么异同点？它们谁的辐射能力大？5.34基本振子和磁基本振子的对偶性是怎样的？5.35什么是水平极化天线？什么是垂直极化天线?5.36天线的方向性因子、方向函数和方向图指的是什么？5.37什么是天线的E面方向图？什么是天线的H面方向图？5.38什么是无方向天线？什么是全向天线？什么是定向天线？5.39基本振子、磁基本振子和半波天线的方向图有什么特点？5.40什么是天线辐射功率？天线的半功率波瓣宽度和零功率波瓣宽度是如何定义的？5.41基本振子和磁基本振子的半功率波瓣宽度和零功率波瓣宽度的大小是怎样的？5.42什么是天线阵？它的作用是什么？决定天线阵的辐射特性的主要参数有哪些？6.1什么是平面波？什么是柱面波？什么是球面波？6.2什么是均匀平面波？什么是非均匀平面波？6.3什么是均匀球面波？什么是非均匀球面波？6.4什么是横电磁波（TEM波）、横电波（TE波）和横磁波（TM波）？6.5均匀平面波的传播特性有哪些？6.6均匀平面波的传播参数有哪些？6.7什么是均匀平面波的极化？均匀平面波的极化有什么特点？6.8什么是线极化？什么是圆极化？什么是椭圆极化？6.9什么是右旋圆极化波？什么是左旋圆极化波？6.10什么情况下均匀平面波是线极化？什么情况下均匀平面波是圆极化波？6.11什么情况下均匀平面波是右旋圆极化波？什么情况下均匀平面波是左旋圆极化波？6.12什么是传播矢量？沿任意方向传播的均匀平面波的电磁场的一般形式是怎样的？6.13什么是传播常数？什么是衰减常数？什么是相位常数？6.14导电媒质中传播的均匀平面波具有什么特点？6.15什么是弱导电媒质（低损耗媒质）？什么是良导体（强损耗媒质）？6.16什么是趋肤效应？什么是趋肤深度（透入深度）？6.17什么是表面阻抗？什么是表面电阻？什么是表面电抗？6.18导体的热损耗是如何计算的？6.19什么是入射波、反射波、透射波和折射波？6.20什么是垂直入射？什么是斜入射？6.21什么是入射面？什么是垂直极化斜入射？什么是平行极化斜入射？（用图表示）6.22什么是反射系数？什么是透射系数（折射系数）？6.23垂直入射的反射系数和透射系数有什么关系？6.24垂直入射到理想导体表面时合成电磁场的振幅分布是怎样的？（用图表示）6.25什么是反射定律？什么是折射定律？6.26垂直极化斜入射的反射系数和透射系数（费涅尔公式）有什么关系？6.27平行极化斜入射的反射系数和透射系数（费涅尔公式）有什么关系？6.28什么是驻波比？什么是波腹？什么是波节？什么是行波？什么是驻波？6.29什么是无反射（全折射）？什么是全反射？全反射时是否存在折射波？6.30什么是布儒斯特角？非铁磁性媒质分界面的无反射条件是什么？6.31什么是临界角？非铁磁性媒质分界面的全反射条件是什么？7.1什么是波导？什么是导波？什么是均匀波导（规则波导）？7.2什么是纵向场法？什么是纵向场导波方程？7.3什么是横向拉普拉斯算子？什么是二维的导波方程？7.4什么是二维的横向哈密顿算子？如何得到用纵向场表示的横向场？7.5什么是模式（波型、波或模）？波导中传播的模式可以分成哪四种？7.6什么是TEM模？TEM模存在的条件是什么？TEM模的场在横截面上的分布规律是什么？7.7什么是TE模？什么是TM模？它们的传播条件是什么？7.8什么是传播模式？什么是截止模式？7.9截止波数、截止波长和截止频率之间的关系是怎样的？7.10金属波导内TE模和TM模和传播特性与均匀平面波的传播特性有什么不同？7.11波导波长、截止波长和工作波长三者之间的关系是怎样的？7.12相速度、群速度与电磁波的传播速度之间的关系是怎样的？7.13TE模和TM模的波阻抗或波型阻抗是如何定义的？它们与均匀平面波的波阻抗有什么不同？7.14什么是色散波？什么是几何色散？什么是媒质色散？7.15矩形波导中的两个纵向场是如何表示的？7.16矩形波导中的截止参数有什么特点？7.17什么是简并模式和模式简并？7.18什么是主模？什么是高次模？什么是最低型高次模？7.19什么是截止区？什么是单模传播？什么是多模传播？7.20矩形波导中的单模传播的条件是什么？7.21什么是场结构（模式图）？电力线和磁力线的分布应遵循的规律有哪些？7.22矩形波导内传播模式的场结构的主要特点是什么？7.23矩形波导中各种模式的场结构的规律是什么？7.24圆形波导中的两个纵向场是如何表示的？7.25圆形波导中的截止参数有什么特点？7.26什么是极化简并？什么是异模简并？7.27圆波导中的单模传播的条件是什么？7.28圆波导中的三种常用模式的特点是什么？7.29什么是击穿场强？什么是功率容量？7.30什么是管壁电流？什么是电流线？金属波导中的电流线有什么特点？7.31什么是强辐射缝？什么是无辐射缝？怎样才能得到“强辐射缝”或“无辐射缝”？7.32什么是导体衰减常数？什么介质衰减常数是如何计算的？7.33同轴线中可以传播哪些模式？为什么？7.34同轴线中的主模是什么模式？横截面的场分布有什么特点？7.35同轴线中最低型高次模是什么模式？它的截止波长近似值是多少？为了抑制同轴线的高次模，使TEM模单模工作的最高频率（最小波长）是多少？8.1均匀传输线中的主模的等效电压和等效电流是如何定义的？8.2均匀传输线中的高次模的等效电压和等效电流是如何定义的？8.3均匀传输线中的传输功率可以直接利用等效电压和等效电流计算吗？为什么？8.4什么是传输线的分布参数效应？传输线的分布参数有哪些？传输线的分布参数等效电路是如何得到的？8.5什么是均匀传输线？什么是非均匀传输线？8.6什么是无耗传输线？什么是有耗传输线8.7什么是传输线基本方程（传输线方程或电报方程）？它们与麦克斯韦方程有什么关系？8.8什么是传输线上的入射波？什么是传输线上的反射波？它们与均匀传输线上的电压和电流有什么关系？8.9均匀传输线上的电压和电流的一般表示式有什么特点？8.10已知终端电压和电流的均匀传输线上的电压和电流的表示式是怎样的？8.11决定传输线上电压、电流与位置的关系的是负载阻抗还是信号源？8.12影响传输线上电压和电流的大小（绝对值）的是负载阻抗还是信号源？8.13改变传输线上不同位置电压电流相对值的是负载阻抗还是信号源？8.14什么是特性阻抗？什么是特性导纳？传输线的特性阻抗（特性导纳）有什么特点？8.15什么是传输线的传播常数？什么是传输线的衰减常数？什么是传输线的相位常数？8.16均匀传输线中TEM模和非TEM模的平行双线的传播常数有什么异同点？8.17什么是传输线的特征参数？什么是传输线的工作参数？8.18什么是传输线的等效阻抗（输入阻抗、阻抗）？均匀传输线上的阻抗有什么性质？8.19什么是传输线的电压反射系数？什么是传输线的电流反射系数？什么是传输线的反射系数？8.20均匀传输线上的反射系数有什么性质？8.21传输线上相距二分之一波长的两处的等效阻抗和反射系数有什么关系？8.22传输线上相距四分之一波长的两处的等效阻抗和反射系数有什么关系？8.23传输线上为什么会有三种不同的工作状态？行波、驻波和行驻波有什么异同点？8.24什么是传输线的行波系数？什么是传输线的驻波比（电压驻波系数）？它们与反射系数有什么关系？8.25传输线腹节点的阻抗与行波系数和驻波比有什么关系？8.26如何利用腹节点的位置和大小确定其终端所接负载的反射系数？8.27什么是传输线的行波状态（无反射状态、阻抗匹配状态）？什么条件下传输线会工作在行波状态？8.28行波状态时传输线上电压、电流和阻抗的分布是怎样的？（画图）8.29什么是传输线的驻波状态（全反射状态）？什么条件下传输线会工作在驻波状态？8.30驻波状态时传输线上电压、电流和阻抗的分布是怎样的？（画图）8.31驻波的瞬时电压和电流是如何变化的？8.32行驻波状态时传输线上电压、电流和阻抗的分布是怎样的？（画图）。
磁场的镜像法
磁场的镜像法嘿，你知道磁场的镜像法吗？这可是个超有趣的物理概念呢！就好像我们在镜子前看到自己的镜像一样，磁场的镜像法也是一种巧妙的“镜像” 操作哦。
在物理学中，当我们面对一个带有电荷或者电流的物体，它会在周围产生磁场。
而有时候，为了更方便地求解这个磁场的分布情况，我们就会用到镜像法。
比如说，一个点电荷在无限大的导体平面附近，这个导体平面就会对电荷产生影响，使得空间中的磁场分布变得复杂起来。
这时候，我们就可以想象在导体平面的另一侧有一个“镜像电荷”，这个镜像电荷和原来的电荷大小相等，但符号相反。
通过这样的设定，我们就可以把复杂的问题简化啦。
你看，这就好比在一个热闹的派对上，有一个人在舞台中央表演（就像那个点电荷），而舞台的背景幕布（导体平面）会对他的表演效果产生反射和影响。
我们通过想象在幕布后面有一个和他相反的“镜像表演者”，就能更好地理解整个派对现场（空间磁场）的氛围和情况啦。
再比如说，一个电流元在一个磁介质的边界附近，我们也可以用镜像法来处理。
想象一下，电流元就像是一条在河流中游动的小鱼（电流元），而磁介质的边界就像是河流中的一块大石头（边界）。
小鱼的游动会引起水流（磁场）的变化，而大石头会对水流产生阻挡和反射作用。
这时候，我们通过在大石头的另一侧设置一个“镜像小鱼”（镜像电流元），就能更清楚地知道整个河流中水流（磁场）的走向和分布啦。
磁场的镜像法在很多实际问题中都有着重要的应用呢。
比如在电磁屏蔽方面，我们就可以利用镜像法的原理来设计屏蔽结构，让不需要的磁场像被镜子反射一样，被引导到我们希望的方向去，从而减少对其他设备的干扰。
这就好像给我们的电子设备穿上了一件“隐形披风”，让它们免受外界磁场的“骚扰”，是不是很神奇呢？而且，在电机设计、电磁感应等领域，磁场的镜像法也能帮助工程师们更好地分析和设计设备。
通过巧妙地运用镜像法，他们可以更准确地计算磁场的强度和分布，从而优化设备的性能，提高效率。
总之，磁场的镜像法就像是一把神奇的钥匙，能够打开很多复杂磁场问题的大门，让我们更深入地了解和掌握磁场的奥秘。
第05章恒定磁场(2)
前述矢量磁位的积分表达式可以认为是该方程的特解——自由空间中的解。
在无源区中，J 0 ，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程
2 A 0
已知在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个坐标分
量的标量方程。因此，前述的分离变量法可用于求解矢量磁位 A 的各个直角
坐标分量所满足的标量泊松方程及拉普拉斯方程。此外，镜像法也可适用于 求解恒定磁场的边值问题。
H 0
A(r ) J (r) dV
4π V r r
它所满足的微分方程式为
2A J
上述结果表明，对于均匀、线性、各向同性媒质，只
要真空磁导率 0 换为媒质磁导率 ，各个方程即可适
用。
5-6 恒定磁场的边界条件
推导过程与静电场的情况完全类似。结果如下：
铁磁性。内部存在“磁畴”，每个“磁畴”中磁矩方向相同，但是各个 “磁畴”的磁矩方向杂乱无章，对外不显示磁性。在外磁场作用下，各个 “磁畴”方向趋向一致，且畴界面积还会扩大，因而产生很强的磁性。例如 铁、钴、镍等。这种铁磁性媒质的磁性能还具有非线性，且存在磁滞及剩磁 现象亚。铁磁性。是一种金属氧化物，磁化现象比铁磁媒质稍弱一些，但剩磁小， 且电导率很低，这类媒质称为亚铁磁媒质。例如铁氧体等。由于其电导率很低， 高频电磁波可以进入内部，产生一些可贵的特性，使得铁氧体在微波器件中获 得广泛的应用。
这样磁化媒质中磁感应强度沿任一闭合曲线的环量为磁化电流并不影响磁场线处处闭合的特性媒质中磁感应强度通过任一闭合面的通量仍为零因而磁感应强度的散度仍然处处为零即磁场强度仅与传导电流有关简化了媒质中磁场强度的计算正如使用电通密度可以简化介质中静电场的计算一样
5-3 磁 位
一、矢量磁位 A
第三章 恒定磁场(4)-new
若已知磁场分布， 若已知磁场分布，求电流分布 由
r r B = ∇× A
r v ∇× H = J
求解
1.两种导磁媒质中的镜像 两种导磁媒质中的镜像
I
r 2 ∇ A1 = 0 ( I处除外）
µ1
h
µ2
求解域
I
µ1 µ1
h h
µ2 µ2
I''
h
r 2 求解域 0 ∇ A2 =
I'
I
h µ1
µ1 h
ρ θ
µ1 I = = µ1 + 1 2πρ πρ µ2
I
2 µ1
（2） ）
µ2 = µ0 µ1 → ∞
解： 镜像电流
I
µ1 →∞ = µ1 →∞
-I
I
+
µ2 = µ0 µ2 = µ0
µ 2 − µ1 I′ = I = −I µ1 + µ 2 2 µ1 I ′′ = I = 2I µ1 + µ 2
2I
磁场分布特点： 磁场分布特点： 对空气侧而言， • 对空气侧而言，铁磁表 面仍然是一个等磁位面。空 面仍然是一个等磁位面。 气中的 B 线与铁磁表面相垂 折射定理可以证明）。 直（折射定理可以证明）。 • 空气中 ( µ 2 = µ 0 )的磁场为场域无铁磁物质情 况下的二倍。 况下的二倍。
求解域
I''
ρr r I ' H1I H1I ' 衔接条件： 衔接条件： H 1t = H 2 t
I
µ2 h µ2
ρ θ
r H2
求解域
I′ I ′′ sinθ − sinθ = sinθ → I − I ′ = I ′′ 2πρ 2πρ 2πρ I I′ I′ µ1 cos + µ1 θ cos = µ2 θ cos →µ1(I + I′) = µ2I′ θ 2πρ 2πρ 2πρ
电磁场 磁位、磁矢位与恒定磁场的边值问题、恒定磁场的镜像法(完美解析)
当 L2 时 0,
Φm 0 ,
A dl 0 ,
l
与
有
E dl 0 ,
l
E1t E2t 对比，
图3.4.1 磁矢位 A 的衔接条件
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A1t A 2t (1)
第 三 章
恒定磁场
A1t A 2t (1)
b) 围绕 P点作一扁圆柱，则
由 H1t H 2t K 有
1 1 ( A1 )t ( A2 )t K 1 2
对于平行平面场，
A Az e z Ae z
A1 A2
1 A1 1 A2 K 1 n 2 n
如长直电流、无限大平板电流产生的磁场等。
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第 三 章
第 三 章
恒定磁场
3.4 磁位及其边值问题
Magnetic Potential and Boundary Value Problem
3.4.1 磁位 m (Definition Magnetic Potential m) 无电流区 H 0
H m
m H dl
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第 三 章
3.5 磁矢位及其边值问题
恒定磁场
Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem
3.5.1 磁矢位 A 的引出
（Definition Magnetic Vector Potential A)
由
B 0 A 0 B A
0
m 0
2
（仅适用于无电流区域）
2 2 2 m 2 m m 在直角坐标系中 m 2 2 2 0 x y z 2. 分界面上的衔接条件 m1 m 2 H1t H 2t 由 m1 m 2 1 2 B1n B2n n n
第四章-镜像法
r10
d
q’ r20 b A B
q' q q r20 |d a| r10 q 4 0 r10 q' 4 0 r20 0
20
2015年8月1日星期六
球面镜像法
若导体球不接地，可用镜像法和叠加原理求球外 的电位。
• 球面是等位面， • 导体球上的总感应电荷为零 q d a
• 以上定理表明，只要给定了介质分布和电荷 分布以及边界上电位满足的边界条件，则场被 唯一确定，不会有两组不同的解满足同样的场 方程和边界条件。
6
2015年8月1日星期六
镜像法
镜像法是解静电边值问题的一种特殊方法，主要用来求解 分布在导体附近的电荷产生的场。
对于架设在地面上的双线传输的电场分布可以采用镜像法 来分析，此时，地面可作为无穷大导体平面。
2015年8月1日星期六
y
2md a 2 m 1 m2 1 d b 2 m 1
ρl a (b,0) m>1
2d
x
29
柱面镜像法
镜像法参数的确定：
2md a 2 m 1 m2 1 d b 2 m 1
b m b
b2 a 2 ,m 1 a b2 a 2 ,m 1 a
28
2015年8月1日星期六
柱面镜像法
由圆柱面镜像法等位面的公式知：
x x0 y y0
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้R0
2
2md R0 2 m 1
m2 1 x0 2 d m 1
2md a 2 1 m m2 1 d b 2 m 1
a -ρ l (-b,0) m<1
工程电磁场——恒定磁场——第3讲
l H dl I
磁通 匝数
（分数）
I
2 1
2
I H , 2 2 π1
dΦ B dS
0 I 2 π12
ld
I 2 N 2 I 1
图
1
同轴电缆截面
因此， i1
S
NdΦ 0
i1
I
2 12
0 I ld 2 2π1
mB ΦmB
DBC ln 2π DBD
DAD DBC M ln 2π DAC DBD
导线 B 作用： 合成后
0 I l
m mA mB
DAD DBC ln 2π DAC DBD
0 I l
0 l
第 三 章
恒定磁场
3.7.3 聂以曼公式 1、 求两导线回路的互感
图
线圈的自感
外自感
Φ 0 dl1 dl 2 L0 I 4π l2 l1 R
第 三 章
恒定磁场
3.8 磁场能量与力
3.8.1 恒定磁场中的能量 假设： • 媒质为线性；
• 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）； • 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能 量的建立过程无关。
第 三 章
0l 32
3 I N 2 2 I 3 2
' 2 2
图
同轴电缆
2 2 2 l l ( 2 3 0 3 0 3 2) ( 2 ) ln 2 2 2 2 2π 3 2 2 2π( 3 2 ) 8π( 32 2 )
2 0 I I 2 0 0 I I B1 ( e 1 e 2 ) 2π r1 r2
《电磁场与电磁波》恒定磁场
分界面磁化电流: Km (M1 M2 ) en
Im
M dl
l
安培环路定理
1.真空中的安培环路定理
l B dl 0 I
真空磁场中，磁感应强度沿任意回路的 环路积分等于真空的磁导率乘以穿过该 回路所限定面的电流的代数和；
2.一般形式的安培环路定理
l B dl 0 ( I Im )
H dl H dl I
PaQ
PbQ
c
I
闭合回路PaQcP：
Q
H dl 2I PaQcP
H dl H dl 2I
PaQ
PcQ
规定:积分路径不穿过电流回路所限定的面。
2.标量磁位的边值问题 微分方程
B 0
H 0
H m
m 0
m m 0 均匀媒质：=0
2m 0 标量磁位的微分方程
Sd
（1）常磁链系统：
Wm
1 2
H BdV
V
V
B2 dV
20
B2Sd
2d
20 20S
f
Wm g
k const
2 20 S
吸力：F 2 f
3.虚位移法举例
例：分析电磁铁吸力，气隙截面积S，长d
1. 恒定磁场基本方程 恒定磁场的性质可由下面一组基本方程描述：
磁通连续性定理 SB dS 0 安培环路定理 l H dl I
各向同性线性媒质的构成方程
B 0 H J
B H
恒定磁场的性质：有旋无散。
2.分界面的衔接条件
B 的衔接条件
2
B2n B2
S h
1 B1
B1n
SB dS 0
B1nS B2nS 0 B1n B2n
电磁学的复习法宝公式篇 镜像法
B=0
JC
=
V
t
微分形式的麦克斯韦方程组给出了空间某点场量之间
及场量与场源之间的关系。
导电材料的物态方程（本构关系）
JC=N eeeE
→ 导体的电导率 =eNee
JC =E
电介质的物态方程 D=r0E 其中： r 称为相对介电常数
磁介质的物态方程 B=0rH
电场法向分量的边界条件（电位移矢量D的边界条件）D1n=D2n 电场切向分量的边界条件（电场强度E的边界条件） E1t = E2t
拉普拉斯方程
Jc =E E = 0
J =0
2 = 0
恒定磁场基本方程
Hdl l
=
S Jc dS
B=H H = J c
S BdS = 0
B =0
矢量泊松方程 2A=Jc
矢量拉普拉斯方程
2A=0
场
内容
场方程
位函数 的依据
位与场的关 系
微分方程
正弦电磁场
（存在时间因子 e j t ）
lH d l= S (J C jD )d S
lE d l= jSB d S
SD dS=VVdV
SBdS=0
注意：利用积分形式的麦克斯韦方程可直接求解具有对称 性的场。
麦克斯韦方程组的微分形式
积分形式:
微分形式:
H=m
恒
m(无
源）
H=0
0
H=J
m =
H dl
p
2m =0
n H1H2
=Jl 0
定 磁矢 B=0
磁位
场 A(有
源或
B= H
B=A 2A=J
恒定磁场3
即
，所以 ，只有减少磁能来提供磁
场力作功，故有
fdg dWm k 常量
由此得广义力 • 两种假设结果相同，即
• 在实际问题中，若求相互作用力，只需 求出互有磁能，并以相对位置为广义坐标， 利用上式即可得到相应的广义力。
例3.8.3 试求图示载流平面线圈在均匀磁
场中受到的转距。设线圈中的电流I1，线圈的 面积为S，其法线方向与外磁场B的夹角为。
磁路及其计算
• 例3-19
• 已知：
lg=2×10-3m
I
S2=4×10-3m2
= 3×10-3Wb
em
Rm1
lg
Rm2
• 求:I
磁路及其计算
解：Rm1= l/S = 105（1/H) Rm2= lg/0S2 = 4 × 105（1/H) Rm= Rm1+ Rm2 em = Rm = 300 I = em /N = 5(A)
I 2 R12
e
H
I
2
e
0
0 R1 R1 R2
R2
磁能为 自感
3.8.3 磁场力 磁场能量的宏观效应就是载流导体或运
动的电荷 在磁场中要受到力的作用。仿照静 电场，磁场力的计算也有三种方法。
1. 安培力
例 3.8.2 试求两块
• → B3 → H3 → 3 → R3m • → 4=IN/(Rg + R3m) … … • i+1 - i ≤
由
得
由
得
联立求解，得
与静电场镜像法类比
这里的
， 原因何在？
例3.6.2 空气与铁磁媒质的分界面如图所
电磁场 镜像法及电轴法
思考：导体表面的电荷分布 密度 ? I I 0 0
n
z 0
z P( x, y, z )
(0,0, d ) q
z
z 0
qd 2 2 2 3/2 2( x y d )
2018/11/12 电工基础教研室金钊 5
一、镜像法
例2. 自由空间，接地导体球与点电荷。 球外(r >a)：
P( x, y, z )
I 0 除点 (0,0, d ) 外 I r a 0
2
I r 0
球内(r <a)：
a o
q
(0,0, d )
z
II 0
2
II r a 0
II r 0
2018/11/12 电工基础教研室金钊 6
一、镜像法
例2. 自由空间，接地导体球与点电荷。
z
I r a 0
2018/11/12
b a2 / d q ( a / d ) q
电工基础教研室金钊 7
一、镜像法
例3. 点电荷对无限大介质分界面。 区域I ( z 0) ：
1 2
o
q (0,0, d )
1 0 除点 (0,0, d ) 外
2
1 r 0
电工基础教研室金钊
1 2 q q 1 2 2 2 q q 1 2
11
二、电轴法
2018/11/12
电工基础教研室金钊
12
二、电轴法
1. 两传输线的电场
y
P( x, y, z )
2
(b, 0, 0)
1
o
(b, 0, 0)
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主 讲 人 ： 王 泽 忠
工程电磁场
王泽忠
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华北电力大学电气与电子工程学院
1
工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
6 电磁场的解析方法
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
6.4 恒定磁场的镜像法
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18／4／25
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工程电磁场
近似情况：
m2 = 10m0
主 讲 人 ： 王 泽 忠
m1 = m0
I ﾴ=
10 10
-1 +1
I
ﾴ
9 11
I
I ﾴﾴ=
2 ﾴ1 10 +1
I
ﾴ
2 11
I
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
解
I ﾴ= m2 - m1 I
得
m1 + m2
主 讲 人 ： 王 泽 忠
I ﾴﾴ= 2m1 I m1 + m2
上半空间有效
下半空间有 效
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
•媒 质 分 界 面 镜 像 法 的 特 点
按媒质分布，划分成二个子问题
分别应用镜像法，在子问题求解区域外设置镜像电 流
I
ﾴ
-
9 11
I
I
ﾴﾴ=
2 ﾴ10 10 +1
I
ﾴ
20 11
I
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
二种媒质的磁 场
下半空间有 效
上半空间有 效
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工程电磁场
•思考题 1主 讲 人Biblioteka ： 王 泽 忠18／4／25
在子问题中列分界面磁感应强度和磁场强度表达式
利用分界面条件，建立二个子问题中镜像电流联立 方程
求解联立方程，得镜像电流数值
不同子问题对应不同的有效区域
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
•二 个 特 例
ﾴ ﾴ （ 1 m2
m1 = m0 m2 >> m1
）
I ﾴ= m2 - m1 I ﾴ I I ﾴﾴ= 2m1 I ﾴ 0
m1 + m2
m1 + m2
电流放在空气中 求无电流区的磁场
= = ﾴ B2
m2 I ﾴﾴ 2pR
m2 2pR
(
2m1 m1 + m2
)
I
m0 I pR
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
� ﾴm1 ﾴ
(
I I
+ -
I I
ﾴ) = m2
ﾴ= Iﾴﾴ
I
ﾴﾴ
B1n
=
m1I 2pr
cos a
+
m1Iﾴcos 2pr
a
B2n = m22pIrﾴﾴcosa
= - H1t
I 2pr
sin
a
Iﾴ 2pr
sin
a
H 2t
=
I ﾴﾴ 2pr
sin
a
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工程电磁场
二种媒质的磁 场
上半空间有 效
下半空间有 效
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
（2 ）
m1 ﾴ ﾴ
m2 = m0 m1 >> m2
I ﾴ= m2 - m1 I ﾴ -I m1 + m2
I ﾴﾴ= 2m1 I ﾴ 2I m1 + m2
电流放在铁中 无电流区的磁
（ 4 ） 解得镜像电流数值
（ 5 ）计算镜像电流和求解区域内电流共同产生
磁场
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
（ 2 ）二种媒质分界面的镜像法问 题
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工程电磁场
•镜 像 电 流 求 解
主 讲 人 ： 王 泽 忠
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工程电磁场
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2 、二维恒定磁场的镜像
法（ 1 ）一种媒质边界的镜像法问
题
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
求解区域内磁场分 布
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
m2 ﾴ ﾴ
场
B2
=
m2p0 IRﾴﾴ=
m0 2I 2pR
＝m0I pR
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
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工程电磁场
近似情况：
主 讲 人 ： 王 泽 忠
m1 = 10m0
m2 = m0
I ﾴ=
1 - 10 10 +1
流）
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
•唯 一 性 定 理 的 因 素 分 析求 解 区 域
方程（区域内电流、区域内材料参数） 区域内分界面条件 区域外边界条件 上述诸因素均保持不变， 则方程的解（ B 、 H ）唯一
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
1 、恒定磁场解的唯一性定理回 顾•唯 一 性 定 理
满足给定边界条件的恒定
磁场基本方程的解答是唯一的
。•恒 定 磁 场 的 基 本 方 程 （ 含 辅 助 方
程）
ﾴ ѷ B = 0 � H = J B = mH
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铁磁材料表面附 近
镜像电流与区域 内
1 区 8／4／2域5 内 电 流华的北磁电力大学电气与电子电工流程学共院 同 产 生10 磁
工（程1 ）电改磁变场求解区域外媒质主，讲整人：个 空王间泽充忠满一种
媒质
（ 2 ）以边界为对称面，在求解区域外虚设镜像
电流
（ 3 ）根据边界条件列写镜像电流满足的方程
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工程电磁场
•思考题 2
主 讲 人 ： 王 泽 忠
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
3 、三维恒定磁场的镜像 法
（基于电流元）
Idl = Idxe x + Idye y + Idzez
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
令 B = ﾴﾴA
得 Ѵ 1Ѵ A=J m
•恒 定 磁 场 的 边 界 条 件
B 法向分量已知或 A 已知 H 切向分量已知
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工程电磁场
主 讲 人 ： 王 泽 忠
•不 同 媒 质 之 间 的 分 界 面 条 件
B2n = B1n 或 A 连续 H2t = H1t （无面电