贝塞尔函数的应用

贝塞尔函数的应用

1

ω1

二、按贝塞尔函数展开求定解问题的解

下面将举例说明如何用贝塞尔函数求定解问题的解。例2：有一质量均匀的金属圆柱体，半径为，0r 柱高为l ，圆柱侧面绝热，而上下两底面的温度分别保持为和，)(2r f )(1r f 试求圆柱体内部稳定时的温度分布。

解：由于温度分布趋于稳定，圆柱体内部温度函数

),,(z r u 满足定解问题

由于边界条件与无关，所以定解问题的解也与无关，只能取常数，这对应于m=0的情况。

ϕϕ)(ϕΦ事实上把),,(z r u ϕ代入边界条件可得

12()()(0)(),

()()()().

R r Z f r R r Z l f r ϕϕΦ=Φ=根据上两个等式可知()ϕΦ只能取常数。

2

''()()0

(4.3)()(2),'()'(2)

m ϕϕϕϕϕϕππ⎧Φ+Φ=⎨

Φ=Φ+Φ=Φ+⎩固有值问题求解可得固有值为22

,0,1,2,...

n n m ==求解可得固有函数为()cos sin n n n n n A B ϕϕϕ

=+Φ

方程(4.5)的解为

)

,3,2,1(,)(:0,)(:00000 =+=≠+==-n e

D e

C z Z

D z C z Z z

n z

n n n n n ωωωω根据线性叠加原理，原定解问题(4.2)的一般解为

''()()0,(4.5)Z z Z z λ-=2000,0

,n n

n λλωω=≥==0001

(,,)()(),(4.6)

n n z

z

n n n n u r z C z D C e

D e

J r ωωϕω∞

-==+++∑其中系数将由上下两底面的边界条件确定。

n n D C ,

注：

例3：设有半径为1的均匀薄圆盘，边界温度为零，

ϕ

1⎧

1

1

441 1

比较等式两边系数，得2

2 21R t

ω