[理学]流体力学 第4章-基本方程

dt V
t0 t V r ,t t
V r ,t

dV
lim r, t t r, t dV dV
V r ,t tt 0
t
V t
r, t dV r, t dV r, t dV
V r ,t t
取如右图所示系 统，函数 (r, t) 在 整个系统区域上是连 续的、单值的、可微 的。
图3.1 流体实体容积
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输运定理
推导
r,t dV r,t dV
V r,t t
V r ,t t
d
dV
lim
1


r, t t dV r,t dV
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第三章 基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒方程 §3 动量方程 §4 角动量方程 §5 能量守恒方程 §6 初始条件和边界条件
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角动量方程 推导
角动量守恒原理是指一定体积V 流体的角动量变化率等于作
用在该流体上的所有外力矩之和。
对于系统，由角动量守恒定律有：
d (r )dV M
（切应力张量第一下标表示作 用面法向，第二下标表示力的 方向）。
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z
动量方程 推导
dz
o
dy
dx
xA
Txxnx Txyny Txznz i
Tyxnx Tyyny Tyznz j
By
Tzxnx Tzyny Tzznz k
法向应力： 法向

r p.n

r Txxnxi
Tyyny
r j
r Tzznzk
切向应力1： 切向1 Txyny i Tyznz j Tzxnx k
切向应力2：切向2 Txznz i Tyxnx j Tzyny k
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动量方程 推导
xz

y
z

zz
表面力合力
div g div T
t
（应力张量的散度表示流
体应力状态的不均匀性）
单位体积内总的动量变化率等于作用在物体上的外力之和。
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动量方程
柯西形式
div g div T
在工程流体力学中，更多的是采用以控制体为对象，而如何 将基于系统的基本原理表达成适用于控制体的形式，这就是输运 定理所要解决的问题。
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输运定理
概念
1.系统： 系统是一团确定不变的物质的集合。 特点：（1）系统边界随流体一起运动，其形状、大小可随 时间变化； （2）系统可以通过边界与外界发生力的作用和能量 交换，但不发生质量交换，即系统的质量是不 变的。
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质量守恒定律 推导
质量守恒原理指 物体质量在运动中保 持不变，换言之，物 体质量随时间的变化 率为零。
如右图所示，在 考察的物质系统内， 围绕任意点取一无限 小体积。
图3.2 流动流体的物质体积
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质量守恒定律 推导
对于系统，由质量守恒定律有：
d dV 0
dt V r ,t
r
r
ห้องสมุดไป่ตู้


1 r
r
r
zr z

z
t
r
z
r

r
z
z
z
z
gz

1 1 r rz 1 z
r r r
z
z
该偏微分方程组就是所谓的流体运动的应力形式的动量方程， 代入不同流体的本构方程就可以得到不同流体的运动方程。
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第三章 基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒方程 §3 动量方程 §4 角动量方程 §5 能量守恒方程 §6 初始条件和边界条件
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能量守恒方程 推导
能量守恒定律可表述为：系统从外界吸热的速率与系统对外 界做功的速率之差等于系统能量的变化率。
dE Q W ( dt )系统
dV
dA
gdV
TdA
V t
( A)
V
( A)
散度定理

V

t

div

dV

g
V

div
T dV



x x yx
z x
x y y y z y

t

x
vx

y
vy

z
vz


0
柱坐标系中积分形式质量守恒方程为：
V
dV
t

V
vn dA

0
vn
柱坐标系中质量守恒微分方程为：
vr vx cos vy sin v vx sin vy cos
vz

t

1 r
dt V r,t 应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时角动量守恒方 程可表述为：
控制体净输出
的动量矩流量
控制体内的动 量矩变化率
作用于控制 体的总力矩
(r )
( A)
dA

t

V
(r

)

dV
M
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角动量方程 推导
应力张量就是对称的 zy yz , xz zx , yx xy
能量守恒原理是针对封闭物质系统而言的。开放物质系统能 量的变化取决于它和环境的相互作用。若一个系统和它的环境有 力的作用，则总能量变化指动能和内能之和的变化：
dE
dt

d dt
V

2
2

dV
比内能
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能量守恒方程 推导
对开放系统，能量守恒方程为：
热通量
d
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柯西方程 直角坐标形式
笛卡儿坐标系下的柯西方程：
x t
x
x x
y
x y
z
x z

gx

1

x x

xy y

xz z

y t
x
y x
y
y y
z
y z

gy

1
z Tzx
Txy Tyy
Txz

Tyz
nx
ny

Tzy
Tzz

nz
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动量方程 推导
在笛卡儿坐标系中， 应力向量的各分量为：
Txxnx Txyny Txznz i Tyxnx Tyyny Tyznz j Tzxnx Tzyny Tzznz k

0
质量守恒定律的微分形式：

t
div v dV
0
div 0
t
或 grad div 0
t
对不可压缩流体， 0 ，则方程简化为
t
divv 0
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质量守恒定律
柱坐标形式
直角坐标系中质量守恒方程为：
d dV dV dA
dt V
V t
( A)
应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时质量守恒方程
d dt
dV
V


V
d dV
dt


A

V dA

0

dt dA dt
A
0 输出控制体
质量流量
输入控制体 质量流量
控制体内的 质量变化量
r
r

r r
z
z

g

1

1 r2
r
r 2 r
1 r
z z
r t
r
r r
r
r
2 r
z
r z

gr

1

1 r
r
d dV dV dA dA dV dA
dt V（不定）
V（确定） t
( A 入)
( A 出)
V（确定） t
( A确定)
dV
dV
dV
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第三章 基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒方程 §3 动量方程 §4 角动量方程 §5 能量守恒方程 §6 初始条件和边界条件
dt
V

2 2

dV

V
g dV

TdA
qdA
( A)
( A)
2. 控制体：在空间上体积固定不变的连续、封闭区域。 特点：（1）控制体的边界相应于坐标系是固定不变的； （2）控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而 且可以有质量的交换。
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输运定理
推导
为了将系统分析法转换成控制体积分析法，我们必须将数学导 式转换成针对某一特定的区域（而非个别的质点）来作，此变换称 为雷诺输运定理(Reynolds transport theorem)，该定理可应用在任一 基本定律上。
输出控制体 净质量流量
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质量守恒定律 推导
局部质量 变化率
对流质量 通量

V

t
dV


A
vdA

0
控制体内质量随时间的变化率与通过控制面的对流 质量通量之和为零。
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质量守恒定律 微分形式
运用高斯散度定理，则有质量守恒定律的积分形式：

V


t

divvdV
V r ,t
V
dV l dA (Vdt) dA
lim 1 dV vdA
t 0 t V
A
d dV dV dA
dt V
V t
( A)
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输运定理
推导
控制体内函数变化量等于同一空间内函数的时间不均匀性引 起的变化量与控制体界面上由于对流引起的函数变化量之和。这 就是著名的输运定理，是由欧拉首先提出的。
dt V r,t
d dV dV dA
dt V
V t
( A)
应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时动量守恒方程

V


t

dV


( A)
( dA)


F
dt dA dt
( A)
控制体内的
动量变化率
输出控制体 动量流量

yx x

y y

yz z

z t
x
z x
y
z y
z
z z

gz

1

zx x
zy y
z z

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柯西方程 柱坐标形式
柱坐标系下柯西方程：

t
r
第三章 基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒定律 §3 动量方程 §4 角动量方程 §5 能量守恒原理 §6 初始条件和边界条件
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输运定理
引言
所有的力学定律,都是从系统的观念推导而得的，而以系统为 对象研究流体运动，就必须随时对系统进行跟踪并识别边界，这 在实际流动过程中显然是很困难的。况且，工程上所关心的问题 也不在于跟踪质量确定流体的运动，而在于确定的设备空间中流 体的流动行为。
r
rvr

1 r


v

z
vz


0
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第三章 基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒方程 §3 动量方程 §4 角动量方程 §5 能量守恒方程 §6 初始条件和边界条件
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动量方程 推导
对于系统，由动量守恒定律（牛顿第二定律）有：
d dV F
t
() () g divT
t t


t



t

()

()


g

divT
考虑到连续性方程， div 0 上式变为：
t
d g 1 divT
dt

上式为柯西运动方程，表示单位质量流体的动量平衡。
用应力张量替换应力向量，动量平衡方程可写成：
动量变 化率
对流动 量通量
体积力
表面力
dV
dA
gdV
TdA
V t
( A)
V
( A)


V
t
dV
.dA
( A)

F
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动量方程微分形式 推导
输入控制体 动量流量
作用于控制 体的合力
控制体净输出 的动量流量
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动量方程 推导
外力
体积力 表面力
单位质量上的体积力 单位面积上的表面力
应力矢量 应力张量 矩阵形式
r,t,n T r,tn
应力张量和方 向矢量缩并得
应力矢量

x y


Txx Tyx