Gauss消元法

综上，设方程组(2.1)中x1的系数不全为零，总可以通过对
换，使得a11≠0,
于是，把第一个方程的െ
ࢇ࢐૚ 倍加到第j个方程上
ࢇ૚૚
(2≤ j ≤ m)，即可在第2～m个方程中消去未知量x1. 按类似的步
骤，考察第2～m个方程，对其他未知量继续做下去。以此类推
，便可求解线性方程组.
这样的计算方法就称为Gauss消元法.
x3 x3
0 9
3x1 3x2 x3 6
3(1)(3)
x1
2x2 3x2
x3 x3
0 9
9x2 4x3 6
[3(2)(3)]/7
x1
2x2 3x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x3 x3
0 9
x3 3
1 (3) (1) 1(3)(2)
x1
2x2 3x2
3 6
x3 3
1 3
(2)
23(2)(1)
特别地，行数与列数相同的矩阵(即m = n)，称为 n 阶方阵，全体n
阶方阵组成的集合，记为Mn(Թ).
11
线性方程组
a11x1 a12 x2 a1nxn b1
a21x1 a22 x2 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
系数 矩阵
a11 a21
线性代数——先修课 第一章 线性方程组
§1.2 一般线性方程组的解法 Gauss消元法
1
内容提要
线性方程组的几个基本问题 初等变换与同解方程组 矩阵概念的引入
2
一般的线性(一次)方程组
关于n个未知量x1, x2, … , xn的线性方程组，形式如下
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
Q1. 解的存在问题： 判断方程组是否有解？ Q2. 解的个数问题： 如果有解, 有多少个解？ Q3. 解的求解问题： 能否给出解的公式，或者给出一个算法求出所有的解？ Q4. 解的结构问题： 解不唯一时解集合结构如何？ Q5. 解的近似问题 ： 如果无解，能否求出一个近似解？ Q6.对应的几何问题： 线性方程组对应的几何意义是什么？
ai1c1 ai2c2 aincn bi aj1c1 aj2c2 ajncn bj 所以
kai1 aj1 c1 kai2 aj2 c2 kain ajn cn kbi bj
这表明(c1,c2,…,cn)也满足方程(2.3)，即新方程组(2.2)的第j个方程; 而
kai1 aj1 d1 kai2 aj2 d2 kain ajn dn kbi bj
这说明 aj1d1 aj2d2 ajndn bj
而(2.1)的其余方程与(2.2)一样，所以(d1,d2,…,dn)也为方程组(2.2)的一
个解.
■
Gauss消元法
上面证明了若对一个线性方程组做初等变换，得到一个新 的方程组，则这两个线性方程组是同解的.
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
其中
• m∈Գ为方程组的个数，
• aij∈ Թ (1≤ i ≤m, 1≤ j ≤n)称为系数， • bi∈Թ (1≤ i ≤m) 称为常数项.
(2.1)
线性(一次)方程组的几个基本问题:
例1（教材例2.1） 解三元线性方程组
x1
3x2 2x2
x3 x3
9 0
解:
3x1 3x2 x3 6
x1
-
3x2 2x2
x3 x3
9 0
3x1 3x2 - x3 6
(1)(2)
x1
2x2 3x2
x3 x3
0 9
3x1 3x2 x3 6
3(1)(3)
x1
2x2 3x2
a12 a22
a1n a2n
am1
am 2
amn
mn
增广 系数 矩阵
Q6 线性方程组 Q1
无解 有解
Q2
求近似解 唯一解 解不唯一
Q5 Q3 Q3,Q4
例1（教材例2.1） 解三元线性方程组
x1
3x2 2x2
x3 x3
9 0
解:
3x1 3x2 x3 6
x1
-
3x2 2x2
x3 x3
9 0
3x1 3x2 - x3 6
(1)(2)
x1
2x2 3x2
矩阵的定义
定义2.1 由 mn 个实数排成行列的矩形数表, 用圆(或方)括号括起来，即
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
称为m×n型的矩阵，简记为 A (aij )mn. 其中横排称为矩阵的行，竖排称
为矩阵的列. aij称为矩阵的元素，其第一下标表示所在的行数，第二下标 表示其所在的列数. 全体m×n型的矩阵组成的集合，记为Mm×n(Թ).
x3 x3
0 9
9x2 4x3 6
[3(2)(3)]/7
x1
2x2 3x2
x3 x3
0 9
x3 3
1 (3) (1) 1(3)(2)
x1
2x2 3x2
3 6
x3 3
1 3
(2)
23(2)(1)
x1 x2
1 2
x3 3
注：只有系数和常数项参与了运算，而未知量只起了标记位置的作用
设把原方程组(2.1)的第i个方程的k倍加到第j个方程上得到新的方程组，记
为(2.2)，则(2.1)与(2.2)只有第j个方程不同。方程(2.2)的第j个方程为：
kai1 aj1 x1 kai2 aj2 x2 kain ajn xn kbi bj
(2.3)
设(c1,c2,…,cn)是方程组(2.1)的一个解，则由其第i、j个方程有
x1 x2
1 2
x3 3
总结一下，中学所用的消元法解方程组，只是对方程进行 如下变形：
交换两个方程的位置 用一个非零数乘以某个方程 把一个方程的倍数加到另一个方程上
把上述操作简称为：
对换 倍乘 倍加
统称为方程组的初等变换
结论：线性方程组的初等变换不改变方程组的解.
证明：显然，对换和倍乘变换不改变方程组的解。下面考虑倍加的情况。
(2.2)的其余方程与(2.1)一样，故(c1,c2,…,cn)也为方程组(2.2)的一个解.
反之，由倍加变换是可逆的过程，可证明(2.2)的每个解也是(2.1)
的解。具体来说，设(d1,d2,…,dn)为新方程组(2.2)的一个解，则由其第 i、j个方程，有
ai1d1 ai2d2 aindn bi