Gauss消元法

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线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。

现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步：先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1）将某行同乘或同除一个非零实数（2）将某行加入到另一行（3）将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。

第四章第一节 Gauss消元法

选主元的一种简单办法是，第 k 步消元时，在 A( k ) 的第 k列 (k ) 元素 aik (i k ) 中选取绝对值最大者作为主元，并将其对换到 k , k 位置上，然后再进行消元计算，这样选取的主元叫列主元。
另一种选主元的办法是选所谓全主元，也就是在第 k 步消 ( 元时，从 A( k ) 的右下方 n k 1 阶矩阵的所有元素 aijk ) (i, j k ) 中，选取绝对值最大者作为主元，并将其对换到 (k , k ) 位置上，再做消元计算。
主对角元以下的元素全化为0，得
1 1 a11 a12 a11 b11 n 2 2 2 a22 a2 n bn a 2 a 2 b 2 n2 nm n

A , b
左乘 ( A(2) , b(2) ), 即
M (2) ( A(2) , b(2) ) A(3) , b(3)
就是说，每消元一步相当于对方程组的增广矩阵左乘以相应的矩阵 M ( k ) , 此处
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 mn , k 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
第一节 Gauss 消元法
一、引言二、Gauss 消元法的基本思想
三、
主元消元法
四、 Gauss 消元法的矩阵形式五、小结
一、引言
在自然科学和工程技术问题中，涉及到许多数值计算问题，最终都要归结为解线性代数方程组 AX b 。其中 A Rnn , b Rn , A 是可逆的。本章和下一章分别讨论解方程组的直接方法和迭代方法。所谓直接方法就是通过有限次的精确运算能得到真解的一类数值方法。从本质上讲，直接方法的原理是找到一个可逆矩阵 M ，使得 MA 是一个上三角阵，这个过程称为“消元”过程。消元之后再进行 MAX “回代”，即求解 Mb 。实际计算过程中，不必明显 M MA 地计算出矩阵 ,而只须把 Mb和计算出来。这类直接 Gauss Gauss 方法中最基本和最简单的就是消元法，本章首先讨论消元法和矩阵分解法，以及 Gauss 消元法在各种情况下的变形，并分析其误差。

gauss消元法和doolittle乘法运算次数

《深入探讨高斯消元法和Doolittle分解的乘法运算次数》在数学和计算机科学领域，高斯消元法和Doolittle分解是两种常见的线性代数运算方法。

它们被广泛用于解决线性方程组和矩阵求逆等问题。

本文将从深度和广度的角度对这两种方法进行全面评估，并进一步探讨它们的乘法运算次数的比较。

1. 高斯消元法简介高斯消元法是一种用于解决线性方程组的方法，通过矩阵变换将其转化为上三角矩阵，从而求解方程组。

其基本思想是通过一系列的行变换，将系数矩阵变换为上三角矩阵，再通过回代求解出未知数的值。

在实际应用中，高斯消元法通常需要进行大量的乘法和加法运算，其乘法运算次数随矩阵的大小而增加。

2. Doolittle分解简介Doolittle分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，这种分解方法可以简化矩阵的求逆和解线性方程组的计算。

与高斯消元法相比，Doolittle分解在某些情况下可以更加高效地解决线性方程组的问题，尤其是对于大型矩阵的计算。

其乘法运算次数与矩阵的大小和稀疏程度密切相关。

3. 乘法运算次数比较在实际应用中，我们常常需要比较高斯消元法和Doolittle分解的乘法运算次数，以确定哪种方法更适合特定的问题。

根据理论分析和实际测试，我们可以得出以下结论：- 对于小型矩阵，通常情况下高斯消元法的乘法运算次数略少于Doolittle分解。

- 对于大型矩阵，Doolittle分解的乘法运算次数通常比高斯消元法少很多，尤其是在矩阵稀疏的情况下。

- 对于需要多次求解的问题，Doolittle分解可以通过分解一次，多次使用的方式，进一步减少总体的乘法运算次数。

4. 个人观点和理解从个人观点来看，高斯消元法和Doolittle分解都是非常重要的线性代数运算方法，它们各有优劣。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题特点来选择合适的方法。

对于小型矩阵或需一次性解决问题的情况，高斯消元法可能更加便捷；而对于大型矩阵或需要多次使用的情况，Doolittle分解可能更具优势。

C++ 数学与算法系列之高斯消元法求解线性方程组

C++ 数学与算法系列之高斯消元法求解线性方程组1. 前言什么是消元法？消元法是指将多个方程式组成的方程组中的若干个变量通过有限次地变换，消去方程式中的变量，通过简化方程式，从而获取结果的一种解题方法。

消元法主要有代入消元法、加减消元法、整体消元法、换元消元法、构造消元法、因式分解消元法、常数消元法、利用比例性质消元法等。

对方程式消元时，是基于如下的初等行变换规则：•改变方程组中方程式的顺序，或者说无论先求解方程组中哪一个方程式，不影响方程组的解。

•对一个方程式中的所有系数乘以或除以某一个非零数，不影响方程组的解。

•方程式之间可以倍乘后相加或相减，不影响解。

其中最常用的为代入消元法和加减消元法，简要介绍一下。

代入消元法如求解2x+3y=10和x+y=4; 2个方程式中的x ,y变量时。

可以把第2个方程式变换成x=4-y。

然后代入到第1个方程中，2(4-y)+3y=10。

可求解出y=2，x=2。

加减消元法还是求解如上的方程组。

可以把第2个方程式乘以2后再去减第1个方程式，或者说让第1个方程式减去第2个方程式乘以2。

2x+3y-2x-2y=10-8。

可以求解y=2。

本文主要和大家聊聊高斯消元法，高斯(Gauss)消元法也称为简单消元法，是求解一般线性方程组的经典算法。

2. 高斯消元法在理解高斯消元化之前，先理解几个基本概念：什么是增广矩阵？增广矩阵是线性代数中的概念，如下线性方程组：使用每个方程式的系数构建的矩阵，称为系数矩阵，表示为：用方程式的系数和结果构建的矩阵称为方程组的增广矩阵。

如下图所示：当方程组中的每一个方程的结果都为0时, 即b1=b2=b3=b4……bm=0，称这样的方程组为齐次线性方程组。

2.1 高斯消元法的思想高斯消元的基本思想：•对于一个有n个变量、有n个方程式的方程组。

•把方程组中除了第1个方程式外的其它方程式中的x1消去，同理，再把除了第2个方程式以下的方程组中其它方程式中的x2消去，依次类推，直到最后1个方程式中只留下xn。

gauss消元法

gauss消元法Gauss消元法（Gaussian elimination）是一个常用的矩阵算法，用于解线性方程组或求逆矩阵。

它的基本思想是将原始的矩阵通过一系列的行变换，化为简化阶梯型矩阵，然后通过回带法求解出线性方程组的结果。

下面我们来详细介绍一下Gauss消元法的具体步骤：步骤一：构造增广矩阵将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵拼接在一起，组成增广矩阵。

例如下面的线性方程组：x + 2y + 3z = 62x + 3y + 6z = 63x + 1y + 3z = 3其增广矩阵为：1 2 3 62 3 6 63 1 3 3步骤二：选取主元将增广矩阵的第一列第一行元素作为主元，下面的过程中称之为a11。

如果a11=0，则需要通过交换不同行来保证a11不为0。

步骤三：将第一列下方元素消为0从第二行开始，计算出一个倍数m，使得a21=m×a11，然后将第二行的元素全部减去m倍的第一行元素。

得到新的增广矩阵为：1 2 3 60 -1 0 -63 1 3 3步骤四：重复步骤二和三将第二列第二行元素作为新的主元a22，然后将第三行乘上一个倍数n，使得a32=n×a22，减去n倍的第二行元素：1 2 3 60 -1 0 -60 -5 -6 -15得到新的增广矩阵。

然后再重复步骤二和三，直到将增广矩阵化为简化阶梯型矩阵：1 2 3 60 -1 0 -60 0 -6 -9步骤五：回带求解从最后一行开始，用回带法求解每个未知数的值。

首先，通过最后一行最后一列的元素，求出z的值：-6z = -9，z = 3/2然后，将z的值代入倒数第二行中，求出y的值：-y = -6z, y = 9最后，将y和z的值代入到第一行中，求出x的值：x + 2y + 3z = 6x + 2(9) + 3(3/2) = 6x = -12因此，线性方程组的解为x=-12，y=9，z=3/2。

到此，我们就讲完了Gauss消元法的具体步骤。

gauss列主元素消去法matlab

高斯列主元素消去法是一种解线性方程组的常用方法，特别在数值分析和线性代数中应用广泛。

在Matlab中，我们可以使用该方法来解决大规模的线性方程组，包括矩阵的求解和矩阵的反转。

一、高斯列主元素消去法的基本原理高斯列主元素消去法是一种基于矩阵消元的方法，它通过一系列的矩阵变换将原始的线性方程组转化为上三角形式，然后再进行回代求解。

这个方法的核心就是通过矩阵的变换来简化原始的线性方程组，使得求解过程更加简单高效。

在Matlab中，我们可以利用矩阵运算和函数来实现高斯列主元素消去法，如`lu`分解函数和`\"`运算符等。

通过这些工具，我们能够快速地求解各种规模的线性方程组并得到准确的结果。

二、高斯列主元素消去法在Matlab中的实现在Matlab中，我们可以通过调用`lu`函数来实现高斯列主元素消去法。

该函数返回一个上三角矩阵U和一个置换矩阵P，使得PA=LU。

通过对U进行回代求解，我们可以得到线性方程组的解。

除了`lu`函数之外，Matlab还提供了一些其他的函数和工具来帮助我们实现高斯列主元素消去法，比如`\"`运算符和`inv`函数等。

通过这些工具的组合使用，我们能够更加灵活地进行线性方程组的求解，并且可以方便地处理特殊情况和边界条件。

三、高斯列主元素消去法的应用与局限性高斯列主元素消去法在实际应用中具有广泛的适用性，特别是对于大规模的线性方程组或者稀疏矩阵的求解。

通过Matlab中的工具和函数，我们可以快速地求解各种规模的线性方程组，并得到高精度的数值解。

然而，高斯列主元素消去法也存在一些局限性，比如对于奇异矩阵或者接近奇异矩阵的情况时，该方法的求解精度可能会下降。

在实际应用中，我们需要结合具体的问题和矩阵特性来选择合适的求解方法，以确保得到准确的结果。

四、个人观点和总结作为一种经典的线性方程组求解方法，高斯列主元素消去法在Matlab 中具有较好的实现和应用效果。

通过对其原理和实现细节的深入理解，我们能够更加灵活地应用该方法，并且能够更好地理解其适用性和局限性。

3-1 高斯消元法

3. 相容、不相容相容、
方程组有解称为相容；方程组有解称为相容；相容方程组无解称为不相容方程组无解称为不相容. 不相容
Henan Agricultural University
二、高斯消元法
1. 线性方程组的消元解法与其增广矩阵的行变换是等价的 2. 研究线性方程组增广矩阵的行变换，得到方程组研究线性方程组增广矩阵的行变换，的相容性理论＞＞＞
Henan Agricultural University
x1−2x2 +3x3 −x4 =1 例1 求解非齐次线性方程组 3x1 −x2 +5x3 −3x4 = 2 . 2x1 + x2 +2x3−2x4 =3 解对增广矩阵B施行初等行变换, 得
1 −2 3 −1 1 r2 −3r1 1 −2 3 −1 1 B=3 −1 5 −3 2 ~ 0 5 −4 0 −1 2 1 2 −2 3 r3 −2r1 0 5 −4 0 1
−2 3 −1 1 ~ 0 5 −4 0 −1. 0 0 0 0 2 可见R(A)=2, R(B)=3, 故方程组无解.
r3 −r2 1
Henan Agricultural University
x1 +x2 −3x3 −x4 =1 例2 求解非齐次线性方程组 3x1 −x2 −3x3+4x4 =4 . x1 +5x2 −9x3 −8x4 =0 解因为
解 (3)当λ=−3时, R(A)=R(B)=2, 方程组有无限多个解. 这时,
−2 1 1 0 1 0 −1 −1 B = 1 −2 1 3 ~0 1 −1 −2 , 1 1 −2 −3 0 0 0 0

Gauss消元法解解线性方程组

摘要本文叙述了Gauss 顺序消元法解线性方程的算法思想以及其求解过程，同时简要叙述了Gauss 主元素消元法以及Gauss 全主元消元法。

紧接着给出了Gauss Seidel -迭代法的算法思想，本文给出了这三个消元方法以及一个迭代法的算法流程图，由于全主元消元法是前两个算法的基础上改进而来，故本文采用第三种方法进行编程计算，前两种方法不再重复编程，然后给出一个实例的计算结果，运行时间，在文章最后分析该实例的计算结果，针对同一实例，又采用Gauss Seidel -方法编程实现，然后对结果进行分析和对比。

最后给出了本人在编程时遇到的一些问题和解决办法。

关键词：Gauss 顺序消元法 Gauss 主元素消元法 Gauss 全主元消元法一、算法的简要描述1.1Gauss 顺序消元法Gauss 消元法在中学里已经学习过，其方法实质，就是运用初等变换，将线性方程组Ax b =转化为同解的上三角矩阵方程组1Ux L b -=（1.1.1）其中，U 为上三角矩阵，L 为下三角矩阵。

然后对式（1.1.1）进行回代求解，即得方程组的解。

手算的过程是非常清楚的，现在需回答的是计算机求解，如何实现上述计算过程。

设线性方程组为1111221331121122223322112233n n n n n n n nn n na x a x a x a xb a x a x a x a x b a x a x a x a x b +++⋅⋅⋅+=⎧⎪+++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪+++⋅⋅⋅+=⎩ 写成矩阵形式为1112111212222221222m m m n n a a a x b aa a xb a a a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1.1.2）设线性方程组如上式所示，记(1)A A =，(1)b b =，与是增广矩阵具有形式(1)(1)[][]A b A b =，此时方程组为(1)(1)A x b =。

gauss消元法解方程组

gauss消元法解方程组
Gauss消元法是求解线性代数方程组最常用的一种方法，通过消元法可以将方
程组转化为一个标准的形式，从而求得它的唯一解。

在互联网领域，Gauss式消元
法被广泛的用于求解各种复杂问题，例如：最小二乘曲线拟合、求解爬虫搜索结果、训练深度学习算法等。

Gauss消元法的思想极为简单，它的运算步骤常常可以被简化为三个步骤：一
是找到此方程组所具有的最高次项，二是把此次方程组化为阶梯状，三是以此元素开始，以发酵行消元法求出需要求解的方程式的解。

运算过程中，Gauss消元法每一步都是以一个元素对其余元素的简化为基础的，而不是整体的检查；同时，这一过程可以在最少的元素简化过程中达到最快的求解速度，具备很好的可扩展性和泛化能力。

同时，在运算过程中，也可以有效的避免精度损失，使得最终计算出的结果具备较高可靠性。

Gauss消元法在互联网领域的应用覆盖了多个领域，因为它具备快速求解、精
度可靠之外，其本身也结构简单，不需要大量的运算量，且计算结果中的溢出几率极低，从而使得PHP、Python、Kotlin、Go等多语言的脚本程序都能很好的使用到此消元法中。

总之，Gauss消元法可以在互联网领域起到不可替代的作用，从而为技术的发
展和计算性能的提升做出重要的贡献。

gaussjordan消元法

高斯-约当消元法（Gauss-Jordan elimination）是线性代数中的一种用于解线性方程组的方法。

它是高斯消元法（Gauss elimination）和约当消元法（Jordan elimination）的结合，通过进行一系列行变换将矩阵化为阶梯形或行最简形，从而求得线性方程组的解。

1. 高斯-约当消元法的基本思想高斯-约当消元法的基本思想是通过一系列行变换将系数矩阵变换为阶梯形或行最简形，从而求出线性方程组的解。

这些行变换包括交换方程的次序、用一个非零常数乘以一个方程、用一个非零常数乘以一个方程加到另一个方程。

2. 高斯-约当消元法的具体步骤高斯-约当消元法的具体步骤可以分为以下几步：（1）将线性方程组的系数矩阵和增广矩阵写出来；（2）通过行变换将系数矩阵化为阶梯形或行最简形；（3）通过回代求解得到线性方程组的解。

3. 高斯-约当消元法的优点与高斯消元法相比，高斯-约当消元法的优点在于它不仅可以解决系数矩阵为方阵的情况，还可以解决系数矩阵不为方阵的情况。

高斯-约当消元法适用范围更广。

另外，高斯-约当消元法在计算机求解线性方程组时也具有较高的效率，因此在实际应用中被广泛采用。

4. 高斯-约当消元法的应用高斯-约当消元法广泛应用于工程、物理学、计算机科学等领域。

在工程领域，高斯-约当消元法常用于解决结构分析、电路分析、传热传质问题等方面。

在物理学领域，高斯-约当消元法常用于解决运动学、动力学、静电学、磁场学等问题。

在计算机科学领域，高斯-约当消元法常用于解决图形学、计算机图形学、模式识别、人工智能等问题。

5. 总结高斯-约当消元法是一种高效、准确的线性方程组求解方法，它的基本思想是通过一系列行变换将系数矩阵化为阶梯形或行最简形，从而求得线性方程组的解。

在实际应用中，高斯-约当消元法被广泛应用于工程、物理学、计算机科学等领域，并展现出了较高的效率和准确性。

值得指出的是，高斯-约当消元法具有较强的通用性，并不仅限于方阵的情况，因此在实际应用中更加灵活和实用。

数值分析(08)Gauss消元法解线性方程组

end X=backsub(A, b);
%回代求解
消元法是解线性方程组的基本方法，具有计算简单的优点，但有时由于主元过小，使得计算结果严重失真,实际中常采用选主元高斯消元法。
§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies
选主元消去法 /* Pivoting Strategies */
参数表
MATLAB For Gaussian Elimination
function X=gauss(A,b) %Input—A is an n×n nonsingullar maOutput—X is the solution to the system AX=b
进行到底，得到唯一解。
注：事实上，只要 A A ) ... ... A1 存在，则可通过逐非奇异，即 ... de t( i 次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出 a i 1 ... a ii 唯一解。
a11
... a1i
求解的全过程包括两个步骤：消元和回代
1 . 顺序消元
k 1, , n 1 i k 1, , n （1）mik aik ( k ) / akk ( k ) （2）aij ( k 1) aij ( k ) mik akj ( k )，j k 1, , n （3）bi ( k 1) bi ( k ) mik bk ( k )
常见是m n，称为欠定方程组（方程数少于未知数）此时，从Ax b的无穷多个解中需求出2 范数最小的解。即求 x , 使 || x ||2 min || x ||2 ，x满足Ax b。
r ( A) r ( A)方程组Ax b无解（即不相容）。常见是m n，称为超定方程组（又称矛盾方程组）此时，向量b不在A的列空间R( A)之中，原方程组无解，但可求出最小二乘意义下的解 x。即求 x使 || b Ax ||2 min 2

4.2 高斯(Gauss)消元法

18
§4.2 高斯(Gauss)消元法第三、线性方程组求解结果的一般性讨论四 3. 第三种情况若 d r 1= 0 且 r < n，方程组具有形式章线性方程组
c11 x1 c12 x 2 c1r x r c1n x n d 1 c22 x 2 c2 r x r c2 n x n d 2 crr x r crn x n d r
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形,
(2) 通过回代求出相应的解。
2. 高斯-若当消元法
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形, (2) 再进一步化为行标准形， (3) 直接写出相应的解。
7
§4.2 高斯(Gauss)消元法第四章线性方程组
2 x1 2 x 2 3 x 3 1 2 例求解线性方程组 x1 x 2 x 2 x x斯(Gauss)消元法第三、线性方程组求解结果的一般性讨论四 1. 第一种情况若 d r 1 0 , 方程组中出现矛盾方程章线性方程组
c11 x1 c12 x 2 c1r x r c1n x n d 1 c22 x 2 c2 r x r c2 n x n d 2 crr x r crn x n d r 0 d r 1 0 0 0 0
①② ③ 0.5
x1 x2 2 x3 1 ① 2 x1 x2 x3 2 ② x1 4 x2 3 x3 3 ③ x1 x2 2 x3 1 3 x2 3 x3 0 2 x3 2
③①
“回代”求解得：

第1节 gauss消元法

若系数矩阵A非奇异，即 det (A)≠0 ,则方程组有惟一解 x =( x1, x2, …, xn )T . 根据 Gramer（克莱姆）法则，求解方程组（5.1）时，要计算大量的行列式，所需乘法次数大约为
N=(n2-1)n!
当 n 较大时,这个计算量是惊人的。例如，当 n= 20 时，约需乘法次数为 N=9.7×1020 如果用每秒一亿次的计算机来计算，需要三十万年时间。可见Gramer法则不是一种实用的方法。因此，必须构造出适合于计算机使用的线性方程组的求解方法。
b
( 2) i
b
(1) i
l i 1b
(1) 1
, i 2,3, , n
第二步，设 a22(2)≠ 0 ，将第二列a22(2)以下各元素消成零，
即依次用
li 2
2 a i(2 ) ( 2) a 22
（i＝3，4，…，n）
乘以矩阵[A（2），b（2）]的第二行再加到第i行，得到矩阵
这是与原线性方程组（5.1）等价的方程组.
(1 (1 ( ( a11) x1 a12) x 2 a11) x n b11) n (2 ( ( a 22) x 2 a 22 ) x n b22 ) n 对于等价方程组 ( n 1 ) ( n 1 ) ( n 1 ) a n 1n 1 x n 1 a n 1n x n bn 1 (n ( a nn) x n bnn )
(1 a12) (1 a 22) (1 a 32)
(1 a13) (1 a 23) (1 a 33)
( a11) n ( a 21) n ( a 31) n

( a n1) 2

( a n1) 3

高斯消元法

a
j 1
n
ij
x j bi
(i = 1,2,· · · ,n)
AX = b
A =(aij)n为非奇异矩阵
高斯消去法
高斯消去法（顺序消去法）是一个古老的求解线性方程组的直接方法，其计算过程分为消元和回代二个步骤。第一步: 将方程组消元化为三角形方程组; 第二步: 解三角形方程组,得原方程组的解。
(1) (1) (1) (1) a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 ( 2) ( 2) ( 2) a x a x b 22 2 2n n 2 ( n) (n) a x b nn n n
(a(1)11 · · · a(n)nn≠0)
则该误差将扩大mik倍到第i行）
例3.1 用高斯消去法解方程组
2 x1 3 x 2 4 x 3 6 3 x1 5 x 2 2 x 3 5 4 x 3 x 30x 32 2 3 1
2 A 3 4 2 3 0 0.5 0 0 6 5 2 5 3 30 32 4 6 4 4 2 4 3 4
( 1) 22
( 2) ( 2) m a a (i 3,, n) 0，记 i 2 i 2 22
b1(1) ( 2) b2 ( 3) b3 ( 3) bn
简记为A(3)X = b(3)，其中
( 3) ( 2) ( 2) ( 3) ( 2) ( 2) aij aij mi 2a2 ， b b m b (i 3,, n) j i i i 2 2
3) 重复上述步骤，经n－1次消元后，则得等价方程组
(1) a11 0 A (1) (1) a12 a1 n ( 2) ( 2) a 22 a2 n

21高斯消元法

令 c aik / akk （“适当倍数”）
对j= k+1~n+1（列）令 aij aij cakj
回代过程是解同解的上三角形方程组
a11x1 a12x2
a22 x2
a1,n1 xn1 a1n xn
a2,n1xn1 a2 ,n xn
a x n1,n1 n1 an1,n xn ann xn
素，……，第n-1步消去an-1，n-1下方元素。即第k 步将第k行的适当倍数加于其后各行，或可说是从k+1~n行减去第k行的适当倍数，使它们的第k 列元素变为零，而其余列元素减去第k行对应列元素的倍数。
因此，如把增广矩阵 A 变换前后都在计算
机上用同一数组A存储，则消去过程可写为：
对k=1~n-1（步）做对i= k+1~n（行）做
求出x2代回第一个方程时，因 10-5x1+2x2=1， 10-5x1’+2x2’=1 两式相减得10-5(x1－ x1’)+2(x2－ x2’)=0，可见 | x1－ x1’ |=200 000| x2－ x2’|
~x 表明 x1的误差被放大200 000倍， x1’自然失真。2
列主元消去法
为了避免出现小主元，在每次消元前进行选主元。即每次消元前先选取所要消元的列中绝对值最大的元素作为主元，然后再消元。
通常情况下稳定性彼此相差不大，所以一般情况都只用列主元消去法。
复习题
1、何谓高斯消去法？它与一般消去法有何不同？怎样计算行列式？
2、计算机上为什么不用克莱姆法与约当消去法？
3、何谓主元消去法？有何优点？
具体为：
中选~x在主2第元k，步即的在第其k列中的找元出素绝a对kk值, a最k大~x1,1的k ,元素, aankpk，

第四章高斯消元法与选主元

(k )
其中 a ij 和 bi 的上标 k 表示第 k 次消元后的系数，计算公式为 : 对 k = 1，,3, L , n − 1 2 ⎧ m ik = − a ik ( k −1) / a kk ( k −1) ⎪ (k ) ( k −1) ( k −1) + m ik a kj ⎨ a ij = a ij ⎪b ( k ) = b ( k −1) + m b ( k −1) i ik k ⎩ i i , j = k + 1, k + 2 ,..., n
(1) ( 2)
aij
( 2)
= aij + mi 2a2 j , bi
(1)
= bi + mi 2b2
(1)
(1)
i, j = 3,4,...,n
( k −1 ) ≠ 0 ,取 m ik 第k步: 设 a kk 个方程组的xk,i=k+1,k+2,…,n)
( a ikk − 1 ) = − ( k −1 ) a kk
i, j = k +1, k + 2,...,n
继续下去到第n-1步消元,可将线性方程组化为如下上三角方程组: ⎫
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ (1) (1) (1) a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 ⎪ ⎬ L ⎪ ( n −1) ( n −1) ⎪ a nn x n = bn ⎭
高斯消元法与选主元
高斯消元法是一种古老的直接法,由它改进得到的选主元消元法,是目前计算机上常用于求解低阶稠密矩阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题

§7.3 Gauss主元素消去法

x2 1 , x1 1
1 1 2 0 1 1

109 9 10
9 9 1 10 10 例： 2 1 1
1 0
109 109
注意：这两个方程组在数学上严格等价。
x2 1 , x1 0

© 2009, Henan Polytechnic University §3 Gauss主元素消去法
1 2 1
1 2 0 1 1 1
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Gauss主元素消去法
1515
第七章解线性方程组的直接方法
1 0 0 . 8 0. 4 1 0 .5 0 .5 0 .5 0 1 0.6 0.2 0 2.5 1.5 0.5 1.2 0 0 0. 4 0 1 .5 0 .5 1 .5
用顺序Gauss消去法计算：
8个 a 22 1 l 21 1 0.0 ...01 10 9 10 9 10 9
l21 a21 / a11 109
10 9 1
b2 2 l21 1 109
1 1

1 1 1 10 9 9 9 2 0 10 10 小主元可能导致计算失败。 x2 1, x1 0
1919
4 4
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Gauss主元素消去法
第七章解线性方程组的直接方法
7.3.1 列主元消去法
第一步：从第一列中选出绝对值最大的元素作为
主元素：
a11 max ai 1

gauss高斯消元法

高斯消元法（Gaussian elimination）是一种数值方法，用于求解线性方程组。

它的基本思想是通过一系列的列变换将线性方程组化简成上三角形式，然后再通过回代求解方程。

以下是高斯消元法的步骤：
构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵A和常数项矩阵B合并形成增广矩阵[A | B]。

主元选择：选择一个主元素，一般选择当前列中绝对值最大的行作为主元行。

如果主元素为零，则需要进行主元调整。

主元调整：如果主元素为零，可以通过交换当前行和下方非零行的位置，使主元不为零。

如果无法找到非零主元行，则方程组可能有无数解或无解。

消元过程：通过消元操作，将主元下方的元素消为零。

具体操作是将主元下方的每一行乘以一个系数，然后将其加到当前行上，使得当前列下方的元素变为零。

重复步骤2、3和4，直到将矩阵化简为上三角形式。

回代求解：从最后一行开始，将求解值代入上一行的表达式中，依次回代求解出所有未知数的值。

需要注意的是，高斯消元法可能会遇到以下情况：主元为零：如果在选取主元时遇到主元为零的情况，需要进行主元调整，即通过交换行位置将主元不为零。

无解或无穷多解：如果消元过程中遇到无法继续消元的情况，可能是因为方程组无解或有无穷多解。

无解的情况是指出现矛盾的方程式，而无穷多解的情况是指方程组中的某些未知数可以取任意值。

高斯消元法是一种非常常用且有效的求解线性方程组的数值方法，但在实际应用中可能需要考虑矩阵的特殊性、数值精度以及计算速度等问题。