天津42中2020高三模拟考试数学试题(含答案)

高三年级下学期数学模拟考试(一)20200306姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每题5分)1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I2. 设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为 ( )．A ．B ．C ．D ．4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A ．16B．6C ．13D6．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为( ) ABC ．2D7．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则( ) A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+8．将函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()1ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点02P ⎛ ⎝⎭，，则ϕ的值可以是（ ） A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 9．已知符号函数1,0,sgn {0,0,1,0.x x x x >==-< ()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-二、填空题（每题5分) 10．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________. 11．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________. 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．13．设,0,5a b a b >+=, ________．14．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．15．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=u u u r u u u r，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r的值是_______.三、解答题（每题15分)16．设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.17．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由； (II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.18．在等差数列{}n a 中，34584a a a ++=，973a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ii ）当TF PQ最小时，求点T 的坐标.20．已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线.参考答案1．A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A 2．B 【解析】 【分析】只需举出反例说明不充分即可，利用等比数列的性质论证必要性 【详解】当14,1,1,4a b c d ====时，a b c d ,,,不成等比数列，所以不是充分条件； 当a b c d ,,,成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件. 综上所述，“ad bc =”是“a b c d ,,,成等比数列”的必要不充分条件 故选B. 【点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“p q ⇒”以及“q p ⇒”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题. 3．D 【解析】由于函数y =x cos x +sin x 为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B ， 由当2x π=时，y =1>0，当x =π时，y =π×cos π+sin π=−π<0. 由此可排除选项A 和选项C.故正确的选项为D. 故选D. 4．A 【解析】 【分析】观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小. 【详解】对于选项A ，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A 错； 对于选项B ，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B 正确； 对于选项C ，D ，由图可知显然正确.故选A. 【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题. 5．B 【解析】试题分析：如图，取AD 中点F ，连接,EF CF ，因为E 是AB 中点，则//EF BD ，CEF ∠或其补角就是异面直线,CE BD 所成的角，设正四面体棱长为1，则2CE CF ==，12EF =，11cos CEF ⨯∠==B ．考点：异面直线所成的角．【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段． 6．D 【解析】 【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率． 【详解】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===． 故选D ． 【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度． 7．B 【解析】 【详解】 分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果． 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==Q0.2211log0.3,0.3log a b∴==0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<又a 0,b 0><Qab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题． 8．B 【解析】 试题分析：依题意，因为()f x 、()g x 的图象都经过点30,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()3sin 2{3sin 2θθϕ=-=，因为22ππθ-<<，所以3πθ=，223k πθϕπ-=+或()2223k k Z πθϕπ-=+∈，即k ϕπ=-或()6k k Z πϕπ=--∈．在()6k k Z πϕπ=--∈中取1k =-，即得56πϕ=，选B ．考点：1.图象的平移；2.由三角函数值求角．【方法点晴】本题主要考查的是三角函数图象的变换，属于中档题题，本题首先根据平移变换得到()()sin 22g x x θϕ=+-，再由函数均经过P ⎛ ⎝⎭，将0x =代入两个函数可得()sin 2{sin 2θθϕ=-=，由22ππθ-<<，得3πθ=和223k πθϕπ-=+或()2223k k Z πθϕπ-=+∈，解出k ϕπ=-或()6k k Z πϕπ=--∈，再取k 值即可．本题一定注意角的范围，否则容易出错． 9．B 【解析】试题分析：本题是选择题，可以用特殊法，符号函数1,0sgn {0,01,0x x x x >==-<，()f x 是R 上的增函数，()()()()1g x f x f ax a =->，不妨令(),2f x x a ==，则()()()g x f x f ax x =-=-，()sgn sgn g x x ⎡⎤=-⎣⎦，所以A 不正确，B 正确，()sgn sgn f x x ⎡⎤=⎣⎦，C 不正确，D 正确；对于D ，令()1,2f x x a =+=，则()()()g x f x f ax x =-=-()()1,1sgn sgn 1{0,11,1x f x x x x >-⎡⎤=+==-⎣⎦-<-()()()()1,01,1sgn sgn {0,0,sgn sgn 1{0,11,01,1x x g x x x f x x x x x >->-⎡⎤⎡⎤=-==-=-+==-⎣⎦⎣⎦-<<-，所以D 不正确；故选B ．考点：函数与方程的综合应用【思路点睛】符号函数或者说函数的新定义问题是高考中一类常考题目，此类题目一般难度不是很大，但想做出来也是很复杂的．所以做此类题目一定要弄清楚新定义函数的意思，然后根据函数的意义及性质，逐步进行解题．此题中新定义的函数sgn ，是分段函数的形式，且给了我们另一个函数()g x 以及与()f x 的关系，利用函数的性质代入即可得到所求答案． 10．2【解析】 【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题. 11．4 【解析】 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1rn =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ． ∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．43【解析】 【详解】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d =≤即3k 2≤4k ，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.13．【解析】 【详解】由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：a b +≤0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），≤==13a b+=+,即73,22a b==时，“=”成立）故填：.考点：基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式222ab a b≤+转化为a b+a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.14．0.2【解析】赌金的分布列为所以11(12345)35Eξ=++++=奖金的分布列为所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 12ξξE -E =0.2考点：数学期望 15．78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）（），因此22513,82FD BC ==u u u r u u u r ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．16．（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆ 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫=⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A = 由题意知A为锐角，所以cos A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13 .【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，所以. 在Rt △PAH 中，2， 所以sin ∠APH=AH PH =13.方法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ⋂AD=A ， 所以CD ⊥平面PAD. 于是CD ⊥PD.从而∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以∠PDA=45°. 由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD. 设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD u u u r ,AP u u u r的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以PE u u u r =（1,0,-2），EC uuu r =（1,1,0），AP u u u r=（0,0,2） 设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,n PE n EC ⋅=⋅=u u u u u u u u ru u u r 得20,{0,x z x y -=+=设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sinα=||n AP n AP ⋅⋅u u u u ru u u r13=. 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.考点：线线平行、线面平行、向量法.18．：（Ⅰ）*98,;n a n n N =-∈（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质，将两已知式联立可以先求出等差数列{}n a 的首项1a 与公差d ，进而可求出通项公式n a ；（2）首先根据要求列出关于,n m 的不等式，再根据,m n 都是正整数，即可判断出落入()29,9m m内的项数m b，从而求出数列{}m b 的通项公式，再利用分组求和法即可求出其前m 项的和m S ．试题解析：（1）因为{}n a 是一个等差数列，34584a a a ++=，所以3454384a a a a ++==，即428a =，设数列{}n a 的公差为d ，则945732845d a a =-=-=，故9d =． 由413a a d =+，得12839a =+⨯，即11a =．所以*1(1)19(1)98,n a a n d n n n N =+-=+-=-∈，（2）对*m N ∈，若299m m n a <<，则298998m m n +<<+，因此121889999m m n --+≤≤+，故得21199m m m b --=-，于是321112(999)(199)m m m m S b b b --=+++=+++-+++L L L219(181)1(19)910911811980m m m m +⨯-⨯--⨯+=-=--． 考点：1、等差数列；2、等差数列通项公式及前n 项和公式；3、等比数列前n 项和公式；4、分组求和法．19．(1)22162x y +=；（2）证明见解析，(3,0)T - 【解析】 【分析】（1）由题意2c =，又222,a a b c ==+，由此可求出,a b 的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为2236x y +=.设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：()223420my my +--=.（ⅰ）设PQ 的中点为()00,M x y ，求出,OM OT k k ，只要OM OT k k =，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用m 表示出PQ ，TF可得：2|TF PQ =3⎫≥=.再根据取等号的条件，可得T 的坐标. 【详解】（1）2c =，又22222,6,162x y a b a =⇒==∴+=.（2）椭圆方程化为2236x y +=.（ⅰ）设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：()223420m y my +--=. 设PQ 的中点为()00,M x y ，则002226,33m y x m m ==-++ 又TF 的方程为()02y m x -=-+，则3x =-得y m =， 所以003OM OT y mk k x ==-=，即OT 过PQ 的中点，即OT 平分线段PQ.（ⅱ）)2213m PQ m +==+，又TF =，所以2212|m TF PQ ++⎫===≥=当1m =±时取等号，此时T 的坐标为()3,1T -±. 【点睛】本题考查了椭圆的方程的求解，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了最值问题的求解方法，属于中档题.20．（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 求导，结合定义域，判断函数的单调性；（2）先求出曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l ，然后求出当曲线xy e =切线的斜率与l斜率相等时，证明曲线xy e =切线'l 在纵轴上的截距与l 在纵轴的截距相等即可. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点 综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点； （2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x '=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -. 设曲线xy e =的切点为11(,)xB x e ，过切点为11(,)xB x e 切线'l ，x x y e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x x y e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-， 切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x x b e x ex x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.。