第三章时域分析法 小结
第3章 时域分析法
第3章 线性系统的时域分析法所谓时域分析法，就是对系统外施一个给定输入信号，通过研究控制系统的时间响应来评价系统的性能。
由于系统的输出量取的是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
3.1 时域响应及典型输入信号首先我们给出瞬态响应和稳态响应的定义。
瞬态响应——系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应，瞬态响应过程也称为过渡过程。
稳态响应——当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态称为稳态响应，稳态也称为静态。
在分析瞬态响应时，我们往往选择典型输入信号。
所谓典型输入信号，是指很接近实际控制系统，经常遇到的输入信号，并在数学描述上经过理想化处理后，用简单的函数形式表达出来的信号。
选择某些典型函数作为系统输入信号，不仅使问题的数学处理系统化，而且典型输入信号的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础。
常见的典型输入信号如下。
1、 阶跃信号这是指输入变量有一个突然的定量变化，例如输入量的突然加入或突然停止等等，如图3-1所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t a t r （3-1）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位阶跃信号。
2、 斜坡信号这是指输入变量是等速度变化的，如图3-2所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t at t r （3-2）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位斜坡信号。
图3-1 阶跃信号 图3-2 斜坡信号3、 脉冲信号脉冲信号的数学表达式可表示为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=→000/0,00,lim )(0t t t t t t a t r t （3-3）其中，a 为常数，因此当00t t <<时，该信号值为无穷大。
脉冲信号可以表示为如图3-3所示，其脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面积为a ，因此，通常脉冲强度是以其面积a 衡量的。
第三章时域分析方法
(3-8)
一阶系统单位阶跃响应是单调上升的指数曲线 由式（3-8）求出 ：
y(0) y( t ) t 0 0
y( ) y( t ) t 1
y( t ) 1 e
y(t)
t /T
(3-8)
1
B 0.632 A 86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
斜率 =1/T
1 • 2. dy( t ) — 一阶系统如能保持初始
T
t
1 0.632
dt T e 反应速度不变， 则当t＝T时
，输出将达到其稳态值。 • 3. 过程y(t)的变化速率，随着时
T
A 86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
T 2T 3T 4T 5T
t 0,
实际上，一阶系统过渡
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
G ( s)
Y ( s) R( s )
K Ts 1
(3-6)
单位斜坡函数r(t)=t 的拉氏变换为：
R( s )
把上式代入式(3-6)，
2e
2、 对上式求拉氏变换，可得系统的闭环传递函数：
G (s )
1 s1
2 s2
3s 4 s 3s 2
2
G0 1 G0
可求出系统的开环传递函数： G 3 s 4 0 2
s 2
习题2-6 系统微分方程组如下, 试建立对应信号 流图, 并求传递函数。 解：将原方程组取拉氏变换：
t0 0t t
3第三章 时域分析法
t
0 1T 2T 3T 4T 5T
这也是在单位阶跃响应曲线上确定一阶系统时间常数
的方法之一。
第三章 时域分析法
一阶系统单位脉冲响应
r (t ) (t )
t 1 T g ( t ) c( t ) e T
一阶系统的单位脉冲响应曲线是一条单调衰减的 指数曲线。
单位脉冲 函数响应
积分
单位阶跃 函数响应
积分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
微分
微分
第三章 时域分析法
3.5 二阶系统的暂态响应
用二阶微分方程描述的控制系统称为二阶系统。 它是控制系统常见的组成形式，许多高阶系统在一定的条 件下常近似地用二阶系统来表征。
1、结构图
R(s )
E (s )
拉氏变换：
0
t
L[ ( t )] 1
第三章 时域分析法
理想的脉冲函数在现实中是不存在的，它
只有数学上的意义。
在实际中，如果系统的脉动输入量值很大， 而持续时间与系统的时间常数相比非常小时，可 以用脉冲函数去近似表示这种脉动输入。如脉冲 电压信号、冲击力、阵风等。 当描述脉冲输入时，脉冲的面积或者大小是 非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。
0
T
t
第三章 时域分析法
一阶系统单位加速度响应
r (t ) 1 2 t 2
t 1 2 c( t ) t Tt T 2 (1 e T ) 2
一阶系统在加速度函数输入作用下，其误差随时 间推移而增长，直到无限大。
第三章 时域分析法
闭环极点（特征根）：-1/T
r (t ) (t )
第三章时域分析法
自动控制原理
第三章 时域分析法
3.1 典型输入信号及性能指标
一个系统的时间响应，不仅取决于系统本 身的结构与参数，而且还同系统的初始状 态以及加在系统上的外作用信号有关。
为了分析和比较控制系统的优劣，通常 对初始状态和外作用信号做一些典型化 处理。
初始状态：零状态 外作用：
自动控制原理
第三章 时域分析法
练习：
根据定义，求一阶系统的动态性能指标：
td= ? tr= ?
自动控制原理
第三章 时域分析法
3.3 二阶系统分析 由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。
一、二阶系统的数学模型
位置随动系统原理图
自动控制原理
第三章 时域分析法
前向通道的传递函数
G(s)
Kp KACm / i
s Las Ra Js f Cm Kb
自动控制原理
第三章 时域分析法
第三章 时域分析法
控制系统的数学模型，是分析、研究、 设计控制系统的基础。一旦建立起合理的、 便于分析的控制系统数学模型，就可以运 用适当的方法对系统的控制性能进行全面 的分析和计算。对于线性定常系统，常用 的工程方法有时域分析法、根轨迹法和频 率法。后两种方法都是以时域分析法为基 础，并且应用了时域分析法中的许多结论。
自动控制原理
第三章 时域分析法
①没有超调
量；
初
②调节时间
ts=3T(5%) ts=4T(2%)
③没有稳态 误差，即
一阶系统的阶跃响应
ess 1 h() 1 1 0
自动控制原理
第三章 时域分析法
例 一阶系统如图 R(s)
100
C(s)
所示,试求系统单 位阶跃响应的调
自动控制原理-第3章-时域分析法
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
第三章 时域分析法
第三章 时域分析法时域分析就是根据控制系统的时间响应来分析系统的稳定性，暂态性能和稳态精度。
具有直观和准确的优点，尤其适用于低阶系统。
对控制系统的总要求是稳、准、快。
本章从系统的稳定性、稳态误差和暂态性能方面进行讨论。
§3-1 时域分析基础一、时域分析法的特点直接解出系统微分方程的时间响应（时域解），根据时间响应的解析式及其曲线图来分析系统的控制性能（稳定性、准确性、快速性等），并找出系统结构、参数与控制性能之间的关系。
时域分析法准确，保有系统响应的全部信息。
二、典型初始状态，典型外作用（典型输入信号）记时间响应为)(t c 。
1. 典型初始状态所谓典型初始状态，即规定控制系统的初始状态均为零状态。
也即当-=0t 时，有0)0()0()0(====--- c cc 。
2. 典型外作用①单位脉冲作用)(t δ：⎩⎨⎧≠=∞=0 ,00,)(t t t δ，⎰+-=001)(dt t δ其拉氏变换式为1)]([=t L δ②单位阶跃作用)(1t ：⎩⎨⎧≥<=0 ,10,0)(1t t t其拉氏变换式为st L 1)](1[=③单位斜坡作用)(1t t ⋅：（等速度函数）⎩⎨⎧≥<=⋅0 ,0,0)(1t t t t t其拉氏变换式为21)](1[s t t L =⋅ ④单位抛物作用)(1212t t ⋅：（等加速度函数）⎪⎩⎪⎨⎧≥<=⋅0 ,210 ,0)(12122t t t t t其拉氏变换式为321)](121[st t L =⋅ 上述各函数间的关系：⑤正弦作用)(1sin t t A ⋅ω：⎩⎨⎧≥<=⋅0 ,sin 0 ,0)(1sin t t A t t t A ωω其拉氏变换式为22)](1sin [ωωω+=⋅s A t t A L系统对不同频率的正弦函数的稳态响应称频率响应。
三、典型时间响应初始状态为零的系统，在典型外作用下的输出，称为典型时间响应。
时域分析方法总结
时域分析方法总结引言时域分析是信号处理领域中常用的一种方法，它的核心思想是对信号在时间上进行观察和分析，从而获取有关信号的时序特征和动态行为。
本文将对时域分析的基本概念和常用方法进行总结和介绍。
时域分析的基本概念时域分析主要依赖于时域信号，即信号在时间轴上的变化。
时域信号是连续的，可以通过采样来离散表示。
常见的时域信号包括周期信号、非周期信号以及随机信号等。
时域分析的目的是通过观察和分析信号在时间上的变化，揭示信号的特征和规律。
常用的时域分析方法1. 时域波形分析时域波形分析是最直观和基本的时域分析方法。
它通过观察信号的波形，分析信号的振幅、频率、周期和相位等特征。
常用的时域波形分析方法包括均方根(RMS) 分析、极值分析和傅里叶级数分析等。
这些方法适用于周期信号和非周期信号的分析。
2. 自相关函数分析自相关函数是用于描述信号与其自身之间的相关性的函数。
自相关函数分析能够揭示信号中的周期性成分和重复模式。
通过计算信号与其延迟后的版本之间的相关性，可以获得自相关函数。
自相关函数分析常用于随机信号的分析和模式识别任务。
3. 相位谱分析相位谱分析是用于分析信号的频率和相位关系的方法。
它通过将信号转换为频域表示，获得信号的频谱信息。
相位谱分析基于信号的频域特性，可以帮助人们理解信号的相位信息、频率成分以及相位偏移等。
常用的相位谱分析方法包括快速傅里叶变换 (FFT) 和功率谱密度分析。
4. 瞬态响应分析瞬态响应分析是用于分析信号对于外部激励的瞬时响应情况。
它通过分析信号在时域上的变化来了解系统的动态行为。
瞬态响应分析常用于分析系统的响应时间、准确性和稳定性等性能指标。
常用的瞬态响应分析方法包括阶跃响应分析和脉冲响应分析。
应用场景时域分析方法在多个领域中都有广泛的应用，包括信号处理、通信、控制系统、生物医学工程等。
时域分析方法可以帮助人们深入了解信号的特性和行为，并根据分析结果进行系统设计、故障诊断、模式识别等工作。
控制工程基础第3章 时域分析法
(3)经过时间3T〜4T，响应曲线已达稳态值的95％ 〜 98％，在工程上可以认为其瞬态响应过程基本 结束，系统进入稳态过程。由此可见，时间常数T 反映了一阶惯性环节的固有特性，其值越小，系 统惯性越小，响应越快。
4 因为 dx t 1
0
Байду номын сангаас
dt
t 0
T
e
1 t T t 0
1 T
1 t T
t 0
3.5
一阶惯性环节在单位速 度信号作用下的输入 i t 与输出x0 t 之间 x 误差et 为 :
1 t et xi t x0 t t t T Te T 1 t T 1 e T 则有 lim et T 这就是说， 一阶惯性环节在单位速 度信号 t
X 01 s X 02 s G s X i1 s X i 2 s
3.2
3．2
一阶系统的时间响应
▲凡是能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它 的典型形式是一阶惯性环节，其传递函数为：
X 0 s 1 G s X i s Ts 1
其中T为时间常数。 3．2．1 一阶惯性环节的单位阶跃响应
▲系统在单位阶跃信号作用下的输出称为单位阶跃响应。 单位阶跃信号Xi(t)=1(t)的拉氏变换为Xi(S)=1/S，则一 阶惯性环节在单位阶跃信号作用下的输出的拉氏变换为:
1 1 1 1 X 0 s G s X i s 1 Ts 1 s s s T X 0 s 1 G s X i s Ts 1
n 2 X 0 (s) 2 s ( s 2 2 n s n ) s n d 1 2 2 2 2 s s n d s n d2 1
第3章时域分析法
A
0
sin(t
)
t0 t0
《自动控制原理》
21
3.2.2 暂态性能指标
利用系统的单位阶跃响应曲 线的特征来定义控制系统 的动态性能指标,直观，含 义清楚。
1
初始条件为零
0 控制系统
单位阶跃输入
单位阶跃响应
《自动控制原理》
22
典型的单位阶跃响应曲线（衰减振荡形式）
响应稳态值
5%的稳态值
《自动控制原理》
《自动控制原理》
29
微分方程： T dc(t) c(t) Kr(t)
dt
r(t)
c(t)
传递函数： (s) C(s) K R(s) Ts 1
R(s)=1/s 一阶系统 C(s)
c(t) L1[C(s)] L1[
K
] KL1[1
1
] K (1 e T )
s(Ts 1)
s s 1
T
设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为
an y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bmu (m) b1u b0u
系统的特征方程为
D(s) an s n an1s n1 a1s a0 0
系统的脉冲响应为
k
r
y(t) Ci eit eit ( Ai cos dit Bi sin dit)
28
3.2.3 一阶系统的暂态性能分析 为什么要研究典型系统的性能分析？
• 现实中存在大量的系统，他们本身就属于典型的一阶或
二阶系统。（温度计系统，单自由度机械振动系统等等）
• 大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化为
典型的系统，以便于系统的分析与设计。
• 在校正系统时，往往把系统设计成一个典型的系统。 • 分析和理解高阶系统的动态响应的基础。
武汉理工大学控制工程第三章时域分析法
结论：系统极点决定了系统瞬态响应的特性。
系统的零点对响应的影响
例2
已知两个系统的传递函数
G1 (s)
4s 2 s 2 3s
2
单位阶跃响应分别为
y1 (t) 1 2et 3e2t
1
2 k
s2
2
k nk
s
2 nk
通过拉氏
反变换，输出
q
r
c(t) A0
Aje pjt
Bk e knkt cos nk
1
2 k
t
j 1
k 1
响应可表示为：
r
Ck e knkt sin nk
1
2 k
t
t0
k 1
1. 闭环主导极点
当某极点（一对共轭极点）离虚轴很 近，其余极点实部之模大于该极点（该对 共轭极点）实部模的5倍以上时，则其他极 点对应的响应持续时间很短，系统输出响 应可以近似地视为该极点（该对共轭极点） 所产生，其余极点对应的响应可以忽略不 计。该极点（该对共轭极点）称为系统的 闭环主导极点。据此，假如闭环主导极点 附近没有闭环零点时，可以消去其他远极 点而实现对系统的降阶。须注意保持系统 稳态增益不变。
T2
-
0.368
1 T2
-0.135
1 T2
输入的响应达到稳态值的 98%所对应的时间为系统 的过渡过程时间，为4T。
一阶系统对单位脉冲
4T
0.018
1 T
-0.018
1 T2
输入的响应达到初始值的 2%所对应的时间为系统
0
0
第三章 时域分析法
第三章时域分析法3-1 引言前一章中已经叙述过，分析控制系统的第一步是建立物理(实际)系统的数学模型。
一旦系统的数学模型建立起来，就可以采用各种不同的分析方法去分析系统的特性。
如对于线性定常系统，常用的工程方法就是时域分析法、根轨迹法和频率法。
本章讨论时域分析法。
控制系统的动态性能，可以通过在输入信号作用下系统的过渡过程来评价。
系统的过渡过程不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。
一般情况下，由于控制系统的外加输入信号具有随机的性质而无法预先知道，而且其瞬时函数关系往往又不能以解析形式来表达。
例如火炮控制系统在其跟踪敌机的过程中，由于敌机可以作任意的机动飞行，以致其飞行规律事先无法确定，因此火炮控制系统的输入为一随机信号。
只有在某些特殊情况下，控制系统的输入信号才是确知的。
因此，在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种控制系统的性能进行比较的基础，这种基础就是预先规定一些具有特殊型式的试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的反应。
在控制工程中，常常采用的典型试验信号有阶跃函数、斜坡(速度)函数和脉冲函数等，如图3-1所示。
因为这些信号都是很简单的时间函数，利用这些试验信号，可以容易地对控制系统进行数学和实验的分析。
分析系统特性究竟采用哪一种或哪几种典型输入信号，取决于系统在正常工作情况下，最常见的输入信号形式。
如果控制系统的输入量是随时间逐渐加强的函数，则用斜坡函数是比较合适的。
同样，如果系统的输入信号是突然加入的作用量，则可采用阶跃函数信号；而当系统的输入信号是冲击输入量时，则采用脉冲函数较为合适。
一旦控制系统在试验信号的基础上设计出来后，那么系统对实际输入信号的响应特性，通常也能够满足要求。
利用这些试验信号，人们就能够在同一基础上去比较不同系统的性能。
在这一章中，将讨论系统在非周期信号(阶跃、斜坡和脉冲函数)作用下的响应，如图3-2所示。
关于用正弦试验信号对系统进行分析的问题，将在第五章中进行研究。
3第三章 时域分析法(12节)
e ssr 0
K v 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。
越大， 越小。所以说 Kv e ss 斜坡输入的能力。 反映了系统跟踪
Kv
第三章 时域分析法
1 当输入为 R ( s ) 2 时（单位斜坡函数） s
型系统，K v lim KG0 ( s ) K ,
s 0
essr
s 0
K K p lim G k ( s ) lim G 0 ( s ) s 0 s 0 s
当 0时，K p lim KG0 ( s ) K , e ssr s 0
1 1 K
K 当 1时， K p lim G0 ( s ) , e ssr 0 s 0 s
第三章 时域分析法
1 当输入为 R ( s ) 时（单位阶跃函数） s sR( s ) 1 1 e ssr lim s 0 1 G ( s ) 1 lim G k ( s ) 1 K p k
s 0
式中：K p lim G k ( s )称为静态位置误差系数；
稳态误差为零的系统称为无差系统，为有限 值的称为有差系统。 在单位阶跃作用下，0型系统( 0 )为有 差系统，Ⅰ型以上的系统( 1 )为无差系统。
有差系统
第三章 时域分析法
1 当输入为 R ( s ) 2 时（单位斜坡函数） s sR( s ) 1 1 e ssr lim s 0 1 G ( s ) lim s G k ( s ) K v k
' e
在s=0的邻域t的邻域
1 '' e sr ( t ) e (0)rs ( t ) (0)rs ' ( t ) e (0)rs ' ' ( t ) 2! C 0 rs ( t ) C1rs ' ( t ) C 2 rs ' ' ( t )
第三章时域分析法 小结ppt课件
这是一个典型的二阶系统，其中，
n2 5 K 2 n 34 .5
1
（1） K=200时，按上式可得：
n 31.6 s 0.546
控制工程基础
第三章 时域分析
根据欠阻尼二阶性能指标公式，计算得出：
t 0 . 12 s 31 . 6 1 0 . 546
第三章 时域分析
例 题
例1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
5 K G (s ) s (s 34 .5 )
试求：K=200时，系统的单位阶跃响应的动态性能 指标。若K增大到K=1500或减小到K=13.5，试分析 动态性能指标的变化情况。
解：系统的闭环传递函数为
控制工程基础
第三章 时域分析
5 K G (s) 5 K s(s34 .5 ) G s) 2 B( K 1G s) 1 5 s 34 .5 s5 K k( s(s34 .5 )
t 0 . 232 s s| 0 . 02
M 52 .7 % p
可见，增大K，使阻尼比ξ减小，无阻尼固有频
率ωn提高，峰值时间tp减小，调整时间不变，而 超调量过大，因此，一般不允许。
控制工程基础
第三章 时域分析
（3） K=13.5时，按上式可得：
n 8.26 s1 2.1
系统误差为
K s (Ts 1)
Y (s)
s ( Ts 1 ) KK s d E ( s ) R ( s ) Y ( s ) R ( s ) s ( Ts 1 ) K
单位斜坡信号时，系统的稳态误差为：
控制工程基础
第三章 时域分析
s ( Ts 1 ) KK s1 1 KK d d e lim sE ( s ) lim s ssr r 2 s 0 s ( Ts 1 ) K s K
第三章时域分析法
第三章 时域分析法
线性定常系统时间响应的性质 ➢ 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。 ➢ 注意到：
(t) d 1(t)
dt
1(t) d t
dt
第三章 时域分析法
对一阶系统：
xo
(t )
1 T
t
eT
t
xo1(t) 1 e T
t
➢ 一阶系统单位速度响应的特点 xo (t) t T Te T , t 0
瞬态响应：T e – t /T ；
稳态响应：t – T；
xo(t) xi(t)
经过足够长的时间(稳态时，
如t 4Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，输出增长速率近似
与输入相同，此时输出为：t
– T，即输出相对于输入滞后
时间T；
0
T e()=T xo(t)=t-T+Te-t/T
t0
其中，d n 1 2
arctg 1 2 arccos
第三章 时域分析法
2
1.8
=0.2
1.6
=0.4
1.4
=0.6
1.2
=0.8
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
tp 5 t
10
15
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
第三章 时域分析法
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 ✓ xo() = 1，无稳态误差； ✓ 瞬态分量为振幅等于 e nt 1 2 的阻尼
二阶系统的特征方程：
s2 2ns n2 0
极点（特征根）： p1,2 n n 2 1 ➢ 过阻尼二阶系统： > 1
具有两个不相等的负实数极点：
第三章 时域分析法
1 h()
0.9 h()
td
0.5 h()
td
0.1 h()
0 tr tp
ts
单位阶跃响应曲线
响延应迟曲时线间第t一d ：次
达到稳态值的一 半所需的时间。
0.02或 0.05上升时间 tr :
响应曲线从稳态值 的 10%上升到 9t 0%，所需的时间。
峰值时间 t p :响应曲
线达到超调量的第一个 峰值所需要的时间。
s2 = -n - n 2 -1 = -1/ T2
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
C(s)
29
二阶系统的传递函数
开环传递函数：
G(s) =
n2
s(s 2n )
闭环传递函数：
C(s) R(s)
=
s2
n2 2ns
n2
30
二阶系统的特征方程为
s2 2ns n2 = 0
解方程求得特征根：
s1,2 = -ns n 2 -1
s1,s2完全取决于 ，n两个参数。
h(tp)于终值之差的 百分比，即
单位阶跃响应曲线
tr 或t p 评价系统的响应速度；
% = h(tp ) - h() 100%
h()
t s 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
% 评价系统的阻尼程度或振荡最大峰值。
17
注意事项：
%, ts及ess三项指标是针对阶跃响应
而言的，对于非阶跃输入，则只有
=
t
- T(1-
-1t
eT
)
=
t
-
T
-1t
Te T
因为
-1t
e(t) = r(t) - c(t) = T (1- e T )
第三章 时域分析法
与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s (2)
1/ Kh 100 / s ( s ) 1 K h 100 / s 1 s / 100K h
1 0.1 , 得 K h 0.3 100K h 3
•
• 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即
• 解题关键：化闭环传递函数为标准形式。
h(t)=1－e-t/T
0
t
⑴讨论：当t=0
t=T
h(0)=0
t→∞ h(∞)=1
h(T)=0.632
t=3T h(3T)=0.95
⑵一阶系统的响应曲线斜率： t=0时 h’(t) t=0=(1－e－t/T)’ t=0=－e－t/T(－1/T) t=0=1/T 当t=T时 h’(t) t=T=0.368/T 当t=∞时 h’(t) t=∞=0 一阶系统的响应曲线斜率初始值为1/T，并随时间下 降，当t＝∞时，动态过程结束，但工程上习惯取t=(35)T，认为过渡过程结束。
3.1.3时间响应的性能指标
在假定系统的初始条件为零，系统在阶跃函数作用下的动态性 能指标有：
(1)上升时间tr有二个定义： a.响应曲线从终值10%到90%所需时间（阶跃响应曲线不超 过稳态值时）； b.响应曲线第一次上升到终值所需时间。 tr越小，说明系统响应速度越快。 (2)峰值时间tp：响应曲线达到第一个峰值所需时间。
3.3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的典型形式 控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。
d 2 c( t ) dc( t ) T 2 T c( t ) r ( t ) 2 dt 1 2dt 2 s C ( s) sC ( s ) C ( s ) R( s ) 2 n n
第三章线性系统的时域分析法
s
1 T2
1
T1s 1T2s 1
1
T1
n
2 1 ,
1 T2
n
2 1
【注】过阻尼二阶系统看作两个时间常数不同的一阶系统 的串联。
当系统的输入信号为单位阶跃函数时 R(s) 1 s
系统输出
c t L1 C s 1
T1
t
e T1
T2
t
e T2
T2 T1
T1 T2
c(t)
n 86.2, 0.2; t p 0.037, ts 0.174, % 52.7%, N 2.34
由此可见,KA越大, ξ越小, 越大n ,tp越小,б%越大, 而调节时间ts无多大变化。
3 KA 13.5
n 8.22, 2.1
系统工作在过阻尼状态,峰值时间,超调量和振荡 次数不存在,而调节时间可将二阶系统近似为大 时间常数T的一阶系统来估计或在响应曲线上求 得。
0.02 10
10KO (s) KOG(S) 0.2s 1 10KO
1 KHG(s) 1 10KH 0.2s 110KH 0.2s 1
0.2
110K 10KO
H
T* 0.02 K* 10
110KH
K H 0.9
KO
10
10KO 1 10K H
0.2 s 1 1 10K H
瞬态响应可以提供关于系统稳定性、响应速度及阻尼情 况等信息。
4. 稳态响应
指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系 统输出量的表现方式。稳态响应又称稳态过程。 稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。
5. 稳定性
若控制系统在初始条件或扰动影响下，其瞬态响应随
着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定；反之， 不稳定。
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（1）当kd=0时系统的稳态误差为
ess = essr + essd
1− Kn = K
控制工程基础
第三章 时域分析
（2）令ess=0，即 解得
1 − KK d − K n ess = =0 K
1− Kn Kd = K
控制工程基础
第三章 时域分析
习 题
3.1 设温度计能在1分钟内指示出响应值的98%，并且 假设温度计为一阶系统，传递函数 G ( s ) = 1 (Ts + 1) ， 求时间常数。如果将此温度计放在澡盆内，澡盆的温 度依100C/min的速度线性变化，求温度计的误差是多 大？ 3.2 某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试 求：
此时，虽然无超调，但过渡过程的时间太长。
控制工程基础
第三章 时域分析
例2 如图所示速度控制系统，输入信号r(t)和扰动 信号n(t)都是单位斜坡函数。为了消除系统在输出 端的稳态误差，使斜坡输入信号通过比例-微分元件 后再进入系统。 （1）试计算Kd=0时，系统的稳态误差。 （2）欲使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零， Kd应为何值？
控制工程基础
第三章 时域分析
本 章 小 结
一、基本要求
1、了解系统时间响的组成；初步掌握系统特征根 的实部和虚部对系统自由响应的影响情况，掌握系 统稳定性与特征根实部的关系； 2、掌握一阶系统的单位阶跃响应的求解，及其时 间常数对一价系统性能的影响； 3、掌握二阶系统单位阶跃响应的求解；
控制工程基础
控制工程基础
第三章 时域分析
R(s)
（1） 阻尼比及无阻尼 固有振荡频率；
−
Ka = 9
1 s ( s + 1)
Y (s)
（2）该系统的最大超调百分比、峰值时间及调整 时间。 3.3 要使右图所示系统的单
R(s)
1 s2
位阶跃响应的最大超调量等 于25%，峰值时间为2秒，试 确定K和Kf的值。
−
K
令输入r(t)=0，扰动作用下系统的输出量为
Kn s (Ts + 1) Y (s) = ⋅ ⋅ N ( s) s (Ts + 1) + K Tn s + 1
Kn s (Ts + 1) En ( s ) = −Y ( s ) = ⋅ ⋅ D( s) s (Ts + 1) + K Tn s + 1
单位斜坡扰动作用时，系统的稳态误差为：
率ωn提高，峰值时间tp减小，调整时间不变，而 超调量过大，因此，一般不允许。
控制工程基础
第三章 时域分析
（3） K=13.5时，按上式可得：
ω n = 8.26 s −1 ξ = 2 .1
此时，系统工作在过阻尼状态，系统的闭环传递 函数改写成：
67.5 1 GB ( s ) = 2 = s + 34.5s + 67.5 (0.481s + 1)(0.0308s + 1)
第三章 时域分析
4、掌握性能指标的定义，标准二阶欠阻尼情况的 性能指标计算公式； 5、了解主导极点的定义及作用； 6、掌握系统误差及偏差的定义及其求解方法。
二、本章重点
1、系统稳定性与特征根实部的关系； 2、一阶系统的响应曲线基本形状及其意义； 3、二阶欠阻尼的阶跃响应及其指标的计算；
控制工程基础
第三章 时域分析
（2） K=1500时，按上式可得：
ωn = 86.2 s −1 ξ = 0.2
根据欠阻尼二阶性能指标公式，计算得出：
t p = 0 .037 s
t s |∆ =0.05 = 0.174 s
t s |∆ =0.02 = 0.232 s
M p = 52.7%
可见，增大K，使阻尼比ξ减小，无阻尼固有频
第三章 时域分析
4、系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系， 稳态误差的求法；系统结构、参数、输入及干扰 对系统的影响。
三、本章难点
1、二阶系统的单位阶跃响应的基本形状，二阶系 统的性能指标定义及其与参数之间的关系； 2、系统输入、系统的结构和参数以及干扰对系统 偏差的影响。
控制工程基础
第三章 时域分析
ωn2 = 2 2 s + 2ξωn s + ωn
这是一个典型的二阶系统，其中，
2 ωn = 5K 2ξωn = 34.5
（1） K=200时，按上式可得：
ωn = 31.6 s −1 ξ = 0.546
控制工程基础
第三章 时域分析
根据欠阻尼二阶性能指标公式，计算得出：
π π tp = = = 0 . 12 s 2 ω d 31 .6 1 − 0 .546
对于过阻尼系统，峰值时间、最大超调量已不 存在，而调整时间可用其时间常数大的一阶系统 来估算，即
控制工程基础
第三章 时域分析
t s |∆ =0.05 = 3T1 = 3 × 0.481 = 1.443 s
t s |∆ =0.02 = 4T1 = 4 × 0.481 = 1.924 s
显然，调整时间比K取前两种值时的情况要大得多。
Y (s)
1+ K fs
控制工程基础
第三章 时域分析
3.4 对下图所示系统，试求：
R(s)
1+ Khs
10 s ( s + 2)
Y (s)
−
（1）Kh为多少时，阻尼比为0.5； （2）单位阶跃响应的超调量和调整时间； （3）比较加入(1+Khs)与不加入(1+Khs)时，系统 的性能。
控制工程基础
3 t s |∆ =0.05 = = = 0.174 s ωnξ 31.6 × 0.546 4 t s |∆ =0.02 = = = 0.232 s ωnξ 31.6 × 0.546 4 3
Mp =e
−
ξπ
1−ξ 2
×100% = e
−
0.546π 1− 1− 0.546 2
×100% = 13%
控制工程基础
R(s ) N (s )
Kn Tn s + 1
1+ Kd s
−
K s (Ts + 1)
+
Y (s )
控制工程基础
第三章 时域分析
解： 令扰动n(t)=0， 系统的实际输出量为
R(s)
N (s)
Kn Tn s (1 + K d s ) Y ( s) = R(s) s (Ts + 1) + K
系统误差为
−
K s (Ts + 1)
+ Y (s)
s(Ts + 1) − KKd s E(s) = R(s) − Y (s) = R(s) s(Ts + 1) + K
单位斜坡信号时，系统的稳态误差为：
控制工程基础
第三章 时域分析
essr
s (Ts + 1) − KK d s 1 1 − KK d = lim sEr ( s ) = lim s × × 2 = s →0 s (Ts + 1) + K s K
第三章 时域分析
3.5 如图所示系统，试求：已知 X i ( s ) = N ( s ) = 1 ，
s
试求输入和扰动作用下的稳态偏差。
N (s)
1 3s + 1
4 4s + 1
X i (s)
+
X o (s)
−
例 题
例1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
5K G (s) = s ( s + 34 . 5 )
试求：K=200时，系统的单位阶跃响应的动态性能 指标。若K增大到K=1500或减小到K=13.5，试分析 动态性能指标的变化情况。 解：系统的闭环传递函数为
控制工程基础
第三章 时域分析
5K G ( s) 5K s ( s + 34.5) = = 2 GB ( s ) = 5K 1 + Gk ( s ) 1 + s + 34.5s + 5 K s ( s + 34.5)
控制工程基础
第三章 时域分析
essn
− K n s (Ts + 1) Kn 1 = lim sEn ( s ) = lim s × × 2 =− 2 s →0 (Tn s + 1)(Ts + s + K ) s K
因此，系统的总误差为
ess = essr + essd 1 − KK d K n 1 − KK d − K n = − = K K K