直线与平面及两平面的相对位置

直线一定是侧平线。侧平线的侧面投影必定垂直于侧
垂面的有积聚性的同面投影。
2）同一投影面的垂直线和平行面相垂直
V p'q'
i' t'r' j'
I
Q
H P
R
J T
铅锤线IJ⊥面PQRT
与铅垂线垂直的平面一定是水平面；与水平面垂直 的直线一定是铅垂线。而且铅垂线的正面投影和侧 面投影一定分别与这条铅垂线相垂直的水平面的有 积聚性的同面投影相垂直； 与正垂线垂直的平面一定是正平面；与正平面垂直 的直线一定是正垂线。而且正垂线的水平投影和侧 面投影一定分别与这条正垂线相垂直的正平面的有 积聚性的同面投影相垂直； 与侧垂线垂直的平面一定是侧平面；与侧平面垂直 的直线一定是侧垂线。而且侧垂线的水平投影和正 面投影一定分别与这条侧垂线相垂直的侧平面的有 积聚性的同面投影相垂直。
求作两平面的交线，常用作图方法：
①首先作出平面上的一条直线对另一平面的交点； ②其后，再作出第二个交点，然后连成线。

两个平面多边形相交时有两种情况：
①当一个多边形全部穿过另一个多边形时，两个 平面多边形交线的端点分别是同一个多边形上的两条 边对另一多边形平面的交点，称为全交。
全交
②如果不是一个多边形全部穿过另一个多边形， 则称为互交。这两个平面多边形交线的端点，分别是 第一个多边形与第二个多边形平面的交点，以及第二 个多边形的一条边与第一个多边形平面的交点。
g'
f'
c l gf
b'
O
de
b
b
[例2.23] 如图所示，作△ABC与铅垂的矩形DEFG的 交线，并表明可见性。
d' a' k' X a de e' i f' gf g' c' i' j' a' k' d'
g'
i'
c' j'
b' c j
b
O
X
a
e'
f' i
gf c j
b'
O
k
de
k
b
[例2.24] 如图所示，作平行于侧面的△ABC和垂直于 正面的△DEF的交线，并表明可见性。
由上述两种情况可归纳出以下两点结论： ①与某一投影面的垂直面相垂直的平面，一定包含该 投影面垂直面的垂线，可以是一般位置平面，也可以是这 个投影面的垂直面或平行面。
C B A
F
D
E
H
②与某一投影面的平行面相垂直的平面，一定包含这 个投影面的垂直线，一定是这个投影面的垂直面，也可以 是其它两个投影面的平行面。
互交
在两个多边形范围之内的一段是实际的交线，投 影画成粗实线。
在两个多边形范围外，实际交线的延长线，作为 作图过程中的作图线，投影画细实线。
当两个平面都垂直于同一投影面时，它们的交线也垂 直于该投影面。
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的 问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线 可直接求出。
I i
f H e
[例2.19] 如图所示，已知点G和处于铅垂位置的矩形平面ABCD， 以及直线EF的正面投影e'f'和端点E的水平投影e，并知EF平行于矩形平 面ABCD，补全EF的水平投影，过点G作平行于矩形ABCD的平面。
解题思路：直线的投影与平面的有积聚性的同面投影相互平行、 迹线的概念。
g' e' f' d' X c' bc g ad e e O X f ad a' b' e' f' d' c' bc g PH O a' b' g'
Z a' a" Z
a'
d" d' e' b" k' l'
a"
d' e' k' l'
b' c' f' O c" e"
d"
l" k"
e"
l" k" c"
b"
b'
c' f' O
f"
f"
三、垂直
1、当两个几何元素至少有一个垂直于投影面时
(1)、直线与平面垂直 特殊位置的直线与平面互相垂直只可能有两种情况： 1）同一投影面的平行线和垂直面相垂直
a'
X
c'f' b' b
e
e
O
a
特殊位置直线与平面相交
（2）当它们都没有积聚性时，则常用加设辅助平面 的方法求做交点或交线。
e'
c'

判别可见性的方法
b'
a' X e c a f b
交点— 分界点
f'
O
可见性：假想平面是 不透明的，直线穿过平面 或一个平面穿过另一个平 面时，一部分被挡住，直
线或平面上就产生可见与不可见部分，而交点或交线是可 见与不可见的分界点或分界线。
不论哪种情况，直线的投影必定与平面的有积聚性的同面 投影相垂直。
[例2.25] 如图所示，过点A作正垂面△CDE的垂线 AB和垂足B，并确定点A与△CDE平面的真实距离。
c' d' a' c' a'
d'
b' e'
e'
O X d e a O
X
d e
b
c
a
c
(2)、两平面垂直 两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直只 可能有两种情况： 平面与投影面垂直面相垂直； 平面与投影面平行面相垂直。
a
c
m e k h
b X b
d d
f O
f
k m
h
由于ek不 平行于ac, 故两平面 不平行。
a
c
e
例：试判断两平面是否平行。
a b m X c m n a d r b s f s
n
c d
r
e
e
O
f
结论：两平面平行
例：已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点 K作一平面平行于已知平面 。
2、当两个几何元素均不垂直于投影面时
直线与平面平行的几何条件 平面外的直线与 平面平行的几何条件 是： 这条直线平行于 平面上的一条直线
线段CD与平面上的直线AB平行 线段CD∥平面
两平面平行的几何条件 两平面平行的几何 条件是： 一平面上的两相交 直线，分别平行于另一 平面上的两相交直线

（在投影图中）求交点或交线的方法： （1）利用直线或平面投影的积聚性；
e' c' e' k' a' X e c a b' f' O X e k a c f a' b' c'
f'
b
O
b f
已知
求交点 直线与特殊位置平面相交

（在投影图中）求交点或交线的方法： （1）利用直线或平面投影的积聚性；
c' c' a' O X d' d a c f f c'f' b' b k c k'
c'
b' p' d' a' X a d b c e p b e' O X a d c f e q p a' b'
c'
p' d' f'
q' e'
r' O r
例：过M点作直线MN平行于V面及平面ABC。
b
正平线
d c n
a X c a d m b
●
m
O
●
n
唯一解
例：判断由两平行直线AB、CD与EF、MH组成的两 平面是否平行。
C B F
A
D cd b E fe
水平线AB⊥面CDEF
a
H
与水平线垂直的平面一定是铅垂面；与铅垂面垂直的 直线一定是水平线。水平线的水平投影必定垂直于铅 垂面的有积聚性的同面投影。 与正平线垂直的平面一定是正垂面；与正垂面垂直的 直线一定是正平线。正平线的正面投影必定垂直于正 垂面的有积聚性的同面投影。 与侧平线垂直的平面一定是侧垂面；与侧垂面垂直的
a d m b n f s
k
e
c
X c n b m a d
r O r e f k s
二、相交 直线与平面相交问题的核心是：求直线与平面的交点 两个平面相交问题的核心是：求两个平面的交线
直线与平面的交点是直线与平面的共有点
两个平面的交线是两平面的共有线
V c' a' A X C B O b' V e' a' A X a H c b c' E D e
A
直线与平面相垂直的几何条 件是：该直线垂直于这个平 面上的任意两条相交直线。
A
E
B G C
H F
D
C
E
B J
H L
两平面相垂直的几何条件是： 一个平面上有一条直线垂直 于另一平面。
G
F
若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一 切直线。
在投影图中可见部分画成实线，不可见部分画成虚线。 当平面的投影有积聚性，或平面中至少有一个平面的 投影有积聚性时，投影重合处的可见性，可以在投影图中 通过直接观察检定，否则可用交叉线重影点的可见性来帮 c' 助检定。 e'
1'(2')
k'
a' 用交叉直线 判别可见性 X e 2 1 a k c f
V M P
B
K
AL
m C c F N bk f n a l H
[例2.22] 如图所示，作△ABC与铅垂的矩形DEFG的 交线，并表明可见性（三角形和矩形的正面投影重合处的 轮廓线的投影，在未检定前，先用双点画线表示）。
d' a' k' X a e' f' c k l de gf b' O X a k e' c' l' a' k' g' d' c' l'
b' f'
O b
2.1、直线与平面相交——求交点问题
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直 接求出，且能直接判别直线的可见性。
[例2.20] 如图所示，作直线AB与铅垂的矩形平面 DEFG的交点，并表明可见性。
d' a' g' a' d' g'
k' e' f' gf de b'
X a
e'
f'
gf
b'
O
X a
O
de
k
b
b
[例2.21] 如图所示，作正垂线EF与平行四边形平面 ABCD的交点，并表明可见性。
d' e'f' b' a' X a f b d e c O X
c'
d'
1'
e'f' 2' k' a' a f k
c'
b'
O
b c
d 1(2)
e
2.2、两平面相交——求交点问题 两平面的交线是一条直线，当两平面中至少有一个平 面为特殊位置时，便可利用积聚性求作交线。
本节ห้องสมุดไป่ตู้容的逻辑关系
（一）当两个几何元素至少 有一个垂直于投影面时 （1）平行 （2）相交 1）直线与平面相交 2）两平面相交 （3）垂直
（二）当两个几何元素均不 垂直于投影面时 自学 （1）平行 （2）相交 1）直线与平面相交 2）两平面相交 （3）垂直
垂直为相交 的特殊情况
一、平行
1、当两个几何元素至少有一个垂直于投影面时
直线与平面以及两平面的
相对位置
本节提要： （1）直线与平面平行及两平面平行 （2）直线与平面相交及两平面相交
（3）直线与平面垂直及两平面垂直
（4）点、直线、平面的综合作图题示例
基本要求
（一）平行 1.熟悉直线与平面平行、两平面平行的几何条件； 2. 掌握直线与平面平行、两平面平行的投影特性及作 图方法。 （二）相交（对一般位置直线或平面不做要求） 1. 掌握特殊位置直线与平面相交（其中直线或平面的 投影具有积聚性）交点的求法及作两个平面的交线（其中 一个平面的投影具有积聚性）； 2.掌握利用重影点判别投影可见性的方法。 （三）垂直 1. 掌握直线与平面垂直、两平面垂直的投影特性及作 图方法。
由上述两种情况可归纳总结为：
直线与平面垂直： ①与投影面平行线相垂直的平面，一定是这个投影面的垂 直面； ②与投影面垂直面相垂直的直线，一定是这个投影面的平 行线； 两平面垂直： ①与投影面垂直线相垂直的平面，一定是这个投影面的平 行面； ②与投影面平行面相垂直的直线，一定是这个投影面的垂 直线。
平面P上直线AB ∥ 平面Q上直线DE 平面P上直线AC ∥ 平面Q上直线DF
平面P∥平面Q
可用到直线与平面以及两平面平行的几何条件的题型
判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
[例2.27] 如图所示，已知直线AB、△CDE、点P的两 面投影，检验直线AB是否平行于△CDE ，并过点P作平 行于△CDE的平面。
V
I Q R J
P
T
H
特例：两个垂直于同一投影面的平面互相垂直、它们 的有积聚性的同面投影也互相垂直。
C
B
A
F
D
E cd
ba H
fe
[例2.26] 如图所示，过直线AB作一般位置平面垂直 于正垂面P，过点C作垂直于正垂面P的正垂面Q和正平面 R。
d'
QV
RH d
2、当两个几何元素均不垂直于投影面时
当平面为特殊位置时，直线与平面相平行的投影特性
（1）直线与平面的同面投影都有积聚性 （2）直线的投影与平面的有积聚性的同面投影互相平行
A G
D
B C a (b )
E
F g
d c
f e
H
当平面为特殊位置时，两平面相平行的投影特性： 它们的有积聚性的同面投影互相平行。
G J
E
H F g h j
共有点
d'
b'
C
共有线
P c
B
O
a
H
d
b
若直线和平面或两平面中至少有一个几何元素的投 影具有积聚性时，可利用投影的积聚性求作交点或交线； 当均没有积聚性时，常采用加设辅助平面的方法求作交 点或交线。 相交的直线和平面、相交的两平面，若它们的同面 投影各有一部分相互重合，则在投影重合处应表明可见 性，交点或交线的投影分别是可见和不可见投影的分界 点或分界线。可见的投影用粗实线表示，不可见的投影 则用中虚线（表2.3）表示。