直线与平面及两平面的相对位置

直线一定是侧平线。侧平线的侧面投影必定垂直于侧
垂面的有积聚性的同面投影。
2）同一投影面的垂直线和平行面相垂直
V p'q'
i' t'r' j'
I
Q
H P
R
J T
铅锤线IJ⊥面PQRT
与铅垂线垂直的平面一定是水平面；与水平面垂直 的直线一定是铅垂线。而且铅垂线的正面投影和侧 面投影一定分别与这条铅垂线相垂直的水平面的有 积聚性的同面投影相垂直； 与正垂线垂直的平面一定是正平面；与正平面垂直 的直线一定是正垂线。而且正垂线的水平投影和侧 面投影一定分别与这条正垂线相垂直的正平面的有 积聚性的同面投影相垂直； 与侧垂线垂直的平面一定是侧平面；与侧平面垂直 的直线一定是侧垂线。而且侧垂线的水平投影和正 面投影一定分别与这条侧垂线相垂直的侧平面的有 积聚性的同面投影相垂直。
由上述两种情况可归纳总结为：
直线与平面垂直： ①与投影面平行线相垂直的平面，一定是这个投影面的垂 直面； ②与投影面垂直面相垂直的直线，一定是这个投影面的平 行线； 两平面垂直： ①与投影面垂直线相垂直的平面，一定是这个投影面的平 行面； ②与投影面平行面相垂直的直线，一定是这个投影面的垂 直线。
由上述两种情况可归纳出以下两点结论： ①与某一投影面的垂直面相垂直的平面，一定包含该 投影面垂直面的垂线，可以是一般位置平面，也可以是这 个投影面的垂直面或平行面。
C B A
F
D
E
H
②与某一投影面的平行面相垂直的平面，一定包含这 个投影面的垂直线，一定是这个投影面的垂直面，也可以 是其它两个投影面的平行面。
直线与平面以及两平面的
相对位置
本节提要： （1）直线与平面平行及两平面平行 （2）直线与平面相交及两平面相交
（3）直线与平面垂直及两平面垂直
（4）点、直线、平面的综合作图题示例
基本要求
（一）平行 1.熟悉直线与平面平行、两平面平行的几何条件； 2. 掌握直线与平面平行、两平面平行的投影特性及作 图方法。 （二）相交（对一般位置直线或平面不做要求） 1. 掌握特殊位置直线与平面相交（其中直线或平面的 投影具有积聚性）交点的求法及作两个平面的交线（其中 一个平面的投影具有积聚性）； 2.掌握利用重影点判别投影可见性的方法。 （三）垂直 1. 掌握直线与平面垂直、两平面垂直的投影特性及作 图方法。
g'
f'
c l gf
b'
O
de
b
b
[例2.23] 如图所示，作△ABC与铅垂的矩形DEFG的 交线，并表明可见性。
d' a' k' X a de e' i f' gf g' c' i' j' a' k' d'
g'
i'
c' j'
b' c j
b
O
X
a
e'
f' i
gf c j
b'
O
k
de
k
b
[例2.24] 如图所示，作平行于侧面的△ABC和垂直于 正面的△DEF的交线，并表明可见性。
Z a' a" Z
a'
d" d' e' b" k' l'
a"
d' e' k' l'
b' c' f' O c" e"
d"
l" k"
e"
l" k" c"
b"
b'
c' f' O
f"
f"
三、垂直
1、当两个几何元素至少有一个垂直于投影面时
(1)、直线与平面垂直 特殊位置的直线与平面互相垂直只可能有两种情况： 1）同一投影面的平行线和垂直面相垂直
不论哪种情况，直线的投影必定与平面的有积聚性的同面 投影相垂直。
[例2.25] 如图所示，过点A作正垂面△CDE的垂线 AB和垂足B，并确定点A与△CDE平面的真实距离。
c' d' a' c' a'
d'
b' e'
e'
O X d e a O
X
d e
b
c
a
c
(2)、两平面垂直 两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直只 可能有两种情况： 平面与投影面垂直面相垂直； 平面与投影面平行面相垂直。
互交
在两个多边形范围之内的一段是实际的交线，投 影画成粗实线。
在两个多边形范围外，实际交线的延长线，作为 作图过程中的作图线，投影画细实线。
当两个平面都垂直于同一投影面时，它们的交线也垂 直于该投影面。
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的 问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线 可直接求出。
共有点
d'
b'
C
共有线
P c
B
O
a
H
d
b
Байду номын сангаас
若直线和平面或两平面中至少有一个几何元素的投 影具有积聚性时，可利用投影的积聚性求作交点或交线； 当均没有积聚性时，常采用加设辅助平面的方法求作交 点或交线。 相交的直线和平面、相交的两平面，若它们的同面 投影各有一部分相互重合，则在投影重合处应表明可见 性，交点或交线的投影分别是可见和不可见投影的分界 点或分界线。可见的投影用粗实线表示，不可见的投影 则用中虚线（表2.3）表示。
2、当两个几何元素均不垂直于投影面时
直线与平面平行的几何条件 平面外的直线与 平面平行的几何条件 是： 这条直线平行于 平面上的一条直线
线段CD与平面上的直线AB平行 线段CD∥平面
两平面平行的几何条件 两平面平行的几何 条件是： 一平面上的两相交 直线，分别平行于另一 平面上的两相交直线

（在投影图中）求交点或交线的方法： （1）利用直线或平面投影的积聚性；
e' c' e' k' a' X e c a b' f' O X e k a c f a' b' c'
f'
b
O
b f
已知
求交点 直线与特殊位置平面相交

（在投影图中）求交点或交线的方法： （1）利用直线或平面投影的积聚性；
c' c' a' O X d' d a c f f c'f' b' b k c k'
a'
X
c'f' b' b
e
e
O
a
特殊位置直线与平面相交
（2）当它们都没有积聚性时，则常用加设辅助平面 的方法求做交点或交线。
e'
c'

判别可见性的方法
b'
a' X e c a f b
交点— 分界点
f'
O
可见性：假想平面是 不透明的，直线穿过平面 或一个平面穿过另一个平 面时，一部分被挡住，直
线或平面上就产生可见与不可见部分，而交点或交线是可 见与不可见的分界点或分界线。
V
I Q R J
P
T
H
特例：两个垂直于同一投影面的平面互相垂直、它们 的有积聚性的同面投影也互相垂直。
C
B
A
F
D
E cd
ba H
fe
[例2.26] 如图所示，过直线AB作一般位置平面垂直 于正垂面P，过点C作垂直于正垂面P的正垂面Q和正平面 R。
d'
QV
RH d
2、当两个几何元素均不垂直于投影面时
C B F
A
D cd b E fe
水平线AB⊥面CDEF
a
H
与水平线垂直的平面一定是铅垂面；与铅垂面垂直的 直线一定是水平线。水平线的水平投影必定垂直于铅 垂面的有积聚性的同面投影。 与正平线垂直的平面一定是正垂面；与正垂面垂直的 直线一定是正平线。正平线的正面投影必定垂直于正 垂面的有积聚性的同面投影。 与侧平线垂直的平面一定是侧垂面；与侧垂面垂直的
当平面为特殊位置时，直线与平面相平行的投影特性
（1）直线与平面的同面投影都有积聚性 （2）直线的投影与平面的有积聚性的同面投影互相平行
A G
D
B C a (b )
E
F g
d c
f e
H
当平面为特殊位置时，两平面相平行的投影特性： 它们的有积聚性的同面投影互相平行。
G J
E
H F g h j
在投影图中可见部分画成实线，不可见部分画成虚线。 当平面的投影有积聚性，或平面中至少有一个平面的 投影有积聚性时，投影重合处的可见性，可以在投影图中 通过直接观察检定，否则可用交叉线重影点的可见性来帮 c' 助检定。 e'
1'(2')
k'
a' 用交叉直线 判别可见性 X e 2 1 a k c f
a
c
m e k h
b X b
d d
f O
f
k m
h
由于ek不 平行于ac, 故两平面 不平行。
a
c
e
例：试判断两平面是否平行。
a b m X c m n a d r b s f s
n
c d
r
e
e
O
f
结论：两平面平行
例：已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点 K作一平面平行于已知平面 。
V M P
B
K
AL
m C c F N bk f n a l H
[例2.22] 如图所示，作△ABC与铅垂的矩形DEFG的 交线，并表明可见性（三角形和矩形的正面投影重合处的 轮廓线的投影，在未检定前，先用双点画线表示）。
d' a' k' X a e' f' c k l de gf b' O X a k e' c' l' a' k' g' d' c' l'
gf
b'
O
X a
O
de
k
b
b
[例2.21] 如图所示，作正垂线EF与平行四边形平面 ABCD的交点，并表明可见性。
d' e'f' b' a' X a f b d e c O X
c'
d'
1'
e'f' 2' k' a' a f k
c'
b'
O
b c
d 1(2)
e
2.2、两平面相交——求交点问题 两平面的交线是一条直线，当两平面中至少有一个平 面为特殊位置时，便可利用积聚性求作交线。
a d m b n f s
k
e
c
X c n b m a d
r O r e f k s
二、相交 直线与平面相交问题的核心是：求直线与平面的交点 两个平面相交问题的核心是：求两个平面的交线
直线与平面的交点是直线与平面的共有点
两个平面的交线是两平面的共有线
V c' a' A X C B O b' V e' a' A X a H c b c' E D e
本节内容的逻辑关系
（一）当两个几何元素至少 有一个垂直于投影面时 （1）平行 （2）相交 1）直线与平面相交 2）两平面相交 （3）垂直
（二）当两个几何元素均不 垂直于投影面时 自学 （1）平行 （2）相交 1）直线与平面相交 2）两平面相交 （3）垂直
垂直为相交 的特殊情况
一、平行
1、当两个几何元素至少有一个垂直于投影面时
A
直线与平面相垂直的几何条 件是：该直线垂直于这个平 面上的任意两条相交直线。
A
E
B G C
H F
D
C
E
B J
H L
两平面相垂直的几何条件是： 一个平面上有一条直线垂直 于另一平面。
G
F
若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一 切直线。
c'
b' p' d' a' X a d b c e p b e' O X a d c f e q p a' b'
c'
p' d' f'
q' e'
r' O r
例：过M点作直线MN平行于V面及平面ABC。
b
正平线
d c n
a X c a d m b
●
m
O
●
n
唯一解
例：判断由两平行直线AB、CD与EF、MH组成的两 平面是否平行。
b' f'
O b
2.1、直线与平面相交——求交点问题
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直 接求出，且能直接判别直线的可见性。
[例2.20] 如图所示，作直线AB与铅垂的矩形平面 DEFG的交点，并表明可见性。
d' a' g' a' d' g'
k' e' f' gf de b'
X a
e'
f'
求作两平面的交线，常用作图方法：
①首先作出平面上的一条直线对另一平面的交点； ②其后，再作出第二个交点，然后连成线。

两个平面多边形相交时有两种情况：
①当一个多边形全部穿过另一个多边形时，两个 平面多边形交线的端点分别是同一个多边形上的两条 边对另一多边形平面的交点，称为全交。
全交
②如果不是一个多边形全部穿过另一个多边形， 则称为互交。这两个平面多边形交线的端点，分别是 第一个多边形与第二个多边形平面的交点，以及第二 个多边形的一条边与第一个多边形平面的交点。
I i
f H e
[例2.19] 如图所示，已知点G和处于铅垂位置的矩形平面ABCD， 以及直线EF的正面投影e'f'和端点E的水平投影e，并知EF平行于矩形平 面ABCD，补全EF的水平投影，过点G作平行于矩形ABCD的平面。
解题思路：直线的投影与平面的有积聚性的同面投影相互平行、 迹线的概念。
g' e' f' d' X c' bc g ad e e O X f ad a' b' e' f' d' c' bc g PH O a' b' g'
平面P上直线AB ∥ 平面Q上直线DE 平面P上直线AC ∥ 平面Q上直线DF
平面P∥平面Q
可用到直线与平面以及两平面平行的几何条件的题型
判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
[例2.27] 如图所示，已知直线AB、△CDE、点P的两 面投影，检验直线AB是否平行于△CDE ，并过点P作平 行于△CDE的平面。