圆的知识点总结及典型例题

一、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵且过半径外端

∴是⊙的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

二、切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线

∴

平分

三、圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：

；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在中进行，：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在中进行，.

四、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：；

（2）扇形面积公式：

：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：

扇形面积

2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图

=

（2）圆柱的体积：

（2）圆锥侧面展开图

（1）=

（2）圆锥的体积：

典型例题

例1．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）

A．130° B．100° C．50° D．65°

例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

例3．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．

例4．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．

（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？

例5、如图，已知在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.

(1)求图中阴影部分的面积；

(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.

例6.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．

（1）求这个扇形的面积（结果保留）．

（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与

此扇形围成一个圆锥？请说明理由．

（3）当⊙O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

数学周测试卷

一、选择题（共8小题；共40分）

1. 如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边

形的周长是

A. B. C. D.

2. 已知扇形的半径为，圆心角为，则这个扇形的面积为 ( )

A. B. C. D.

3. 如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，若，则等于 ( )

A. B. C. D.

4. 若正方形的边长为，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

5. 如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（）为，骨柄的长为，扇面的宽度

的长为，那么这把折扇的扇面面积为 ( )

A. B. C. D.

6. 如图，在矩形中，，．现将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，

则边扫过的面积（阴影部分）为 ( )

T5 T6 T7 T8

A. B. C. D.

7. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点，连接，，

若，则的度数是 ( )

A. B. C. D.

8. 如图，在中，，，点是边的中点，半圆与相切于点、，

则阴影部分的面积等于 ( )

A. B. C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）

9. 扇形的半径为，且圆心角为，则它的弧长为．

10. 如图，，分别与相切于点，，连接．，，则的长是．

11. 已知的半径，则其内接正三角形的面积为．

12. 如图，把一个半径为的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面

（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于．

三、解答题（共5小题；共65分）

13. 小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径，高，求这个

圆锥形漏斗的侧面积．

14. 已知圆内接正三角形边心距为，求它的边长．

15. 已知：如图，直线交于，两点，的垂线，切于点，过点作的直径

．若，，求的直径．

16. 如图所示，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，长为，贴纸部分中的

长为，求贴纸部分的面积．

17. 如图，为上一点，点在直径的延长线上，．

Ⅰ求证：是的切线；

Ⅱ过点作的切线交的延长线于点，若，，依题意补全图形并求的长

答案

第一部分

1. C

2. B

3. B

4. B

5. C

6. C

7. A

8. B

第二部分

9.

10.

11.

12.

第三部分

13. 根据题意，由勾股定理可知

．

．

圆锥形漏斗的侧面积

．

14. 如图：连接，过点作

于点 .

在中，

三角形的边长为．15. 连接，过点作

于点．

为的切线，

．

，即

．

又，

．

．

．

．

，，

．

在中，设，

，．

，

．

．

，

的直径为．

16. 设，，

答：贴纸部分的面积为

．

17. （1）连接．

，

．

，

．

是的直径，

．

，

即．

为上一点，

是的切线．

（2）如图补全图形并连接

．

、是的切线，

，，

．

．可得

．

．

．

，

．

．

．