《函数的应用》函数的概念与性质PPT【优秀课件】
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人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数奇偶性的概念)
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(2)已知 f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若 f(－3)＝－3，则 f(3)＝________.
[思路点拨] (1) fx是偶函数 定原义―点―域对→关称于 求a的值 图y―轴象―对关→称于 求b的值
(2)
令gx＝x7－ax5＋bx3＋cx
―→
判断gx 的奇偶性
(2)由图象知，使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
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(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解]
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(1)如图所示 课件 课件
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(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
需多项式的奇次项系数为 0，即 a－4＝0，则 a＝4.
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如 f(x)＝ax2＋c 的都是偶函数，
因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则 a＝4.]
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1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数 f(x)定义域内的每一个值 课件
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《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
2023新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-4函数的应用一课件新人教A版必修第一册
解析 由已知得，该户每月缴费 y 元与实际用水量 x 立方米满足的关系 式为 y＝m2mx，x－0≤ 10xm≤，1x0>，10. 由 y＝16m，得 x>10，所以 2mx－10m＝16m.解 得 x＝13.故选 A.
7．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y
4x，1≤x<10，x∈N， ＝2x＋10，10≤x<100，x∈N，
1.5x，x≥100，x∈N，
其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人
数，若面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( ) A．15 B．40 C．25 0，若 4x＝60，则 x＝15>10，不符合题意；若 2x＋10＝ 60，则 x＝25，满足题意；若 1.5x＝60，则 x＝40<100，不符合题意．故拟 录用人数为 25.
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最 大利润是多少？
解 设每桶水在进价的基础上上涨 x 元出售，利润为 y 元，由表格中的 数据可知，价格每上涨 1 元，日销售量就减少 40 桶，所以涨价 x 元后，日 销售桶数 480－40(x－1)＝520－40x>0，∴0<x<13.
答案 C
解析 设公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为 L ＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－x－1292＋30＋1492，∴当 x＝9 或 10 时，L 最大为 120 万元．
4．某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元，每 桶水进价为 5 元，销售单价与日销售量的关系如下表：
《三角函数的应用》三角函数PPT教学课件(第1课时)
根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z． 所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．
归纳小结
问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中， 涉及哪些数学思想？
答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满 足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过 数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
s 3cos( g t ), t ∈[0,∞).
l3
（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）； （2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到 0.1cm）?
新知探究
4．建模解模
解：（1）∵ s 3cos( g t ) ，∴可得s的最大值为3．
时，i
－5
；
当 t 1 时，i 0．
60
新知探究
4．建模解模
练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不 计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平 衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周 期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（ 单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
φ为初相． 问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（
t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？ 答案： 由图可知，A=5，T= 1 s，初始状态的电流为4.33A．
50
新知探究
4．建模解模
解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= 1 s，即 2π = 1 s，解得ω=100π；
高一数学新人教A版必修1课件：第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点
阅读教材 P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与根的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
Δ<0 无交点
2.函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
法二 由x2－1x＝0，得x2＝1x. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有 一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．
判断函数存在零点的 3 种方法 1．方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. 【精彩点拨】 (1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程 的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝ x2与y＝1x的图象交点的个数．
【自主解答】 (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一 令f(x)＝0，即x2－1x＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点．
【答案】 B
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第一章函数及其应用-电子课件
第 如果对于任意 y f (D)，都可以从关系式y f (x)
一 节
中确定唯一的值 x D 与之对应，那么所确定的 以 y为自变量的函数x f 1( y) 称为函数的反函数.
函
数
习惯上，函数自变量用x 表示，所以反函数
及
其
通常表示为 y f 1(x) ，
性 质
此时函数与反函数的
图像有如图对称性。
由于鱼缸的容积为180cm3 ，即有x2h 108
模 型 和 工
由此得
h 108 x2
程
所以总费用与底面边长的函数关系为：
曲
线
C 2ax2 432a ， x ( 0 , )
x
第 二 节 函 数 模 型 和 工 程 曲 线
4.函数的有界性
定义1.7 设函数y f (x)在区间I上有定义，
第
如果存在一个正数 M，对于任意xI ，恒
一 节
有| f (x) | M 成立，则称y f (x) 是区间I 上
函
的有界函数；如果这样的正数M 不存在，
数 及
则称 y f (x) 是区间 I上的无界函数。
其
性 质
比如：函数 y sin x 在区间(, ) 内是有
3.函数的周期性
定义1.6 设T 为一个非零实数，如果函数
y f (x) 对于其定义域内任意x D ，且x T D
第 一
都有 f (T x) f (x) ，则称y f (x)是周期函数，
节
习惯上，把上述关系式成立的最小正数称
函
为周期。
数
及
其 性
例如求函数 f (x) Asin(wx ) 的周期：
xx
x3
注意：若不考虑实际意义，只研究用解析
北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件(共18张PPT)
6050 0
60495
60480
6045 5
6042 0
60600 y/个
60500
60400
60300
60200
60100 60000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 14 x/棵
议一议
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子 树的棵数之间的关系.
（100+x）棵
这时平均每棵树结多少个橙子？
（600-5x）个
(2)如果果园橙子的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量 最多？X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向
左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形
重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值； (2)当t=3s时，求S的值； A
B
(3)当5s≤t≤8s时，求S 与t的函数关系式，并求
MP
S的最大值。
lD Q
C
R
做一做
何时橙子总产量最大
N
2y
xb
x
3
x
30
3
x2
30x
3 x 202
300.
4
4
4
或用公式 :当x
5.7三角函数的应用课件——高中数学人教A版必修第一册
h
Asin
t
B
，
A
0
，
0,
π 2
；
因为筒转动的角速度为 π rad/s ，故 π ；又 A B 1.5 2.5 4 ；
12
12
A
B
1.5
2.5
1
，解得
A
2.5
，
B
1.5
，则
h
2.5
sin
π 12
t
1.5
；又当t
0
时， h 3 ，则 2.5sin 1.5 3 ，sin 3 ，则 cos 1 sin2 4 ；故当t 3 时，
借助计算工具，用二分法可以求得点 P 的坐标约为(7.016,3.995) ，
因此为了安全，货船最好在 6.6 时之前停止卸货并驶离港口.
1.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.假定在水流量稳定的情况下，筒
车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心 O 到水面的距离 h 为 1.5m，筒车的半径 r 为
2
2
因为
1 2
2π
14
6
，所以
π 8
.
将 A 10 ， b 20 ， π ， x 6 ， y 10 代入函数解析式，可得 3π .
8
4
综上，所求解析式为
y
10
sin
π 8
x
3π 4
20
，
x
[6,14]
.
例4 海水受日月的引力，在一定的时候产生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫 潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在 落潮时返回海洋，下是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
《一次函数的应用》PPT课件 湘教版
建立一次函数模型解决 实际问题
1. 说一说本节课的收获。 2. 你还存在哪些疑惑？
y 8 6 4 2 –3 –2 –1 O 1 2 3 x
湘教·八年级下册
建立一次函数模型解决预测 y 类型的实际问题
O
x
王大强和张小勇两人比赛跑步，路程和时间的关系如图： 根据图象回答下列问题： （1）王大强和张小勇谁跑的快？
请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开， 两指间的距离称为指距. 已知指距与身高具有如下关系：
(1)求身高y与指距x之间的函数表达式； (2)当李华的指距为22cm时，你能预测他的身 高吗？【教材P136页】
(1)解：上表3组数据反映了身高y与指距x之间的对应关系， 观察这两个变量之间的变化规律，当指距增加1cm，身高就 增加9cm，可以建立一次函数模型.
当t=8时，y=3.73，这说明1908年的撑杆跳高纪录也 符合公式①.
公式①就是奥运会早期男子撑杆跳高纪录y与时间t 之间的函数表达式．
能利用公式预测1912年奥运 会的男子撑杆跳高纪录吗？
y=0.05×12+3.33=3.93 实际上，1912年奥运会男子撑杆跳高纪录约为3.93m. 这表明用所建立的函数模型，在已知数据邻近做预测， 结果与实际情况比较吻合.
【教材P134页】
(1)试写出A，B两种方案所付话费y(元)与通话时间t(min)之间 的函数表达式；
解：A方案：y = 25+0.36t（t≥0） ， B方案：y = 0.5t（t≥0） .
(2)分别画出这两个函数的图象；
y /元
45 40 35 30 25 20 15 10 5
y = 25+0.36t（t≥0） y = 0.5t（t≥0）
1. 说一说本节课的收获。 2. 你还存在哪些疑惑？
y 8 6 4 2 –3 –2 –1 O 1 2 3 x
湘教·八年级下册
建立一次函数模型解决预测 y 类型的实际问题
O
x
王大强和张小勇两人比赛跑步，路程和时间的关系如图： 根据图象回答下列问题： （1）王大强和张小勇谁跑的快？
请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开， 两指间的距离称为指距. 已知指距与身高具有如下关系：
(1)求身高y与指距x之间的函数表达式； (2)当李华的指距为22cm时，你能预测他的身 高吗？【教材P136页】
(1)解：上表3组数据反映了身高y与指距x之间的对应关系， 观察这两个变量之间的变化规律，当指距增加1cm，身高就 增加9cm，可以建立一次函数模型.
当t=8时，y=3.73，这说明1908年的撑杆跳高纪录也 符合公式①.
公式①就是奥运会早期男子撑杆跳高纪录y与时间t 之间的函数表达式．
能利用公式预测1912年奥运 会的男子撑杆跳高纪录吗？
y=0.05×12+3.33=3.93 实际上，1912年奥运会男子撑杆跳高纪录约为3.93m. 这表明用所建立的函数模型，在已知数据邻近做预测， 结果与实际情况比较吻合.
【教材P134页】
(1)试写出A，B两种方案所付话费y(元)与通话时间t(min)之间 的函数表达式；
解：A方案：y = 25+0.36t（t≥0） ， B方案：y = 0.5t（t≥0） .
(2)分别画出这两个函数的图象；
y /元
45 40 35 30 25 20 15 10 5
y = 25+0.36t（t≥0） y = 0.5t（t≥0）
人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数的单调性)
函数，则实数 a 的取值范围是________．
(2)已知函数 y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且 f(2x－3)>f(5x－6)， 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件
课件 课件
课件 课件
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则实数 x 的取值范围为________．
D．y＝1－x
栏目导航
3．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调
(－∞，1] [因为 f(x)＝x2－2x＋3
减区间是________．
课件
课件
课件
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课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
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是图象开口向上的二次函数，其对称 轴为 x＝1，所以函数 f(x)的单调减区
所以 a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
栏目导航
2．(变条件)若本例(2)的函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求 x
的范围．
课件
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课件 课件
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课件 课件
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[解] 由题意可知，
2x－3>0，
5x－6>0， 2x－3<5x－6，
若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)>f(b)时，a<b.
2．决定二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 单调性的因素有哪些？ 提示：开口方向和对称轴的位置，即字母 a 的符号及－2ba的大小．
第3章函数的概念与性质章末总结+课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版必修第一册
∴ f 11 = f 3 = −f −1 = f 1 .
∵ f x 在区间[0,2]上单调递增，f x 在上是奇函数，∴ f x 在区间[−2,2]上单调递增，
∴ f −1 < f 0 < f 1 ，即f −25 < f 80 < f 11 .
命题点1 求函数的值或最值
例9 (2023·全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知f x 是定义在上的函数，且对任意
图3-1
（3）求出f x 在[−3,3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
【解析】由函数f x 在[−3,3]上的单调性可知，f x 在x = −3或x = 1处取得最小值，
易得f −3 = −k 2 ，f 1 = −1.
在x = −1或x = 3处取得最大值，易得f −1 = −k，f 3 =
【解析】由f −2 = 0,可设f x = x + 2 ax + b = ax 2 + 2a + b x + 2b a ≠ 0 .
由f x ≥ 2x得ax 2 + 2a + b − 2 x + 2b ≥ 0,
所以a > 0且 2a + b − 2
由f x ≤
x2 +4
得
2
2
− 8ab ≤ 0,整理后即为4a2 + b2 ≤ 4ab + 8a + 4b − 4 ①;
设f x =
−3
，则y
x
=
3−2x
x−3
的规则知，将函数f x =
= f(x − 3) − 2,根据函数图象平移变换
−3
的图象先向右平移3个单位长度，再
x
向下平移2个单位长度，即得函数y =
∵ f x 在区间[0,2]上单调递增，f x 在上是奇函数，∴ f x 在区间[−2,2]上单调递增，
∴ f −1 < f 0 < f 1 ，即f −25 < f 80 < f 11 .
命题点1 求函数的值或最值
例9 (2023·全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知f x 是定义在上的函数，且对任意
图3-1
（3）求出f x 在[−3,3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
【解析】由函数f x 在[−3,3]上的单调性可知，f x 在x = −3或x = 1处取得最小值，
易得f −3 = −k 2 ，f 1 = −1.
在x = −1或x = 3处取得最大值，易得f −1 = −k，f 3 =
【解析】由f −2 = 0,可设f x = x + 2 ax + b = ax 2 + 2a + b x + 2b a ≠ 0 .
由f x ≥ 2x得ax 2 + 2a + b − 2 x + 2b ≥ 0,
所以a > 0且 2a + b − 2
由f x ≤
x2 +4
得
2
2
− 8ab ≤ 0,整理后即为4a2 + b2 ≤ 4ab + 8a + 4b − 4 ①;
设f x =
−3
，则y
x
=
3−2x
x−3
的规则知，将函数f x =
= f(x − 3) − 2,根据函数图象平移变换
−3
的图象先向右平移3个单位长度，再
x
向下平移2个单位长度，即得函数y =
初中函数的概念ppt课件
二次函数的定义
形如y=ax^2+bx+c（a， b，c是常数，a≠0）的函 数称为二次函数。
二次函数的图像
二次函数y=ax^2+bx+c 的图像是一个抛物线。
二次函数的性质
当a>0时，抛物线开口向 上，有最小值；当a<0时 ，抛物线开口向下，有最 大值。
03 函数的应用
函数在生活中的实际应用
人口增长模型
提供工具。
04 函数的扩展知识
复合函数的概念
定义
如果y是u的函数，而u是x的函数，那么y关于x的函数叫做由基本函 数f(u)和g(x)构成的复合函数。
表示方法
y = f(u)，u = g(x)
分解
把一个复合函数分解成若干个基本初等函数，并分别指出各基本初等 函数在复合函数中的作用。
函数的奇偶性
THANKS 感谢观看
微积分
函数是微积分的基础，可以用来研 究物体的运动、变化和趋势等。
统计学
函数可以用来描述数据的分布特征 ，为统计分析提供工具。
函数在物理问题中的应用
力学
函数可以用来描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
热力学
函数可以用来描述温度、压力等 物理量的变化情况，为热力学研
究提供工具。
电学
函数可以用来描述电流、电压等 物理量的变化情况，为电学研究
函数的定义通常包括定义域和值域，定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变 量的取值范围。
函数的表示方法
函数的表示方法有三种：表格法、图 象法和解析式法。
图象法是用图形来表示函数关系，它 直观形象，可以反映函数的单调性、 增减性等性质。
表格法是最简单的一种表示方法，它 将自变量和因变量的对应关系列成表 格，适用于简单的函数关系。
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第三章 函数的概念与性质
【解】 (1)设两类产品的收益与投资额 x 的函数关系式分别为 f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2 x(x≥0)， 结合已知得 f(1)＝18＝k1，g(1)＝12＝k2， 所以 f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12 x(x≥0)．
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
二次函数模型 有 l 米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上 半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成 的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所 通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．
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第三章 函数的概念与性质
【解】 设小矩形的长为 x，宽为 y，窗户的面积为 S， 则由图可得 9x＋πx＋6y＝l， 所以 6y＝l－(9＋π)·x， 所以 S＝π2x2＋4xy＝π2x2＋23x·[l－(9＋π)·x]＝－36＋6 πx2＋23lx＝ －36＋6 π·x－362＋l π2＋3（326l＋2 π）.
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第三章 函数的概念性质
某列火车从北京西站开往石家庄，全程 277 km. 火车出发 10 min 开出 13 km，之后以 120 km/h 的速度匀速行 驶．试写出火车行驶的总路程 s 与匀速行驶的时间 t 之间的函 数关系式，并求火车离开北京 2 h 时火车行驶的路程．
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
(2)令 y1＝y2，即15x＋29＝12x，则 x＝9623. 当 x＝9623时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当 x＜9623时，y1＞y2，使用“便民卡”便宜； 当 x＞9623时，y1＜y2，使用“如意卡”便宜．
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第三章 函数的概念与性质
利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法． (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为 负时，一次函数为减函数．
(2)设投资稳健型产品 x 万元，则投资风险型产品(20－x)万元，
依题意得获得收益为
y
＝
f(x)
＋
g(20
－
x)
＝
x 8
＋
1 2
20－x
(0≤x≤20)，令 t＝ 20－x(0≤t≤2 5)，则 x＝20－t2，所以 y
＝20－8 t2＋2t ＝－18(t－2)2＋3，所以当 t＝2，即 x＝16 时，y 取得
解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝151(h)，所以 0≤t≤151. 因为火车匀速行驶 t h 所行驶的路程为 120t km，所以火车行驶 的总路程 s 与匀速行驶的时间 t 之间的函数关系式为 s＝13＋ 120t0≤t≤151. 火车离开北京 2 h 时火车匀速行驶的时间为 2－16＝161(h)，此时 火车行驶的路程 s＝13＋120×161＝233(km)．
3.4 函数的应用(一)
第三章 函数的概念与性质
考点
学习目标
会建立一次函数模型解决实 一次函数模型
际问题
会建立二次函数模型解决实 二次函数模型
际问题
会用解决与幂函数有关的实 幂函数模型
际问题
会利用分段函数解决与之相 分段函数模型
关的实际问题
核心素养 数学建模 数学建模 数学建模 数学建模
第三章 函数的概念与性质
一次函数模型 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采 用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在 某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(单位：分)与通话费用 y(单 位：元)的关系如图所示：
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第三章 函数的概念与性质
(1)分别求出通话费用 y1，y2 与通话时间 x 之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． 【解】 (1)由图象可设 y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点 B(30，35)， C(30，15)分别代入 y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得 k1＝15，k2＝12. 所以 y1＝15x＋29(x≥0)，y2＝12x(x≥0)．
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幂函数模型
第三章 函数的概念与性质
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资 债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型 产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资 1 万元时 两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元． (1)分别写出两类产品的收益与投资额 x 的函数关系式； (2)该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分 配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
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第三章 函数的概念与性质
二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省 等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后， 可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函 数的最值，从而解决实际问题．
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第三章 函数的概念与性质
渔场中鱼群的最大养殖量为 m(m＞0)，为了保 证鱼群的生长空间，实际养殖量 x 小于 m，以便留出适当的空 闲量．已知鱼群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是 空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为 k(k＞ 0)． (1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值．
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第三章 函数的概念与性质
解：(1)根据题意知，空闲率是mm－x，故 y 关于 x 的函数关系式 是 y＝kx·mm－x，0≤x＜m. (2)由(1)知，y＝kx·mm－x＝－mk x2＋kx＝－mk x－m2 2＋m4k，0≤x ＜m，则当 x＝m2 时，y 取得最大值，ymax＝m4k. 所以鱼群年增长量的最大值为m4k.
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第三章 函数的概念与性质
要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积 S 最大． 由 6y＞0，得 0＜x＜9＋l π. 因为 0＜362＋l π＜9＋l π， 所以当 x＝362＋l π，y＝l－（96＋π）x＝6l（（1386－＋ππ）），即xy＝181－2 π 时，窗户的面积 S 有最大值，且 Smax＝3（326l＋2 π）.