最新 2020年广州二模理科数学试卷与答案(完整)

试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2015.4本试卷共4页,21小题, 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1.答卷前,考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上． 2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上．3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4. 作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答．漏涂、错涂、多涂的,答案无效．5. 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后,将试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式24S R =π,其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =,则2320x x -+=”的逆否命题是 ( )A ．若2x ≠,则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=,则2x =C ．若2320x x -+≠,则2x ≠ D ．若2x ≠,则2320x x -+=2．已知0a b >>,则下列不等关系式中正确的是 ( )A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b < D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ ( )A ．14 B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示,则此函数的解析式为 ( )A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭ B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭图15．已知函数()223f x x x =-++,若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ,则使()00f x ≥成立的概率为 ( )A ．425B ．12C ．23D ．16．如图2,圆锥的底面直径2AB =,母线长3VA =,点C 在母线VB 上,且1VC =,有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ( )ABCD7．已知两定点()1,0A -,()1,0B ,若直线l 上存在点M ,使得3MA MB +=,则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M型直线”的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),Px y 是函数()y f x =的图象上一点,向量()()51,2x =-a ,()1,2y x =-b ,且//a b .数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=,则129a a a ++⋅⋅⋅+= ( )A.0B.9C.18D.36二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位,复数1i1iz-=+,则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图,则输出的z 的值是 ．11．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人,则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）． 13．在边长为1的正方形ABCD 中,以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a ,2a ,3a ；以C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1c ,2c ,3c ．若m为()()ijst +•+a a cc 的最小值,其中{}{},1,2,3i j ⊆,{}{},1,2,3s t ⊆,则m = ．（二）选做题（14～15题,考生只能从中选做一题）图3CDFGAVCB图214．（几何证明选讲选做题）如图4,在平行四边形ABCD 中,4AB =,点E 为边DC 的中点,AE 与BC 的延长线交于点F ,且AE 平分BAD ∠,作DG AE ⊥,垂足为G ,若1DG =,则AF 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中,已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）,则曲线1C 和2C 的交点有 个．三、解答题：本大题共6小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ,b ,c 所对的角分别为A ,B ,C ,且::7:5:3a b c =． 1) 求cos A 的值； 2) 若△ABC 的面积为453,求△ABC 外接圆半径的大小．17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份,统计结果如下面的图表所示． 组号 年龄 分组 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率1 [20,30) 28 b2 [30,40) 27 0.93 [40,50) 50.5 4[50,60]a0.41) 分别求出a ,b ,c ,n 的值；2) 从第3,4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人,在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”,记X 为第3组被授予“环保之星”的人数,求X 的分布列与数学期望． 18．（本小题满分14分）如图5,已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱垂直于底面,侧棱长与底面边长都为3,M ,N 分别是棱AB ,1AA 上的点,且1AM AN ==．1) 证明：M ,N ,1E ,D 四点共面；2) 求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．频率/组距20 30 40 50 600.0100.0350.025 019．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上,1P 是直线l 与y 轴的交点,数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<L ． 20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-,圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ,B 两点,求AB的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+,()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． 1) 若函数()f x 在区间()0,1内是增函数,求实数a 的取值范围；2) 当0b >时,函数()gx 的图象C 上有两点(),e b P b ,(),e b Q b --,过点P ,Q 作图象C 的切线分别记为1l ,2l ,设1l 与2l 的交点为()00,M x y ,证明00x >．C 1ABA 1B 1D 1CDM NEFE 1F 1图52015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分．3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数,选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题,每小题,满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性．共7小题,每小题,满分30分．其中14~15题是选做题,考生只能选做一题．16．（本小题满分12分）解：（1）因为::7:5:3a b c =,所以可设7a k =,5b k =,3c k =()0k >,…………………………………………………………2分由余弦定理得,222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k +-=⨯⨯…………………………………………………………3分 12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知,1cos 2A =-,因为A 是△ABC 的内角,所以sin A =6分由（1）知5b k =,3c k =, 因为△ABC的面积为所以1sin 2bc A =……………………………………………8分即1532k k ⨯⨯=解得k=10分由正弦定理2sin a R A =,即72sin k R A ==,…………………………………………………11分解得14R =． 所以△ABC 外接圆半径的大小为14．…………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分） 解：（1）根据频率直方分布图,得()0.0100.0250.035101c +++⨯=,解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分 第3组人数为105.05=÷,所以1001.010=÷=n．…………………………………………………2分第1组人数为1000.3535⨯=,所以28350.8b =÷=．……………………………………………3分 第4组人数为2525.0100=⨯,所以250.410a=⨯=．……………………………………………4分（2）因为第3,4组答对全卷的人的比为5:101:2=,所以第3,4组应依次抽取2人,4人.…………………………………………………………………5分 依题意X 的取值为0,1,2．……………………………………………………………………………6分()022426C C 20C 5P X ===,…………………………………………………………………………………7分()112426C C 81C 15P X ===,………………………………………………………………………………8分()202426C C 12C 15P X ===,………………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：所以281012515153EX=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………………………12分………………………………………10分18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法,第（2）问用向量法： （1）证明：连接1A B ,11B D ,BD ,11A E ,在四边形1111A B D E 中,1111A E B D P 且1111=A E B D ,在四边形11BB D D 中,11BD B D P 且11=BD B D ,所以11A E BD P 且11=A E BD ,所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B E D P ．………………………………2分在△1ABA 中,1AM AN ==,13AB AA ==,所以1AM ANAB AA =,所以1MN BA P ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MNDE P ．所以M ,N ,1E ,D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解：以点E 为坐标原点,EA ,ED ,1EE 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图的空间直角坐标系,则()B,9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭,()0,3,0D ,()10,0,3E,()M ,…………………………8分则3,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,()10,3,3DE =-u u u u r, ()2,0DM =-u u u u r设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量,则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r g u u u u r g n n 即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取y =则2x =,z =所以=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ,C 1ABA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1则sin BCBCθ=u u u r g u u u rg n n116==． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为116．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E为坐标原点,EA ,ED ,1EE 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图的空间直角坐标系,则()B ,9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭,()0,3,0D ,()10,0,3E ,()M ,()N ,……………2分所以()10,3,3DE =-u u u u r ,()0,1,1MN =-u u u u r． ………………3分因为13DE MN =u u u u r u u u u r,且MN 与1DE 不重合,所以1DE MN P．…………………………………………5分所以M ,N ,1E ,D（2）解：由（1）知3,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,()10,3,3DE =-u u u ur ,()2,0DM =-u u u u r ．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分,相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量,则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u rg u u u u r g n n 即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取y =则2x =,z =所以=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ,则sin BCBCθ=u u u rg u u u rg n n==故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为116．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用几何法： （1）证明：连接1A B ,11B D ,BD ,11A E ,在四边形1111A B D E 中,1111A E B D P 且1111=A E B D ,在四边形11BB D D 中,11BD B D P 且11=BD B D ,所以11A E BD P 且11=A E BD ,所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B E D P ．………………………………2分在△1ABA 中,1AM AN ==,13AB AA ==,所以1AM ANAB AA =,所以1MN BA P．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MNDE P ．所以M ,N ,1E ,D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）连接AD ,因为BC AD P ,所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分连接DN ,设点A 到平面DMN 的距离为h ,直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ,则sin hADθ=．……………………………………………………………………………………………8分 因为A DMN D AMN V V --=,即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…………………………………………9分在边长为3的正六边形ABCDEF 中,DB =6DA =,在△ADM 中,6DA =,1AM =,60DAM ∠=o ,由余弦定理可得,DM=在Rt △DAN 中,6DA =,1AN =,所以DN =在Rt △AMN 中,1AM =,1AN =,所以MN =在△DMN 中,DM=DN =MN =C 1A BA 1B 1D 1CDM N EFE 1F 1由余弦定理可得,cos DMN ∠=,所以sin DMN ∠=所以1sin 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………………………………………………11分又12AMNS ∆=,……………………………………………………………………………………………12分所以AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==．…………………………………………………………………………13分所以sin h AD θ==．故直线BC 与平面1MNE D所成角的正弦值为116．………………………………………………14分19．（本小题满分14分） （1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1,所以10a =,11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列, 所以1na n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上,所以31nn b a =+32n =-．所以数列{}n a ,{}n b 的通项公式分别为1n a n =-,32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）证明：因为()10,1P ,()1,32n P n n --,所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=．………………………………………………………………………7分所以222121311111n PP PP PP ++++L 22211111012n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭L ．……………………………………8分因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-,……………………………10分 所以,当2n ≥时,222121311111n PP PP PP ++++L111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦L ……………………………………………………………11分15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………………………………………………………………………………………12分 16<． 又当1n =时,212111106PP =<．………………………………………………………………………13分 所以22212131+111116n PP PP PP +++<L ．……………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >,………………………………………1分 因为圆C 过点()0,0和()1,1-,所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 解得1a =-,1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分 方法二：设()0,0O ,()1,1A -,依题意得,圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+,即1y x =+,……………………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分 （2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y , 则()220044x y -+=, 即()2200440y x =--≥,解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知,过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在,设PA 的方程为：()010y y k x x -=-, 则点A 的坐标为()0100,y k x -,同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -, 所以120AB k k x =-, 因为PA ,PB 是圆C 的切线,所以1k ,2k1=,即1k ,2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根,………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x =9分 因为()220044y x =--,所以AB =10分 设()()0020562x f x x -=+, 则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤,可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数,在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数,……………………12分 所以()0max 2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭, ()()(){}min 0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭, 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y , 则()220044x y -+=, 即()2200440y x =--≥,解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ,()0,B b ,则直线PA ：00y a y a x x --=,即()0000y a x x y ax --+=, 因为直线PA 与圆C 相切,1=,化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=, ②由①②知a ,b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根,…………………………………………7分 即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===．……………………………………………………………………9分 因为()220044y x =--,所以AB =10分=11分 令012t x =+,因为026x ≤≤,所以1184t ≤≤．所以AB ==,………………………………………12分 当532t=时,max 4AB =, 当14t =时,min AB =所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数, 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．……………………………………………………………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<,即()221xa x ≥+……………………………………………………………………………………………2分212x x=++()01x <<, 因为21122x x<++在()0,1x ∈内恒成立, 所以12a ≥． 故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………………4分 解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数, 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．……………………………………………………………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<, 即()2210axa x a +-+≥()01x <<,…………………………………………………………………2分 设()()221gx ax a x a =+-+, 当0a =时,得20x -≥,此时不合题意．当0a <时,需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥,此时不合题意． 当0a >时,需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩ 解得12a ≥或1a >, 所以12a ≥． 综上所述,实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………4分 （2）证明：因为函数()e x gx =,所以()e x g x '=． 过点(),e b P b ,(),e b Q b --作曲线C 的切线方程为：1l ：()e e b b y x b =-+,2l ：()e e b b y x b --=++,因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ,由()()e e ,e e ,b b b b y x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ ………………………………………………………………………………6分 消去y ,解得()()()0e +e e e e e b b b b b b b x -----=-． ①…………………………………………7分 下面给出判定00x >的两种方法： 方法一：设e b t =,………………………………………………………………………………………8分 因为0b >,所以1t>,且ln b t =． 所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．…………………………………………………………………………9分 设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >,则()12ln h t t t t t'=-+()1t >．………………………………………………………………………10分 令()12ln u t t t t t =-+()1t >, 则()212ln 1u t t t '=+-． 当1t >时,ln 0t >,2110t ->,所以()212ln 10u t t t '=+->,………………………………11分 所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数,所以()()10u t u >=,即()0h t '>,…………………………………………………………………12分 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数,所以()()10h t h >=．…………………………………………………………………………………13分 因为当1t>时,210t ->, 所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．…………………………………………………………………14分 方法二：由①得0x ()221+e 11e b b b --=--． 设2e b t -=,…………………………………………………………………………………………………8分 因为0b >,所以01t<<,且ln 2t b =-． 于是21ln b t-=,……………………………………………………………………………………………9分所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭．…………………………………………………………10分 由（1）知当12a=时,()1ln 2f x x =-11x x -+在区间()0,1上是增函数,…………………………11分 所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+, 即ln 2t <11t t -+． …………………………………………………………………………………………12分 即210ln 1t t t++>-,………………………………………………………………………………………13分 已知0b >, 所以0210ln 1t x b t t +⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭．…………………………………………………………………………14分。