参数点估计应用实例
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2 2
ˆ 2
n1 ˆ ， max X k ， 计算 E 2 1 k n n
ˆ Var 2
1. 记 max X k ， 计算 的分布函数和密度函数
1 k n
2. 计算 的期望和方差
1
计算 max X k 的分布函数，
1 k n
n
n
ˆ E n 1 max X n 1 E 。 故E 2 n 1 k n k n
ˆ 所以 2
n1 max X k 也是参数 的无偏估计。 n 1 k n
E ( 2 ) y 2 f ( y )dy y 2
当 0 y 时，由样本的独立同分布性质，可知其分布函数为
y F ( y ) P y P max X k y P X k y 1 k n k 1
n
n
0, y 0 n y max X k 的分布函数 F ( y ) , 0 y ， 1 k n 1, y
14.4 参数点估计应用实例
例 14.4.1 假设某小学的学生周末玩游戏的时间服从正态分布 N , 2 ，下面是 对 10 名该小学的小学生的抽样调查数据（单位：小时）
2.2, 3.5，0.8，1.5，2.4， 1.2，4.3，2.8，2.4，1.7
试估计该小学学生每天玩游戏时间的规律 N , 2 ， X ~ N 2.28,1.062 周末玩游戏超过 5 个小时的学生比例； 大约有多少比例的学生周末没有玩游戏的时间； 会不会有学生玩游戏的时间超过 10 小时 …… ********************************************************** 例 14.4.2 X 1 , X 2 ,
2
12
ˆ 2 X 是参数 的无偏估计 ˆ E 2 X E 2 X 2 ，所以 E 1 1 2
ˆ ) Var 2 X 4Var X 4 Var X 4 Var ( 1 12n 3n n
0 0
n
n
y n1dy
n
n
0
y n 1dy
n n 2 n 2， n n 2 n 2
Var E ( ) E ( )
2
2
n n 2 n2 2 2 2 2 (n 1) (n 2) n2 n 1
2 1 ˆ ) Var n 1 (n 1) Var 2。 因此 Var ( 2 2 n n(n 2) n
2
**********************************************************
3
n n 1 y , y [0, ] 于是 的概率密度为 f ( y ) n ， 0, 其它
因此，我们有
E ( )
yf ( y )dy y
0
Leabharlann Baidu
n
n
y n1dy
n
n
0
y n 1 n y dy n n1 0 n1
ˆ ) Var 2 X 4Var X 4 Var X 4 ； Var ( 1 n 12n 3n
2 2
当 n 1 时，
n 1 1 1 2 2 ，所以 2 max X k 比 1 2 X 更有效。 n ( n 2) 3n n 1k n
, X n 是 来 自 均 匀 总 体 U 0, 的 样 本 ， 验 证 1 2 X 和
ˆ 2
n1 max X 都是参数 的无偏估计，并比较它们的有效性。 n 1 k n k
均匀总体 U 0, 的期望、方差分别为 E X
解
2
, Var X
ˆ 2
n1 ˆ ， max X k ， 计算 E 2 1 k n n
ˆ Var 2
1. 记 max X k ， 计算 的分布函数和密度函数
1 k n
2. 计算 的期望和方差
1
计算 max X k 的分布函数，
1 k n
n
n
ˆ E n 1 max X n 1 E 。 故E 2 n 1 k n k n
ˆ 所以 2
n1 max X k 也是参数 的无偏估计。 n 1 k n
E ( 2 ) y 2 f ( y )dy y 2
当 0 y 时，由样本的独立同分布性质，可知其分布函数为
y F ( y ) P y P max X k y P X k y 1 k n k 1
n
n
0, y 0 n y max X k 的分布函数 F ( y ) , 0 y ， 1 k n 1, y
14.4 参数点估计应用实例
例 14.4.1 假设某小学的学生周末玩游戏的时间服从正态分布 N , 2 ，下面是 对 10 名该小学的小学生的抽样调查数据（单位：小时）
2.2, 3.5，0.8，1.5，2.4， 1.2，4.3，2.8，2.4，1.7
试估计该小学学生每天玩游戏时间的规律 N , 2 ， X ~ N 2.28,1.062 周末玩游戏超过 5 个小时的学生比例； 大约有多少比例的学生周末没有玩游戏的时间； 会不会有学生玩游戏的时间超过 10 小时 …… ********************************************************** 例 14.4.2 X 1 , X 2 ,
2
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ˆ 2 X 是参数 的无偏估计 ˆ E 2 X E 2 X 2 ，所以 E 1 1 2
ˆ ) Var 2 X 4Var X 4 Var X 4 Var ( 1 12n 3n n
0 0
n
n
y n1dy
n
n
0
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n n 2 n 2， n n 2 n 2
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2
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n n 2 n2 2 2 2 2 (n 1) (n 2) n2 n 1
2 1 ˆ ) Var n 1 (n 1) Var 2。 因此 Var ( 2 2 n n(n 2) n
2
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n n 1 y , y [0, ] 于是 的概率密度为 f ( y ) n ， 0, 其它
因此，我们有
E ( )
yf ( y )dy y
0
Leabharlann Baidu
n
n
y n1dy
n
n
0
y n 1 n y dy n n1 0 n1
ˆ ) Var 2 X 4Var X 4 Var X 4 ； Var ( 1 n 12n 3n
2 2
当 n 1 时，
n 1 1 1 2 2 ，所以 2 max X k 比 1 2 X 更有效。 n ( n 2) 3n n 1k n
, X n 是 来 自 均 匀 总 体 U 0, 的 样 本 ， 验 证 1 2 X 和
ˆ 2
n1 max X 都是参数 的无偏估计，并比较它们的有效性。 n 1 k n k
均匀总体 U 0, 的期望、方差分别为 E X
解
2
, Var X