概率论与数理统计PPT课件第五章大数定律及中心极限定理
合集下载
大学《概率论与数理统计》课件第五章 大数定律与中心极限定理
n 100, p 0.2, E(X ) np 20, D(X ) npq 16 4,
例5 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间 要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？ 解 设有X 部分机同时使用外线，则有 其中 设有N 条外线.由题意有 由德莫佛-拉普拉斯定理得
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律 一、切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
定义1 设随机变量序列
在常数 a ，使得对于任意
有:
则称 依概率收敛于a ，记为
，如果存
注意
以概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱 一些，它具有某种不确定性.
且
是独立同分布的随机变量. 且
累计误差即总距离误差为1200 X k 近似 N (0,100) k 1
由定理1可得
下面介绍定理1 的特殊情况.
定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace）
设随机变量 服从参数为
的二项分布
则对任意的x ，有
即 或
证 因为 所以 其中 相互独立，且都服从（0-1）分布。
定理1（独立同分布的中心极限定理）
设
为一列独立同分布的随机变量，
且具有相同的期望和方差
则对任意实数x,有
即
，或
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命 是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率. 解 设第i 只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知，诸Xi 独立，E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000 16只元件的寿命的总和为
例5 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间 要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？ 解 设有X 部分机同时使用外线，则有 其中 设有N 条外线.由题意有 由德莫佛-拉普拉斯定理得
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律 一、切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
定义1 设随机变量序列
在常数 a ，使得对于任意
有:
则称 依概率收敛于a ，记为
，如果存
注意
以概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱 一些，它具有某种不确定性.
且
是独立同分布的随机变量. 且
累计误差即总距离误差为1200 X k 近似 N (0,100) k 1
由定理1可得
下面介绍定理1 的特殊情况.
定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace）
设随机变量 服从参数为
的二项分布
则对任意的x ，有
即 或
证 因为 所以 其中 相互独立，且都服从（0-1）分布。
定理1（独立同分布的中心极限定理）
设
为一列独立同分布的随机变量，
且具有相同的期望和方差
则对任意实数x,有
即
，或
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命 是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率. 解 设第i 只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知，诸Xi 独立，E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000 16只元件的寿命的总和为
5大数定律与中心极限定理 课件(共31张PPT)- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 12
定理4（独立同散布大数定律）
设随机变量序列X1, X2, , Xn, 独立同分布，若E Xi ，D Xi = 2 ，
i 1, 2, 。则对任意 0，有
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
这里随机变量序列X1, X2, , Xn , 独立同分布指随机变量序列相互独立， 且序列中随机变量的分布类型及参数均相同。
例2 设X ~ N (, 2，) 用切比雪夫不等式估计概率P( X 3 ) 。
解
因为 =3 ，由切比雪夫不等式得
P X EX DX 2
P
X
3
D(X )
3 2
=
1 9
一、切比雪夫不等式
第5章 大数定律及中心极限定理 7
例3
设随机变量 X 的方差 D X 0，求证，X 服从参数为 c 的退化散布。
n
n i 1
X
2 i
P 1 n
n i 1
E
X
2 i
E
X
2 i
D Xi
E2
Xi
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 17
例4续
01 当Xi B(m, p)时，E Xi =mp, E
X
2 i
=mp 1 p m2 p2, 有
OPTION
X P mp,
1 n
n i 1
X
2 i
P mp 1
p
m2 p2
02 OPTION
当X i
E 时，E
Xi
=
1
,
E
X
2 i
=
2
《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第五章
时，
n
n
X k =BnZn + k
k 1
k 1
n
近似地服从正态分布 N( k，Bn2) 。这说明无论随机变量 Xk (k
i 1
n
=1, 2,…)具有怎样的分布，只要满足定理条件，那么它们的和Xk
k 1
当n很大时就近似地服从正态分布。而在许多实际问题中，所
考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因
实测值的算术平均值
时,取
作为 a 1 n
n i1 X i
1 n
n i 1
Xi
，根据此定理，当
n
足够大
的近似值，可以认为所发生的误差是
很小的，所以实用上往往用某物体的某一指标值的一系列
实测值的算术平均值来作为该指标值的近似值。
第二节 中心极限定理
在第二章，我们说只要某个随机变量受到许多相互独立 的随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性 的作用，那么就可以断定这个随机变量服从或近似服从正态 分布。这个结论的理论依据就是所谓的中心极限定理。概率 论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一 系列定理称为中心极限定理( Central limit theorem) 。下面介 绍几个常用的中心极限定理.
P{X 102} P{ X 100 102 100} 1 P{X 100 2}
1
1
1 (2) 1 0.977250 0.022750.
例
对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是 一个随机变量,其期望值是2，方差是。求在100次轰炸中有180颗到 220颗炸弹命中目标的概率。 解 令第 i 次轰炸命中目标的炸弹数为 Xi ，100次轰炸中命中目
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
概率论与数理统计：大数定律与中心极限定理ppt课件
ห้องสมุดไป่ตู้
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
概率论与数理统计图文课件最新版-第5章-大数定律及中心极限定理
0
p 是事件 A 在每次试验 中发生的概率
其中: nA X1 X2 L Xn
概率统计
其中: nA X1 X2 L Xn
p 是事件 A 在每次试验中 发生的概率。
证明: Q Xk 服从 (0 1 ) 分布
n 次独立 重复试验 中事件A 发生的次
数
E(Xk ) p n
令:
Xk
k 1
指的是：对任意正数 , P
lim
n
P(
Yn
a
)1
记为：Yn a
由此，定理2 的结论可叙述为：序列
依概率收敛于常数
Xn
1 n
n k 1
Xk
▲ 依概率收敛的序列具有如下性质:
P
P
设 Xn a , Yn b, 又设函数 g ( x, y ) 在点
( a, b ) 处连续，则有：
P
g( Xn , Yn ) g(a, b)
概率统计
第一节 大数定律
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性：
大量抛掷硬币 正面出现频率
概率统计
生产过程中 的废品率
……
字母使用频率
一. 切比雪夫大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1 , X2, … 是相互独立的随机变 量序列，它们都有有限的方差，并且方
差有共同的上界，即 D( Xi ) ≤ K， i=1,
k 1, 2,L , 作前 n 个随机变量的算术平均值：
概率统计
1 n
Xn n k1 Xk ,
1 n
Xn n k1 Xk ,
则对任意的 0有：
lim P
n
Xn
lim P
n
东华大学《概率论与数理统计》课件 第五章 大数定律与中心极限定理
7 8.75E-06 6.2863E-05 7.19381E-05 7.28862E-05 7.2992E-05
8 3.65E-07 7.3817E-06 8.93826E-06 9.1053E-06 9.124E-06
4 0.01116 0.01494171 0.015289955 0.015324478 0.01532831
5 0.001488 0.00289779 0.003048808 0.003063976 0.00306566
6 0.000138 0.00046345 0.0005061 0.000510458 0.00051094
ln n) + 1 ( 2
ln n) = 0
Dn
=
E
2 n
=
1 2
(ln n) +
1 2
(ln n)
=
ln n
→
但 1
n2
n
D( i ) =
i =1
1 n2
n i =1
Di
=
1 n2
n
ln i
i =1
1 n2
n
ln n =
i =1
ln n n
→0
满足马尔可夫条件，{
｝服从大数定律
n
注意: 辛钦大数定律只要求一阶矩存在,但是 随机变量序列是独立同分布的. 若所讨论的 随机变量序列是不服从同分布的要求或不独 立可应用切比雪夫大数定律 或者马尔可夫大 数定律 .
（2）设 n 为 n 次独立重复试验中 A 出现的次数， p 是事件 A 在每次试验中出现的概率， 0 ，
则
lim
n→
P{
n
n
−
p
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
概率论与数理统计第五章ppt课件
完整编辑ppt
8
定理1 (切贝谢夫定理)设1,2,...,是相互独立的随机 变量序列，各有数学期望E1,E2,...及方差D1,D2,... 并且对于所有i=1,2,...Di M,M与i无关，则任给0
limP n
1 n
n i1
i
1 n
n i1
Ei
1
此 定 理 表 明 n 个 独 立 随 机 变 量 的 平 均 值 n 1i n 1 i 依 概 率 收 敛 于 其 数 学 期 望 n 1i n1Ei
E
E (x E 2 )2 (x )d x E (x E 2 )2 (x )d x
(xE)2 2
(x)dx
D 2
完整编辑ppt
3
例 1设 是 掷 一 颗 骰 子 所 出 现 的 点 数 ， 若 给 定 ＝ 1， 2， 实 际 计 算 P(|-E|),并 验 证 切 贝 谢 夫 不 等 式 成 立 。
完整编辑ppt
23
例7 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹 中命中5发的概率。
解 ： 5 0 0 发 炮 弹 中 命 中 飞 机 的 数 目 服 从 二 项 分 布
n=500 p=0.01
np 5
npq 2.225
(1)直接计算
P ( 5 ) C 5 5 0 00 .0 1 5 0 .0 9 4 9 5＝0.17635
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 切贝谢夫不等式
研究随机变量的离差与方差的关系。
切贝谢夫不等式： 设 随 机 变 量 有 期 望 值 E 与 方 差 D 。 对 任 给 >0,有 P(|E|)D 2 P(|E|)1D 2
证 ： 若 是 离 散 型 随 机 变 量 ,
chap5大数定律及中心极限定理PPT课件
2021/3/12
15
请注意 :
Xn依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件Xn a 的概率很大，接近1于 ； 并不排除事件Xn a 的发生，而只是说他生发的
可能性很小.
依概率收敛比中 高的 等普 数通 学意义下 弱些，它具有定 某性 种 . 不确
2021/3/12
16
三、大数定律
2021/3/12
14
二、依概率收敛定义及性质
定义 设 Y 1 ,Y 2 , Y n , 是一个随机变量序列，
a是
一个常数 .若对于任意正数 ，有
ln i m P{Y |na|}1
则称Y1 序 ,Y2, 列 Yn, 依概率a.记 收为 敛于 Yn P a.
性质 设 X n P a， Y n P b,又设 g(x,函 y)在 点 (a,b)连续 g(X n ， ,Y n) 则 P g(a,b).
在切比雪夫不等式中取 0.01n，则
P(0.74X0.76) = P{ |X-E(X)| <0.01n}
n
1
D(X) (0.01n)2
1
0.187n5 0.000n12
1 1875 n
2021/3/12
10
依题意，取 118750.9 n
解得
n 187518750 10.9
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复 试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的 概率至少为0.90 .
Chap5 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的数设学随期机望序列和{方Xj差} 独立.2部同分分和布S, n有=X共1＋同
X2＋…＋ Xn, 则Sn的标准化
n
Sn
n
n
依分布收敛到标准正态分布. 即对任何x,
lni m P{nx} (x). (3.2)
这里 ( x ) 是标准正态分布的分布函数.
我们把结论(3.2)记成 nudur N(0,1),
解:用 Sn表示这n (=100)个患者中用药后有效的人数.
如果该药的有效率确实是 p=80%, 则 Sn ～B(n,p). 由
100p=80>5, 100(1-p)=20>5, 知道可用近似公式(3.4) .于是
例11.(续）
P(药被批准) =P(Sn 75) ＝P(Sn>74.5)
=P
Snnp np(1p)
p P ( a S n b ) P ( a X b ) ( * )
但是注意Sn是取整数值的，所以
p P ( a S n b ) P ( a 1 S n b 1 )
上式右端用正态近似和(*)不同。
例10.(续) 为此取折衷，令
pP(aSnb) P (a 0 .5 X b 0 .5 )
上述分布称为帕斯卡分布.
n时,Sn的分布形状很象正态分布。
从演示看出 n时,Sn的分布形状很象正态
分布。 注：得到第n次成功前失败的次数Y的分布称为 负二项分布，易见
P ( Y k ) C n k k 1 p n q k ,k 0 ,1 ,2 ,...
且Sn = Y + n.
定理3.1.（中心极限定理）
服从均匀分布，记
20
S n V i
i1
求 P{Sn>105}近似值 。
解：EVi
5，DVi
102 12Biblioteka ，(i1, 2,L
, 20) ，由定理
3.1
知：
P {S n 1 0 5 } P 1 0 S 2 n /-1 2 2 0 52 01 1 0 0 2 5 /- 1 2 2 0 5 2 0
由概率的频率定义知道, 对于成功的频率 Xn＝Sn / n ,有 n li m X n ＝ P （ X 1 ＝ 1 ） ＝ E X 1 （ 2 .1 ）
下面的大数定律将(2.1)进行了推广.
称随机变量的序列 n＝ 1， 2，
为随机序列(random sequence).
{ n}
lni m P{|n|}0，
P (X j= k ) ＝ p q k - 1 ,k 1 ,2 ,...,p q 1 .
可以将 Sn = X1 + X2 + … + Xn 设想成第n次击 中目标时的射击次数(参考几何分布的背景), 于 是得到
P ( S n k ) C k n 1 1 p n q k n ,k n ,n 1 ,...
则Sn为n次独立试验中成功的次数,Sn ~ B(n,p)。
n时,Sn的分布形状很象正态分布。
例4: Poisson(泊松)分布
若{Xj} iid P( ), 则由§3.4 的例4.1知道部分和
n
Sn＝ Xi～P(n). i=1
n时,Sn的分布形状很象正态分布。
例5: 几何分布部分和 设 {Xj｝独立同分布都服从几何分布
中心极限定理的客观背景
观察表明，如果一个量是由大量 相互独立的随机因素的综合影响所 造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用都是微小的.则这种量一 般都服从或近似服从正态分布.
该结论得益于高斯对测量 误差分布的研究.
§5.3 中心极限定理
强大数律和弱大数律分别讨论了随机序列部分和 的依概率收敛和以概率1收敛.
其中 n 200, p 0.05, np 10, np(1- p) 3.08.
设有N条外线。
由题意有 P{SnN}0.9
由推论3.3得
P{Sn N} P
Snnp np(1p)
Nnp
np(1p)
例9 （续）
P{Sn N}P Snnp
Nnp
np(1p) np(1p)
nN p(1n pp)N3.0810.
Snnp ud ur N (0,1). npq
(3.3)
n
证明：令 Sn Xi ， i 1 其中 X1,L , Xn 相互独立且都服从于 (0-1)分布。 EXi p，DXi pq 。
由定理3.1结论成立
例9 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时 间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是 相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才 能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？ 解：设有Sn部分机同时使用外线，则有 Sn ~B(n, p),
74.5np np(1p)
=P
Sn np np(1p)
748.0508.02
1 ( 5 . 5 /4 ) ( 1 . 3 7 5 ) 0 . 9 2 .
如果有效率p>80%, 则获得批准的概率>92% (参考 习题7.29).
作业:
第5章 5.12, 5.16, 5.18
第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象 统计规律性的学科. 随机现象的规律性 只有在相同的条件下进行大量重复试验 时才会呈现出来.也就是说，要从随机 现象中去寻求必然的法则，应该研究大 量随机现象.
大数律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
……
如果 P{lni mn }1，
则称序列 n 以概率1收敛于 . 记为
n , wp1 或 a.s.。
定理2.2 设随机序列 X n 独立同分布， 并且 ＝EX1 ，则有
1ni n1Xi , wp1.（ 2.6）
强大数律结论比弱大数律结论要强:
定理 2.3 如果 n , wp1. 则 n uupr .
给出其近似的分布.
n
因此可以利用正态分布对 X k 作 k 1
理论分析或作实际计算.
推论3.2. 在定理3.1的条件下，对充分大的n ，
部分和Sn =X1＋ X2＋…＋ Xn, 的概率分布 可以用正态分布
N(n, n 2 )
近似.
中心极限定理的应用:
可以用N(0,1)近似计算关于 n 的概率，
则称序列 n 依概率收敛于 . 记为 n u upur
其含义是n很大时, n 与 有非零差距的可能性
很小。
定理2.1 设随机序列 X n 独立同分布，
并且 ＝EX1 有限，则有
Xn1 ni n1Xi uupur
(2.5）
通常把类似于2.5的结论称为弱大数律 (weak law of large numbers).
例6: 近似计算
解: 用Xi表示第i台彩电的辐射量(mr/h),
则Xi的数学期望是 =0.036, 方差是 2 =0.0081.
Sn=X1+X2+… +X16是n=16台彩电的辐射量.
题目要求P(Sn > 0.5).
认为{Xi}独立同分布时, 按照定理3.1,
n
Sn
n n
近似服从N(0,1)分布, 于是
其中的d表示依分布收敛.
中心极限定理是概率论中最著名的结果之 一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近 似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很 多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值 得注意的事实.
在一般情况下很难求出n个随机变
n
量之和 X k 的分布函数，定理3.1 k 1
表明:当n充分大时,可以通过 ( x )
用N(n , n 2) 近似计算关于Sn的概率。
例6: 近似计算
当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴(mr) 时, 辐射会对人的健康造成伤害. 设一台彩电 工作时的平均辐射强度是0.036(mr/h), 方差是 0.0081. 则家庭中一台彩电的辐射一般不会对 人造成健康伤害. 但是彩电销售店同时有多台 彩电同时工作时, 辐射可能对人造成健康伤害. 现在有16台彩电同时工作, 问这16台彩电的辐 射量可以对人造成健康伤害的概率.
查表得(1.28) 0.90.
故 N 应满足条件 N -10 1.28, 3.08
即 N 13.94. 取 N 14, 即至少要安装 14 条外线。
例10. 用正态分布计算二项分布 设Sn ～B(n,p), 则Sn近似 N(np, npq)分布, 设X
～N(np,npq), 设a, b为非负整数。由中心极限定理, n 较大时
证明： 令方差， DXi 2，i 1, 2,L 有限，
E( 1
n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
EX i
1 n
n i 1
D( 1
n
n i 1
Xi)
1 n2
n i 1
DX i
1 n2
n 2
1 n
2
由切比雪夫不等式得：
P {|n 1i n 1X i|}n 2 2 0, n
定义2.2 n
中心极限定理讨论对充分大的n, 随机变量序列 部分和 X1+X2+… +Xn 的概率分布问题.
例3: 二项分布
独立地重复某一试验，设
Xj＝ 10， ,
当 第 j次 试 验 成 功 ， 当 第 j次 试 验 不 成 功 。
则{Xj} iid ～B(1,p)(两点分布)。
令
Sn = X1 + X2 + … + Xn.
例6: 近似计算(续)
P (Sn0.5)P S nn n0. 5n n
P
n
0.5 16 0.036 1 6 0 .0 0 8 1
P n 0.211