正弦定理余弦定理超经典练习题

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高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料

高考正弦定理和余弦定理练习题与答案一、选择题1.已知△中, a＝c＝2, A＝30°, 则b＝( )A. B.2C.3.D. ＋1答案：B解析: ∵a＝c＝2, ∴A＝C＝30°, ∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2.2.△中, a＝ , b＝ , ＝ , 则符合条件的三角形有( )A.1.B.2个C.3.D.0个答案：B解析: ∵＝ ,∴<b＝ <a＝ ,∴符合条件的三角形有2个.3．(2010·天津卷)在△中, 内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2－b2＝ , ＝2 , 则A＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析: 利用正弦定理, ＝2 可化为c＝2 b.又∵a2－b2＝ ,∴a2－b2＝ b×2 b＝6b2, 即a2＝7b2, a＝ b.在△中, ＝＝＝ ,∴A＝30°.4. (2010·湖南卷)在△中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 若∠C＝120°, c＝ a, 则( )A. a>bB. a<bC. a＝bD. a与b的大小关系不能确定答案：A解析: 由正弦定理, 得＝ ,∴＝＝>.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A..B.C..D.答案：D解析: 方法一: 设三角形的底边长为a, 则周长为5a,∴腰长为2a, 由余弦定理知α＝＝ .方法二：如图, 过点A作⊥于点D,则＝2a, ＝ , ∴＝ ,∴α＝1－22＝1－2×＝.6.(2010·泉州模拟)△中, ＝ , ＝1, ∠B＝30°, 则△的面积等于( )A..B.C. 或.D. 或解析: ∵＝ ,∴＝·30°＝.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时, A＝90°, S△＝×1×＝ ,当C＝120°时, A＝30°, S△＝×1× 30°＝ .即△的面积为或.二、填空题7. 在△中, 若b＝1, c＝ , ∠C＝ , 则a＝.答案：1解析: 由正弦定理＝ , 即＝ , ＝ .又b<c, ∴B＝ , ∴A＝ .∴a＝1.8．(2010·山东卷)在△中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a ＝ , b＝2, ＋＝ , 则角A的大小为．答案：解析: ∵＋＝ ,∴(B＋)＝1.又0<B<π, ∴B＝ .由正弦定理, 知＝ , ∴＝ .又a<b, ∴A<B, ∴A＝ .9.(2010·课标全国卷)在△中，D为边上一点，＝，∠＝120°，＝2.若△的面积为3－，则∠＝.答案: 60°解析: S△＝×2××＝3－ ,解得＝2( －1),∴＝－1, ＝3( －1).在△中, 2＝4＋( －1)2－2×2×( －1)×120°＝6,在△中, 2＝4＋[2( －1)]2－2×2×2( －1)×60°＝24－12 ,∴＝ ( －1),则∠＝＝＝ ,∴∠＝60°.三、解答题10.如图, △是等边三角形, ∠＝45°, ＝ , A.B.C三点共线.(1)求∠的值；(2)求线段的长.解: (1)∵△是等边三角形, ∠＝45°,∴∠＝45°＋60°,∴∠＝(45°＋60°)＝45°60°＋45°60°＝.(2)在△中, ＝ ,∴＝∠×＝×＝1＋.11.(2010·全国Ⅱ卷)△中, D为边上的一点, ＝33, ＝ , ∠＝ , 求. 解: 由∠＝ >0知B< ,由已知得＝ , ∠＝ ,从而∠＝(∠－B)＝∠－∠＝×－×＝.由正弦定理得＝ ,＝＝＝25.12.(2010·安徽卷)设△是锐角三角形, a, b, c分别是内角A, B, C 所对边长, 并且2A＝＋2B.(1)求角A的值；(2)若·＝12, a＝2 , 求b, c(其中b<c).解: (1)因为2A＝＋2B＝ 2B－ 2B＋2B＝ ,所以＝±.又A为锐角, 所以A＝ .(2)由·＝12, 可得＝12.①由(1)知A＝ , 所以＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2, 将a＝2 与①代入, 得c2＋b2＝52, ③③＋②×2, 得(c＋b)2＝100,所以c＋b＝10.因此c, b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.解此方程并由c>b知c＝6, b＝4.。

(完整版)正弦定理与余弦定理练习题

正弦定理与余弦定理1．已知△ABC 中，a=4，ο30,34==A b ，则B 等于（）A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（） A ．75° B．60° C．45° D．30°3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 4．在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin CA=2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（）A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（） A.14 B.23 C.23- D.14- 10．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos2=，则△ABC 为（）三角形．A ．正B ．直角C ．等腰直角D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（）A ．B=45°或135°B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对13．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（）A.6πB.3πC.23πD.56π14．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 15．已知在ABC ∆中，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角 16．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos ,2,sin 2sin 4B bC A ===，则ABC ∆的面积为（） A.156 B. 154 C. 152D. 15 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ． 3－1 B ．3 C. 2 D. 1 评卷人得分一、解答题（题型注释）18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知4A π=，22212b ac -=. （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.19．在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求B ；（2）若b=2，△ABC 的周长为2+2，求△ABC 的面积．ABC C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B2=b ABC21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc +=+ （1）求sinA ；（2）若32a =，△ABC 的面积S ＝22，且b>c ，求b ，c ．22．已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.（Ⅰ）求ba的值；（Ⅱ）若17a c ==，，求ABC △的面积.23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =，（1）求b 的值；（2）求sin C 的值．二、填空题 24．已知在中，，，，则___．25．△ABC 中，若222a b c bc =+-，则A ＝ .26．在中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若，则b=___________．27．在C ∆AB 中，已知，C 4A =，30∠B =o ，则C ∆AB 的面积是． 28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，，则C 的大小为___________. 29．在∆ABC ，则这个三角形的形状是参考答案1．D 【解析】试题分析：B b A a sin sin =，2342134430sin 34sin sin 0=⋅=⋅==a A b B ；b a <Θ，030=>∴A B ， 060=∴B 或0120=B ，选D.考点：正弦定理、解三角形2．B 【解析】试题分析：33sin 4321sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆C C BC AC S ABC ,则23sin =C ，所以060=C ，选B.考点：三角形面积公式3．C 【解析】试题分析：由已知和正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=展开化简得2sin cos sin 0A B A +=，由于A 为三角形内角，所以0,sin 0A A ≠≠,所以1cos 2B =-，23B π=，选C. 考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.4．C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，sin 22sin C c c a A a==⇒=，又222237b a ac b a -=⇒=，由余弦定理可得，2222221cos 242a cb a B ac a +--===-，又()0,B π∈，所以120B ︒∠=. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.5．D 【解析】解：=， ∴sinC=•sinA=×=，∵0＜C ＜π，∴∠C=45°或135°， ∴B=105°或15°，故选D ．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解． 6．D 【解析】试题分析：由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=，所以最大角为B 角，因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯，所以B 角为钝角，选D.考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．A 【解析】试题分析：由正弦定理得()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C =+，2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==，()2222cos 3cos sin C C C =-，213tan ,tan 33C C ==，2,B C C =∴Q 为锐角,所以,,632C B A πππ===，故选A.考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.8．C 【解析】试题分析：由题可根据正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝2222a b c ab+-<0，则角C 为钝角考点：运用正弦和余弦定理解三角形. 9．D 【解析】试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==- 考点：正余弦定理解三角形10．C 【解析】试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得22222a b c a b ab+-=g ，那么化简可知所以 2222=a a b c +-，即 22=b c ，=b c ，所以三角形ABC 是等腰三角形．故选C ．考点：余弦定理判断三角形的形状． 11．B 【解析】试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状．解：∵cos2=，∴（1+cosB ）=，在△ABC 中，由余弦定理得，=，化简得，2ac+a 2+c 2﹣b 2=2a （a+c ），则c 2=a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形，故选：B ． 12．C 【解析】试题分析：由A 的度数求出sinA 的值，再由a 与b 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数．解：∵A=60°，a=4，b=4， ∴由正弦定理=得：sinB===，∵b ＜a ，∴B ＜A ，则B=45°．故选C 13．A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=12， ∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π 考点： 14．B 【解析】试题分析：()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A +=∴+=∴+=sin 12A A π∴=∴=，三角形为直角三角形考点：三角函数基本公式 15．A【解析】试题分析：22cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c++=⇒==+⇒+=+⇒= ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A CB A AC C C C C π+==⇒=∴==，选A考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦16．B【解析】试题分析：2222214sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac +-+-=∴==∴=Q Q 1,2a c ∴==111515sin 122244S ac B ∴==⨯⨯⨯= 考点：正余弦定理解三角形17．C 【解析】试题分析：由余弦定理可得2222113cos 2222b c a c A c bc c+-+-=∴=∴= 考点：余弦定理解三角形 18．(1)2；(2)3.【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得b c 322=，进而求得b a 35=，再运用正弦定理求C sin 的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于b 方程求解. 试题解析：（1）由余弦定理可得222222⨯-+=bc c b a ，即bc c a b 2222=+-，将22212b a c -=代入可得b c 322=，再代入22212b ac -=可得b a 35=，所以522sin sin ==a c A C ，即52sin =C ，则51cos =C ，所以2tan =C ；（2）因3sin 21=A bc ，故322322212=⨯⨯b ，即3=b . 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 19．（1）B=（2）【解析】解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B ＜π， ∴B=；（2）由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即a 2+c 2﹣ac=4，又b=2，△ABC 的周长为2+2， ∴a+c+b=2+2，即a+c=2， ∴ac=，∴S △ABC =acsinB=××=．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（1）B=.4π（2）21+ 【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件B c C b a sin cos +=，可运用正弦定理化边为角，再联系两角和差公式，可求出角B 。

2024全国高考真题数学汇编：正弦定理与余弦定理

2024全国高考真题数学汇编正弦定理与余弦定理一、单选题1．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C D 二、解答题2．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．3．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．4．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．5．（2024北京高考真题）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案1．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，由正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.2．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B =，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=3．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C =，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ===，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅= ，由已知ABC的面积为32338c =所以c =4．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211t t A A t t-+==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+5．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭111142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522ABC S ac B ==⨯⨯=△。

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°）＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。

(完整版)正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭． 3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==，所以60C =．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π.例4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求ac的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-= 故3a c =例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 612例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________.3例7.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =【解析】0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得sin 2sin a b B A =⋅=, 例8.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 2 ，AC 的取值范围为 (2,3) .解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈例9.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。

正弦定理余弦定理练习题

正弦定理余弦定理练习题在平面几何中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要定理。

熟练掌握这两个定理的使用方法，对于解题非常有帮助。

本文将通过一些练习题，进一步巩固并应用正弦定理和余弦定理。

一. 练习题一已知三角形ABC，∠BAC = 35°，BC = 10cm，AC = 8cm。

1. 求∠ABC和∠ACB的度数。

2. 求∠BAC的正弦值和余弦值。

3. 求∠BAC的弧度值。

解答：1. 由三角形内角和定理可知∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°，故∠ABC + 35° + ∠ACB = 180°。

化简可得∠ABC + ∠ACB = 145°。

又因为∠ABC和∠ACB为三角形内角，故它们的度数之和小于180°，可知∠ABC和∠ACB的度数为(0, 145°)。

2. 根据正弦定理可得 sin(∠BAC) = BC/AC = 10/8 = 1.25。

因为∠BAC是锐角，故其正弦值为1.25。

根据余弦定理可得 cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC) = (AB² + 8² - 10²) / (2 * AB * 8) = (AB² + 64 - 100) / (16 * AB) = (AB² - 36) / (16 * AB)。

因为∠BAC是锐角，所以其余弦值小于1，得到 AB² - 36 < 16 * AB。

将 AB 换成 x，得到 x² - 16x - 36 < 0。

解这个不等式可得 4 < x < 9，所以 AB 的长度为 (4, 9)。

3. 弧度值可以通过将度数除以180°，再乘以π来计算。

所以∠BAC 的弧度值为35° * (π /180°) ≈ 0.6109。

(完整版)正弦定理与余弦定理练习题(最新整理)

，则 b=___________．
27．在 AC 中，已知 A 4 3 ， AC 4 ， 30 ，则 AC 的面积是
．
28．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，设 S 为△ ABC 的面积， S 3 (a2 b2 c2 ) ，则 C 的
4 大小为___________.
正弦定理与余弦定理
1．已知△ABC 中，a=4， b 4 3, A 30 ，则 B 等于（）
A．30°
B．30° 或 150°
C．60°
D．60°或 120°
2．已知锐角△ABC 的面积为 3 3 ，BC=4，CA=3，则角 C 的大小为（）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
3．已知 ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边，若 (2a c) cos B b cos C 0 ，则角 B 的大小为（）
A．
6
B．
3
2
C．
3
5
D．
6
4．在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边.若 sin C =2， b2 a 2 3ac ，则 B =( )
sin A
A. 300
B. 600
C. 1200
D. 1500
5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c．已知 a=5 ，c=10，A=30°，则 B 等于（）
5
在△ABC 中，由余弦定理得，
=，
化简得，2ac+a2+c2﹣b2=2a（a+c），则 c2=a2+b2， ∴△ABC 为直角三角形，故选：B． 12．C 【解析】试题分析：由 A 的度数求出 sinA 的值，再由 a 与 b 的值，利用正弦定理求出 sinB 的值，由 b 小于 a，得到 B 小于 A，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数．解：∵A=60°，a=4 ，b=4 ，

正余弦定理知识点+经典题(有答案)

正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-（3）面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形：（1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角：（3）已知两边和它们所夹的角：（4）已知三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．262．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．26．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )或5π6 或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )B ．2 3 或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．2解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或32解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选△ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．23 或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10. 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得 AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12，所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值； (2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。

正弦定理、余弦定理精选测试题带解析答案

正余弦定理精选测试题一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A . π6B . π3C . π6或5π6D . π3或2π32．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°3．(2010·上海高考)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( ) A . 518 B . 34 C . 32 D . 785．(2010·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则 ( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 与b 大小不能确定二、填空题6．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________. 7．(2010·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ________．三、解答题9．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .10．在△ABC 中，已知a 2＋b 2＝c 2＋ab .（1）求角C 的大小；（2）又若sin A sin B ＝34，判断△ABC 的形状．11．(2010·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，且S ＝34(a 2＋b 2－c 2)．（1）求角C 的大小；（2）求sin A ＋sin B 的最大值．12在ABC ∆中，内角A ，B,C 对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=3π.(Ⅰ)若ABC ∆a,b ；(Ⅱ)若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.答案及解析1．【解析】由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，由a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，∴B ＝π6.【答案】A2．【解析】S △ABC ＝12×3×4sin C ＝33，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°.【答案】B 3．【解析】由sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，得a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，不妨令a ＝5，b ＝11，c ＝13. ∴c 2＞a 2＋b 2＝52＋112＝146，∴c 2＞a 2＋b 2，根据余弦定理，易知△ABC 为钝角三角形．【答案】C 4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为 22＋22－122×2×2＝78. 【答案】D 5．【解析】∵∠C ＝120°，c ＝2a ，∴由余弦定理，得(2a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，故ab ＝a 2－b 2＝ (a －b )(a ＋b )＞0，∴a －b ＞0，故a ＞b . 【答案】A 6．【解析】∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，∴c ＝3，∴a ＝c ，则A ＝C ＝30°. 【答案】30°7．【解析】∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∴B ＝π4. 又a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝12，A ＝π6.【答案】π68．【解析】∵A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，∴2B ＝A ＋C ，∴B ＝π3，又BD ＝12BC ＝2，∴在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3.【答案】 39．【解析】法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4.法二由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ，∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，又由已知得，sin Bsin C＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．②解①②得b ＝4.10．【解析】(1)由题设得a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知A ＋B ＝23π，∴cos(A ＋B )＝－12，即cos A cos B －sin A sin B ＝－12. 又sin A sin B ＝34，∴cos A cos B ＝34－12＝14，从而cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，由A ，B ∈(0，π)，∴A －B ＝0，即A ＝B ，从而△ABC 为等边三角形．11．【解析】(1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3. 因0＜C ＜π，故C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A )＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12sin A＝3sin(A ＋π6)，∵C ＝π3，∴0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，3sin(A ＋π6)取最大值 3. ∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.12解析:（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ···················· 4分联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ················································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =，··················································································· 8分当cos 0A =时，2A π=，6B π=，3a =3b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =所以ABC △的面积1sin 23S ab C ==． ·························································· 12分。

(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)

【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .

正弦定理余弦定理习题及答案

正余弦定理3、已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c23C π∠=，则a= 。

5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c，若a =2b =，sin cos B B +=，则角A 的大小为．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值7、在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .1.在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB ..AB2.在△ABC 中，已知cos A ＝35 ，sin B ＝513 ，求cos C 的值.3、在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，试判定△ABC 的形状.4..在△ABC 中，若sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，试判断△ABC 的形状.5.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：a 2－b 2c 2 ＝sin （A －B ）sin C. .6..在△ABC 中，若（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc ，并且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状. \1.解：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22AC ·DC ＝72＋32－522×7×3 ＝1114 ，又0＜C ＜180°，∴sin C ＝5314在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C ∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314· 2 ·7＝5622.解：∵cos A ＝35 ＜22＝cos45°，0＜A ＜π∴45°＜A ＜90°，∴sin A ＝45∵sin B ＝513 ＜12 ＝sin30°，0＜B ＜π ∴0°＜B ＜30°或150°＜B ＜180° 若B ＞150°，则B ＋A ＞180°与题意不符.∴0°＜B ＜30° cos B ＝1213∴cos （A ＋B ）＝cos A ·cos B －sin A ·sin B ＝35 ·1213 －45 · 513 ＝1665又C ＝180°－（A ＋B ）.∴cos C ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ）＝－1665 . 3.解：在原等式两边同乘以sin A 得2cos B sin A sin C ＝sin 2A ，由定理得sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝sin 2A ， ∴sin 2C ＝sin 2B ∴B ＝C 故△ABC 是等腰三角形.4.解：∵sin A ＝sin B ＋sin C cos B ＋cos C，∴cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin Csin A ，应用正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋ca ，∴b （a 2c 2－b 2）＋c （a 2－b 2c 2）＝2bc （b ＋c ）， ∴a 2（b ＋c ）－（b ＋c ）（b 2－2bc ＋c 2）＝2bc （b ＋c ）即a 2＝b 2＋c 2故△ABC 为直角三角形.5.证明：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 两式相减得a 2－b 2＝c （a cos B －b cos A ）， ∴a 2－b 2c 2 ＝a cos B －b cos A c 2.又a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C ，∴a 2－b 2c 2 ＝sin A cos B －sin B cos A sin C ＝sin （A －B ）sin C解：由已知条件（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc 及余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）2（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝12∴A ＝60°又由已知条件sin A ＝2sin B cos C 得sin （B ＋C ）＝sin （B ＋C ）＋sin （B －C ） ∴sin （C －B ）＝0，∴B ＝C 于是有A ＝B ＝C ＝60°，故△ABC 为等边三角形. 3、【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin A =得1sin 2A =，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin90 1.C ==4、【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33a a π+-⨯⨯⨯=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。

正余弦定理典型例题

正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。

解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。

由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。

因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。

再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。

所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。

2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。

解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。

把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。

因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。

当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。

完整版)正弦定理与余弦定理练习题

完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。

解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。

解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。

3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。

解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。

正弦定理余弦定理练习题

第七节正弦定理和余弦定理【知识回顾】【课前演练】1. 在△ABC 中, 若∠A ＝60°, ∠B ＝45°, BC ＝3 , 则AC ＝( ) A. 4 B. 2 C.D.2．（余弦定理）在△ABC 中, a ＝ , b ＝1, c ＝2, 则A 等于( ) A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°[例1](2012·浙江高考)在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且bsin A＝acos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3, sin C＝2sin A, 求a, c的值.变式训练一:△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, asin Asin B＋bcos2A＝ a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋a2, 求B.[例2]在△ABC中a, b, c分别为内角A, B, C的对边, 且2asi.A＝(2b＋c)si.B＋(2c＋b)si.C.求A的大小；【变式训练二】: 已知△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 向量m＝(4, －1), n＝, 且m·n＝.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2 , 试判断△ABC的形状.[例3](2012·新课标全国卷)已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边, acos C ＋asin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2, △ABC的面积为, 求b, c.【变式训练三】: . (2012·江西重点中学联考)在△ABC中, cos 2A＝cos2A－cos A.(1)求角A的大小；(2)若a＝3, sin B＝2sin C, 求S△ABC.1. 在△ABC中, a, b, c分别是角A, B, C所对的边. 若A＝, b＝1, △ABC的面积为, 则a的值为() A. 1 B. 2 C. D.2．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知a＝2 , c＝2 , 1＋＝, 则C ＝()A. 30°B. 45°C. 45°或135°D. 60°3．在△ABC中, 角A, B, C所对边的长分别为a, b, c, 若a2＋b2＝2c2, 则cos C的最小值为()A. B. C. D. －4．在△ABC中, 若sin2 A＋sin2B<sin2C, 则△ABC的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 在△ABC中, 角A.B.C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B, 则角A的大小为6. 在△ABC中, 若a＝3, b＝, A＝, 则C的大小为________.7. 在△ABC中, 若a＝2, b＋c＝7, cos B＝－, 则b＝________.8．△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, asin A＋csin C－asin C＝bsin B.(1)求B；(2)若A＝75°, b＝2, 求a, c.9. 在锐角三角形ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C所对的边, 且满足a－2bsin A＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝5, 且a>c, b＝, 求·的值.。

(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案

正弦定理、余弦定理综合训练题1. ［2016全国卷I ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c.已知a = 5, c = 2, cos A = 2，则 b =() A. .2B. 3 C . 2D . 32 1［解析］D 由余弦定理得5= b 2 + 4-2 X b X 2X 3,解得b = 3或b =- 3(舍去)，故选D. n 1B = —, BC 边上的高等于§BC ，贝U sin A =( )D.S 10D ，设BC = 3,则有 AD = BD = 1 , AB = 2，由余弦定理得AC = \ 5.由正弦定理得 “5= s^A , n sin Asin ’43. ［2013新课标全国卷I ］已知锐角厶 A + cos 2A = 0, a = 7, c = 6，贝U b =( A . 101［解析］D 由23cos2A + cos 2A = 0,得25cos2A = 1•因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A =. 51 12在A ABC 中，根据余弦定理，得 49 = b 2 + 36- 12b •即卩b 2—厂b5 545 4. ________________ ［2016全国卷n ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若cos A =5, cos C = ^, a = 1，贝U b= .4 53 12［解析］因为cos A = 5, cos C = 13，且A , C 为三角形的内角，所以sin A = 5, sin C =〔3, sin63 「, a b ~― asin B 21B = si n(A + C)= sin AcosC + cos As in C = 65.又因为 sin A = sin B ，所以 b = sin A =伯. 13—13 = 0,解得 b = 5 或 b =— 5 (舍去).5. ［2015 全国卷 I ］已知 a , b , c 分别是△ ABC 内角 A , B , C 的对边，sin 2B = 2sin Asin C. (1)若 a = b ,求 cos B;⑵若B = 90°，且a =〔 2, 求厶ABC 的面积. 解：(1)由题设及正弦定理可得b 2 = 2ac.又a = b ，所以可得b = 2c , a = 2c.2. ［2016全国卷川］在厶ABC 中, ［解析］D 作AD 丄BC 交BC 于点解得sin A =学=噜ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 23COS 2D . 5⑵由(1)知 b 2= 2ac.因为B = 90°，所以由勾股定理得a 2+ c 2= b 2. 故 a 2 + c 2= 2ac ,得 c = a = 2, 所以△ABC 的面积为1.6. [2015 全国卷n ] △ ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分/ BAC , BD = 2DC. sin / B (1)求跖/C ； ⑵若/ BAC = 60°，求/ B. 解：(1)由正弦定理得AD _ BD AD _ DC sin ZB sin /BAD’ sin ZC sin /CAD 因为AD 平分Z BAC , BD = 2DC ，所以 sin ZB DC 1 sinZC BD 2⑵因为/C = 180°—/BAC + /B),/BAC = 60°,所以、i'3 1sin ZC = sin( ZBAC +/B)= ? cos/B + in ZB.V 3由(1)知 2sinZB = sin/C ,所以 tanZB = 3，即/B = 30°7. [2014新课标全国卷n ]四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB = 1, BC = 3, CD 2.(1)求 C 和 BD ;⑵求四边形ABCD 的面积.解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2= BC 2+ CD 2— 2BC CDcos C =13 — 12cos C ,①BD 2= AB 2+ DA 2— 2AB DAcos A由余弦定理可得 cos B =a 2+ c 2— b2ac1 4.DA ==5 + 4cos C .②1 —由①②得 cos C = 2，故 C = 60°,BD =7.⑵四边形ABCD 的面积1 1S = ?AB DA si n A + ?BC CDsi n C1 1/ 1X 2 + 2 x 3X 2 sin 60°=2 38. ［2016 山东卷］△ ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c.已知 b = c , a 2= 2b 2(1 — sin A), 贝U A =(nCG'•b = c , a 2 = 2b 2( 1 — sin A),「.2b 2sin A = b 2+ c 2— a 2= 2bccos A = 2b 2cos A ,「.tanA=1，即 A = 4. 9.［2015广东卷］设厶ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c.若a = 2, c = 2.3, cos A =于且b<c ,则b =( ) A . 3B . 2 .2C . 2D. 3［解析］C 由余弦定理得 a 2= b 2 + c 2— 2bccos A ，所以22 = b 2+ (2\'勺)2— 2x b x 2屈，即卩 b 2— 6b + 8= 0，解得 b = 2 或 b = 4•因为 b<c,所以 b = 2. 10. ［2016上海卷］已知△ ABC 的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于32+ 52 — 72 1［解析］利用余弦定理可求得最大边 7所对角的余弦值为2x 3x 5 =—2，所以此角的正弦值为牙•设三角形外接圆的半径为R ,由正弦定理得2R=^|，所以R = 于.22冗 b11. ________________________________________________________ ［2016 北京卷］在厶 ABC 中，/ A =〒，a = ■. 3c ,则b = _______________________________ .3 c2 n b b［解析］由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A 可得，3c 2= b 2+ c 2— 2bccos 3，整理得 2+ — 2= 0,3 c cnD.?［解析］C解得b= 1或c=—2（舍去）.12. [2016浙江卷]在厶ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.已知b + c = 2acos B. (1)证明：A = 2B ;2⑵若cos B = 3,求cos C 的值.解：⑴证明：由正弦定理得 sin B + sin C = 2sin Acos B ,故 2s in Acos B = sin B + sin (A + B)= sin B + sin Acos B + cos As in B ,于是 sin B = sin (A — B). 又 A , B € (0, n )，故 O V A — B Vn, 所以 B =n —(A — B)或 B = A — B , 因此A =%(舍去)或A = 2B ，所以A = 2B.=—cos(A + B) = — cos Acos B + sin A sin B =⑵由cos B =cos 2B = 2cos 2B — 1 = — 9,故 cos A =— 9, sin sin cos C。

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。

正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）

正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）第一篇：正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则A.85sinB的值为sinC5335（）B.458C.D.（）6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBb=-.cosC2a+c（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.2213.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇：正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题：1.在∆ABC中，a=23，b=22，B=45︒，则A为（）A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中，若=，则∠B=（）abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1，|BC|=2，(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23，4.在∆ABC中，则边|AC|等于（）A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则∆ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.213C.16 D.4二.填空题：9.在∆ABC中，a+b=12，A=60︒，B=45︒，则a=_______，b=________10.在∆ABC中，化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中，已知sinA:sinB:sinC=654::，则cosA=___________12.在∆ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，则∆ABC是_________三.解答题：13.已知在∆ABC中，∠A=45︒，a=2，c=6，解此三角形。

正弦定理和余弦定理专题集训

正弦定理和余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解[难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B⇔a >b ⇔sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A<sinB,cosA<sinC·2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.2．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.4．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．A ．22B ．82C.2D.22题型一利用正弦定理解三角形例1在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A的大小为________．题型二利用余弦定理求解三角形例2在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos Bcos C ＝－b 2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思维启迪：由cos Bcos C ＝－b 2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．题型三正弦定理、余弦定理的综合应用例3已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．审题视角(1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角．温馨提醒(1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形．(3)易错分析：①方法一中由sin2A＝sin2B直接得到A＝B，其实学生忽略了2A与2B互补的情况，由于计算问题出错而结论错误．方法二中由c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)不少同学直接得到c2＝a2＋b2，其实是学生忽略了a2－b2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．高考中的解三角形问题典例：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于()A ．43B ．23C.3D.322．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于()A ．－12B.12C ．－1D ．13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是()A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋394二、填空题(每小题5分，共15分)5．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.6．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．7．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.三、解答题(共22分)8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cosA 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．一、选择题(每小题5分，共15分)1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于()A ．23B ．22C.3D.23．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为()A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4二、填空题(每小题5分，共15分)4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝________，△ABC 的形状为__________．5．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值为________．6．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是______．三、解答题7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．。

(完整版)正弦定理、余弦定理超经典练习题

正弦定理、余弦定理练习题一、选择题1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.。