特殊变换及其矩阵

定理 2 酉空间（或欧氏空间）V 上的线性变 换 T 是 反Hermite 变换（或反对称变换）的充要 条件是 T 在V 的任意一组标准正交基下的矩阵
A 满足
AH A ( AT A)
数学系 李继根（jgli@ecust.edu.cn）
例 3 (Cayley变换)
方阵 A 是反对称实矩阵，那么 I A 是非奇异
证明： 对任意 V ，同样有
1 2 , 1 V1, 2 V1 ,
因此 ( ( ), ) (1 1 2 ) (1 1 )
另外显然有
(1 2, 1 ) ( , ( ( ))
2( ) ( ( )) (1 ) 1 ( )
这说明正交投影变换的矩阵表示 P（称为正交投影 矩阵）既是Hermite 矩阵也是幂等矩阵( P 2 P )
由于 S (I A) (I A)1 (I A)1 (I A) 所以 ST (I AT ) (I AT )1 (I A) (I A)1
从而可推出 ST S I
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例 4 (广义特征值问题的Cayley变换)
对于广义特征值问题 Ax Bx ，如果 是
或
QT AQ Q 1 AQ B
则称 A 酉相似（或正交相似）于 B 。
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定理1 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是 酉相似的。
证明：设正规变换 T 在 V 的两组标准正交基
ε1,ε2 , , εn 和 ε1,ε2 , 分别为 A、B ，并设
, εn 下的矩阵表示
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例 3 (斜投影变换)
酉空间或欧氏空间V 中的任意向量 V 有直和分
解
1 2 , 1 V1,2 V2 ,V V1 V2
则沿 V2 到 V1的斜投影变换
( ) 1
是幂等变换( 2 )。
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| ti i |2 | ti n |2 | t1i |2 | ti i |2 当 i 1 时，有 | t11 |2 | t12 |2 | t1 n |2 | t11 |2
可知 t1 j 0 ( j 2, 3, , n)
对 i 施行归纳法，可得 ti j 0 (i j) ，证毕。
上三角阵 T ，使得 A UTU H
显然 AH A AAH 当且仅当 T HT T T H。
根据引理1，T 是对角矩阵。故 A 是正规阵。
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例 1 判断下列矩阵是不是正规矩阵：
（1）实对称矩阵（ AT A ）；
（2）实反对称矩阵（ AT A ）； （3）正交矩阵 （AT A1 ）；
定理 3 方阵 A 是正规的，当且仅当
AAH AH A.
为证明这个结论，再给出一个引理。
引理 1 满足 TT H T HT 的三角阵 T 必是
对角阵。
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证 对上三角阵 T (ti j ) ，比较等式
明
T T H T HT
两边乘积矩阵在第 i 行第 i 列位置上的元素 ，并注 意到 ti j 0 (i j) ，因此对 i 1, 2, , n ，有
(T ( ), ) yH Ax ( yH AH )x
( A y)H x ( , (T ( ))
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例 1 (方阵的Cartesian分解)
任意方阵 A 可分解为 A H1 i H2 ,
其中 H1, H2 都是Hermite矩阵。
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证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
矩阵 U (u1, , un ) 及对角阵 diag(1, , n ) 使得 U H AU ，即 AU U 因此 A(u1, , un ) ( Au1, , Aun ) (1u1, , nun )
充分性。若有 U H AU ，显然可验证
所谓极点（pole), 是我们已经计算出的特征值
的近似值,即所谓零点（zero），那么经过Cayley变
换
TC ( A B)1 ( A B)
可得到标准特征值问题 TC x t x
并且
t ( )1 ( )
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二、 Hermite矩阵及对称矩阵的性质
1,
，
2
， n
下的矩阵表示为
A (ai j )
，则
(T ( i ), j ) (a1 i1 a2 i 2 an i n , j )
aji ,
(T ( j ), i ) ai j
所以 aj i (T ( i ), j ) ( i ,T ( j ))
从而 AH A
(T( j ),i ) ai j
数学高度的抽象和统一。
链接：《现代数学的特点与意义》，孙小礼、杜珣， 《工科数学》，1992年第2期
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一、正规变换(Normal Transformation)
定义1 酉空间 V 上的线性变换 T 称为 V上的一个
正规变换，如果存在 V的标准正交基 ε1,ε2 , , εn 及对角矩阵 D diag(d1,d2 , , dn )
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证明： 充分性。 设 T 在V 的一组标准正交基
1,
，
2
， n
下的矩阵表示为
A
且
AH A 。
任取 、 V ，设
=
( 1 ,
，
2
，n )x,
=
( 1 ,
，
2
，n ) y
则
T (
)
( 1 ,
，
2
，n ) Ax,
T(
)
( 1 ,
，
2
， n ) Ay,
(ε1,ε2 , (ε1,ε2 ,
, εn ) AU , εn )U H AU
所以 B U H AU ，结论成立。
根据定理1，正规变换在任一标准正交基下的矩阵 表示必定酉相似于对角阵。
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二、正规矩阵的等价定义
定理 2 ( Schur 引理 ) 任何方阵 A 必酉相似于
定理3 正规矩阵 A 是 Hermite矩阵(反Hermite矩 阵)的充要条件是 A 的特征值全是实数(纯虚数)， 即 A 酉相似于实对角矩阵(对角元是纯虚数的对
角矩阵)。
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证明： 充分性。 因为 A 是正规矩阵，所以存在 酉矩阵 U 及对角阵 D ，使得
一个上三角阵T 。即存在酉矩阵U ，使
U H AU T. 并称 A UTU H 为方阵 A 的Schur分解。
100年前(1909年)给出的Schur 引理是矩阵理论中的 重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵计 算中也具有相当重要的地位。
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根据Schur引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙 的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义。
满足
(T (ε1 ),T (ε2 ), ,T (εn )) (ε1,ε2, , εn ) D
并称 T 在标准正交基下的矩阵表示为正规矩阵。
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定义2 对于复方阵（或实方阵）A、B，如果存在酉
矩阵 U 或正交矩阵 Q ，使得 U H AU U 1 AU B
（4）酉矩阵（ AH A1 ）；
（5）Hermite 矩阵（ AH A ）；
（6）反Hermite 矩阵（ AH A ）；
（7）形如
a
1 1
1
1
,
a
R
or
C
的矩阵。
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定理 3 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 与对角矩
阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特 征值。
§2、Hermite变换及Hermite矩阵
单从变换的角度我们很难把Hermite变换 （对称变换）与正规变换联系起来，但从 Hermite矩阵（对称矩阵）的定义，或者 从Hermite矩阵（对称矩阵） 都可对角化 上却能找到两者的关联，这似乎可以作为 数学的“奇异美”的一个例证。
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一、 Hermite变换（对称变换）
定义1 设 T 是酉空间（或欧氏空间）V 上的线 性变换，称 T 为V 上的 Hermite 变换（对称变
换） ，如果对任意 、 V ， 都有
(T( ), ) (,T( )) .
并称 T 在 V 的任意一组标准正交基下的矩阵表示
为Hermite 矩阵（对称矩阵）。
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定 必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
理 矩阵 U 及对角阵 D ，使得 A UDU H 3 的 因此 AAH (UDU H )(UDU H )H UDDU H
证
U DDU H (U DU H )(UDU H ) AH A
明 充分性。根据Schur引理，存在酉矩阵 U 及
的，并且Cayley变换矩阵
S ( I A)( I A)1
是正交矩阵。
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证明： 因为 AT A ，所以对任意的 x Rn， 有 xT Ax ( xT Ax)T xT ( A)T x xT A x 因此 xT Ax 0 。对于 (E A)x 0 由于 xT x xT (E A)xT 0 ，从而方程组 只有零解，所以 ( I A) 是非奇异的。
例 2 (正交投影变换)
酉空间或欧氏空间V 中的任意向量 V 在 V 的
子空间 V1 上的正交投影为 1 ，即有
1 2 , 1 V1,2 V1,
则沿 V1 到 V1的正交投影变换
( ) 1
既是Hermite变换，也是幂等变换( 2 )。
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充分性。若 A 有 n 个两两正交的单位特征Βιβλιοθήκη Baidu量 1, ,n ，取 U (1, ,n ) 即可。
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思考：
1、实正规矩阵是否正交相似于实 对角矩阵？ 2、实正规矩阵是否正交相似于 复对角矩阵？
3、实正规矩阵正交相似于什么 样的“简单”矩阵？
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(ε1,ε2 , , εn ) (ε1,ε2 , , εn )U
显然过渡矩阵 U 是酉矩阵。
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因为 (ε1 , ε2 , , εn ) B
(T (ε1 ),T (ε2 ), , T (εn )) (T (ε1 ),T (ε2 ), , T (εn ))U
定义2 设 T 是酉空间（或欧氏空间）V 上的线 性变换，称 T 为 V 上的 反Hermite 变换（或反对
称变换），如果对任意 、 V ， 都有
(T( ), ) (,T( )) .
并称 T 在 V 的任意一组标准正交基下的矩阵表示
为反Hermite 矩阵（反对称矩阵）。
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AH A AAH
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定理 4 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 有 n 个
两两正交的单位特征向量。
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
矩阵 U (u1, , un ) 及对角阵 diag(1, , n ) 使得 U H AU ，即 AU U 因此 A(u1, , un ) ( Au1, , Aun ) (1u1, , nun )
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定理 1 酉空间（或欧氏空间）V 上的线性变换 T 是 Hermite 变换（对称变换）的充要条件是 T
在 V 的任意一组标准正交基下的矩阵 A 满足
AH A ( AT A)
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证明： 必要性。 设 T 在V 的一组标准正交基
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第三章 特殊变换及其矩阵
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§1、正规变换与正规矩阵
正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换 （对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等 的推广和抽象，即只关心永恒的主题----
“对角化”的问题。这又一次体现出现代