新课标版数学选修2-1作业10高考调研精讲精练

课时作业(十)

1．椭圆x 2＋8y 2＝1的短轴的端点坐标是( ) A ．(0，－

24)，(0，2

4

) B ．(－1，0)，(1，0) C ．(22，0)，(－22，0) D ．(0，22)，(0，－22)

答案 A

2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5，3，0.8 B ．10，6，0.8 C ．5，3，0.6 D ．10，6，0.6

答案 B

解析 把椭圆的方程写成标准方程x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以2a ＝10，2b ＝6，

c

a ＝0.8.

3．椭圆25x 2＋9y 2＝1的范围为( ) A ．|x|≤5，|y|≤3 B ．|x|≤15，|y|≤1

3

C ．|x|≤3，|y|≤5

D ．|x|≤13，|y|≤1

5

答案 B

解析 椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上，所以|x|≤15，|y|≤1

3.

故选B.

4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( ) A.x 29＋y 2

16

＝1 B.x 225＋y 2

16＝1 C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 2

25＝1 D ．以上都不对

答案 C

解析 由题意知⎩⎪⎨⎪

⎧2a ＋2b ＝18，

2c ＝6，a 2

－b 2

＝c 2

，

解得a ＝5，b ＝4.

又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，

所以椭圆方程为x 225＋y 2

16＝1或x 216＋y 2

25

＝1.故选C.

5．若椭圆的一个焦点和短轴的两个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.1

2 B.32

C.33

D ．以上都不正确

答案 B

解析 如图，c a ＝cos30°＝3

2

.

6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2

b 2＝k(k ＞0)具有( )

A ．相同的长轴长

B ．相同的焦点

C ．相同的离心率

D ．相同的顶点

答案 C

解析 a 2k －

b 2k a 2k

＝a 2－b 2a 2＝c 2

a 2.故选C.

7．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22

B.

2－1

2

C ．2－ 2 D.2－1

答案 D

解析 数形结合：令|F 1F 2|＝1，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝ 2. ∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝12＋1

＝2－1.

8．过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2

＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.2

2

B.33

C.12

D.13

答案 B

解析 由题意知P 点坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2

a

2)．

∵∠F 1PF 2＝60°，∴2c b 2a ＝3，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝3

3或e ＝

－3(舍去)．

9．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝4 D ．x 2＋(y －1)2＝4

答案 A

解析 数形结合，△F 1BF 2为等腰直角三角形，原点为斜边中点．

10．(2016·全国乙卷，文)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4，则该椭圆的离心率为( )

A.13

B.12

C.23

D.34

答案 B

解析 利用椭圆的几何性质列方程求离心率．

不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋y

b ＝1，

即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知

|－bc|

b 2＋

c 2

＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝1

2

.故选B. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3

3，过F 2的直线

l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2

2＝1 B.x 23＋y 2

＝1 C.x 212＋y 2

8＝1 D.x 212＋y 2

4

＝1 答案 A

解析 利用椭圆的定义及性质列式求解． 由e ＝

33，得c a ＝33

.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，即a ＝3，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，故

C 的方程为x 23＋y 2

2

＝1.

12．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP

→

的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8

答案 C

解析 由椭圆x 24＋y 23＝1，可得点F(－1，0)，点O(0，0)．设P(x ，y)，－2≤x ≤2，则OP →·FP

→

＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14

(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.

13．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215，0)，则椭圆的标准方程是________． 答案 x 280＋y 2

20

＝1

解析 由题知，焦点在x 轴上，设方程为x 24a 2＋y 2

a 2＝1，

∴4a 2－a 2＝(2

15)2，∴a 2＝20.∴方程为

x 280＋y 2

20

＝1. 14．若椭圆x 2k ＋4＋y 24＝1的离心率为1

2，则k ＝________．

答案 4

3

或－1

解析 当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋4，b 2＝4，所以c 2＝k. 因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，即k k ＋4＝14，所以k ＝4

3.

当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝k ＋4，所以c 2＝－k. 因为e ＝12，所以c 2a 2＝1

4，所以－k 4＝14

，所以k ＝－1.