带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线(hao )
带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线hao
带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线陈升科高中物理中介绍了速度选择器，速度选择器两极板间有正交的匀强电场和匀强磁场，带电粒子在速度选择器中的运动实际上是在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动．带电粒子垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，且速度大小等于电场强度Ｅ跟磁感强度Ｂ之比（Ｅ／Ｂ）（称（Ｅ／Ｂ）为选择速度，用ｖｅｂ表示），将做匀速直线运动．如果带电粒子的速度大小不等于选择速度或偏离垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，将做什么运动，其运动轨迹怎样?一、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动方程设空间有正交的匀强电场和匀强磁场（下称电磁场），电场强度矢量和磁感强度矢量分别为Ｅ＝Ｅｊ，Ｂ＝Ｂｋ．有一个电量为ｑ、质量为ｍ的带电粒子从坐标原点以初速ｖ０射入电磁场中．初速度矢量为ｖ０＝ｖ０ｘｉ＋ｖ０ｙｊ＋ｖ０ｚｋ，带电粒子射入电磁场后，在某时刻的速度矢量为ｖ＝ｖｘｉ＋ｖｙｊ＋ｖｚｋ．带电粒子在此时刻受到的电场力矢量为Ｆ＝ｑＥ＝ｑＥｊ，受到的磁场力（洛伦兹力）矢量为ｆ＝ｑｖ×Ｂ＝ｑｉｊｋｖｘｖｙｖｚ00Ｂ＝ｑｖｙＢｉ－ｑｖｘＢｊ．带电粒子在电磁场中的动力学方程为Ｆ＋ｆ＝ｍ．动力学方程的三个分量式分别为ｍｘ＝ｑＢｖｙ，①ｍｙ＝ｑＥ－ｑＢｖｘ，②ｍｚ＝0．③令ω＝（ｑＢ）／ｍ，由方程①得ｖｙ＝（1／ω）ｘ．④④式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向分量ｙ＝（1／ω）ｘ．将上式代入②式，并令ｕｘ＝ｖｘ－（Ｅ／Ｂ）＝ｖｘ－ｖｅｂ，得ｘ＋ω２ｕｘ＝0．此微分方程的通解是ｕｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ），它可改写为ｖｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋ｖｅｂ．⑤⑤式对时间ｔ微分得带电粒子在电磁场中运动时的加速度的ｘ方向的分量ｘ＝Ａωｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑥将⑥式代入④式得速度的ｙ方向的分量ｖｙ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑦⑦式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向的分量ｙ＝Ａωｃｏｓ（ωｔ＋φ），⑧③式对时间ｔ积分得速度的ｚ方向的分量ｖｚ＝Ｃ３．⑨⑤、⑦、⑨式分别对时间ｔ积分得带电粒子在电磁场中运动的运动学方程的三个分量ｘ＝－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）＋ｖｅｂｔ＋Ｃ１，⑩ｙ＝－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋Ｃ２，⑾ｚ＝Ｃ３ｔ＋Ｃ４．⑿以上三式中Ａ、φ、Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３和Ｃ４均为积分常数，可用带电粒子射入电磁场时的初始条件确定．由①、②两式得，带电粒子初始加速度在ｘ方向和ｙ方向的分量分别为０ｘ＝（ｑＢｖ０ｙ）／ｍ＝ωｖ０ｙ，０ｙ＝（ｑＥ－ｑＢｖ０ｘ）／ｍ＝ωｖｅｂ－ωｖ０ｘ．将以上两式分别代入⑥、⑧两式得Ａｓｉｎφ＝ｖ０ｙ，Ａｃｏｓφ＝ｖｅｂ－ｖ０ｘ，解得积分常数Ａ＝．⒀A的大小等于带电粒子的初速度沿ｘ方向以选择速度ｖｅｂ做匀速直线运动的相对速度的大小．称（Ａ／ω）为“幅”，称积分常数φ为初相，它有三种情况若ｖ０ｘ＜ｖｅｂ，φ＝ｔｇ－１[ｖ０ｙ/（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）]，若ｖ０ｘ＝ｖｅｂ，ｖ０ｙ＞0，φ＝（π／2），ｖ０ｙ＜0，φ＝－（π／2），若ｖ０ｘ＞ｖｅｂ，φ＝π＋ｔｇ－１[ｖ０ｙ／（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）．⒁将带电粒子初速度分量ｖ０ｚ代入⑨式得积分常数Ｃ３＝ｖ０ｚ．将带电粒子射入电磁场时的初始坐标ｘ＝0，ｙ＝0，ｚ＝0．代入⑩⑾⑿三式得积分常数１＝ｖ０ｙ／ω，２＝（Ａ／ω）ｃｏｓφ＝（1／ω）（ｖｅｂ－ｖ０ｘ），Ｃ４＝0．带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动的运动学方程为ｘ＝ｖｅｂｔ＋（ｖ０ｙ／ω）－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ），⒂ｙ＝（1／ω）（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ），⒃ｚ＝ｖ０ｚｔ．⒄式中的A和φ由⒀、⒁两式确定．带正电的粒子原先静止在坐标原点，在电场力和磁场力作用下开始运动，带电粒子初速度的三个分量都为零．由⒀、⒁式得Ａ＝ｖｅｂ，φ＝0．带电粒子运动轨迹的三个参量方程为ｘ＝ｖｅｂｔ－（ｖｅｂ／ω）ｓｉｎωｔ，ｙ＝（ｖｅｂ／ω）（1－ｃｏｓωｔ），ｚ＝0．二、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动图象带电粒子运动轨迹在ｘＯｙ平面内，如图1中“0”曲线．如果粒子带负电，ω＜0，参量方程ｘ不变，而参量方程ｙ的符号相反，带负电粒子的运动轨迹跟带正电粒子运动轨迹关于ｘ轴对称．图1带电粒子（以下只讨论带正电）由坐标原点，沿ｘ方向，以不同速度射入电磁场．它们的入射初速度只有ｘ方向分量ｖ０ｘ．它们的幅（Ａ／ω）和初相φ的值如下表中所示．初速度ｖｏｘ／ｖｅｂ－1 0 0．5 1 1．5 2 3幅Ａω－１／ｖｅｂω－１2 1 0．5 0 0．5 1 2 初相φ0 0 0 0 πππ带电粒子入射初速度分量ｖ０ｘ的大小以选择速度ｖｅｂ对称（如0．5ｖｅｖ跟1．5ｖｅｂ对称）时，它们的幅相等，初相差为．它们的运动轨迹都在ｘＯｙ平面，依次如图1中“－1”、“0”、“0．5”、“1”、“1．5”、“2”、“3”曲线所示．带电粒子由坐标原点射入，初速度既有ｘ方向分量，又有ｙ方向分量．设ｙ方向分量等于1倍选择速度，ｖ０ｙ＝ｖｅｂ．它在电磁场中运动轨迹的参量方程ｘ和ｙ如⒂、⒃两式，ｚ＝0．轨迹在ｘＯｙ平面内，如图2所示，图中“0”、“1”、“2”分别表示ｖ０ｘ＝0、ｖ０ｘ＝ｖｅｂ、ｖ０ｘ＝2ｖｅｂ时粒子的运动轨迹．带电粒子由坐标原点射入，初速度有三个方向的分量．它在电磁场中运动轨迹的参量方程由⒂、⒃、⒄三式确定．运动轨迹在同一平面内，轨迹跟如图1和／ｖ如图2所示轨迹相似，只是轨迹平面绕ｙ轴向纸外或纸内转过ｔｇ－１（ｖ０z）角度．０ｘ图2三、带电粒子在正交匀强电磁场中运动轨迹的分析⑩、⑾、⑿三式和⒂、⒃、⒄三式表明带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动是以速度做匀速直线运动和以（Ａ／ω）为半径、ω为角速度的匀速圆周运动的合成．我们知道，一轮子在水平地面匀速滚动时，轮子上各点的运动是轮心的匀速直线运动和绕轮心的匀速圆周运动的合成．轮子上各点的运动轨迹是摆线，带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动轨迹也应是摆线．现有像火车轮那样的塔轮，大轮半径是小轮半径的两倍，如图3所示．小轮的匀速直线运动，塔轮的在水平轨道Ｏｘ上匀速滚动．塔轮轮心Ｏ′做速度为ｖｅｂ／ｒ）．角速度ω＝（ｖｅｂ图3图4初时刻大轮跟轨道接触点Ａ点的初速度为零，小轮最高点B点的初速度为2ｖｅｂ．这两点的运动轨迹如图4所示．如果将B点运动轨迹向下平移2ｒ，这两点运动轨迹就是图1中的“0”和“2”两条带电粒子在电磁场中运动轨迹．初始时刻小轮最高点Ｃ点有3ｖｅｂ水平向前的初速度，大轮最低点Ｄ点有ｖｅｂ水平向后的初速度．小轮上E点和F点在同一条竖直直径上，到轮心Ｏ′的距离都为（ｒ／2），E点有1．5ｖｅｂ水平向前的初速度，F点有0．5ｖｅｂ水平向前的初速度．这四点的运动轨迹如图5所示．如果C点轨迹向下平移3ｒ，D点轨迹向上平移ｒ，E点轨迹向下平移1．5ｒ，F点轨迹向下平移0．5ｒ，其运动轨迹就是图1中“3”、“－1”、“1．5”和“0．5”四条带电粒子在电磁场中的运动轨迹．图5图6中，初时刻塔轮轮心在Ｏ′．塔轮上的P点到轮心的距离ＰＯ′＝ｒ，Ｐ到水平轨道的距离ＰＯ＝2ｒ，圆心角φ＝（3／4）π．A是塔轮瞬时转轴．图6可以求得P点的初速度ｖ０＝ｖｅｂ，它的ｘ方向分量ｖ０ｘ＝2ｖｅｂ，ｙ方向的分量ｖ０ｙ＝ｖｅｂ，P点的运动轨迹如图6中曲线所示．将P点的运动轨迹向下平移2ｒ，就是图2中曲线“2”所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹．塔轮上Ｑ点（跟坐标原点O重合）、S点的运动轨迹分别跟图2中“1”、“0”两条曲线所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹相对应．如果塔轮在水平轨道上匀速滚动，轨道又在ｘＯｚ平面内沿ｚ轴匀速移动，移动过程中保持轨道跟ｘ轴平行，塔轮上的点的运动轨迹跟初速度有ｚ方向分量的带电粒子在电磁场中运动轨迹相应．带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动跟匀速滚动的塔轮上的点的运动相似，运动的轨迹为摆线．。
带电粒子在匀强磁场中运动轨迹
带电粒子在匀强磁场中运动轨迹带电粒子在匀强磁场中运动轨迹一、带电粒子在匀强磁场中运动轨迹带电粒子只受洛伦兹力作用的条件下,在匀强磁场中的运动有:1.粒子初速度方向平行磁场方向（V ∥B ）：运动轨迹：匀速直线运动2.粒子初速度方向垂直磁场方向（V ⊥B ）：(1)动力学角度：洛伦兹力提供了带电粒子做匀速圆周运动所需的向心力(2)运动学角度：加速度方向始终和运动方向垂直，而且加速度大小不变。
运动轨迹：匀速圆周运动二、轨道半径和运动周期1.轨道半径r ：qBm v r = 在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，轨道半径跟运动速率成正比。
2.运动周期T ：qBm T π2= (1)周期跟轨道半径和运动速率均无关(2)粒子运动不满一个圆周的运动时间：qB m t θ=，θ为带电粒子运动所通过的圆弧所对的圆心角三、有界磁场专题：（三个确定）1、圆心的确定已知进出磁场速度方向已知进出磁场位置和一个速度方向2. 半径的确定：半径一般都在确定圆心的基础上用平面几何知识求解，常常要解三角形带电粒子在匀强磁场中运动轨迹3、时间的确定（由圆心角确定时间）粒子速度的偏转角(?)等于回旋角(α)，并等于AB 弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍即．θα?2==粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：T t πα2= （1）直界磁场区: 如图，虚线上方存在无穷大的磁场B ，一带正电的粒子质量m 、电量q 、若它以速度v 沿与虚线成o o o o o o*****6030、、、、、角分别射入，请你作出上述几种情况下粒子的轨迹、并求其在磁场中运动的半径和时间。
粒子在直界磁场（足够大）的对称规律：从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等。
（2）、圆界磁场带电粒子在匀强磁场中运动轨迹偏转角：rR =2tan θR ：磁场半径r:圆周运动半径经历时间：qBmt θ= 圆运动的半径：qBm v r = 圆界磁场对称规律：在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
带电粒子在匀强磁场中的运动 课件
一、洛伦兹力的特点
由于洛伦兹力的方向总是与速度方向垂直，故洛伦兹力对粒子 不做功 .
二、带电粒子在匀强磁场中运动
1.若v∥B，洛伦兹力F＝ 0 ，带电粒子以速度v做 匀速直线 运动.
2.若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周
运动.
(1)向心力由洛伦兹力提供，即 mv
(2)所加交变电流频率及粒子角速度；
答案
qB 2πm
qB m
解析 粒子在电场中运动时间极短，因此高频交变电流频率要等于粒子 回旋频率，因为 T＝2qπBm，回旋频率 f＝T1＝2qπBm，角速度 ω＝2πf＝qmB.
(3)粒子离开加速器时的最大速度及最大动能.
答案 解析
qBRmax q2B2Rmax2 由牛m 顿第二定2m律知mRvmmaaxx2＝qBvmax
如图7所示为质谱仪原理示意图.设粒子质量为m、电荷量为q，加速电场
电压为U，偏转磁场的磁感应强度为B，粒子从容器A下方的小孔S1飘入加 速电场，其初速度几乎为0.则粒子进入磁场时的速度是多大？打在底片上
的位置到S3的距离多大？
答案
2qU 2 2mU mB q
图7
例3 如图8所示，在x轴的上方存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为
圆心.
2.半径的确定 半径的计算一般利用几何知识解直角三角形.做题时一定要做好辅助线， 由圆的半径和其他几何边构成直角三角形.由直角三角形的边角关系或勾 股定理求解. 3.粒子在磁场中运动时间的确定 (1)粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心 角为α时，其运动时间t＝36α0°T(或 t＝2απT). (2)当v一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝vl ，l为带电粒子通过的弧长.
带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线(hao )
带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线陈升科高中物理中介绍了速度选择器，速度选择器两极板间有正交的匀强电场和匀强磁场，带电粒子在速度选择器中的运动实际上是在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动．带电粒子垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，且速度大小等于电场强度Ｅ跟磁感强度Ｂ之比（Ｅ／Ｂ）（称（Ｅ／Ｂ）为选择速度，用ｖｅｂ表示），将做匀速直线运动．如果带电粒子的速度大小不等于选择速度或偏离垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，将做什么运动，其运动轨迹怎样? 一、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动方程设空间有正交的匀强电场和匀强磁场（下称电磁场），电场强度矢量和磁感强度矢量分别为Ｅ＝Ｅｊ，Ｂ＝Ｂｋ．有一个电量为ｑ、质量为ｍ的带电粒子从坐标原点以初速ｖ０射入电磁场中．初速度矢量为ｖ０＝ｖ０ｘｉ＋ｖ０ｙｊ＋ｖ０ｚｋ，带电粒子射入电磁场后，在某时刻的速度矢量为ｖ＝ｖｘｉ＋ｖｙｊ＋ｖｚｋ．带电粒子在此时刻受到的电场力矢量为Ｆ＝ｑＥ＝ｑＥｊ，受到的磁场力（洛伦兹力）矢量为ｆ＝ｑｖ×Ｂ＝ｑｉｊｋｖｘｖｙｖｚ00Ｂ＝ｑｖｙＢｉ－ｑｖｘＢｊ．带电粒子在电磁场中的动力学方程为Ｆ＋ｆ＝ｍ．动力学方程的三个分量式分别为ｍｘ＝ｑＢｖｙ，①ｍｙ＝ｑＥ－ｑＢｖｘ，②ｍｚ＝0． ③令ω＝（ｑＢ）／ｍ，由方程①得ｖｙ＝（1／ω）ｘ．④④式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向分量ｙ＝（1／ω）ｘ．将上式代入②式，并令ｕｘ＝ｖｘ－（Ｅ／Ｂ）＝ｖｘ－ｖｅｂ，得ｘ＋ω２ｕｘ＝0．此微分方程的通解是ｕｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ），它可改写为ｖｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋ｖｅｂ． ⑤⑤式对时间ｔ微分得带电粒子在电磁场中运动时的加速度的ｘ方向的分量ｘ＝Ａωｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑥将⑥式代入④式得速度的ｙ方向的分量ｖｙ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑦⑦式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向的分量ｙ＝Ａωｃｏｓ（ωｔ＋φ），⑧③式对时间ｔ积分得速度的ｚ方向的分量ｖｚ＝Ｃ３．⑨⑤、⑦、⑨式分别对时间ｔ积分得带电粒子在电磁场中运动的运动学方程的三个分量ｘ＝－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）＋ｖｅｂｔ＋Ｃ１， ⑩ｙ＝－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋Ｃ２， ⑾ｚ＝Ｃ３ｔ＋Ｃ４． ⑿以上三式中Ａ、φ、Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３和Ｃ４均为积分常数，可用带电粒子射入电磁场时的初始条件确定．由①、②两式得，带电粒子初始加速度在ｘ方向和ｙ方向的分量分别为０ｘ＝（ｑＢｖ０ｙ）／ｍ＝ωｖ０ｙ，０ｙ＝（ｑＥ－ｑＢｖ０ｘ）／ｍ＝ωｖｅｂ－ωｖ０ｘ．将以上两式分别代入⑥、⑧两式得 Ａｓｉｎφ＝ｖ０ｙ，Ａｃｏｓφ＝ｖｅｂ－ｖ０ｘ，解得积分常数Ａ＝．⒀A的大小等于带电粒子的初速度沿ｘ方向以选择速度ｖｅｂ做匀速直线运动的相对速度的大小．称（Ａ／ω）为“幅”，称积分常数φ为初相，它有三种情况若ｖ０ｘ＜ｖｅｂ，φ＝ｔｇ－１[ｖ０ｙ/（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）]，若ｖ０ｘ＝ｖｅｂ，ｖ０ｙ＞0，φ＝（π／2），ｖ０ｙ＜0，φ＝－（π／2），若ｖ０ｘ＞ｖｅｂ，φ＝π＋ｔｇ－１[ｖ０ｙ／（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）．⒁将带电粒子初速度分量ｖ０ｚ代入⑨式得积分常数Ｃ３＝ｖ０ｚ．将带电粒子射入电磁场时的初始坐标ｘ＝0，ｙ＝0，ｚ＝0．代入⑩⑾⑿三式得积分常数C１＝ｖ０ｙ／ω，C２＝（Ａ／ω）ｃｏｓφ＝（1／ω）（ｖｅｂ－ｖ０ｘ），“2”分别表示ｖ０ｘ＝0、ｖ０ｘ＝ｖｅｂ、ｖ０ｘ＝2ｖｅｂ时粒子的运动轨迹．带电粒子由坐标原点射入，初速度有三个方向的分量．它在电磁场中运动轨迹的参量方程由⒂、⒃、⒄三式确定．运动轨迹在同一平面内，轨迹跟如图1和／ｖ如图2所示轨迹相似，只是轨迹平面绕ｙ轴向纸外或纸内转过ｔｇ－１（ｖ０z）角度．０ｘ图2三、带电粒子在正交匀强电磁场中运动轨迹的分析⑩、⑾、⑿三式和⒂、⒃、⒄三式表明带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动是以速度做匀速直线运动和以（Ａ／ω）为半径、ω为角速度的匀速圆周运动的合成．我们知道，一轮子在水平地面匀速滚动时，轮子上各点的运动是轮心的匀速直线运动和绕轮心的匀速圆周运动的合成．轮子上各点的运动轨迹是摆线，带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动轨迹也应是摆线．现有像火车轮那样的塔轮，大轮半径是小轮半径的两倍，如图3所示．小轮的匀速直线运动，塔轮的在水平轨道Ｏｘ上匀速滚动．塔轮轮心Ｏ′做速度为ｖｅｂ／ｒ）．角速度ω＝（ｖｅｂ图3图4初时刻大轮跟轨道接触点Ａ点的初速度为零，小轮最高点B点的初速度为2ｖｅｂ．这两点的运动轨迹如图4所示．如果将B点运动轨迹向下平移2ｒ，这两点运动轨迹就是图1中的“0”和“2”两条带电粒子在电磁场中运动轨迹．初始时刻小轮最高点Ｃ点有3ｖｅｂ水平向前的初速度，大轮最低点Ｄ点有ｖｅｂ水平向后的初速度．小轮上E点和F点在同一条竖直直径上，到轮心Ｏ′的距离都为（ｒ／2），E点有1．5ｖｅｂ水平向前的初速度，F点有0．5ｖｅｂ水平向前的初速度．这四点的运动轨迹如图5所示．如果C点轨迹向下平移3ｒ，D点轨迹向上平移ｒ，E点轨迹向下平移1．5ｒ，F点轨迹向下平移0．5ｒ，其运动轨迹就是图1中“3”、“－1”、“1．5”和“0．5”四条带电粒子在电磁场中的运动轨迹．图5图6中，初时刻塔轮轮心在Ｏ′．塔轮上的P点到轮心的距离ＰＯ′＝ｒ，Ｐ到水平轨道的距离ＰＯ＝2ｒ，圆心角φ＝（3／4）π．A是塔轮瞬时转轴．图6可以求得P点的初速度ｖ０＝ｖｅｂ，它的ｘ方向分量ｖ０ｘ＝2ｖｅｂ，ｙ方向的分量ｖ０ｙ＝ｖｅｂ，P点的运动轨迹如图6中曲线所示．将P点的运动轨迹向下平移2ｒ，就是图2中曲线“2”所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹．塔轮上Ｑ点（跟坐标原点O重合）、S点的运动轨迹分别跟图2中“1”、“0”两条曲线所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹相对应．如果塔轮在水平轨道上匀速滚动，轨道又在ｘＯｚ平面内沿ｚ轴匀速移动，移动过程中保持轨道跟ｘ轴平行，塔轮上的点的运动轨迹跟初速度有ｚ方向分量的带电粒子在电磁场中运动轨迹相应．带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动跟匀速滚动的塔轮上的点的运动相似，运动的轨迹为摆线．。
第六节带电粒子在匀强磁场中的运动ppt文档
1 mv2 qU v 2 qU
2
m
r mv 2 mU
qB qB2
测量带电粒子的质量或比荷 分析同位素
本节小结:
带电粒子在匀强磁场中做 匀速圆周运动的条件？
◆.条件：①.粒子只受洛伦兹力; ②.粒子的v⊥B B——匀强磁场.
②观察实验：
不加磁场：电子束 径迹是直线
加 磁 场：电子束径 迹是圆周。（洛伦兹力 提供向心力）
B变大、V定：电子 束径迹半径变小
B定、V变大：电子 束径迹半径变大
带电粒子在匀强用场中运动轨迹
2、轨道半径和周期……
思考与讨：一带电量为－q，质量为m ，速度为 v 的带电粒子垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场 中，其半径r和周期T为多大？
2v - e
两个电子轨道半径如何？
r mv v eB
轨道半径与粒子射入
B 的速度成正比。
【习题1】同一种带电粒子以不同的速度垂直
磁场边界、垂直磁感线射入匀强磁场中，其运动
轨迹如图所示，则可知：
（1）带电粒子进入磁场的速度值有几个？
（2）这些速度大小关系如何？
（3）三束粒子从O点出发分别到达1、2、3点
T qB v
v
r Br d
300
t3360000T1124pvdp3dv
变化1：在上题中若电子源自的电量e，质量m，磁感应强
度B及宽度d已知，若要求电 子不从右边界穿出，则初速
e
B v0
度V0有什么要求？
小结：临界问题的分析
d
方法
B
1、理解轨迹的变化
（从小到大）
2、找临界状态：
36带电粒子在匀强磁场中的运动共33张PPT
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2.回旋加速器两端所加的交流电压的周期由什么决定?
答案:为了保证每次带电粒子经过狭缝时均被加速,使之能量不断
提高。交流电压的周期必须等于带电粒子在回旋加速器中做匀速圆周
2m
。因此,交流电压的周期由带电粒子的质量
qB
运动的周期即 T=
m、带
电荷量 q 和加速器中的磁场的磁感应强度 B 来决定。
方向进入电场中加速。
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(2)电场的作用
回旋加速器两个半圆形金属盒之间的缝隙区域存在周期性变化的
并且垂直于两金属盒正对截面的匀强电场,带电粒子经过该区域时被
加速。
(3)交变电压的周期
线的夹角(弦切角 θ)的 2 倍。如图所示,即 φ=α=2θ。
②相对的弦切角 θ 相等,与相邻的弦切角 θ'互补,即 θ+θ'=180°。
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(3)粒子在磁场中运动时间的确定
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预习导引
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)只考虑磁场作用力时,平行射入匀强磁场中的带电粒子,做匀速
直线运动。
(2)垂直射入匀强磁场中的带电粒子,在洛伦兹力的作用下做匀速
带电粒子在匀强磁场中的运动(知识小结)
带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一．带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即 ① 为静止状态。
② 则粒子做匀速直线运动。
（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。
（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．(4)运动时间： (Θ 用弧度作单位 )1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。
速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。
2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从a 点沿ab 方向垂直射入匀强磁场：若从c 点射出，则圆心在d 处若从d 点射出，则圆心在ad 连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心O 和运动轨迹圆心O ′都在入射点和出射点连线AB 的中垂线上。
或者说两圆心连线OO ′与两个交点的连线AB 垂直。
（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形．（5）据半径公式求半径，2．其特征方程为：F 洛＝F 向． 3．三个基本公式： (1)向心力公式：qvB ＝m v 2R ； (2)半径公式：R ＝mv qB ； (3)周期和频率公式：T ＝2πm qB ＝1f ； 222m t qB m qB T θππθπθ==⨯=⨯v L =t再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6甲所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(3)两条弦的中垂线(三点)：如图3－6－7所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O 、A 、B 三点时，其圆心O ′在OA 、OB 的中垂线的交点上．(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－8所示，过入射点A 做v 垂线AO ， 延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交AO 于O 点，O 点即为圆心，求解临界问题常用到此法．(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2．求半径的常用方法 ：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识求半径。
带电粒子在匀强磁场中的运动 课件(人教版选修3-1)
解析： 粒子在电场中加速时，只有静电力做功，由动 1 2 Ek1 q1U q1 1 能定理得 qU＝ mv ，故 ＝ ＝ ＝ ，同时也能求得 v 2 Ek2 q2U q2 2 ＝ mv m 2qU m ，因为粒子在磁场中运动的轨迹半径 r＝ qB ＝ qB 2qU 1 m ＝B 2mU r1 q ，所以有r2＝ m1 q1 1 ＝ ，粒子做圆周运 2 m2 q2
• 6.带电粒子在匀强磁场中的运 动
• 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 • 1．运动轨迹 • (1) 匀速直线运动：带电粒子的速度方向与 磁场方向平行(相同或相反)，此时带电粒子 所受洛伦兹力为零，粒子将以速度v做匀速 直线运动． • (2) 匀速圆周运动：带电粒子垂直射入匀强 磁场，由于洛伦兹力始终和运动方向垂直， 匀速圆周 因此，带电粒子速度大小不变，但是速度 方向不断在变化，所以带电粒子做 运 动，洛伦兹力提供粒子做匀速圆周运动的 向心力．
2．轨迹半径和周期 v2 由 F 向＝F 洛得 qvB＝m R ， 所以有 R＝ 二、质谱仪和回旋加速器 1．质谱仪 (1)原理如图 ， T＝ .
(2)带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理： qU 1 2 ＝ mv 2 ①
(3)带电粒子进入质谱仪的偏转磁场， 洛伦兹力提供向心 力： mv2 qvB ＝ r ② (4)由①②两式可以求出粒子的
(2)平行边界(存在临界条件，如下图所示)
• 1．带电粒子在不同边界磁场中的运动各有 什么特点？ • 提示： (1)直线边界(进出磁场具有对称性， 如下图所示)
• (3)圆形边界(沿径向射入必沿 ) • 径向射出，如右图所示 2 ．在回旋加速器 D 形盒中，粒子轨道半径 是不是等距离分布的？ • 解析： 带电粒子在D形盒内运动时，轨道 不是等距分布的，越靠近D形盒的边缘，相 邻两轨道间的距离越小．
带电粒子在匀强磁场中的运动精选PPT课件
时刻 改变
圆
因为速度方向改变,所以洛伦兹力方向也改变
因为带电粒子受到一个大小不变，方向总与粒 子运动方向垂直的力，因此带电粒子做匀速圆
5
周运动，其向心力就是洛伦兹力
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
思考与讨论:推导粒子在匀强磁场中做匀速圆周运
动的圆半径r和运动周期T,与粒子的速度v和磁场
的强度B的关系表达式 1）圆周运动的半径 qvB m v2
2R
经历时间 t T
360
θ θ/2
注意：★充分利用对称性解题， 由于对称性，对着圆心射入，则背离圆心射出。
11
二、质谱仪
一个质量为m、电荷量为q的粒子,从容器下方的小孔S1飘入电 势差为U的加速电场,其初速度几乎为零,然后经过S3沿着与磁场方 向进入磁感应强度为B的匀强磁场中,最后打到照相底片D上.
三、回旋加速器
（5）当粒子加速到接近光速时，回旋加速 粒子就不可能了，质量随速率增加而显著增大， 频率不再一致。
（6）新型加速器： 同步加速器， 电子感应加速器， 高能粒子加速器－正负电子对撞机
17
四、霍尔效应
在轿车电路上经常可以看到“霍耳”（Hall）这个名 称，例如桑塔纳2000点火系统就有一只霍尔传感器，
轨迹 平面
速度 大小
速度 方向
与磁场 垂直
不变
高中物理选修3-1：3.6带电粒子在匀强磁场中的运动 课件(共35张PPT)
4)当粒子运动的圆弧所对的圆心角为α时,其运 动时间为 t T
2
课堂练习
如图所示，正方形容器处在匀强磁场中，一束 电子从孔a垂直于磁场沿ab方向射入容器中，其中
一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，容器处在
真空中，下列说法正确的是（ ABD ）
A.从两孔射出的电子速率之比是Vc:Vd=2:1
B.从两孔射出的电子在容器中
a
vo
b
运动所用的时间之比是tc:td=1:2
C.从两孔射出的电子在容器中
运动的加速度之比是ac:ad=√2:1 d
c
D.从两孔射出的电子在容器中
运动的加速度之比是ac:ad=2:1
课堂练习
长为L的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁 场,如图所示,磁场强度为B,板间距离也为L,板 不带电,现有质量为m,电量为q的带正电粒子 (不计重力),从左边极板间中点处垂直磁场以 速度v平行极板射入磁场,
若为负电荷则结果又如何？
v
a
P
b
Q
450
v
v
s
450 P
R
o
t T m
4 2qB S 2R 2mv
qB
Q
450
v
v
s
450 P
R
o
1、弦与圆 两个交点处 的速度与弦 的夹角相等
2、弦的中 垂线一定过 圆心及两个 速度延长线 的交点--三点共线
【例题2】如图所示,一束电子(电量为e)以速度 V垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁
因为洛伦兹力总是跟粒子的运动方向垂直, 所以速度方向改变
因为速度大小不变,所以洛伦兹力大小也不变
高中物理《带电粒子在匀强磁场中的运动》PPT课件.高中物理
励磁电流
(2)当作用力F一定时，力的作用时间Δt越长，动量变化量Δp越大，力的作用时间Δt越短，动量变化量Δp越小
选择档 3．光电子的最大初动能大小，看入射光的频率．
选择档
四、观察电子在磁场中的运动轨迹
除以秒(s)．
（1）实验之前，先介绍液体压强计的使用方法及注意事项。（多媒体课件显示液体压强计的图片及各部分的名称）
例１：在探究“影响液体内部压强大小的因素”的过程中，一些同学作了如下猜想：
加速极电压 (2)动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸后系统的总动能增加．
1、若不加磁场，电子做什么运动？
v
四、观察电子在磁场中的运动轨迹
2、电子以垂直于磁场方向的速度射入，做什么运动？
B
F v
电子的运动轨迹是什 么样的？
加垂直于线圈平面 向里磁场，电子初 速度向左，与磁场 方向垂直进入匀强 磁场。
电子的运动轨 迹为圆
四、观察电子在磁场中的运动轨迹
3、仅改变电子初速度的大小，电子运动有什么变化？
r mv
B
qB
v
顺时针旋转加速电压旋钮， 加速电压逐渐增大，电子进 入磁场的速度增大
电子运动轨迹的半径逐渐增 大
四、观察电子在磁场中的运动轨迹
4、仅改变磁感应强度的大小，电子运动有什么变化？
r mv qB
B v
顺时针旋转励磁电流旋钮，励磁 电流逐渐增大，匀强磁场磁感应 强度逐渐增大
电子运动轨迹的半径逐渐减小
qB [解析] (1)设月球质量为m，卫星质量为m′，月球的半径为Rm，对于绕月球表面飞行的卫星，由万有引力提供向心力有
高中物理备课参考 带电粒子在匀强磁场中的运动
粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，有 qvB=mv2/R ①
由几何关系有：R = r tan60º ②
粒子的运动周期 T =2πR/v0
（1）离子的入射速度是多少？
（2）若离子在磁场中的运动时间为 t1，在电场中的运动时间为 t2，则 t1:t2多大？
1 【解析】 设正离子在匀强磁场中作匀速圆周运动，从 M 经 4 圆弧到 N
mv
由题意得 MO=NO=R ①
而 R= qB ②
T 1 2m m
在磁场中的运动时间 t1= 4 4 qB 2qB ③
2r 2mv
由 r=mv/qB 得知圆运动半径将与 v 成正比例地增大，因而圆运动周长
qB 也将
与 v 成正比例地增大，因此运动一周的时间（周期）仍将保持原值。
回旋加速器的效能（可将带电粒子加速，使其动能达到 25 MeV～30 MeV）。
磁场的作用：电荷以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀
速圆周运动，其周期在 q、 m、 B 不变的情况下与速度和轨道半径无关，带电粒子每次进入 D 形盒都运动相等的时间（半个周期）后平行电场方向进入电场加速。
电场的作用：回旋加速器的的两个 D 形盒之间的夹缝区域存在周期性变化的并垂直于 两个 D 形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速。
交变电压的作用：为保证交变电场每次经过夹缝时都被加速，使之能量不断提高，须在
谱线，每一条对应于一定的质量，从谱线的位置可以知道圆周的半径 r，如果再已知带电粒
子的电荷量 q，就可算出它的质量。 ③ 同位素：质子数相同而质量数不同的原子互称为同位素。
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带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线
陈升科
高中物理中介绍了速度选择器，速度选择器两极板间有正交的匀强电场和匀强磁场，带电粒子在速度选择器中的运动实际上是在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动．带电粒子垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，且速度大小等于电场强度Ｅ跟磁感强度Ｂ之比（Ｅ／Ｂ）（称（Ｅ／Ｂ）为选择速度，用ｖ
ｅｂ
表示），将做匀速直线运动．如果带电粒子的速度大小不等于选择速度或偏离垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，将做什么运动，其运动轨迹怎样? 一、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动方程
设空间有正交的匀强电场和匀强磁场（下称电磁场），电场强度矢量和磁感强度矢量分别为Ｅ＝Ｅｊ，Ｂ＝Ｂｋ．
有一个电量为ｑ、质量为ｍ的带电粒子从坐标原点以初速ｖ
０
射入电磁场
中．初速度矢量为ｖ
０＝ｖ
０ｘ
ｉ＋ｖ
０ｙ
ｊ＋ｖ
０ｚ
ｋ，带电粒子射入电磁场后，在
某时刻的速度矢量为ｖ＝ｖ
ｘｉ＋ｖ
ｙ
ｊ＋ｖ
ｚ
ｋ．
带电粒子在此时刻受到的电场力矢量为Ｆ＝ｑＥ＝ｑＥｊ，受到的磁场力（洛伦兹力）矢量为
ｆ＝ｑｖ×Ｂ＝ｑｉｊｋ
ｖ
ｘｖ
ｙ
ｖ
ｚ
00Ｂ
＝ｑｖ
ｙＢｉ－ｑｖ
ｘ
Ｂｊ．
带电粒子在电磁场中的动力学方程为Ｆ＋ｆ＝ｍ．
动力学方程的三个分量式分别为
ｍ
ｘ＝ｑＢｖ
ｙ
，①
ｍ
ｙ＝ｑＥ－ｑＢｖ
ｘ
，②
ｍ
ｚ
＝0． ③
令ω＝（ｑＢ）／ｍ，由方程①得ｖ
ｙ＝（1／ω）
ｘ
．④
④式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向分量
ｙ＝（1／ω）
ｘ
．
将上式代入②式，并令ｕ
ｘ＝ｖ
ｘ
－（Ｅ／Ｂ）＝ｖ
ｘ
－ｖ
ｅｂ
，
得
ｘ＋ω２ｕ
ｘ
＝0．
此微分方程的通解是
ｕ
ｘ
＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ），
它可改写为ｖ
ｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋ｖ
ｅｂ
． ⑤
⑤式对时间ｔ微分得带电粒子在电磁场中运动时的加速度的ｘ方向的分量
ｘ
＝Ａωｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑥
将⑥式代入④式得速度的ｙ方向的分量
ｖ
ｙ
＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑦
⑦式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向的分量
ｙ
＝Ａωｃｏｓ（ωｔ＋φ），⑧
③式对时间ｔ积分得速度的ｚ方向的分量
ｖ
ｚ＝Ｃ
３
．⑨
⑤、⑦、⑨式分别对时间ｔ积分得带电粒子在电磁场中运动的运动学方程的三个分量
ｘ＝－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）＋ｖ
ｅｂｔ＋Ｃ
１
， ⑩
ｙ＝－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋Ｃ
２
， ⑾
ｚ＝Ｃ
３ｔ＋Ｃ
４
． ⑿
以上三式中Ａ、φ、Ｃ
１、Ｃ
２
、Ｃ
３
和Ｃ
４
均为积分常数，可用带电粒子射入电磁
场时的初始条件确定．
由①、②两式得，带电粒子初始加速度在ｘ方向和ｙ方向的分量分别为
０ｘ＝（ｑＢｖ
０ｙ
）／ｍ＝ωｖ
０ｙ
，
０ｙ＝（ｑＥ－ｑＢｖ
０ｘ
）／ｍ＝ωｖ
ｅｂ
－ωｖ
０ｘ
．
将以上两式分别代入⑥、⑧两式得 Ａｓｉｎφ＝ｖ
０ｙ
，
Ａｃｏｓφ＝ｖ
ｅｂ－ｖ
０ｘ
，
解得积分常数
Ａ＝．⒀
A的大小等于带电粒子的初速度沿ｘ方向以选择速度ｖ
ｅｂ
做匀速直线运动的相对速度的大小．称（Ａ／ω）为“幅”，称积分常数φ为初相，它有三种情况
若ｖ
０ｘ＜ｖ
ｅｂ
，φ＝ｔｇ－１[ｖ０ｙ/（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）]，
若ｖ
０ｘ＝ｖ
ｅｂ
，ｖ
０ｙ
＞0，φ＝（π／2），
ｖ
０ｙ
＜0，φ＝－（π／2），
若ｖ
０ｘ＞ｖ
ｅｂ
，φ＝π＋ｔｇ－１[ｖ０ｙ／（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）．⒁
将带电粒子初速度分量ｖ
０ｚ
代入⑨式得积分常数
Ｃ
３＝ｖ
０ｚ
．
将带电粒子射入电磁场时的初始坐标ｘ＝0，ｙ＝0，ｚ＝0．
代入⑩⑾⑿三式得积分常数
C
１＝ｖ
０ｙ
／ω，
C
２＝（Ａ／ω）ｃｏｓφ＝（1／ω）（ｖ
ｅｂ
－ｖ
０ｘ
），
“2”分别表示ｖ０ｘ＝0、ｖ０ｘ＝ｖｅｂ、ｖ０ｘ＝2ｖｅｂ时粒子的运动轨迹．带电粒子由坐标原点射入，初速度有三个方向的分量．它在电磁场中运动轨迹的参量方程由⒂、⒃、⒄三式确定．运动轨迹在同一平面内，轨迹跟如图1和
／ｖ如图2所示轨迹相似，只是轨迹平面绕ｙ轴向纸外或纸内转过ｔｇ－１（ｖ
０z
）角度．
０ｘ
图2
三、带电粒子在正交匀强电磁场中运动轨迹的分析
⑩、⑾、⑿三式和⒂、⒃、⒄三式表明带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动是以速度做匀速直线运动和以（Ａ／ω）为半径、ω为角速度的匀速圆周运动的合成．我们知道，一轮子在水平地面匀速滚动时，轮子上各点的运动是轮心的匀速直线运动和绕轮心的匀速圆周运动的合成．轮子上各点的运动轨迹是摆线，带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动轨迹也应是摆线．
现有像火车轮那样的塔轮，大轮半径是小轮半径的两倍，如图3所示．小轮
的匀速直线运动，塔轮的在水平轨道Ｏｘ上匀速滚动．塔轮轮心Ｏ′做速度为ｖ
ｅｂ
／ｒ）．
角速度ω＝（ｖ
ｅｂ
图3
图4
初时刻大轮跟轨道接触点Ａ点的初速度为零，小轮最高点B点的初速度为2
ｖ
ｅｂ
．这两点的运动轨迹如图4所示．如果将B点运动轨迹向下平移2ｒ，这两点运动轨迹就是图1中的“0”和“2”两条带电粒子在电磁场中运动轨迹．
初始时刻小轮最高点Ｃ点有3ｖ
ｅｂ水平向前的初速度，大轮最低点Ｄ点有ｖ
ｅ
ｂ
水平向后的初速度．小轮上E点和F点在同一条竖直直径上，到轮心Ｏ′的距离
都为（ｒ／2），E点有1．5ｖ
ｅｂ水平向前的初速度，F点有0．5ｖ
ｅｂ
水平向前
的初速度．这四点的运动轨迹如图5所示．如果C点轨迹向下平移3ｒ，D点轨迹向上平移ｒ，E点轨迹向下平移1．5ｒ，F点轨迹向下平移0．5ｒ，其运动轨迹就是图1中“3”、“－1”、“1．5”和“0．5”四条带电粒子在电磁场中的运动轨迹．
图5
图6中，初时刻塔轮轮心在Ｏ′．塔轮上的P点到轮心的距离ＰＯ′＝ｒ，
Ｐ到水平轨道的距离ＰＯ＝2ｒ，圆心角φ＝（3／4）π．A是塔轮瞬时转轴．
图6
可以求得P点的初速度ｖ
０＝ｖ
ｅｂ
，它的ｘ方向分量ｖ
０ｘ
＝2ｖ
ｅｂ
，ｙ方
向的分量ｖ
０ｙ＝ｖ
ｅｂ
，P点的运动轨迹如图6中曲线所示．将P点的运动轨迹向
下平移2ｒ，就是图2中曲线“2”所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹．塔轮上Ｑ点（跟坐标原点O重合）、S点的运动轨迹分别跟图2中“1”、“0”两条曲线所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹相对应．
如果塔轮在水平轨道上匀速滚动，轨道又在ｘＯｚ平面内沿ｚ轴匀速移动，移动过程中保持轨道跟ｘ轴平行，塔轮上的点的运动轨迹跟初速度有ｚ方向分量的带电粒子在电磁场中运动轨迹相应．带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动跟匀速滚动的塔轮上的点的运动相似，运动的轨迹为摆线．。