抽屉原理[1].
抽屉原理公式
抽屉原理公式
抽屉原理是一种概率统计学的原理，它指的是从一个抽屉中任意抽取一个物体的概率等于抽到此物体的概率与总数相等。
抽屉原理的公式为：
P（A）=P（A|B）*P（B）
其中，P（A）是抽到A物体的概率，P（A|B）是在B物体被抽出的情况下，抽出A物体的概率，P（B）是抽出B物体的概率。
抽屉原理在日常生活中有着广泛的应用，比如你从一个抽屉中抽取一个黑色的物体，那么抽到黑色物体的概率就等于所有物体中黑色物体的数量与总数的比例。
此外，抽屉原理也可以应用于一些概率统计学的问题，比如一个抽屉里有N个物体，现在要求从这N个物体中抽出2个，那么根据抽屉原理，抽到这2个物体的概率就等于每个物体被抽出来的概率相乘。
因此，可以用抽屉原理解决一些概率问题。
此外，抽屉原理还可以用于计算一些组合问题，比如抽屉里有N 个物体，要计算出从中抽出2个不同的物体的组合数，可以用抽屉原理，即N*（N-1），即N的阶乘减1。
总而言之，抽屉原理是一种有效的概率统计学原理，在日常生活和
统计学问题中都有着广泛的应用，它可以帮助我们精确地计算出各种概率和组合问题。
《抽屉原理》(PPT课件
在算法分析中，抽屉原理可以用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以及确 定算法的最坏情况下的性能。
在日常生活中的应用
资源分配
在资源分配问题中，可以将资源视为抽屉，将待分配的物品 或任务视为物体，根据抽屉原理得出最优的分配方案。
排队理论
在排队理论中，抽屉原理可以用于分析排队系统的性能和稳 定性，以及确定最优的排队策略。
有限制的抽屉原理的证明
有限制的抽屉原理是指
如果 n+1 个物体要放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n），那么至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n+1 个物体放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n）。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们可以将这个物体放入另一个 容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
在数论中的应用
质数分布
根据抽屉原理，如果将自然数按 照质数和非质数进行分类，则质 数在自然数中的比例趋近于 $frac{1}{2}$。
同余方程
在解同余方程时，可以将模数视 为抽屉，方程的解为物体，根据 抽屉原理得出解的存在性和个数 。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，抽屉原理可以应用于各种数据结构的设计和分析，如数组、链 表、哈希表等。
现代研究
现代数学研究中对抽屉原理进行了深入的探讨和研究，不断拓展其 应用范围和理论体系。
02
抽屉原理的证明特殊形式，其基本思想是
如果 n 个物体要放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体，则至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n 个物体放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们 可以将这个物体放入另一个容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
抽屉原理(1)
补充练习 ：
• 1、试说明 ⑴我们从街上随便找 、试说明:⑴ 来13人，就可断定他们中至少 人 有两个人属相相同。 有两个人属相相同。 • ⑵从任意 双手套中任取 只， 从任意5双手套中任取 双手套中任取6只 其中至少有2只恰为一双手套 其中至少有 只恰为一双手套 • ⑶从数 、2、……10中任取 个 从数1、 、 中任取6个 中任取 其中至少有2个数为奇偶性 数，其中至少有 个成课本第 完成课本第70-71页的“做一做” 页的“ 页的 做一做” （4名学生，每2人板演一题） 名学生， 人板演一题） 名学生 人板演一题 • 要求：认真做题，字体端正。选 要求：认真做题，字体端正。 择你喜欢的方法， 择你喜欢的方法，每一题都要写 出完整的计算过程。 出完整的计算过程。
师板书： 师板书：
• 8÷3=2……2，所以 只鸽子飞 ÷ ，所以8只鸽子飞 个鸽舍， 回3个鸽舍，至少有 只鸽子要 个鸽舍 至少有3只鸽子要 飞进同一个鸽舍里。到底是“ 飞进同一个鸽舍里。到底是“商 +1”还是“商+余数”呢？谁的 还是“ 余数” 还是 余数 结论对呢？在小组里进行研究、 结论对呢？在小组里进行研究、 讨论。 讨论。
抽屉原理（1） 抽屉原理（1）
学习目标： 学习目标：
• 1、经历“抽屉原理”的探究过 、经历“抽屉原理” 了解“抽屉原理” 程，了解“抽屉原理”。 • 2、会用“抽屉原理”解决简单 、会用“抽屉原理” 的实际问题。 的实际问题。
自学指导： 自学指导：
• 认真看课本第 认真看课本第70—71页“做一做”上 页 做一做” 面的内容，看图看文字， 面的内容，看图看文字，重点看解答 方法，并思考下面问题： 方法，并思考下面问题： • 1、解决例 可以有哪些方法？各有什 可以有哪些方法？ 、解决例1可以有哪些方法 么优、缺点？当数据较大时， 么优、缺点？当数据较大时，选择哪 种方法更简便？ 种方法更简便？ • 2、解决例 可以有哪些方法？各有什 可以有哪些方法？ 、解决例2可以有哪些方法 么优、缺点？当数据较大时， 么优、缺点？当数据较大时，选择哪 种方法更简便？ 种方法更简便？
抽屉原理
抽屉原理【知识点与基本方法】抽屉原理1：将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2：将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。
理解抽屉原理要注意几点：（1）抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。
（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。
（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。
1．五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。
已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。
问：至少有几名学生的成绩相同？2．夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。
规定每人必须参加一项或两项活动。
那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？3．把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？4．张老师在一次数学课上出了两道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。
张老师说：可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。
那么，这个班最少有多少人？5．任意将若干个小朋友分为五组。
证明：一定有这样的两组，两组中的男孩总数与女孩总数都是偶数。
6.把一个长方形画成3行9列共27个小方格，然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。
是否一定有两列小方格涂色的方式相同？7.在任意的四个自然数中，是否总能找到两个数，它们的差是3的倍数？8.从1，3，5，7，…，47，49这25个奇数中至少任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是52。
抽屉原理(一)
一副扑克牌(除去大小王)52张中有四种花 色，从中随意抽5张牌，无论怎么抽,为什么总 有两张牌是同一花色的？
四种花色
抽 牌
在数学的天地里，重要的不 是我们知道什么，而是我们怎么 知道什么。
——1个物体，放到n个抽屉里，不管怎么 放，则总有一个抽屉中至少有2个物体。
“抽屉原理”又称“鸽巢原 理”，
狄里克雷 （1805～1859）
最先是由19世纪的德国数学家 狄里克雷提出来的，所以又称
“狄里克雷原理”。
• 把5根小棒放到3个杯子里，不管怎么放， 总有一个杯子里至少有2根小棒，为什么？
• 把n+1或多于n+1个物体，放到n个抽屉里， 不管怎么放，则总有一个抽屉中至少有2个 物体。
做一做
7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同 一个鸽舍里。为什么？
做一做
7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同 一个鸽舍里。为什么？
做一做 . 六.三班13名同学中，至少有2位同学是 同一个月的生日，为什么？
抽屉原理(1)
抽屉原理抽屉原理的定义举例：桌上有10个苹果，要把这10个苹果放在9个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放1个，有的可以放2个，有的可以放5个，但最终我们可以发现至少我们可以找到这个抽屉里至少有2个苹果。
定义：一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果，我们称种现象为抽屉原理。
这是因为如果每一个抽屉里最多放有一个苹果，那么两个抽屉里最多只放有两个苹果。
运用抽屉原理的解题方法：1、利用最值原理：将题目中没有阐明的量进行权限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的权限思想“任我意”方法、特殊值方法。
2、利用公式：苹果÷抽屉＝商……余数①余数＝1，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里。
②余数＝χ（1＜χ＜n－1），结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里。
③余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里。
例1.某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？巩固题15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？例题2.某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。
买书的情况是：有买一本的、二本的、三本或四本的。
，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？巩固题一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？例题3：一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？巩固题布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。
颜色有白、黑、蓝三种。
问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双同色的？课后练习1.一个联欢会有100人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这100人中至少有个人的朋友数目相同.2.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取颗.如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出颗.3.在明年(即1999年)出生的1000个孩子中,请你预测:(1)同在某月某日生的孩子至少有个.(2)至少有个孩子将来不单独过生日.4.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有人的头发根数一样多.5.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有个.6.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取张牌,才能保证其中必有3种花色.7.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了个球.8.某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同.。
抽屉原理是什么意思
抽屉原理是什么意思抽屉原理（也称为鸽巢原理）是数学中的一个重要原理，它描述的是一种概率现象。
抽屉原理可以简单地概括为：如果有n+1个物体要放进n个抽屉中，那么无论如何放置，至少有一个抽屉中必然会有两个或更多物体。
抽屉原理最早可以追溯到古希腊数学家彼得·建设者（Peter C. D）在1939年提出的鸽巢定理，后来由是美国数学家罗森（R. R*) 在1964年将其普及并以抽屉原理的名字命名。
这个原理的简单解释是很容易理解的。
假设有5个苹果和4个抽屉，我们需要将这些苹果放入抽屉中去。
无论如何摆放，必然会有至少一个抽屉中放入了两个或更多的苹果。
这是因为若将5个苹果放入4个抽屉，我们只能在某一个抽屉中放2个苹果，而按照抽屉原理的规定，至少会有一个抽屉中放入了两个或更多的物体。
抽屉原理的应用非常广泛，不仅仅局限于数学领域。
它可以应用于各个领域，如计算机科学、生物学、物理学等。
在计算机科学中，抽屉原理可以用于解决许多问题。
例如，在散列函数中，如果我们将 n个关键字映射到 m个槽位中（假设 n>m），那么至少会有一个槽位中有多个关键字映射。
这是因为抽屉原理告诉我们，无论以何种方式映射，始终会有两个关键字映射到同一个槽位上。
生物学中，抽屉原理可以用于解释遗传学中的基因频率。
在一个种群中，如果有 n 个个体，而有 m 种不同的基因，则至少会有个体携带相同的基因，而原因也是抽屉原理的应用。
物理学中，抽屉原理可以类比于波动理论。
例如，如果我们在一条线上有 n 个波峰，而只有 m 个波谷（n>m），则必然会有至少两个波峰在同一个波谷之间。
抽屉原理指导我们认识到，波动现象中特定的波峰和波谷的存在不能无限地隔离。
在生活中，我们也可以看到抽屉原理的应用。
例如，如果我们参加一个聚会，那么如果参与人数超过了场地的容纳能力，那么至少会有两个人被安排坐在同一张桌子上。
总结一下，抽屉原理是一种重要的概率现象，可以简单地概括为：在一定条件下，将多个物体放置到较少的容器中，必然会出现某个容器放入了两个或更多物体。
《抽屉原理》第-课PPT课件
有限制条件的抽屉原理证明
有限制条件的抽屉原理是指在某些特 定条件下，抽屉原理仍然成立。例如 ，当容器的形状、大小、质量等因素 受到限制时，抽屉原理仍然适用。
证明方法：根据具体条件，通过数学 推导和逻辑推理，证明在满足特定条 件下，抽屉原理仍然成立。
抽屉原理的推广证明
抽屉原理的推广是指将抽屉原理应用到更广泛的领域和问题中，例如集合论、概 率论、组合数学等。
有n个人和n把椅子（n>3），将它们 随机就座。求证：至少有两把椅子被 两个人同时坐。
5
有100枚硬币，将它们放入10个盒子 里，每个盒子至少放10枚硬币。求证： 至少有一个盒子里放了10枚硬币。
05 总结与思考
CHAPTER
抽屉原理的重要性和意义
数学基础
抽屉原理是组合数学中的 基础原理，对于理解许多 数学概念和证明许多数学 定理具有重要意义。
《抽屉原理》第-课ppt课件
目录
CONTENTS
• 抽屉原理简介 • 抽屉原理的应用 • 抽屉原理的证明 • 抽屉原理的练习题 • 总结与思考
01 抽屉原理简介
CHAPTER
抽屉原理的定义
抽屉原理
如果n+1个物体要放入n个抽屉中 ，那么至少有一个抽屉包含两个 或两个以上的物体。
数学表达
如果将m个物体放入n个抽屉中 （m>n），那么至少有一个抽屉包 含多于一个物体。
进阶练习题
01
02
03
总结词
考察较复杂情况下的抽屉 原理应用
3
有100个苹果和91个抽屉， 要将苹果放入抽屉中，至 少有一个抽屉里放了多少 个苹果？
4
有1000只鸽子飞过天空， 它们要飞进100个鸽笼里， 至少有一个鸽笼里飞进了 几只鸽子？
抽屉原理的三个公式
抽屉原理的三个公式抽屉原理的一种更一般的表述为：“把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。
”知道抽屉数和至少数（同类），求物体时：物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。
当至少数为2时，物体数=抽屉数+1。
抽屉原理，主要由以下三条所组成：原理1：把多于n+1个的物体放在n个抽屉里，则至少存有一个抽屉里的东西不少于两件。
原理2 ：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。
原理3 ：把无穷多件物体放进n个抽屉，则至少存有一个抽屉里存有无穷个物体。
把它推广到一般情形有以下几种表现形式。
形式一：设立把n+1个元素分割至n个子集中(a1，a2，…，an)，用a1，a2，…，an 分别则表示这n个子集对应涵盖的元素个数，则：至少存有某个子集ai，其涵盖元素个数值ai大于或等于2。
证明：（反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai\uc2，则因为ai是整数，应有ai≤1，于是有：a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n\ucn+1，这与题设矛盾。
所以，至少有一个ai≥2，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
形式二：设立把nm+1个元素分割至n个子集中(a1，a2，…，an)，用a1，a2，…，an则表示这n个子集对应涵盖的元素个数，则：至少存有某个子集ai，其涵盖元素个数值ai大于或等于m+1。
证明：（反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai\ucm+1，则因为ai是整数，应有ai≤m，于是有：a1+a2+…+an≤m+m+…+m=nm\ucnm+1，这与题设二者矛盾。
所以，至少有存在一个ai≥m+1。
六年级数学下册抽屉原理1-ppt课件
2020/2/11
例4 在一只口袋中有红色与黄色球各4只， 现有4个小朋友，每人可从口袋中随意取出2个 小球，请你证明必有两个小朋友，他们取出的 两个小球的颜色完全一样。 每个小朋友取出两种颜色的球的颜色组合只有3种可能：
2020/2/11
例6 从电影院中任意找来13个观众，至少 有两个人属相相同。
2020/2/11
思考 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游园， 在 公园里他们各自遇到了许多熟人。 证明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的 熟人数目相等。
假设这次游园活动共有N个小朋友参加，我们 把他们看作是N个“苹果” ，再把每个小朋友看 到熟人的数目看作是“抽屉”那么每个小朋友遇 到的朋友数目共有以下N种可能：
2020/2/1/2/11
2020/2/11
2020/2/11
2020/2/11
抽屉原理
有m个物体，放进n个抽屉里去， 如果物体比抽屉多（m大于n)，那么， 必有一个抽屉要放进两件或两件以
上的物体。
2020/2/11
鸽笼原理
2020/2/11
例1 三个小朋友同行，其中必有 两个小朋友性别相同。
0，1，2，3，…，N-1. 共有N个抽屉。
2020/2/11
分两种情况讨论： 1.如果在这N个小朋友中,有一些小朋友没有 遇到任何熟人,这时其它小朋友最多只能遇到N-2 个熟人,这们熟人的数目只有N-1种可能:
0,1,2,3, …,N-2.
这时,苹果数(N个小朋友)超过抽屉数(N-1个 熟人数),由抽屉原理可知,至少有两个小朋友,他 们遇到熟人的数目相等(即在同一个抽屉中).
2020/2/11
必须把题目中的一些条件 想成“抽屉”，并知道它的数 目，如上面例子中的小朋友 性别（2种）、一年的周数 （52周）、鸽笼（10个）等。
抽屉原理课件
抽屉原理课件抽屉原理课件抽屉原理，也被称为鸽巢原理，是一个在离散数学中被广泛应用的概念。
它的基本思想是：如果有十个苹果放入九个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会有两个苹果。
虽然这个原理看起来很简单，但它在解决很多实际问题中起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨抽屉原理的应用以及它对我们日常生活的影响。
抽屉原理最早由德国数学家约瑟夫·斯图尔特在19世纪末提出。
他认为，当我们将苹果放入抽屉中时，我们可以将苹果视为物体，抽屉视为容器。
这个原理可以用来解决很多实际问题，比如密码学、计算机科学、概率论等等。
在密码学中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组随机生成的密码中，总会有一些密码是相同的。
在计算机科学中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组数据中，总会有一些数据具有相同的特征。
在概率论中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组随机事件中，总会有一些事件具有相同的概率。
抽屉原理的应用不仅限于数学领域，它还可以用来解释一些日常生活中的现象。
比如，我们常常会发现，当我们去购买衣服时，总会有一些衣服的尺寸不合适。
这可以用抽屉原理来解释，因为在一组不同尺寸的衣服中，总会有一些尺寸与我们的身体尺寸相匹配。
又比如，当我们在超市购买水果时，总会发现一些水果有瑕疵。
这可以用抽屉原理来解释，因为在一组水果中，总会有一些水果因为各种原因而变质或者损坏。
抽屉原理的深层次含义在于，它告诉我们世界上的事物是有规律可循的。
无论是数学中的问题，还是生活中的现象，都可以通过抽屉原理来解释和理解。
这也意味着我们需要保持警觉，不要被表面现象所迷惑，而要去寻找问题的本质和规律。
只有这样，我们才能更好地应对挑战和解决问题。
在教育领域，抽屉原理也有着重要的应用价值。
通过将抽屉原理引入课堂教学，可以帮助学生培养逻辑思维和问题解决能力。
例如，在数学课上，老师可以通过抽屉原理的例子来教授概率论，让学生更好地理解概率的概念和计算方法。
在物理课上，老师可以通过抽屉原理的例子来教授力学的基本原理，让学生了解物体在受力作用下的运动规律。
抽屉原理1
抽屉原理1：如果把（n＋1）个（或更多个）物体（元素）放进n个抽屉里去，那么，至少有一个抽屉里放进2个或2个以上物体（元素）。
抽屉原理2：如果把m*n+1个（或更多个）物体（元素）放进n个抽屉里，那么，至少有一个抽屉里放进（m＋1）个或更多个物体（元素）。
（注：大家也可以这样理解原理2：把多于mn个物体放进n个抽屉里，至少有一个抽屉放进m+1个物体。
这样可能容易理解些。
或更多个是指m*n后可以是多于1的。
原理1同理。
）抽屉原理又叫鸽子笼原则，它是十九世纪德国数学家狄利克雷最早发现并应用于数论研究的，后人为了纪念他，有时也把抽屉原理叫狄利克雷重叠原理。
运用抽屉原理来解题的思路，我们把它叫做抽屉原理思路。
其思路的主要步骤是：（1）造好抽屉，确定元素；（2）所有元素，放入抽屉（或从抽屉取出元素）；（3）根据原理，说明结论。
例1.木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？分析：把3种颜色看作3个抽屉若要符合题意，则小球的数目必须大于3大于3的最小数字是4故至少取出4个小球才能符合要求答：最少要取出4个球。
例2.11名学生到老师家借书，老师是书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本，试证明：必有两个学生所借的书的类型相同分析：若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四种若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种，共有10种类型把这10种类型看作10个“抽屉”如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同例3.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？解题关键：利用抽屉原理2。
分析：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种：｛足｝｛排｝｛蓝｝｛足足｝｛排排｝｛蓝蓝｝｛足排｝｛足蓝｝｛排蓝｝以这9种配组方式制造9个抽屉根据抽屉原理2，至少有6人，他们所拿的球类是完全一致的。
一、抽屉原理简介
一、抽屉原理简介抽屉原理又称鸽巢原理，“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”原理1：把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
原理2：把多于个kn物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。
原理3：无穷多个元素分成n个集合，则至少有一个集合中含有无穷多个元素。
在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。
现行的小学课本中只编排了抽屉原理1、2的教学。
二、运用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意。
分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“要分的物体”，什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉。
这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步：运用原理。
观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
三、理解抽屉原理要注意几点（1）抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。
（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。
（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。
四、教学建议1．应让学生初步经历“数学证明”的过程。
抽屉原理练习[1]
![抽屉原理练习[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/cb96aa29915f804d2b16c153.png)
抽屉原理的基本概念：1、如果把x＋1个相同物体放到x个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不止一个这种物体。
2、把xm＋1个相同物体放到m个抽屉里，则肯定有一个抽屉里至少有x＋1个这种物体。
利用抽屉原理解题的基本方法和步骤：1、构造抽屉；2、把物体放入抽屉；3、说明理由，得出结论。
例1：证明：任意三个自然数，总有2个自然数的和是2的倍数。
1、某校有32名学生是在3月份出生的，则其中至少有几名学生的生日是在同一天？为什么？2、在一次有100人参加的集会中，至少有几人的属相是一样的？3、班上有40位同学，老师至少拿基本书，随意分给大家，才能保证至少有一个同学得到2本？4、把135颗糖果分给16位小朋友，若每个小朋友至少要分到一颗，则不管怎样分，一定会有两个小朋友得到的糖果数目相同。
为什么？5、某班有40位同学，现有各种图书125本，把这些图书分给同学们，是否有人会得到4本或4本以上的图书？例2：五（1）班有44名同学，要订甲乙丙三种报刊，每人至少订一种，最多订三种。
则全班至少有多少人订的情况相同？1、五年级有165名学生，都参加蓝球、足球和乒乓球三项体育活动中的一项、两项或三项，其中至少有多少个学生参加了项目相同的活动？2、幼儿园小班有15个小朋友，每人从足够多的猪、狗、马玩具中任选两件，则至少有多少个小朋友选的玩具相同？3、库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，则在202个搬运者中，至少有多少人搬运的球完全相同？4、在口袋里放着红、蓝、黄三种颜色的小球若干个，如果有45人从袋子里摸取小球，每人只准取三个小球，则在这45人中，至少有多少人摸取的球的颜色情形是一样的？（不考虑摸出球的顺序）5、要把151个羽毛球分装在若干个羽毛球盒子中，每个盒子最多可装5个羽毛球。
则至少有多少个盒子里的羽毛球数目相同？6、在200米的路段上植树，则至少要植几棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？例3：同学们订报刊，有甲乙丙三种报刊，每人至少订一种，最多订三种。
抽屉原理（又名：鸽笼原理）
抽屉原理（又名：鸽笼原理）编辑本段常见形式第一抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
编辑本段应用基本介绍应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。
解：将一年中的365天视为365个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
” 例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同. 上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少. 抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。
抽屉原理课件1[1]
![抽屉原理课件1[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/44b66135580216fc700afd42.png)
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我把情况记 录下来.
不管怎么放,总有一个文 具盒里至少放进2枝铅笔.
பைடு நூலகம்
如果每个文具盒只放1枝铅笔,最 多放3枝.剩下的1枝还要放进其中 的一个文具盒.所以至少有2枝铅 笔放进同一个文具盒.
7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有( ) 只要飞进同一个鸽舍里。为什么？
假如一个鸽舍里飞进一只鸽子，5个鸽舍最 多飞进5只鸽子，还剩下2只鸽子。所以， 无论怎么飞，至少有2只鸽子要飞进同一个 笼子里。
一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有 各种玩具125件。把这些玩具分给小朋 友，是否有人会得到4件或4件以上的玩 具？
把25个球最多放在几个盒里，才 能至少有一个盒子里有7个球？
布袋里有4种不同颜色的球，每 种都有10个。最少取出多少个 球，才能保证其中一定有3个球 的颜色一样？
布袋里有若干5种不同颜色的 球。最少取出多少个球才能保 证其中一定有3个颜色一样的 球？
“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数 学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决 数学问题的，所以又称“狄里克雷原 理”，也称为“鸽巢原理”。“抽屉原 理”的应用却是千变万化的，用它可以 解决许多有趣的问题，并且常常能得到 一些令人惊异的结果。“抽屉原理”在 数论、集合论、组合论中都得到了广泛 的应用。 抽屉原理简介
买书的类型有： 买一本的：有语文、数学、外语3种。 买二本的：有语文和数学、语文和外语、 数学和外语3种。 买三本的：有语文、数学和外语1种。 3+3+1=7（种） 把7种类型看做7个抽屉，要保证一定有 两位同学买到相同的书，至少要去8位学 生。
学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。 每个学生从中任意借两本，那么至少要几 个同学才能保证一定有两人所借的图书属 于同一种？
初中数学重点梳理：抽屉原理
抽屉原理知识定位抽屉原理也叫鸽笼原理，是由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，就能很快使问题得到解决．知识梳理知识梳理1.抽屉原理1、抽屉原理1把n+1个东西，任意地分放到n 个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有2个东西。
2、抽屉原理2把m 个东西，任意地分放到n 个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有k 个东西。
其中n m n m n m n m k n m n m k 表示，的倍数时不是当或的倍数时是当⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)(1)(的整数部分。
上述原理称为抽屉原理。
抽屉原理虽然简单、浅显，却是解决很多存在性问题的有力工具。
利用抽屉原理解题的一般步骤是：(1)构造抽屉，指出东西；(2)将东西放入抽屉，或从抽屉里取出；(3)说明理由，得出结论。
例题精讲【试题来源】【题目】某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？【答案】6【解析】我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m （2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于{}n m个 ∵=3662000536617 ∴{}3662000＝6 【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。
【答案】我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。
∵要在5个集合里取出6个数，∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。
【解析】我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。
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一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题 苹果十抽屉=商……余数 余数：（1）余数=1,结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数=x 1Y ：X Y n-1,结论：至少有（商+ 1 ）个苹果在同一个抽屉里（3） 余数=0,结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二） 、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论， 将复杂的题目变得非常简单， 也就是常说的极限思想 “任我意” 方法、特殊值方法.知识精讲模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有 1只，一定有一个笼子里有 2只鸽子•对吗?【巩固】 把9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.8-2抽屉原理、【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业.【巩固】年级一班学雷锋小组有13人•教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日•”你知道张老师为什么这样说吗？【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样. 【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相冋的学生？【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相冋.【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是冋一天？【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.【例3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.【例4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【巩固】五年级数学小组共有20名冋学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名冋学，他们的朋友人数一样多.【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由.【例6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
【巩固】（第八届《小数报》数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类.（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？（2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请煎药说明理由；如果不一定，请举出一个反例.【巩固】证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数.【例7】任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数.【巩固】在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数?【例8】任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）.【巩固】20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题•证明：小明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目.【例9】求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数.【巩固】任意给定一个正整数n，—定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数.【例10】求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f，使得（a-b）（c - d）（e - f）是105的倍数. 【巩固】任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为105的倍数.【巩固】（2008年中国台湾小学数学竞赛决赛（一）在100张卡片上不重复地编上1~100，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除？【例11】把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17.【巩固】圆周上有2000个点，在其上任意地标上0,1,2, |||,1999 （每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）.证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999【例12】证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识.【巩固】平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上•证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中, 一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边.【巩固】假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？【巩固】平面上有17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形•证明：一定有一个三角形三边的颜色相同.【例13】上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操•老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生？如果能，请说明理由;如果不能，请举出实例.【例14】8个学生解8道题目.（1）若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出. （2）如果每道题只有4个学生解出，那么（1）的结论一般不成立.试构造一个例子说明这点•【巩固】试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案•一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同•问参加考试的学生最多有多少人？(2) 求抽屉【例15】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔?【例16】把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？【巩固】某次选拔考试，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学校.”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？【巩固】100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.【例17】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组•问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？(3) 求苹果【例18】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？【巩固】班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？【巩固】有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子.请问：至少需要有几只鸽子?【巩固】三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书？【例19】海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间（包括140厘米到150厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相同？【例20】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分, 不答不得分。
问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？【巩固】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分.至少________ 人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同.（二八构造抽屉利用公式进行解题【例21】在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样•你能说明这是为什么吗？【巩固】在一只口袋中有红色与黄色球各4只，现有4个小朋友，每人从口袋中任意取出2个小球，请你证明：必有两个小朋友，他们取出的两个球的颜色完全一样.【巩固】篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果, 那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？【巩固】学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本•请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？【巩固】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本•试说明：必有两个学生所借的书的类型相同【巩固】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问: 至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？【巩固】体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个, 最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要 有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【巩固】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果, 那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？【例22】红、蓝两种颜色将一个 2 5方格图中的小方格随意涂色 否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？【例23】将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色.（每一列的三小格涂的颜色不相同） ，不论如何涂色,其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？【例24】从2、4、6、8、 、50这25个偶数中至少任意取出多少个数， 才能保证有2个数的和是52 ？【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【巩固】 从1, 4, 7, 10,…，37, 40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有 2个数的和是41.【巩固】 从1 , 2 , 3 ,, 100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这 51个数中，一定有两个数的差为50。