1.2热传导方程和定解条件(1)

其中 A F , fi 都是某区域上
x, y 的已知函数.
叠加原理
设 ui (i 1,2,) 是方程(1)中第i个方程的解,
2ui 2ui 2ui ui ui A 2 2B C 2 D E Fui f i x xy x x y
6
如果级数
u ci ui
uxx u yy 0,
u x u y 8x .
2
2
齐次偏微分方 程(自由项为0)
非齐次偏微分方 程(自由项不为0)
5
3.叠加原理
考察二阶线性偏微分方程组
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu f i (i 1,2,), (1) x xy y x y
典型的数学物理方程的导出
1.1 1.2 1.3 弦振动方程与定解条件 热传导方程与定解条件 拉普拉斯方程与定解条件
1
1.3 拉普拉斯方程与定解条件
拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的 分布规律. 1.三维拉普拉斯(Laplace)方程 (调和方程)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
2
F

—杆的受迫振动方程
椭圆型
1 2 ( ) 1 1 0 2
16
均匀杆的纵振动
杆的弹性力学基本力学方程： 胡克定律: 应力(单位面积所受的弹性力) p( x, t )
与应变(单位长度上的形变) dL 成正比 ：
x
dL p Y x
即：物体的形变跟引起形变的外力成正比
p( x, t ) S
p( x dx, t )S
11
4.两个自变量的二阶微分方程的分类 一般的二阶线性偏微分方程具有如下的形状
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f ,
(8)
其中 a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 等都是自变量 x, y 在区域 上的实函数，并假定他们是连续可微的。 若在区域 上每点 ( x0 , y0 )
7
4.傅里叶(Fourier)级数 设周期为 2l 的函数 f ( x) 可展开成傅里叶级数,则
a0 nx nx f ( x) (an cos bn sin ), (4) 2 n1 l l 其中傅里叶系数 an , bn 满足
1 l nx an f ( x) cos dx (n 0,1,2,), l l l
uxx u yy 0
椭圆型
0 1 1 0
14
练习：判断阶数和是否线性
ut a uxx e
2
u
二阶非线性方程
(sin2 x)uxx e xyu yy uxyy
三阶线性方程
2 2 ux uy sin y
一阶非线性方程
15
练习：判断二阶线性偏微分方程的类型
a a11a22 0,
2 12
则称方程(8)在每点 ( x0 , y0 ) 为双曲型的；那么 也 则称方程(8)在区域内是双曲型的。
12
若在区域 上每点 ( x0 , y0 )
a a11a22 0,
2 12
则称方程(8)在每点 ( x0 , y0 ) 为抛物型的；那么 也 则称方程(8)在区域内是抛物型的。 若在区域 上每点 ( x0 , y0 )
(5)
1 l nx bn f ( x) sin dx (n 1,2,3, ). l l l
8
当 f ( x) 为奇函数时
nx f ( x) bn sin , l n 1

(6)
2 l nx bn f ( x) sin dx (n 1,2,3, ). 0 l l
f , 要求函数 u ( x, y, z ) 在闭区域 上连续且在 内调和,在边界 上法向导数 u 存在,且有 n u | f , 其中n是外法线方向. n
4
1.4 基本概念与基本知识
1.古典解:如果一个函数具有某偏微分方程中所 需要的各阶连续偏导数,且满足该方程. 2.自由项:偏微分方程中不含有未知函数及其 各阶偏导数的项. 例如:
dx
S
[ p( x dx, t ) p( x, t )]S utt Sdx
x
x dx
u ( x)
u( x dx)
时刻t，x 一端位移 x u(x,t)， x+dx 一端位移 u(x+dx,t)。
杆的伸长
dL p Y x
dL u( x dx, t ) u( x, t )
uxx xuyy 0
0 x 0 0 1 x x 0 x 0
( x 2)wenku.baidu.comxx 2xyuyx y 2u yy 0
( xy)2 ( x 2) ( y 2 ) ( x 2 x 2) y 2
uxx uxy u yy 0
(1)
凡具有二阶连续偏导数并满足方程(1)的连 续函数为调和函数. 方程(1)通常表示成
u 0
或 2u 0.
2
2.泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程)
2u 2u 2u 2 2 f ( x, y, z ). 2 x y z
(2)
方程(2)通常表示成
u f ( x, y, z) 或 2u f ( x, y, z).
当 f ( x) 为偶函数时
a0 nx f ( x) an cos , 2 n 1 l
(7)
2 l nx an f ( x) cos dx (n 0,1,2,). l 0 l
9
补充：
三角函数系
1, cos x, sin x, cos2 x, sin 2 x,cosnx, sin nx,
虽然，弦的横振动与杆的纵振动机理并不完全 相同，但是我们得到了同样的微分方程，我们称 为波方程：
utt a u f
2
a
2
Y

每单位长度上每单位横截面积所受纵向外力F
Sdxutt YSux xddx YSux x SdxF YSuxxdx SdxF
utt a u xx f
在 [ , ] 上正交。
0, m n, sin mxsin nxdx , m n.

0, m n, cosm xcosnxdx , m n.




sin m xcosnxdx 0,
sin nxdx cosnxdx 0.
3. 拉普拉斯方程的边值问题 第一边值问题(狄氏问题)
3
在空间某一区域 的边界 上给定了连续函数
f , 要求函数 u ( x, y, z ) 在闭区域 上连续且在
内调和,在边界
上与给定的函数 u | f .
f 重合,即
第二边值问题(诺伊曼问题) 在空间某一区域 的边界 上给定了连续函数
a a11a22 0,
2 12
则称方程(8)在每点 ( x0 , y0 ) 为椭圆型的；那么 也 则称方程(8)在区域内是椭圆型的。
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例如：
utt a uxx
2
双曲型
0 1 (a 2 ) 0
ut a u xx
2
抛物型
0 0 (a 2 ) 0

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补充：
三角函数积化和差公式
1 sin sin [cos( ) cos( )] 2 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2
1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2
i 1

(2)
收敛,其中 ci (i 1,2,) 为任意常数,并且它还能够逐项 微分两次,则级数(2)是下方程的解
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu ci f i x xy x x y i 1
特别地,当方程(1)中的自由项 fi 0 时,则得相应的 齐次方程为 2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu 0. (3) x xy x x y 若 ui (i 1,2,) 是方程(3)的解,则级数(2)也是方程 (3)的解.