微积分II(甲)多元函数积分学练习解答

微积分II （甲）多元函数积分学练习题解答

１.计算二重积分22

d D x y

σ⎰⎰

，其中D 是由1

,,2y x y x x ===所围成的闭区域． 解：

2

2

2

1

2

1

x x

D

x x

yd dx dy y σ=⎰⎰⎰⎰ ()2

3

1124

x x dx =-=⎰

２.计算二重积分D

xyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．

解：

20

2

y

y D

xyd dy xydx σ=⎰⎰⎰

⎰

2

2340

0333

8322

y dy y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰

３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,

计算10

dy ⎰

.

解：210

2

1)9

x I dx =

=⎰

⎰

４．计算二重积分

2

,{(,)

D

y x

d D x y x σ-=≤⎰⎰ 解： 12D D D =⋃（1D 是所有阴影部分面积）

1

2

222D

D D y x d y x d y x d σσσ-=-+-⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

()()22

1

1222

10

1

x x

dx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰

⎰⎰

1

1424111146

(22)2215

x dx x x dx --=+-+=

⎰⎰． ５.用极坐标计算D

σ⎰⎰，其中D 为{22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．

解：

32

2

33220

cos cos =cos cos =4

D

D

D

r r rdrd r drd d r dr d r dr π

πσθθθθ

θθθθ=⋅⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰

６. 设D 为闭区域2

2

{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)D

f x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累

次积分．

2

解：Ｉ＝

2sin 0

(cos ,sin )d f r r rdr π

θθθθ⎰

⎰

．

７. 设D 为闭区域2

2

{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)D

f x y d σ⎰⎰化为极坐标下的

累次积分．

解：Ｉ＝

2cos 40

2

(cos ,sin )d f r r rdr π

θπθθθ-⎰⎰

．

8. 利用二重积分计算由曲面2

2

z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 解 设所求体积为V ，则有

=

V ()2

21D

x

y d σ--⎰⎰，

其中 (){}

2

2,1D x y x

y =

+≤，于是

=

V ()()22211D D

x

y d r rdrd σθ--=-⎰⎰⎰⎰

=

()21

20

12

d r rdr π

π

θ-=

⎰

⎰.

9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+62

2

所围立体的体积． 解 设所求体积为V ，则有

=

V ()

⎰⎰--D

d y x

σ22

6，

其中 (){}

x y x y x D -≤≤≤≤=10,10,，于是

=

V ()

⎰⎰--D

d y x

σ2

2

6=()112

20

6x dx x

y dy ---⎰⎰

()1323011766136x x x x dx ⎡⎤

=--+--=⎢⎥⎣⎦

⎰

10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心． 解 设该薄板所在区域为D ，则 该均质薄板的面积为 0

sin 2S xdx π

==⎰

，

又有 sin 0

0x D

xd dx xdy π

σπ==⎰⎰⎰⎰

， 及

sin 0

4

x D

yd dx y dy π

π

σ==

⎰⎰⎰⎰

，

由均质平面薄片的质量中心公式可得所求质量中心坐标为⎪⎭⎫

⎝

⎛8,2ππ．

二、三重积分

11. 求

xydV Ω

⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．

解

xydV Ω

⎰⎰⎰111

x dx dy xydz -=⎰⎰

⎰

=1100

x dx xydy -⎰

⎰

()1

2

0111224

x x dx =

-=⎰． 12. 求(

)⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311

，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体．

解 (

)⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311()111300011x x y dx dy dz x y z ---=+++⎰⎰⎰ =

()112

1318821x dx x dy x y -⎡⎤

-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦

⎰

⎰

()1

013115ln 2218828x dx x ⎡⎤⎛⎫=

-+=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦

⎰． 13．计算下列三重积分

⎰⎰⎰Ω

+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 解 Ω在z xoy =平面上的投影区域为22

{(,)1}x y x y +≤ 可用柱面坐标计算：

221

21

1

1

222000

1

240

1224(1).21

r r d r dr zdz r dr z r r dr πθππ

πΩ

⎛⎫

== ⎪

⎝⎭=-=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

14. 计算

,⎰⎰⎰

Ω

zdV 其中Ω是由球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域．

解 球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+的交线为

222

22

4

3x y z x y z

⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 从中解得两曲面交线为

,1=z 22

3x y +=，