第四章 解析函数的级数表示

第四章解析函数的级数表示

(The representation of power series of analytic function)

第一讲

授课题目：§4.1复数项级数

§4.2复变函数项级数

教学内容：复数序列的极限、复数项级数及其敛散性、复变函数项级数、幂级数、幂级数收敛半径的求法、幂级

数和函数的解析性.

学时安排：2学时

教学目标：1、正确理解条件收敛与绝对收敛

2、掌握幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛

半径，了解幂级数的运算和性质.

3、正确掌握幂级数和函数的解析性

教学重点：复数项级数

教学难点：幂级数和函数的解析性

教学方式：多媒体与板书相结合

P思考题：1、2、习题三：1-5

作业布置：

100

101

板书设计：一、幂级数

二、幂级数收敛半径R的求法

三、幂级数和函数的解析性

参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育

出版社.

2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高

等教育出版.

3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.

4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.

课后记事：1、会熟练求幂级数的收敛半径

2、基本掌握幂级数和函数的解析性

3、课后要答疑

教学过程：

§4.1 复数项级数 (Series of complex terms)

一、复数序列的极限（Limit of the plural array ） 设}{n z () ,2,1=n 为一复数序列，其中

,...

,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=按照

|}{|n z 是有界或无界序列，来定义}{n z 为有界或无界序列.

设0z 是一个复常数.如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当N n >时，有

ε<-||0z z n ,

那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且

收敛于0z ，记作

0lim z z n n =+∞

→.

如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列.

定理（Theorem ）4.1

设ib a z +=0n n n ib a z +=() ,2,1=n ，则0lim z z n n =+∞

→的

充分必要条件是,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞

→+∞

→

证明：由下列不等式

||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及

可知，⇔=+∞

→0lim z z n n ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞

→+∞→

因此，有下面的注解：

注1：复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，

注2：利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差、积、商.

二、复数项级数及其敛散性(Complex and the Convergence of Series)

设}{n z () ,2,1=n 为一复数序列，表达式

......21++++n z z z

称为复数项级数.记作∑+∞

=1n n z ，其部分和序列为：

n n z z z S +++= (21)

如果序列}{n S 收敛，那么就称级数∑+∞

=1

n n z 收敛；如果S S n n =∞

→lim ，

那么说∑+∞=1

n n z 的和是S ，或者说∑+∞

=1

n n z 收敛于S ，记作

σ

=∑+∞

=1

n n

z

，

如果序列}{n S 发散，那么就称级数∑+∞

=1

n n z 发散.

例1 当1||

......12+++++n z z z

是否收敛？

解：部分和

z

z z z z z z z S n n n

n --

-=--=++++=++11111 (11)

12

当1||

1

=++∞

→n n z

，从而有

01lim 01lim 1

1=-⇒=-+∞→++∞→z

z z z n n n n 所以z

S n n -=

+∞

→11

lim ，这就是说，当1||

收敛，其和为

z

-11

，即当1||

z z z n -=

+++++11

......12 定理（Theorem ）4.2设n n n ib a z +=，则级数∑+∞=1

n n z 收敛的充分必要条件是∑+∞

=1

n n a 与∑+∞

=1

n n b 都收敛.