离散数学11次序关系

定义 设(A，≤)是偏序集，B是A的子集，a是子集B的上界，如果 对于B中的任何上界x，都有a≤x，则称a为子集B的最小上界（或 称上确界），记作sup(B) = a；同样，b是子集B的下界，如果对 于B的任何下界y，都有y≤b，则称b为子集B的最大下界（或称下 确界），记作inf(B) = b。 例5:设A = {1，2，3，4，5，6，10，12 }，≤为整除关系。 在子集{2，3，6}中，上确界为6，下确界为1。 在子集{2，3，6，12}中，上确界为12，下确界为1。 在子集{2，5，6}中，没有上确界，下确界为1。
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画哈斯图的方法

用平面上的点代表集合中的元素，当b盖住a时，代表b的点应画 在代表a的点的上方，并用直线段连接．否则不画线． 上面例1:A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}，R是A上 的整除关系，Ｒ的哈斯图如下：
24 12 16 8

6
3
4
2 1
10
5
8
哈斯图实例（续）
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偏序关系的哈斯图表示


定义 设R是集合A上的偏序关系，a和b是A中的元素， 如果(a, b)∈ R，且在A中没有其他元素c，使得 (a, c)∈ R，(c, b)∈ R，则称元素b盖住a。 例1:A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}， R是A上的整除关系，由“盖住”的定义可知，元素4盖 住2；但元素8并不盖住2，因为有元素4，使得(2, 4)∈R和(4, 8)∈R，所以8不盖住2。 利用元素间的盖住关系，能较方便地画出偏序关 系的哈斯图(即关系图的简化)．
2

线性次序

定义 设R是集合A上的偏序，如果对每个
x,y∈A，必有x≤y或y ≤ x ，则称R是 线性次序的(全序的)，或称R是集合A上 的线性次序关系。

易知：在线性次序关系中，任意两个元 素都是有关系的。
3
线性次序

例１．在整数集合中，大于等于关系是 线性序关系。
例２．设Ａ＝{1,3,6,12,24}, ≤是整除 关系 ,则≤是线性次序的,并且对A中元 素有
12


偏序集中的特殊元素

例2:A = {1，2，3，4，6，12}，≤是整除关系，其哈斯图见下图2。
12 4 6
2 1 图2
3
由上图可知，1是最小元，12是最大元。
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偏序集中的特殊元素



在很多情况下,需要考虑偏序集A的子集B的极小元,极 大元,最小元和最小元等特殊元素以及其他特殊元素. 定义 设(A，≤)是偏序集，B是A的子集，如果子集B 中存在元素b，使得子集B中没有其他元素x，满足x≤b， 则称b为子集B中的极小元；同样，如果在子集B中存在 元素b，使得子集B中没有其他元素x，满足b≤x，则称 b为子集B中的极大元。 定义 设(A，≤)是偏序集，B是A的子集，如果子集B 中存在元素b，使得对于子集B中任何元素x，都有b≤x， 则称b为子集B中的最小元；同样，如果在子集B中存在 元素b，使得对于子集B中任何元素x，都有x≤b，则称 b为子集B中的最大元。 14
1 ≤3 ≤6 ≤12 ≤24
4

线性次序

例3：集合{1，2，4，8}，{1，3，6}，
{1，3，9，27}，{1，5，10，20}上的整
除关系都是线性次序的。
5
线性次序



查字典，英文单词也有顺序，例如boy在 book后面，我们把这种顺序叫做字典顺 序。 字典顺序也是一个偏序关系， 由所有单词构成的集合，按照字典顺序 排列，也是一个线性次序。
偏序关系
定义
非空集合A上的自反、反对称和传递的关系， 称为A上的偏序关系.
实例 集合A上的恒等关系 IA 是A上的偏序关系. 小于等于关系, 整除关系和包含关系也是相应集 合上的偏序关系.
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偏序关系的定义

常常把集合A以及A上的偏序关系R合在一 起统称为偏序集，记作（A，R）。 由于偏序关系是自反的、反对称的、传 递的二元关系，所以一般用符号“≤”表 示偏序。当(a, b)∈R，时，常记作a≤b， 偏序集也常记作（A，≤）。
24 12 16 8
6
3 图 1
4
2
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偏序集中的特殊元素

定义 设(A，≤)是偏序集，如果A中存在元素 a，使得对于A中任何元素x，都有a≤x，则称a 为A中的最小元。
定义 设(A，≤)是偏序集，如果A中存在元素 a，使得对于A中任何元素x，都有x≤a，则称a 为A中的最大元。
注意:最大(小)元与极大(小)元的区别

例4:设A = {1，2，3，4，5，6，10，12 }，≤为整除
关系。 在子集{2，3，6}中，上界为6和12，下界为1。
在子集{2，3，6，12}中，上界为12，下界为1。
在子集{2，5，6}中，没有上界，下界为1。 在子集{2，4}中，上界为4和12，下界为1和2。
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偏序集中的特殊元素

6 3
4
10
2
5
1 在子集{1，2，3，6}中，1是极小元也是最小元；6是极大元也是最大元。 在子集{2，3，4，12}中，2和3是极小元；但没有最小元；12是极大元也是 最大元。 在子集{2，5，6}中，2和5是极小元，而5还是极大元，6也是极大元，但此 子集中没有最小元也没有最大元。
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偏序集中的特殊元素
特殊元素的性质

对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存 在 多个.
最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟 一. 最小元一定是极小元；最大元一定是极大元.



孤立结点既是极小元，也是极大元.
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偏序集中的特殊元素
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例3:A = {1，2，3，4， 5，6，10，12}，≤是A 上的整除关系。其哈斯 图见右。
例5: 已知偏序集<A,R> 的哈斯图如右图所示, 试求出集合A和关系 R的表达式.
A={a, b, c, d, e, f, g, h} R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>, <c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪IA
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偏序集中的特殊元素

定义 设(A，≤)是偏序集，如果A中存
在元素a，使得A中没有其他元素x，满足
x≤a，则称a为A中的极小元。

定义 设(A，≤)是偏序集，如果A中存
在元素a，使得A中没有其他元素x，满足
a≤x，则称a为A中的极大元。
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偏序集中的特殊元素
例1:A = {2，3，4，6，8，12，16,24}，≤是A上的整除关系。其哈 斯图见图1。 由定义可知，(A，≤)的极小元为2和3，极大元为16和24。

定义 设(A，≤)是偏序集，B为A的子集，如 果在A中存在元素a，使得对于子集B中任何元 素x，都有x≤a，则称a为子集B的上界； 同样，如果在A中存在元素a，使得对于子 集B中任何元素x，都有a≤x，则称a为子集B的 下界。
注意:上界(下界)与最大(小)元和极大（小） 元的区别


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偏序集中的特殊元素